BASIS ORTOGONAL. Bila V ruang Euclides, S V disebut Himpunan Ortogonal bila tiap dua unsur S ortogonal.

BASIS ORTOGONAL

Batasan

Bila V ruang Euclides , S ⊂ V disebut Himpunan Ortogonal bila tiap dua unsur S ortogonal.

DALIL 1

Jika S himpunan ortogonal yang terdiri dari K buah vektor tak nol dalam ruang Euclides V, maka S bebas linear. V khususnya, bila dimensi V = k, S basis untuk V, disebut Basis ortogonal.

DALIL 2

Jika x ∈ V , V ruang Euclides berdimensi n,

B = { µ -(1) , µ -(2) , ... , µ -(n)} _{basis ortogonal untuk V}

maka : ( x) = (x , x , ... , x ) dengan x = < x > < > , k = 1 , 2, ... , n B 1 1 n k , , ( ) ( ) ( ) µ µ µ − − k k k

DALIL 3

Jika V ruang Euclide, x ,y∈Vdan B={µ(1),µ(1),... ,µ(1)}

basis ortogonal untuk V, maka :

BATASAN

1. Vektor a pada ruang Euclides dengan a = 1 disebut Vektor Normal

2. Himpunan Ortogonal yang setiap unsurnya vektor normal disebut Himpunan Ortonormal

3. Basis Ortogonal yang setiap unsurnya vektor normal, disebut Basis Ortonormal

, > , x < > x , x < ii) ( , > , y >< , x < > y , x < i) ( n 1 = i ) ( ) ( 2 ) ( n 1 = i ) ( ) ( (i) ) (

∑

∑

> < > < − − − − − − i i i i i i µ µ µ µ µ µ µ

DALIL (Untuk basis ortonormal)

Jika x V , V ruang Euclides berdimensi n,

B = { , , ... } basis ortonormal untuk V, maka : x = < x , > (1) (1) (n) i=1 n (i) (i) ∈

∑

µ µ µ µ µ

DALIL (Untuk Basis Ortonormal)

Jika V ruang Euclides, x, y V dan

B = { , , ... , } basis ortonormal untuk V, maka : (1) < x, y >= < x >< y, > (2) < x, x >= < x > (rumus Parseval) (1) (2) (n) -(i) i=1 n -(i) (i) i=1 n 2 ∈

∑

∑

µ µ µ µ µ µ , ,

RUANG EUCLIDES II

Proses Pengortogonalan Gram-Schmdit

BATASAN

Jika v ruang Euclides v ∈V , W ⊂V , v dikatakan ortogonal pada W bila < v,w >= 0 ∀w ∈W

DALIL 1

Jika V ruang perkalian skalar dan {µ 1,µ 2 ,... ,µ r}

Himpunan ortogonal vektor di < v.w >=<µ 1,µ 2 ,..., µ r > = ruang linear yang dibentang oleh {µ µ₁, ₂, ... , µ _{r } ,} maka setiap vektor v ∈V dapat dinyatakan dalam bentuk: v = w + w , w = < v , , w ortogon al pada w 1 2 1 i i i i i=1 r 2 , µ µ µ µ > < >

∑

Proses Pengortogonalan Gram-Schmidt

Misalkan V ruang Euclides tak nol berdimensi

} v , ... , v , v { = B , 1 2 n

n basis untuk V. akan dibentuk suatu

Langkah 1 : = v Langkah 2 : = v - < v , > < , > Langkah 3 : = - < v , > , - < v , > < , > 1 1 2 2 1 1 2 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 2 ₁ 1 1 3 3 3 ₁ 1 1 3 ₂ 2 2 v < >

Langkah ke k :( misalkan µ1 , µ2, ... , µk , sudah di

peroleh) n , ... 1,2, = k , . > , < > , < -v = : atau > , < > , < -... > , < > , < , , -v = 1 -k 1 = i k k 1 -k 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

∑

− − − > < > < i i i i k k k k k k k k k v v v v µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Contoh 1 : 3 R

V = dengan perkalian scalar <a,b >=2a1b1+a2b2+3a3b3 . Tentukan proyeksi orthogonal a =(1,2,1) , b = (1,1,1) !

Contoh 2 :

Misal 3

R

V = _{dengan perkalian scalar} <a,b>=2a1b1+a2b2+a3b3 .

W ruang bagian linear yang dibentang oleh {(−1,1,1),(1,1,1)}

dan v = (1,2,3)

Tentukan proyeksi orthogonal v pada W !

Contoh 3 :

Misal V = P2 dengan perkalian scalar

∫

− >= < 1 1 ). ( ). ( ,q p x q x dx p

, W = ruang bagian linear yang dibangun oleh

)}

3

1

(

),

1

{(

−

x

−

x

2

Himpunan ini orthogonal .Tentukan w1&w2 bila 2 2 ) (x x x p = + _! Soal Latihan : Di R4 diketahui basis B={(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,0)}

Bentuklah basis orthogonal (B') menggunakan proses pengortogonalan Gram-Schmidt

Untuk mendapatkan basis ortonormal, langkahnya dapat dibuat sebagi berikut :

) , ... , , peroleh di sudah (misalkan : k ke Langkah > , < > , v < , -> , v < -= : 3 Langkah > , v < -v > , v < -v = : 2 Langkah v v = : 1 Langkah 1 -k 1 2 1 2 2 3 2 2 3 1 1 3 3 1 1 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ > <v v v µ µ µ µ µ µ µ k k k 1 2 k -1 k = v v v - 0 , karena {v , v , . .. , v , v } bebas linear − < > − < > < > ≠ = − = − = −

∑

∑

∑

v v v k _{i i} i k k k _{i i} i k k _{i i} i k , , , 1 1 1 1 1 1

Contoh 1 :

3

R _{bentuklah basis ortonormal dari basis}

)} 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1

{( − − _{terhadap perkalian skalar}

3 3 2 2 1 1 2 ,b ab ab ab a >= + + < _! Contoh 2 :

Di P3 , bentuklah basis ortonormal { 0, 1, 2, 3} ' P P P P B = terhadap perkalian skalar

∫

− >= < 1 1 ). ( ). ( ,q p x q x dx

PENGHAMPIRAN TERBAIK

1. Dalil Proyeksi

Jika w ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar v, maka setiap v ∈ V dapat dinyatakan dalam tepat satu cara dengan

v = w + w , w 1 2 1 ∈ w , w ortogonal pada W 2

2. Dalil Penghampiran Terbaik :

Jika : ( i) w ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V

w -v < v v berlaku , v w dengan W w : maka w pada v ortogonal proyeksi v dan V v ii) ( w w w − ≠ ∈ ∀ ∈

3. Arti Ilmu ukur Penghampiran Terbaik di R3.

Mencari titik dengan vektor posisi vw ∈ W (ruang bagian linear dari V ) yang jaraknya dengan titik dengan vektor posisi v ∈ V sekecil mungkin jaraknya terdekat itu ialah v - v

4. Arti Penghampiran Terbaik pada Umumnya

Mencari v⊂W pada ruang bagian linear berdimensi berhingga W ⊂ V , V ruang berperkalian skalar, yang jaraknya dengan v ⊂ V sekecil mungkin khususnya : Metode kuadrat terkecil :

Mencari fungsi dalam bentang linear himpunan fungsi

{ , , ... , } ϕ ϕ_{0 1} ϕ _n ⊂ _{c [a,b] yang jaraknya dengan f}

∈ c [a,b] sekecil mungkin.

Jarak diturunkan dari perkalian skalar < f, q > = f(x).g(x) dx

a b

∫

5. a) Polinom penghampiran terbaik berpangkat ≤ n dengan metode kuadrat terkecil untuk suatu fungsi f ∈ c [a,b] ialah p(x) = a0+a1x+a2x

2

dengan [f - p(x)] dx 2 a

b

∫

sekecil mungkin.

b) Mencari polinom penghampiran terbaik itu lebih efisien dengan mencari proyeksi ortogonal f pada P₂ terhadap perkalian skalar

< f, q> = f(x).g(x) dx a

b

∫

Dibentuk dulu basis ortogonal P2 dengan Proses Gram Schmidt mulai dengan { 1, x, x2}.

6. Polinom Fourier orde ≤ n adalah polinom Trigonometri penghampiran terbaik orde ≤ n

)

(PT_n dengan metode kuadrat terkecil untuk fungsi f

pada [-π,π] atau [0,2π]. nx b x b x b nx a x a x a a x

P_n( ) = ₀+ ₁cos + ₂cos2 +...+ _ncos + ₁sin + ₂sin2 +...+ _nsin

atau ) sin cos ( ) ( 1 0 a ix b ix a x P _{i i} i n = +

∑

+ ∞ =

Fungsi f yang didefinisikan pada [-π,π] atau [0,2π] akan dihampiri dengan fungsi P_n(x)_{pada selang itu.}

) (x

P_{n membentuk ruang bagian linear dari} C[0,2π]_atau ]

, [−π π

C _{, kalau daerah definisi} P_n(x)_{dibatasi pada}

selang-selang itu saja.

Basis orthogonal ruang bagian linear itu adalah

} sin ,..., 2 sin , sin , cos ,..., 2 cos , cos , 1 { x x nx x x nx =

karena B adalah himpunan orthogonal , maka menurut dalil B bebas linear, jadi merupakan basis untuk PTn , dan adalah basis orthogonal untuk PTn ,

terhadap perkalian scalar < >=

∫

π 2 0 ). ( ). ( ,q p x q x dx p atau

∫

− >= < π π dx x q x p q p, ( ). ( ).

Untuk mendapatkan basis orthogonal , terlebih dahulu menetukan panjang masing-masing vector dalam basis orthogonal itu.

[ ]

π π π π π 2 0 2 ) 1 ( , 1 2₀ 2 0 2 0 2 = = = − = = = p q

∫

dx

∫

dx x

[

]

[ ] π π π π π π π = = + − + = + = =

∫

) 2 ( . 2 1 )} 0 ( 0 sin . 0 {cos )} 2 ( ) 2 ( sin ). 2 ( {cos 2 1 sin cos 2 1 ) (cos cos 2₀ 2 0 2 i i i i i i i ix ix ix i dx ix ix

[

]

[

]

π π π π π π π = = + − − + − = + − = =

∫

) 2 ( . 2 1 )} 0 ( 0 cos . 0 sin { )} 2 ( ) 2 ( cos ). 2 ( sin { 2 1 cos sin 2 1 ) (sin sin 2₀ 2 0 2 i i i i i i i ix ix ix i dx ix ix

Dengan demikian basis ortonormal untuk PTnadalah

}

,...,

,

,...,

,...,

,

{

}

sin

,...,

2

sin

,

sin

,

cos

,...,

2

cos

,

cos

,

2

1

{

1 0 1 0

u

u

n

v

v

v

n

u

nx

x

x

nx

x

x

=

=

π

π

π

π

π

π

π

Polinom Fourier untuk f(x) yaitu Polinom Trigonometri Penghampiran Terbaik untuk f(x) dengan perkalian skala di atas.

n n n n

v

v

f

v

v

f

v

v

f

u

u

f

u

u

f

u

u

f

x

P

>

<

+

>

<

+

>

<

+

>

<

+

+

>

<

+

>

=<

,

...

,

,

,

...

,

,

)

(

2 2 1 1 1 1 0 0

∑

∑

= =

>

<

+

>

<

+

>

=<

n i i i n i i i

u

f

v

v

u

f

u

u

f

x

P

1 1 0 0

,

,

,

)

(

di mana :

∫

∫

_ =      >= < π π π π 2 0 2 0 0 ( ).. 2 1 . 2 1 ). ( ,u f x dx f x dx f

2 2 ).. ( 1 ).. ( 2 1 2 1 ).. ( 2 1 , 0 2 0 2 0 2 0 0 0 a dx x f dx x f dx x f u u f = = =         = > <

∫

∫

∫

π π π π π π π di mana =

∫

π π 2 0 0 ( ). 1 dx x f a π ix u _i = cos

∫

∫

_ _ = >= < π π π π 2 0 2 0 . cos ). ( 1 . cos ). ( ,u f x ix dx f x ix dx f _i

(

ix

)

a ix dx ix x f ix dx ix x f u u f i i i cos . cos . cos ). ( 1 cos . cos ). ( 1 , 2 0 2 0 =     =         = > <

∫

∫

π π π π π

di mana =

∫

π π 2 0 . cos ). ( 1 dx ix x f a_i π ix v _i = sin

∫

∫

_ _ = >= < π π π π 2 0 2 0 . sin ). ( 1 . sin ). ( ,v f x ix dx f x ix dx f _i

(

ix

)

b ix dx ix x f ix dx ix x f v v f i i i sin . sin . sin ). ( 1 sin . sin ). ( 1 , 2 0 2 0 =       =           = > <

∫

∫

π π π π π di mana =

∫

π π 2 0 . sin ). ( 1 dx ix x f b_i Jadi

∑

∑

= =

>

<

+

>

<

+

>

=<

n i i i n i i i

u

f

v

v

u

f

u

u

f

x

P

1 1 0 0

,

,

,

)

(

∑

∑

= =

+

+

=

n i i n i i

ix

b

ix

a

a

x

P

1 1 0

sin

.

cos

.

2

)

(

(

)

∑

= + + = n i i i ix b ix a a x P 1 0 _{.cos .sin} 2 ) ( di mana i = 1,2,3,..., n

Polinom Fourier itu adalah

(

)

∑

= + + = n i i i n a ix b ix a x P 1 0 sin . cos . 2 ) ( di mana :

∫

= π π 2 0 . cos ). ( 1 dx ix x f a _i

∫

= π π 2 0 . sin ). ( 1 dx ix x f b _i …

[

0,2π

]

atau

∫

− = π π π f x dx a ₀ 1 ( ).

∫

= π π 2 0 0 ( ). 1 dx x f a

∫

− = π π π f x ix dx a _i 1 ( ). cos .

∫

− = π π π f x ix dx b _i 1 ( ). sin . _…

[

_{− π ,π}

]

Ambil _ππ n n i = = _dan π = _{L, maka} L n i = π _{dan intervalnya}

[

− _L,L

]

sehingga

∫

− = L L dx x f L a ₀ 1 ( ).

∫

− = L L n dx L x n x f L a 1 ( ).cos π .

∫

− = π π π dx L x n L x f L b_n 1 ( ).sin . _…

[

_{− L, L}

]

Dengan demikian Polinom Fourier berubah menjadi: Deret Fourier :

∑

∞ =













₊

+

=

1 0

sin

.

cos

.

2

)

(

n n n

L

x

n

b

L

x

n

a

a

x

f

π

π

di mana n = 1,2,3,..., ∞