MINGGU KE-8. Materi: 1. Basis, Vektor Koordinat terhadap Basis, dan Dimensi 2. Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul 3.

MINGGU KE-8

Materi: 1. Basis, Vektor Koordinat terhadap Basis, dan Dimensi 2. Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul

3. Rank dan Nulitas

___________________________________________________________________________ BASIS ,VEKTOR KOORDINAT TERHADAP BASIS, DAN DIMENSI

Teorema 1 berikut dapat membantu kita dalam menentukan sifat merentang dan bebas linear.

TEOREMA 1

Diketahui 𝐴 adalah matriks persegi berukuran 𝑛 × 𝑛. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

a. 𝐴 adalah suatu matriks nonsingular (dapat dibalik). b. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝟎 hanya memiliki solusi trivial.

c. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 dikatakan konsisten untuk setiap matriks 𝒃 berukuran 𝑛 × 1. d. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks 𝒃 berukuran 𝑛 × 1. e. det(𝐴) ≠ 0.

Merentang (Spanning)

Suatu himpunan 𝑆 = {𝒔1, 𝒔2, … , 𝒔𝑛} dikatakan merentang 𝑉 jika setiap vektor di 𝑉 dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di 𝑆. Jika 𝑆 merentang 𝑉, maka dapat disimbolkan 𝑉 = span(𝑆).

Contoh 1:

Tentukan apakah 𝒗₁ = (1,1,2), 𝒗₂ = (1,0,1), dan 𝒗₃ = (2,1,3) merentang ruang vektor 3 R !

Jawab:

Misalkan kita punya vektor sebarang 𝒃 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) pada R3. Untuk menentukan apakah

𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃ merentang R3, maka harus dibuktikan bahwa vektor sebarang 𝒃 ini merupakan suatu kombinasi linear dari 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃.

Agar 𝒃 dapat menjadi kombinasi linear dari 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃, maka harus terdapat skalar 𝑘₁, 𝑘2, dan 𝑘3 sehingga 𝒃 = 𝑘1𝒗1+ 𝑘2𝒗2+ 𝑘3𝒗3, yaitu:

𝑏1 𝑏₂ 𝑏₃ = 𝑘1 1 1 2 + 𝑘₂ 10 1 + 𝑘₃ 21 3

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian, diperoleh: 𝑘1+ 𝑘2+ 2𝑘3 = 𝑏1

𝑘₁+ 𝑘₃ = 𝑏₂ 2𝑘₁+ 𝑘₂+ 3𝑘₃ = 𝑏₃

Permasalahannya sekarang adalah, apakah sistem persamaan linear di atas konsisten atau tidak untuk semua nilai 𝑏1, 𝑏2, dan 𝑏3. Jika sistem di atas dibentuk menjadi suatu persamaan

1 1 2 1 0 1 2 1 3 𝑘₁ 𝑘₂ 𝑘₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃

Berdasarkan Teorema 3 bagian (c) dan (e), persamaan di atas akan konsisten bila det(𝐴) ≠ 0. Artinya, matriks

𝐴 = 1 1 21 0 1 2 1 3

memiliki determinan taknol. Akan tetapi, det(𝐴) = 0 (buktikan!), sehingga sistem persamaan di atas inkonsisten. Dengan kata lain, tidak terdapat skalar 𝑘₁, 𝑘₂, dan 𝑘₃. Jadi, vektor-vektor di R3 tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari 𝒗1, 𝒗2, dan 𝒗3. Akibatnya,

vektor-vektor 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃ tidak merentang R3. Kebebasan Linear (Linear Independence)

Suatu himpunan tak kosong 𝑆 = {𝒔₁, 𝒔₂, … , 𝒔_𝑛} dikatakan bebas linear jika persamaan vektor

𝑘₁𝒔₁+ 𝑘₂𝒔₂ + ⋯ + 𝑘_𝑛𝒔_𝑛 = 𝟎 memiliki tepat satu solusi:

𝑘₁ = 0, 𝑘₂ = 0, …, 𝑘_𝑛 = 0.

Jika terdapat solusi lain, maka 𝑆 disebut tidak bebas linear atau bergantung linear. Contoh 2:

Jika 𝒔₁ = (2, −1,0,3), 𝒔₂ = (1,2,5, −1), dan 𝒔₃ = (7, −1,5,8), tentukanlah apakah himpunan 𝑆 = {𝒔₁, 𝒔₂, 𝒔₃} bebas linear atau bergantung linear!

Jawab:

Untuk menentukan apakah 𝑆 = {𝒔₁, 𝒔₂, 𝒔₃} bebas linear atau bergantung linear, buatlah dahulu persamaan vektor 𝑘₁𝒔₁+ 𝑘₂𝒔₂ + 𝑘₃𝒔₃ = 𝟎, yaitu:

𝑘1 2 −1 0 3 + 𝑘2 1 2 5 −1 + 𝑘3 7 −1 5 8 = 0 0 0 0

Persamaan vektor di atas terpenuhi saat 𝑘₁ = 0, 𝑘₂ = 0, dan 𝑘₃ = 0. Namun, dengan menggunakan operasi baris elementer, diperoleh solusi lain, misalnya: 𝑘₁ = 3, 𝑘₂ = 1, dan 𝑘3 = −1. Dengan kata lain, 3𝒔1+ 𝒔2− 𝒔3 = 𝟎. Hal ini berarti bahwa 𝑆 = {𝒔1, 𝒔2, 𝒔3}

bergantung linear.

TEOREMA 2

Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linear atau bergantung linear.

Basis

Definisi Basis

Misalkan 𝑉 adalah suatu ruang vektor dan 𝑆 = {𝒗1, 𝒗2, … , 𝒗𝑛} adalah suatu himpunan

vektor-vektor pada 𝑉. Himpunan 𝑆 disebut basis untuk 𝑉 jika dan hanya jika: a. 𝑆 bebas linear,

b. 𝑆 merentang 𝑉.

TEOREMA 3

Jika 𝑆 = {𝒗1, 𝒗2, … , 𝒗𝑛} adalah suatu basis dari ruang vektor 𝑉, maka setiap vektor 𝒘 pada 𝑉

dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒘 = 𝑘1𝒗1+ 𝑘2𝒗2+ ⋯ + 𝑘𝑛𝒗𝑛 dengan tepat satu cara.

Teorema 3 di atas menyatakan bahwa jika himpunan 𝑆 merupakan basis dari ruang vektor 𝑉, maka setiap vektor yang ada pada 𝑉 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear yang unik dari vektor-vektor yang ada pada 𝑆.

Contoh 3:

Misalkan 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} dengan 𝒗₁ = (1,2,1), 𝒗₂ = (2,9,0), dan 𝒗₃ = (3,3,4). Tunjukkan bahwa himpunan 𝑆 adalah basis untuk 3

R !

Jawab:

Untuk menunjukkan bahwa himpunan 𝑆 adalah basis untuk 3

R , maka perlu dibuktikan bahwa 𝑆 merentang 3

R dan 𝑆 bebas linear.

- Misalkan kita punya vektor sebarang 𝒃 = (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃) pada R3. Untuk menentukan apakah 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃ merentang R3, maka harus dibuktikan bahwa vektor sebarang 𝒃 ini merupakan suatu kombinasi linear dari 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃.

Agar 𝒃 dapat menjadi kombinasi linear dari 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃, maka harus terdapat skalar 𝑘₁, 𝑘₂, dan 𝑘₃ sehingga 𝒃 = 𝑘₁𝒗₁+ 𝑘₂𝒗₂ + 𝑘₃𝒗₃, yaitu:

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏3 = 𝑘1 1 2 1 + 𝑘2 2 9 0 + 𝑘3 3 3 4

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian, diperoleh: 𝑘₁+ 2𝑘₂+ 3𝑘₃ = 𝑏₁

2𝑘₁+ 9𝑘₂+ 3𝑘₃ = 𝑏₂ 𝑘1+ 4𝑘3 = 𝑏3

Permasalahannya sekarang adalah, apakah sistem persamaan linear di atas konsisten dan memiliki tepat satu solusi atau tidak untuk semua nilai 𝑏₁, 𝑏₂, dan 𝑏₃.

Jika sistem di atas dibentuk menjadi suatu persamaan dalam matriks, 𝐴𝒙 = 𝒃, maka: 1 2 3 2 9 3 1 0 4 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃

Berdasarkan Teorema 1 bagian (c), (d), dan (e), persamaan di atas konsisten dan memiliki tepat satu solusi bila det(𝐴) ≠ 0. Artinya, matriks

𝐴 = 1 2 32 9 3 1 0 4

memiliki determinan taknol. Dengan menghitung nilai determinannya, didapatlah bahwa det(𝐴) = – 1. Jadi, terdapat skalar 𝑘₁, 𝑘₂, dan 𝑘₃ sedemikian sehingga vektor-vektor di R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari 𝒗1, 𝒗2, dan 𝒗3. Akibatnya,

vektor-vektor 𝒗₁, 𝒗₂, dan 𝒗₃ merentang R3.

- Selanjutnya, untuk menentukan apakah 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} bebas linear, buatlah dahulu persamaan vektor 𝑘₁𝒗₁+ 𝑘₂𝒗₂+ 𝑘₃𝒗₃ = 𝟎, yaitu:

𝑘₁ 12 1 + 𝑘₂ 29 0 + 𝑘₃ 33 4 = 00 0

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian, diperoleh: 𝑘1+ 2𝑘2 + 3𝑘3 = 0

2𝑘1+ 9𝑘2 + 3𝑘3 = 0

𝑘1+ 4𝑘3 = 0

Permasalahannya sekarang adalah, apakah sistem persamaan linear homogen di atas hanya memiliki solusi trivial saja atau tidak.

Jika sistem di atas dibentuk menjadi suatu persamaan dalam matriks, 𝐴𝒙 = 𝟎, maka: 1 2 3 2 9 3 1 0 4 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ = 0 0 0

Berdasarkan Teorema 1 bagian (b) dan (e), persamaan di atas hanya memiliki solusi trivial bila det(𝐴) ≠ 0. Artinya, matriks

𝐴 = 1 2 32 9 3 1 0 4

memiliki determinan taknol. Dengan menghitung nilai determinannya, didapatlah bahwa det(𝐴) = – 1. Jadi, sistem persamaan linear homogen di atas hanya memiliki solusi trivial, yaitu 𝑘₁ = 0, 𝑘₂ = 0, dan 𝑘₃ = 0. Hal ini berarti bahwa 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} bebas linear.

Dengan demikian, himpunan 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} dengan 𝒗₁ = (1,2,1), 𝒗₂ = (2,9,0), dan 𝒗3 = (3,3,4) adalah basis untuk R3.

Vektor Koordinat terhadap Basis Definisi Vektor Koordinat

Jika 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, … , 𝒗_𝑛} adalah suatu basis untuk ruang vektor 𝑉, dan 𝒂 = 𝑘1𝒗1 + 𝑘2𝒗2+ ⋯ + 𝑘𝑛𝒗𝑛 ; 𝒂 ∈ 𝑉

maka skalar-skalar 𝑘₁, 𝑘₂, ..., 𝑘_𝑛 disebut sebagai koordinat dari vektor 𝒂 relatif terhadap basis 𝑆. Dan, vektor (𝑘1, 𝑘2, ..., 𝑘𝑛) pada Rn yang dibentuk dari koordinat-koordinat vektor 𝒂

Contoh 4:

Misalkan 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} dengan 𝒗₁ = (1,2,1), 𝒗₂ = (2,9,0), dan 𝒗₃ = (3,3,4) adalah suatu basis untuk R3. Tentukan vektor koordinat dari 𝒂 = (5, −1,9) dalam 𝑆!

Jawab:

Untuk menentukan vektor koordinat dari 𝒂 = (5, −1,9), terlebih dahulu buat persamaan: 𝒂 = 𝑘1𝒗1+ 𝑘2𝒗2+ 𝑘3𝒗3 5 −1 9 = 𝑘₁ 12 1 + 𝑘₂ 29 0 + 𝑘₃ 33 4

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian, diperoleh: 𝑘₁+ 2𝑘₂ + 3𝑘₃ = 5

2𝑘₁+ 9𝑘₂+ 3𝑘₃ = −1 𝑘₁+ 4𝑘₃ = 9

Kemudian, dengan menggunakan operasi baris elementer, diperoleh solusi 𝑘1 = 1, 𝑘2 = −1,

dan 𝑘3 = 2.

Jadi, vektor koordinatnya adalah 𝒂 𝑆 = 1, −1,2 .

Dimensi

Definisi Dimensi

Dimensi dari ruang vektor 𝑉 yang berdimensi terhingga, dinotasikan dim(𝑉), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untuk 𝑉.

Selain itu, ruang vektor nol didefinisikan sebagai ruang vektor yang berdimensi nol. Sebagai contoh, dim(Rn) = n dan dim(M_{m n}) = m n .

RUANG BARIS,RUANG KOLOM, DAN RUANG NUL

Untuk suatu matriks m n ,

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                      vektor-vektor 𝒓 ₁ =



a11 a12 ... a1n



𝒓 ₂ =



a₂₁ a₂₂ ... a_2n



: 𝒓 _𝑚 =



a_m1 a_m2 ... a_mn



pada n

R yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor baris dari A, dan vektor-vektor

𝒄₁ = 11 21 1 m a a a              , 𝒄2 = 12 22 2 m a a a              , . . ., 𝒄𝑛 = 1 2 n n mn a a a             

pada Rn yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor kolom dari A.

Misalkan A adalah suatu matriks 𝑚 × 𝑛.

Ruang baris dari A adalah subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A; dinotasikan row(A).

Ruang kolom dari A adalah subruang dari m

R yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A; dinotasikan col(A).

Ruang nul dari A adalah ruang solusi dari sistem persamaan linear homogen A𝒙 = 0 yang merupakan subruang dari Rn; dinotasikan null(A).

Contoh 5:

Diketahui matriks A sebagai berikut

2 0 1 1 1 3 A  _



 

Tentukanlah: a. vektor-vektor baris dan vektor-vektor kolom dari matriks A! b. ruang baris dan ruang kolom dari matriks A!

c. ruang nul dari matriks A!

Jawab:

a. Vektor-vektor baris dari matriks A adalah: 𝒓 1 =



2 0 1



𝒓 2 =



1 1 3



Vektor-vektor kolom dari matriks A adalah: 𝒄1 = 2 1    _  , 𝒄2 = 0 1      , 𝒄3 = 1 3      

b. Ruang baris dari matriks A adalah:

 



1





2





1 2



row A  k 2 0 1 k 1 1 3 k k, R Ruang kolom dari matriks A adalah:

 

1 2 3 1 2 3 2 0 1 col , , 1 1 3 A _k  _{ }k _{ } k _{ }  k k k R_           

c. Untuk mencari ruang nul dari matriks A, bentuklah persamaan matriks A𝒙 = 0, sehingga 1 2 3 2 0 1 0 1 1 3 0 x x x    _ _  _        _{ }    

Maka, didapatlah sistem persamaan linear homogen sebagai berikut: 1 3 1 2 3 2 0 3 0 x x x x x      

Dengan menggunakan OBE, diperoleh:

1 3 2 3 1 2 7 2 x x x x    

Lalu, dengan memisalkan x₃ k, maka: 1 2 3 1 1 2 2 7 7 2 2 1 k x x k k x _k               _{ } _{  }                   

Jadi, ruang nul dari matriks A adalah:

 

1 2 7 null 2 1 A k k R      _{ }   _{ }  _    _    _{ }   _{ }   

RANK DAN NULITAS

Rank dari matriks A, rank(A), adalah dimensi ruang baris/kolom dari matriks A. Nulitas dari matriks A, nulitas(A), adalah dimensi ruang nul dari matriks A.

Dalam menentukan rank dari matriks A, sederetan langkah dalam operasi baris elementer dilakukan terhadap matriks A hingga menghasilkan matriks R yang merupakan bentuk eselon baris. Setelah diperoleh matriks R tersebut, rank(A) akan sama dengan banyaknya baris taknol dalam matriks R tersebut. Sementara, nulitas dari matriks A dapat dicari dengan teorema berikut.

TEOREMA 4

Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka:

rank(A) + nulitas(A) = n

Contoh 6:

Diketahui matriks A sebagai berikut

2 2 1 0 1 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 A    _{  }            

Jawab:

Dengan menggunakan operasi baris elementer, 1 1 2 2 2 1 0 1 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 b    _{  }            → 1 1 2 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 2 3 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 b b b b    _{  }  _            → 1 1 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 1 1 b     _            → 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 b b b b     _           _   → 1 1 2 2 1 3 3 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 b     _            → 1 1 2 2 4 3 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 3 0 0 0 3 0 b b     _        _   → 1 1 2 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 R     _   _{ }      

Banyaknya baris taknol pada matriks R adalah 3. Maka, rank(A) = 3

Matriks A mempunyai 5 kolom, sehingga dengan menggunakan Teorema 4, didapatlah nulitas(A) = 2

Teorema berikut menunjukkan hubungan rank dari suatu matriks terhadap transposnya.

TEOREMA 5

Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka rank( )A rank(AT).

Sebagai tambahan, Teorema 1 dapat diperluas lagi menjadi teorema berikut.

TEOREMA 6

Diketahui 𝐴 adalah matriks persegi berukuran 𝑛 × 𝑛. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

a. 𝐴 adalah suatu matriks nonsingular (dapat dibalik). b. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝟎 hanya memiliki solusi trivial.

c. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 dikatakan konsisten untuk setiap matriks 𝒃 berukuran 𝑛 × 1. d. Persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks 𝒃 berukuran 𝑛 × 1. e. det(𝐴) ≠ 0.

f. rank(𝐴) = n. g. nulitas(𝐴) = 0.

LATIHAN SOAL

1. Manakah dari himpunan vektor berikut yang merupakan basis untuk R2.

a. 𝒗₁ = (1,2), 𝒗₂ = (0,3) c. 𝒗₁ = (4,1), 𝒗₂ = (−5, −7) b. 𝒗₁ = (−8,2), 𝒗₂ = (0,0) d. 𝒗₁ = (9,3), 𝒗₂ = (−12, −4)

2. Diberikan 𝒗₁ = (1,2,3), 𝒗₂ = (−4,5,6), dan 𝒗₃ = (7, −8,9).

a. Tunjukkan bahwa himpunan 𝑆 = {𝒗₁, 𝒗₂, 𝒗₃} adalah suatu basis untuk 3 R ! b. Tentukan vektor koordinat dari 𝒂 = (5, −12,3) dalam 𝑆.

3. Diketahui matriks A sebagai berikut

3 1 1 0 2 0 5 2 1 2 0 4 A      _{ }      Tentukanlah:

a. vektor-vektor baris dan vektor-vektor kolom dari matriks A! b. ruang baris dan ruang kolom dari matriks A!

c. ruang nul dari matriks A!

4. Diketahui matriks A sebagai berikut

1 2 0 4 5 3 3 7 2 0 1 4 2 5 2 4 6 1 4 9 2 4 4 7 A      _         _{  }   

a. Carilah rank(A) dan nulitas(A)! b. Carilah rank(AT) dan nulitas(AT)!