KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

(1)

KS091206 KS091206 KS091206 KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Independensi Linear Independensi Linear Independensi Linear Independensi Linear

Basis & Dimensi Basis & Dimensi Basis & Dimensi Basis & Dimensi

TIM KALIN

(2)

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas linier

Page 2

Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 2

bebas linier atau tak bebas linier – Dapat mencari basis dari suatu SPL

(3)

Independensi Linier Basis & Dimensi

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 3

Basis & Dimensi

(4)

Page 4

4 Tulis di papan

(5)

Merentang = spanning

Page 5

5

(6)

Page 6

6

(7)

Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v₁, v₂, v₃, …., v_r } jika

w = k₁v₁+ k₂v₂ + k₃v₃…. + k_rvr k₁, k₂, k₃, …., k_r terdefinisi /ada nilainya

Independensi Linier:

S = {v₁, v₂, v₃, …., v_r }

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 7

disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen

k₁v₁+ k₂v₂ + k₃v₃…. + k_rv_r= 0

adalah solusi trivial k₁, k₂, k₃, …., k_r = 0

(8)

Independensi Linier:

S = {v₁, v₂, v₃, …., v_r }

disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen

k₁v₁+ k₂v₂ + k₃v₃…. + k_rv_r= 0

adalah solusi trivial k₁, k₂, k₃, …., k_r = 0

Dependensi Linier:

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 8

Dependensi Linier:

S = {v₁, v₂, v₃, …., v_r }

disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen

k₁v₁+ k₂v₂ + k₃v₃…. + k_rv_r= 0

adalah solusi non-trivial k₁, k₂, k₃, …., k_r = 0 dan ada k_j≠ 0 (j = 1 .. r)

(9)

Diketahui : himpunan S = {v₁, v₂, v₃, …., v_r }

Ditanyakan: apakah S linearly independent atau linearly dependent?

Jawab:

1. Bentuk SPL Homogen k₁v₁+ k₂v₂ + k₃v₃…. + k_rv_r= 0 2. Tentukan solusinya

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 9

2. Tentukan solusinya

3. Jika solusinya trivial k₁, k₂, k₃, …., k_r = 0 maka S linearly independent

4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent

(10)

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 10

(11)

Ex. 6 hal 235

Page 11

11

(12)

ex. 2 hal 232

Page 12

12

(13)

Ex. 3 hal 233

Page 13

13

(14)

Page 14

14

(15)

Ex. 4 hal 233

Page 15

15

(16)

Page 16

(17)

Basis:

V adalah Ruang Vektor

S = { v₁, v₂, v₃, …, v_n } di mana v₁, v₂, v₃, …, v_n ∈∈∈∈ V maka S disebut Basis dari V jika

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 17

maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent

2. S merupakan rentang (span) dari V

(18)

Basis:

V adalah Ruang Vektor

S = { v₁, v₂, v₃, …, v_n } di mana v₁, v₂, v₃, …, v_n ∈∈∈∈ V maka S disebut Basis dari V jika

1. S linearly independent

2. S merupakan rentang (span) dari V

RUANG-RUANG VEKTOR

UMUM 18

V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n)

Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut

berdimensi tak-hingga

Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis

(19)

Page 19

19

(20)

Page 20

20

(21)

Page 21

bilqis 21

(22)

Page 22

22

(23)

Basis Untuk Ruang jawab SPL (1)

Page 23

23

(24)

Page 24

24

(25)

Page 25

25

(26)

Page 26

26

(27)

27

(28)

Basis Untuk Ruang jawab SPL (2)

Contoh :

Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari SPL berikut :

X1 + 2X2 + 7X3 – 9X4 + 31X5 = 0 2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0

Page 28

2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0 3X1 + 6X2 + 5X3 – 11X4 + 29x5 = 0 Penyelesaian :

Matriks eselon : 1 2 7 9 31

0 0 1 1 4

0 0 0 0 0

−

 

 

−

 

 

(29)

Variabel tak bebas x1 dan x3 x₂ = t₁

x₄ = t₂ x₅ = t₃

x₃ = t₂ – 4t₃

x = -2t + 2t – 3t

Page 29

x₁ = -2t₁ + 2t₂ – 3t₃

(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) = (-2t₁ + 2t₂ – 3t₃, t₁, t₂ – 4t₃, t₂, t₃)

= t₁(-2,1,0,0,0) + t₂(2,0,1,1,0) + t₃(-3,0,-4,0,1)

(30)

• Sehingga didapatkan :

1

2 3

( 2,1, 0, 0, 0) (2, 0,1,1, 0)

( 3, 0, 4, 0,1) u

u u

= − 

= 

= − − 

Basis dari

RUANG JAWAB

Page 30

3 ( 3, 0, 4, 0,1)

u = − − 

(31)

Dimensi:

V adalah Ruang Vektor

S = { v1, v2, v3, …, vn } basis dari V

Dimensi dari V = n (banyaknya vektor di S)

Contoh(1):

Dari jawaban SPL soal sebelumnya :

1 2

( 2,1, 0, 0, 0) (2, 0,1,1, 0) u

u

= − 

= 

Dari jawaban SPL soal sebelumnya :

Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3 vektor)

2 3

(2, 0,1,1, 0) ( 3, 0, 4, 0,1) u

u

= 

= − − 

(32)

• Contoh(2):

tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut : 2X1 + 2X2 - X3 + X5 = 0 -X1 - X2 + 2X3 – 3X4 + X5 = 0 X1 + X2 - 2X3 – X5 = 0 X3 + X4 + x5 = 0

Page 32

X3 + X4 + x5 = 0

Penyelesaian :

dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan penyelesaian : X1 = - s - t, X2 = s, X3 = -t, X4 = 0, X5 = t

(33)

• Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan :

1 0 1 0

1

0 0 0 1 1

0 0

0 0 0 0

5 4 3 2 1



−



−













−

− +











−

=













−

− +











−

=













−

=

























sehingga

t s

t t t s

s

t t s

t s

x x x x x

2 dim

_ _

1 0

1 _

0 0 0 1 1

=













−

=











−

=

ensi

basis merupakan

maka linier

bebas saling

karena

jawab ruang

span v

dan u

(34)

Page 34

34

(35)

Page 35

35

(36)

Teorema Independensi Linear

Teorema 1:

a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling

tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya.

b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada

Page 36

b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.

(37)

Teorema Independensi Linear

Teorema 2:

a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linear.

b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika

Page 37

vektor tak bebas linear jika dan hanya jika

salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.

(38)

Teorema Independensi Linear

Teorema 3:

Misalkan S = {v

₁

, v

₂

, ..., v

_r

} adalah himpunan vektor-vektor pada R

ⁿ

. Jika r>n, maka S tak bebas linear.

Page 38

(39)

Exercises ☺

Page 39