MINGGU KE-9
Materi: 1. Hasil Kali Dalam2. Sudut dan Ortogonalitas dalam Ruang Hasil Kali Dalam 3. Matriks Ortogonal
___________________________________________________________________________
HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT)
Sebelumnya, istilah hasil kali dalam Euclidean dari dua buah vektor pada ruang n
R telah diperkenalkan dengan notasi 𝒗𝒘. Pada pertemuan ini, hasil kali dalam akan dipelajari lebih lanjut dan dinotasikan 𝒗, 𝒘 . Dengan notasi ini, sifat-sifat fundamental dari hasil kali dalam Euclidean yang telah dipelajari, secara tepat merupakan aksioma-aksioma dalam definisi berikut.
Definisi Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam (inner product) pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang mengasosiasikan suatu bilangan real 𝒗, 𝒘 dengan sepasang vektor 𝒗 dan 𝒘 di dalam V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor 𝒖, 𝒗, dan 𝒘 di dalam V dan semua bilangan skalar 𝑘.
1) 𝒗, 𝒘 = 𝒘, 𝒗 (Aksioma kesimetrian) 2) 𝒖 + 𝒗, 𝒘 = 𝒖, 𝒘 + 𝒗, 𝒘 (Aksioma penjumlahan) 3) 𝑘𝒗, 𝒘 = 𝑘 𝒗, 𝒘 (Aksioma homogenitas) 4) 𝒗, 𝒗 ≥ 0 dan 𝒗, 𝒗 = 0 (Aksioma positivitas)
jika dan hanya jika 𝒗 = 𝟎
Suatu ruang vektor real yang memiliki suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real.
Karena keempat aksioma hasil kali dalam di atas didasarkan pada sifat-sifat hasil kali dalam Euclidean, maka hasil kali dalam Euclidean secara otomatis memenuhi keempat aksioma di atas.
Selanjutnya, definisi norma dan jarak akan diberikan.
Norma (Panjang)
Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka norma atau panjang suatu vektor 𝒗 di dalam V, dinotasikan || 𝒗 ||, dan didefinisikan sebagai:
|| 𝒗|| = 𝒗, 𝒗 1/2 Jarak
Jarak antara dua titik (vektor) 𝒗 dan 𝒘, dinotasikan d(𝒗,𝒘), didefinisikan sebagai: d(𝒗,𝒘) = || 𝒗 – 𝒘 ||
Teorema berikut ini mencantumkan sejumlah sifat aljabar dasar mengenai hasil kali dalam.
TEOREMA 1 Sifat-Sifat Hasil Kali Dalam
Jika 𝒖, 𝒗, dan 𝒘 adalah vektor-vektor di dalam suatu hasil kali dalam real, dan k adalah suatu skalar sebarang, maka:
a) 𝒗, 𝟎 = 𝟎, 𝒗 = 0 b) 𝒖, 𝒗 + 𝒘 = 𝒖, 𝒗 + 𝒖, 𝒘 c) 𝒗, 𝑘𝒘 = 𝑘 𝒗, 𝒘 d) 𝒖 − 𝒗, 𝒘 = 𝒖, 𝒘 – 𝒗, 𝒘 e) 𝒖, 𝒗 − 𝒘 = 𝒖, 𝒗 – 𝒖, 𝒘 Contoh 1:
Diberikan 𝒗 = (3, −2) dan 𝒘 = (4,5). Tentukan: a. hasil kali dalam Euclidean 𝒗, 𝒘 , || 𝒗||, dan d(𝒗,𝒘)!
b. hasil kali dalam berbobot 𝒗, 𝒘 = 4𝑣1𝑤1+ 5𝑣2𝑤2, || 𝒗||, dan d(𝒗,𝒘)! Jawab: a. 𝒗, 𝒘 = 3 ∙ 4 + −2 ∙ 5 = 2 || 𝒗|| = 𝒗, 𝒗 1/2 = 3 3 + −2 (−2) = 13 d(𝒗,𝒘) = || 𝒗 – 𝒘 || = ||(−1, −7)|| = −1 −1 + −7 (−7) = 50 = 5 2 b. 𝒗, 𝒘 = 4𝑣1𝑤1+ 5𝑣2𝑤2 = 4 3 4 + 5 −2 5 = −2 || 𝒗|| = 𝒗, 𝒗 1/2 = 4 3 3 + 5 −2 (−2) = 56 = 2 14 d(𝒗,𝒘) = || 𝒗 – 𝒘 || = ||(−1, −7)|| = 4 −1 −1 + 5 −7 (−7) = 249
Hasil Kali Dalam yang Dihasilkan Suatu Matriks
Misalkan 𝒗 = 1 2 n v v v dan 𝒘 = 1 2 n w w w
adalah vektor-vektor pada Rn, dan jika A adalah suatu matriks nonsingular n n , maka hasil kali dalam yang dihasilkan oleh matriks A didefinisikan sebagai berikut.
𝒗, 𝒘 = 𝒘 𝑇 T
A A𝒗 Contoh 2:
Tentukan hasil kali dalam 𝒗, 𝒘 pada R2 yang dihasilkan oleh 2 1 1 3 A
!
Gunakan hasil kali dalam tersebut untuk menghitung 𝒗, 𝒘 jika 𝒗 = (0, −3) dan 𝒘 = (6,2)! Jawab: Misalkan 𝒗 = 1 2 1 2 ( ,v v ) v v dan 𝒘 = 1 1 2 2 (w w, ) w w .
𝒗, 𝒘 = 𝒘 𝑇A AT 𝒗 =
1 2
1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 v w w v =
1 2
1 2 5 1 1 10 v w w v =
1 2 1 2
1 2 5w w w 10w v v = 5v w1 1v w1 2v w2 110v w2 2Lalu, jika 𝒗 = (0, −3) dan 𝒘 = (6,2), maka
𝒗, 𝒘 = 5v w1 1v w1 2v w2 110v w2 2 = 5(0)(6) (0)(2) ( 3)(6) 10( 3)(2) = – 42
Hasil Kali Dalam pada Matriks Berordo 𝟐 × 𝟐 Misalkan 𝒗 = 1 2 3 4 v v v v dan 𝒘 = 1 2 3 4 w w w w
adalah vektor-vektor pada M22 (M22 adalah matriks berordo 2 2 ). Hasil kali dalam pada
M22 didefinisikan sebagai berikut.
𝒗, 𝒘 = v w1 1v w2 2v w3 3v w4 4
Contoh 3:
Tentukan hasil kali dalam 𝒗, 𝒘 pada M22 jika diketahui 𝒗 = 1 2 3 4 dan 𝒘 = 1 3 0 2 Jawab: 𝒗, 𝒘 = v w1 1v w2 2v w3 3v w4 4 =
1 1 2 3 3 0 4 2 = 1 6 0 8 = 13SUDUT DAN ORTOGONALITAS
Ingat kembali bahwa jika 𝜃 adalah sudut antara vektor-vektor taknol 𝒗 dan 𝒘 pada R2 atau R3, maka:
𝒗𝒘 = || 𝒗|| || 𝒘|| cos 𝜃 Atau,
cos 𝜃 = 𝒗𝒘 𝒗 𝒘
Selanjutnya, dengan menganggap bahwa hasil kali dalam Euclidean (𝒗𝒘) di atas dapat digeneralisasi menjadi hasil kali dalam umum, maka rumus di atas dapat diperluas menjadi:
cos 𝜃 = 𝒗, 𝒘 𝒗 𝒘
Ingat kembali bahwa −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1, atau cos 𝜃 ≤ 1. Maka, 𝒗, 𝒘
𝒗 𝒘 ≤ 1
haruslah terpenuhi supaya rumus di atas bisa digunakan secara umum. Satu hal yang bisa menjaminnya adalah Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz berikut.
TEOREMA 2 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz
Jika 𝒗 dan 𝒘 adalah vektor-vektor di dalam suatu ruang hasil kali dalam real, maka: 𝒗, 𝒘 ≤ 𝒗 𝒘
Contoh 4:
Misalkan R4 memiliki hasil kali dalam Euclidean. Tentukan cosinus dari sudut 𝜃 antara vektor-vektor 𝒗 = (4,3,1, −2) dan 𝒘 = (−2,1,2,3)! Jawab: || 𝒗|| = 𝒗, 𝒗 1/2 = 4 4 + 3 3 + 1 1 + −2 (−2) = 30 || 𝒘|| = 𝒘, 𝒘 1/2 = −2 −2 + 1 1 + 2 2 + 3 (3) = 18 𝒗, 𝒘 = 4 ∙ −2 + 3 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + (−2) ∙ 3 = −9 Jadi, cos 𝜃 = 𝒗, 𝒘 𝒗 𝒘 = −9 30 18 = − 3 2 15 Selanjutnya, pengertian tentang ortogonalitas akan diberikan.
Definisi Ortogonalitas
Dua vektor 𝒗 dan 𝒘 di dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut ortogonal jika 𝒗, 𝒘 = 0. Sebagai contoh, jika 𝒗 dan 𝒘 adalah vektor-vektor pada M22 dengan
𝒗 = 1 0 1 1 dan 𝒘 = 0 2 0 0
maka 𝒗 dan 𝒘 adalah ortogonal karena
𝒗, 𝒘 = (1)(0) (0)(2) (1)(0) (1)(0) 0
TEOREMA 3 Generalisasi Teorema Pythagoras
Jika v dan w adalah vektor-vektor ortogonal di dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka: || v + w || 2 = || v || 2 + || w || 2
MATRIKS ORTOGONAL
Definisi Matriks Ortogonal
Suatu matriks persegi A disebut matriks ortogonal jika memenuhi:
1 T
A A
Berdasarkan definisi di atas, diketahui bahwa suatu matriks persegi A ortogonal jika dan hanya jika AAT A AT I.
Sebagai contoh, matriks 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 A
adalah matriks ortogonal, karena
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 0 0 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T AA I .
Berikut ini adalah teorema terkait matriks ortogonal.
TEOREMA 4
a) Transpos dari suatu matriks ortogonal juga merupakan suatu matriks ortogonal. b) Invers dari suatu matriks ortogonal juga merupakan suatu matriks ortogonal.
c) Hasil kali dari matriks-matriks yang ortogonal juga merupakan suatu matriks ortogonal.
TEOREMA 5
Jika A adalah suatu matriks ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = –1.
Teorema 5 mengatakan bahwa, bila A sudah diketahui merupakan suatu matriks ortogonal, maka determinannya pasti 1 atau –1. Dengan kata lain, semua matriks diagonal pasti memiliki determinan 1 atau –1.
Namun, hal yang perlu diperhatikan dari Teorema 5 adalah, matriks yang memiliki determinan 1 atau –1 itu belum tentu merupakan matriks ortogonal. Perhatikan contoh berikut.
Diketahui matriks 4 5 3 4 A
. Jelas bahwa det( )A (4 4) (5 3) 1. Namun,
1 1 4 5 1 4 5 4 5 3 4 3 4 3 4 det( ) 1 T A A A Jadi, matriks 4 5 3 4 A
LATIHAN SOAL
1. Tentukan hasil kali dalam 𝒗, 𝒘 pada 2
R yang dihasilkan oleh 3 0 0 2 A
, dan
gunakanlah hasilnya untuk menghitung 𝒗, 𝒘 jika 𝒗 = (−3,2) dan 𝒘 = (1,7)!
2. Tentukanlah 𝒗, 𝒘 dan d(𝒗,𝒘) jika diketahui: a. 𝒗 = 2 6 9 4 , 𝒘 = 4 7 1 6 b. 𝒗 = 2 4 1 0 , 𝒘 = 5 1 6 2
3. Misalkan R2, R3, dan R4 memiliki hasil kali dalam Euclidean. Tentukan nilai cosinus dari sudut di antara 𝒂 dan 𝒃 jika diberikan:
a. 𝒂 = (1, −3), 𝒃 = (2,4) b. 𝒂 = (−1,5,2), 𝒃 = (2,4, −9) c. 𝒂 = (1,0,1,0), 𝒃 = (−3, −3, −3, −3) 4. a. cos sin sin cos A b. 3 2 6 7 7 7 6 3 2 7 7 7 6 3 2 7 7 7 A
(i) Tunjukkan apakah matriks A merupakan matriks ortogonal! (ii) Hitunglah det(A)!
