Panjang Dan Sudut Di Ruang Hasil Kali Dalam

1 PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM

A. Panjang dan Jarak di Ruang Hasil Kali Dalam

Dalam materi ini akan mengembangkan pemahaman mengenai panjang, jarak, dan sudut di ruang hasil kali dalam yang umum.

Di ℝ2 _{panjang vektor u = (u1, u2) diberikan oleh} ‖ ‖ = +

yang dapat ditulis dalam ruas-ruas hasil kali dalam titik sebagai ‖ ‖ = √ . = ( . )

Dengan cara yang sama, jika = ( , , ) adalah vektor di ℝ3_{, maka:} ‖ ‖ = + + = √ . = ( . )

Dari hasil diatas, kita dapat membuat definisi berikut.

Di ℝ2_{, jarak antara dua titik u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) diberikan oleh}

Dengan cara yang sama, di ℝ3 _{jarak antara dua titik u = (u1, u2, u3) dan v =} (v1, v2, v3) diberikan oleh

Dari hasil ini, kita dapat buat definisi berikut:

( , ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) = ‖ − ‖ ( , ) = ( − ) + ( − ) = ‖ − ‖

‖ ‖ = 〈 , 〉 ⁄ DEFINISI

Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang) vektor u dinyatakan oleh ‖ ‖dan didefinisikan oleh

2 CONTOH 1 Jika = ( , , , … , ) dan = ( , , , … , ) adalah vektor pada ℝ dengan hasil kali dalam Euclidis, maka

‖ ‖ = 〈 , 〉 / _{= + + + ⋯ +} dan

( , ) = ‖ − ‖ = 〈 − , − 〉 ⁄

= ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − )

Amatilah bahwa persamaan ini tak lain dari rumus baku untuk norma Euclidis.

Norma dan jarak bergantung pada hasil kali dalam yang digunakan. Jika hasil kali dalamnya kita ubah, maka norma dan jarak antara vektor juga akan berubah.

CONTOH 2 Tentukan norma dan jarak dari vektor u = (2,4) dan v = (0,3) dengan hasil kali dalam berikut :

a. Hasil kali dalam Euclidis

b. Hasil kali dalam Euclidis yang diboboti 〈 , 〉 = 3 + 2 .

Solusi : a. ‖ ‖ = (2) + (4) = √20 = 2√5 ‖ ‖ = (0) + (3) = √9 = 3 ( , ) = ‖ − ‖ = ‖(2 , 1)‖ = (2) + (1) = √5 b. ‖ ‖ = 〈 , 〉 = [3(2)(2) + 2(4)(4)] = √12 + 32 = √44 = 2√11 ‖ ‖ = 〈 , 〉 = [3(0)(0) + 2(3)(3)] = √0 + 18 = √18 = 3√2 DEFINISI

Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinikan oleh

3 ( , ) = ‖ − ‖ = ‖(2 , 1)‖ = 〈(2,1) , (2,1)〉

= [3(2)(2) + 2(1)(1)] = √14

Terlihat dari contoh 2 diatas bahwa norma dan jarak antara dua vektor dapat berubah dan bergantung dari hasil kali dalam yang digunakan.

CONTOH 3 Diketahui = 1 2 3 3 , = −1 7 6 2 , = 6 3 2 1 carilah: a. ‖ ‖ b. ‖ ‖ c. ( , ) d. ( , ) Solusi: a. ‖ ‖ = 〈 , 〉 = √1 + 2 + 3 + 3 = √1 + 4 + 9 + 9 = √23 b. ‖ ‖ = 〈 , 〉 / _{= √−1 + 7 + 6 + 2} = √1 + 49 + 36 + 4 = √90 = 3√10 c. ( , ) = ‖ − ‖ = 〈 − , − 〉 ⁄ = (1 − 6) + (2 − 3) + (3 − 2) + (3 − 1) = (−5) + (−1) + 1 + 2 = √25 + 1 + 1 + 4 = √31

4 d. ( , ) = ‖ − ‖ = 〈 − , − 〉 ⁄ = (6 + 1) + (3 − 7) + (2 − 6) + (1 − 2) = 7 + (−4) + (−4) + (−1) = √49 + 16 + 16 + 1 = √82

CONTOH 4 Carilah hasil kali dalam yang dibentuk oleh matriks

= 1 2

−1 3 untuk mencari ‖ ‖, dimana u =(-2,2). Solusi : 〈 , 〉 = . = . . .  [−2 2] 1 −1 2 3 1 2 −1 3 −2 2  [−2 2] 2 −1 1 13 −2 2  [−2 2] −5 40  10 + 80 = 90 Sehingga untuk ‖ ‖ = 〈 , 〉 = √90 = 3√10 .

A.1 Ketaksamaan Cauchy – Schwarz

Jika u dan v adalah vektor taknol di ℝ , maka ∙ = ‖ ‖ ‖ ‖ cos , di mana adalah sudut diantara u dan v. Jika kita kuadratkan baik ruas-ruas dari ketaksamaan ini maupun penggunaan hubungan-hubungan ‖ ‖ = ∙ , ‖ ‖ = ∙ , dan cos ≤ 1, kita peroleh ketaksamaan

( ∙ ) ≤ ( ∙ )( ∙ )

Teorema berikut menunjukkan bahwa ketaksamaan ini dapat dibentuk terhadap sebarang ruang hasil kali dalam. Dengan menghasilkan ketaksamaan yang kita namakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, akan

5 memungkinkan kita untuk mendefinisikan sudut-sudut pada ruang hasil kali dalam yang lebih umum.

Bukti Teorema 1:

Jika u = 0, maka 〈 , 〉 = 〈 , 〉 = 0, sehingga kesamaan sebelumnya akan terpenuhi. Kini anggap bahwa u ≠ 0. Misalkan = 〈 , 〉 , = 2〈 , 〉,

= 〈 , 〉, dan misalkan t sebarang bilangan riil. Dengan menggunakan aksioma kepositifan, hasil kali dalam sebarang vektor itu sendiri akan selalu tak negatif. Sehingga,

0 ≤ 〈( + ), ( + )〉 = 〈 , 〉 + 2〈 , 〉 + 〈 , 〉

= + +

Ketaksamaan ini menyatakan bahwa polinom kuadrat + + tidak akan mempunyai baik akar riil maupun akar riil iterasi. Sehingga demikian diskriminannya harus memenuhi b2 _{+ 4ac ≤ 0. Dengan menggunakan} koefisien a, b, dan c pada ruas u dan v memberikan

4 < , > − 4 < , > < , > ≤ 0 atau secara ekivalen,

< , > ≤< , > < , >.

Untuk ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat ditulis dalam dua bentuk alternatif yang berguna. Karena ‖ ‖ = < , > dan ‖ ‖ = < , >, maka

〈 , 〉 ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ atau |〈 , 〉| ≤ ‖ ‖‖ ‖.

Jika = ( , , … … , ) dan = ( , , … … , ) adalah sebarang dua vektor pada ℝn _{dengan hasil kali dalam Euclidis, maka ketaksamaan}

Cauchy-Schwarz yang diterapkan terhadap u dan v akan menghasilkan

| + + … + | ≤ ( + + ⋯ + ) ( + + ⋯ + ) (Ketaksamaan Cauchy).

〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 TEOREMA 1 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

6 CONTOH 5 Buktikan bahwa ketaksamaan Cauchy – Schwarz pada masing-masing bagian berikut memenuhi vektor yang diberikan dengan menggunakan hasil kali dalam Euclidis.

a. u = (2, 1), v = (1,-3) b. u = (3, -1, 2), v = (0, 1, -3) c. u = (1, 1, -1, -1), v = (1, 2, -2, 0) Solusi:

Dengan menggunakan rumus ketaksamaan Cauchy – Schwarz yaitu 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 maka:

a. u = (2, 1), v = (1,-3)

〈 , 〉 = (2.1 + 1. (−3)) = 1

〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (2 + 1 )(1 + (−3) ) = 50

Sehingga 1 ≤ 50 , dengan demikian 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 ∎

b. u = (3,-1,2), v = (0,1,-3)

〈 , 〉 = (3(0) + −1(1) + 2(−3)) = 49

〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (3 + (−1) + 2 )(0 + 1 + (−3) ) = 140

Sehingga 49 ≤ 140 , dengan demikian 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 ∎

c. u = (1, 1, -1, -1), v = (1, 2, -2, 0)

〈 , 〉 = (1.1 + 1.2 + (−1). (−2) + (−1). 0) = 25

〈 , 〉 . 〈 , 〉 = (1 + 1 + (−1) + (−1) )(1 + 2 + (−2) + (0) ) = 36

7 CONTOH 6 Buktikan bahwa ketaksamaan Cauchy-Schwarz pada masing-masing bagian berikut memenuhi vektor-vektor yang diberikan:

a. = −1 2 6 1 dan = 1 0 3 3 b. p = -1 + 2x + x2 _{dan q = 2 – 4x}2 Solusi: a. = −1 2 6 1 dan = 1 0 3 3 〈 , 〉 = ((−1).1 + 2.0 + 6.3 + 1.3) = 20 = 400 〈 , 〉 . 〈 , 〉 = ((−1) + (2) + 6 + 1 )(1 + 0 + 3 + 3 ) = 42 .19 = 798

Sehingga 400 ≤ 798 , dengan demikian 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 ∎

b. p = -1 + 2x + x2 _{dan q = 2 – 4x}2

〈 , 〉 = ((−1). 2 + 2.0 + 1. (−4)) = (−6) = 36

〈 , 〉 . 〈 , 〉 = ((−1) + 2 + 1 )(2 + 0 + (−4) ) = 6 .20 = 120 Sehingga 36 ≤ 120 , dengan demikian 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉 ∎

Tabel 1. Sifat-sifat dari panjang dan jarak Euclidis di ℝ dan ℝ

Sifat – sifat dasar panjang Sifat-sifat dasar jarak L1. ‖ ‖ ≥ 0

L2. ‖ ‖ = 0 jika dan hanya jika u = 0 L3. ‖ ‖ = | | ‖ ‖

L4. ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ (ketaksamaan segitiga)

D1. d (u, v) ≥ 0

D2. d (u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v D3. d (u, v) = d (v, u)

D4. d (u, v) ≤ d (u,w) + d (w,v)

(ketaksamaan segitiga)

8  L1: Perhatikan bahwa ‖ ‖ sebelumnya telah didefinisikan sebagai ‖ ‖ = 〈 , 〉 dengan demikian nilai dari ‖ ‖ = 〈 , 〉 yang akan selalu bernilai positif maka terbukti untuk sifat L1. Bahwa ‖ ‖ ≥ 0  D1: d(u,v) merupakan suatu jarak yang didefinisikan sebagai

‖ − ‖ , untuk ‖ − ‖ akan selalu bernilai positip (sesuai dengan penjelasan di bukti L1 ) maka terbukti untuk sifat D1. Yaitu d(u,v) ≥ 0

 L2: ‖ ‖ = 0 , maka 〈 , 〉 = 0, ambil u = (u1,u2,u3) maka + + = 0 , suatu bilangan kuadrat selalu bernilai positip, jadi satu-satunya kemungkinan yang ada adalah nilai u1,u2,u3 adalah 0. Sehingga haruslah u = 0 (kanan). Jika u = 0, maka semua komponen-komponen dalam vektor u adalah nol. Maka sangat jelas terbukti bahwa ‖ ‖ = 0 (kiri). Dengan demikian sifat L2. Terbukti.  D2: d(u,v) = 0 ↔ ‖ − ‖ = 0, nilai u – v haruslah sama dengan nol

agar ‖ − ‖ = 0, maka haruslah u = v (kanan). = , maka setiap komponen pada vektor u yang berpadanan dengan vektor v memiliki komponen yang sama yang akan menyebabkan u – v = 0, dan berakibat pada ‖ − ‖ = 0 yang ekivalen dengan d(u,v) = 0 (kiri). Jadi untuk sifat D2. Terbukti.

 L3: Andaikan u = (u1,u2,u3) dan k sebarang skalar, maka ‖ ‖ = . ( , , ₎ = ( , , ₎ =

( ) + ( ) + ( ) = + + =

( + + ) = √ + + = | |. ‖ ‖ . maka untuk L3. Terbukti.

 D3: Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di ℝ3_{, dan u – v = a, maka} ( , ) = ‖ − ‖ = ‖ ‖ = 〈 , 〉 = + + =

(− ) + (− ) + (− ) = 〈− , − 〉 = ‖− ‖ = ‖ − ‖ = ( , ). Maka D3.Terbukti.

 D4: Berdasarkan definisi, ( , ) = ‖ − ‖ = ‖ − + − ‖ = ‖( − ) + ( − )‖ ≤

9

‖ − ‖ + ‖ − ‖ ( ) = ( , ) +

( , ). Maka , ( , ) ≤ ( , ) + ( , ). (D4. Terbukti)

 L4: Menurut definisi maka, ‖ + ‖ = 〈 + , + 〉 = 〈 , 〉 + 2〈 , 〉 + 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 + |2〈 , 〉| + 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 + 2 ‖ ‖‖ ‖ + 〈 , 〉 = ‖ ‖ + 2 ‖ ‖‖ ‖ + ‖ ‖ = (‖ ‖ + ‖ ‖) . Dengan

mengambil akar-akar kuadratnya maka akan memberikan ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖. L4 Terbukti.

B. Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat digunakan untuk mendefinisikan sudut-sudut pada ruang hasil kali dalam yang lebih umum. Asumsikan bahwa u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam ruang hasil kali dalam V.

Dari Teorema 1 diatas, maka dapat dijabarkan: 〈 , 〉 ≤ 〈 , 〉 . 〈 , 〉

≤ ‖ ‖ ‖ ‖

Karena u dan v merupakan vektor-vektor tak nol maka pertaksamaan diatas dapat menjadi

〈 , 〉 ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ 〈 , 〉 ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ 1 〈 , 〉 ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ 1 Ekivalen dengan -1 ≤ _{‖ ‖ ‖ ‖}〈 , 〉 ≤ 1 TEOREMA 2

Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma ‖ ‖ = 〈 , 〉 dan jarak

10 Jika merupakan sudut yang mengukur radian dari 0 hingga , maka cos mengasumsikan setiap nilai antara -1 dan 1

Grafik Cosinus

Gambar 1. Grafik y = cos x

Jadi kita mendapatkan sudut yang unik, sehingga diperoleh: cos = 〈 , 〉

‖ ‖ ‖ ‖ dengan adalah 0 ≤ ≤

Kita mendefinisikan sebagai sudut diantara vektor u dan vektor v.

CONTOH 7 Carilah cosinus sudut di antara vektor-vektor = (4, −1, 3, 1) dan = (3, 5, −1, 2) yang ruang vektornya adalah dengan hasil kali dalam Euclidis. Solusi: ‖ ‖ = 〈 , 〉 / = (16 + 1 + 9 + 1) / = √27 = 3√3 ‖ ‖ = 〈 , 〉 / = (9 + 25 + 1 + 4) = √39 = 3√13 〈 , 〉 = (4 × 3) + (−1 × 5) + (3 × −1) + (1 × 2) = 12 − 5 − 3 + 2 = 7

11 cos = 〈 , 〉 ‖ ‖‖ ‖ = 7 3√3 × 3√13 = 7 9√39

CONTOH 8 Tunjukan bahwa sudut-sudut diantara matriks U dan V adalah U = 1 0 1 1 V = 0 2 0 0 Solusi: cos = . ‖ ‖ ‖ ‖ = ( ) ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ = 0 Jadi = .

Dari hal di atas, hanya dengan menunjukan bahwa 〈 , 〉 = 0 , maka sudut diantara vektor u dan vektor v adalah .

Dua vektor dapat orthogonal terhadap satu hasil kali dalam tetapi tidak orthogonal terhadap hasil kali dalam yang lainnya.

CONTOH 9 Apakah vektor u = (-1, 5, 2) dan v = (2,4,-9) orthogonal terhadap hasil kali dalam Euclidis dan hasil kali dalam Euclidis yang diboboti

<u,v > = 3u1v1 + 2u2v2 + u3v3 ?

Solusi: DEFINISI

Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan orthogonal jika <u,v > = 0. Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u orthogonal terhadap W.

12 Terhadap hasil kali dalam Euclidis, maka diperoleh <u,v > = (-2 + 20 -18) = 0. Karena <u,v > = 0 maka menurut definisi vektor u dan vektor v orthogonal terhadap hasil kali dalam Euclidis. Untuk hasil kali dalam Euclidis

yang diboboti, maka diperoleh

<u,v > = (3(-2)+2(20)+1(-18))= 16 ≠ 0

Menurut Definisi karena <u,v > ≠ 0 , maka vektor u dan v tidak orthogonal terhadap hasil kali dalam Euclidis yang diboboti.

Bukti Teorema 3:

‖ + ‖ = 〈( + ), ( + )〉 = ‖ ‖ + 2 〈 , 〉 + ‖ ‖

= ‖ ‖ + ‖ ‖

CONTOH 10 Buktikanlah jika v1, v2, … , vr adalah vektor-vektor yang orthogonal dengan cara berpasangan dalam ruang hasil kali dalam V maka,

‖ + + ⋯ + ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ + ⋯ + ‖ ‖ Solusi : ‖ + + ⋯ + ‖ = 〈( + + … + + ) , ( + + … + + )〉  〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉  〈 , 〉 + 〈 , 〉 + ⋯ + 〈 , 〉 + 〈 , 〉 ‖ + ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖

TEOREMA 3 (Theorema Phytagoras yang digeneralisasikan)

Jika u dan v adalah vektor – vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka

u + v

v

13  ‖ ‖ + ‖ ‖ + ⋯ + ‖ ‖ + ‖ ‖

 ‖ ‖ + ‖ ‖ + ⋯ + ‖ ‖ ∎

CONTOH 11 Misalkan ℝ mempunyai hasil kali dalam Euclidis. Untuk nilai k manakah u dan v orthogonal? Dengan u = (-1,2,4) dan v =(2,5,k).

Solusi :

u dan v orthogonal jika 〈 , 〉 = 0, maka

 〈 , 〉 = 0

 -1(2) +2(5)+4(k) = 0  -2+10+4k =0

 8+4k = 0

 k = - 2 . Jadi untuk nilai k = -2 maka vektor u dan v saling orthogonal.