Ruang Hasil Kali Dalam

(1)

Ruang Hasil Kali Dalam

Proses Orthogonalisasi (Gram Schmidt)

Wono Setya Budhi

KKAG FMIPA ITB

v 0.1 Maret 2015

Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13

(2)

Proses Orthogonalisasi

Misalkan S subhimpunan di V , kita akan mencari basis di span(S)

yang bersifat orthogonal.

Misalkan S ={v₁, v₂, v₃}, sekali lagi kita akan mencari basis di span(S). Kita dapat anggap bahwa v_i 6=0 setiap i .

Pertama y₁ = _kv^v¹

1k, panjang vektor ini satu.

Selanjutnya, kita akan mencari vektor y₂=v₂+αv1 yang panjang 1 dan orthogonal terhadap y₁ atau v₁.

Jadi

hy₂, v₁i =0 hv₂+αv₁, v₁i =0 atau α= −^hv²^,v¹ⁱ

kv₁k² .

Panjangky₂k²=1 atau y₂ = ^v²^+αv¹

kv2+αv1k².

(3)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

kv₁k² .

kv2+αv1k².

(4)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

kv₁k² .

kv2+αv1k².

(5)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

kv₁k² .

kv2+αv1k².

(6)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

hy₂, v₁i =0 hv₂+αv₁, v₁i =0

atau α= −^hv²^,v¹ⁱ

kv₁k² .

kv2+αv1k².

(7)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

kv₁k² .

kv2+αv1k².

(8)

Proses Orthogonalisasi

Jadi

kv₁k² .

Panjangky₂k²=1 atau y₂ = ^v²^+αv¹2.

(9)

Proses Orthogonalisasi

Perhatikan bahwa

span{v₁, v₂} =span{y₁, y₂}

Sekarang, kita akan mencari vektor

y₃=v₃+αv₁+βv₂ dengan y₃ orthogonal terhadap y₁ (v₁) dan y₂ (v₂). Jadi

hy₃, v₁i = hv₃+αv₁+βv₂, v₁i =0 hy₃, v₂i = hv₃+αv1+βv2, v₂i =0 Hasilnya

y₃ =v₃−hv₃, v₁i

kv₁k² ^v¹−hv₃, v₂i kv₂k² ^v²

(10)

Proses Orthogonalisasi

Perhatikan bahwa

span{v₁, v₂} =span{y₁, y₂} Sekarang, kita akan mencari vektor

y₃=v₃+αv₁+βv₂ dengan y₃ orthogonal terhadap y₁ (v₁) dan y₂ (v₂).

Jadi

(11)

Proses Orthogonalisasi

Perhatikan bahwa

Jadi

hy₃, v₁i = hv₃+αv₁+βv₂, v₁i =0 hy₃, v₂i = hv₃+αv1+βv2, v₂i =0

Hasilnya

(12)

Proses Orthogonalisasi

Perhatikan bahwa

Jadi

(13)

Proses Orthogonalisasi

Kita sudah mempunyai

span{v₁, v₂} =span{y₁, y₂}

dan juga

span{v₁, v₂, v₃} =span{y₁, y₂, y₃} dan tentu saja

span{v₁} =span{y₁} demikian seterusnya.

(14)

Proses Orthogonalisasi

span{v₁, v₂} =span{y₁, y₂} dan juga

span{v₁, v₂, v₃} =span{y₁, y₂, y₃}

dan tentu saja

(15)

Proses Orthogonalisasi

span{v₁} =span{y₁}

demikian seterusnya.

(16)

Proses Orthogonalisasi

(17)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

Misalkan S ={v₁, v₂,. . . , vk}himpunan orthonormal di V , dan y ∈span(S), maka

y =

∑

k j=1

hy , v_jiv_j

Proof.

Karena y∈span(S), maka

y =α1v₁+. . .+αkv_k Kemudian, dengan menghitung

hy , v_ii =α1hv₁, v_ii +. . .+αihv_i, v_ii +. . .+αkhv_k, v_ii Jadi αi = hy , v_ii.

(18)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

y =

∑

k j=1

hy , v_jiv_j

Proof.

y=α1v₁+. . .+αkv_k

Kemudian, dengan menghitung

(19)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

y =

∑

k j=1

hy , v_jiv_j

Proof.

y=α1v₁+. . .+αkv_k Kemudian, dengan menghitung

hy , v_ii =α1hv₁, v_ii +. . .+αihv_i, v_ii +. . .+αkhv_k, v_ii

Jadi αi = hy , v_ii.

(20)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

y =

∑

k j=1

hy , v_jiv_j

Proof.

y=α1v₁+. . .+αkv_k Kemudian, dengan menghitung

(21)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

Misalkan V ruang hkd dan β={v₁,. . . , vn}basis orthonormal di V . Jika T : V →V operator linear, maka[T]_β= [a_ij]dengan

a_ij = hT(v_j), v_ii Proof.

Kita mengetahui bahwa

T(v_j) =

∑

n i=1

a_ijv_i

Dengan menggunakan penyajian vektor orthonormal, diperoleh

T(v_j) =

∑

n i=1

hT(v_j), v_iiv_i

jadi a_ij = hT(v_j), v_ii.

(22)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

T(v_j) =

∑

n i=1

a_ijv_i

T(v_j) =

∑

n i=1

hT(v_j), v_iiv_i

(23)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

T(v_j) =

∑

n i=1

a_ijv_i

T(v_j) =

∑

n i=1

hT(v_j), v_iiv_i

(24)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

T(v_j) =

∑

n i=1

a_ijv_i

T(v_j) =

∑

n i=1

hT(v_j), v_iiv_i

(25)

Proses Orthogonalisasi

Definition

Misalkan S subhimpunan di ruang hkd V .

S^⊥={x∈V :hx , yi =0 untuk semua y ∈S}

Mudah dibuktikan bahwa S^⊥ merupakan subruang. Dapat diuji bahwa{0}^⊥ =V dan V^⊥=. . .

Jika S ={e₃} ⊆_R³, maka S^⊥ ={(x , y , 0): x, y ∈_R}

(26)

Proses Orthogonalisasi

Definition

Mudah dibuktikan bahwa S^⊥ merupakan subruang.

Dapat diuji bahwa{0}^⊥ =V dan V^⊥=. . .

(27)

Proses Orthogonalisasi

Definition

Dapat diuji bahwa{0}^⊥ =V dan V^⊥ =. . .

(28)

Proses Orthogonalisasi

Definition

Dapat diuji bahwa{0}^⊥ =V dan V^⊥ =. . .

Jika S ={e₃} ⊆_R³, maka S^⊥={(x , y , 0): x, y ∈_R}

(29)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y∈V . Ada satu vektor u∈W dan z ∈W^⊥ sehingga

y =u+z

Jika{v₁,. . . , vk}basis orthonormal di W , maka

u=

∑

k i=1

hy , v_iiv_i

Proof.

Jika y∈V diketahui, definisikan u∈W seperti di atas, maka y−u memenuhi

hy−u, v_ji = hy , v_ji − hu, v_ji

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

(30)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

y =u+z Jika{v₁,. . . , vk}basis orthonormal di W , maka

u=

∑

k i=1

hy , v_iiv_i

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

(31)

Proses Orthogonalisasi

Theorem

y =u+z Jika{v₁,. . . , vk}basis orthonormal di W , maka

u=

∑

k i=1

hy , v_iiv_i

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

(32)

Proses Orthogonalisasi

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

Jadi y−u∈W^⊥, maka z =y−u∈W^⊥

Misalkan ada dua, y=u₁+z₁ =u₂+z₂ dengan u₁, u₂∈W dan z₁, z₂∈W^⊥, maka

u₁−u₂ =z₂−z₁∈W∩W^⊥ Vektor . . . hanya yang berada di W ∩W^⊥. Jadi . . .

(33)

Proses Orthogonalisasi

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

(34)

Proses Orthogonalisasi

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

u₁−u₂ =z₂−z₁∈W∩W^⊥

Vektor . . . hanya yang berada di W ∩W^⊥. Jadi . . .

(35)

Proses Orthogonalisasi

Proof.

= hy , v_ji − hy , v_ji =0

(36)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

Misalkan W subruang tak nol dari ruang hkd V dan misalkan y∈V . Vektor u=_∑^k_i=1hy , v_iiv_i dengan{v₁,. . . , vk}basis orthonormal di W merupakan vektor di W yang terdekat dengan y , artinya

ky−uk ≤ ky−xk untuk setiap x∈W .

Proof.

Misalkan z =y−u∈W^⊥, maka

ky−xk²=ku+z−xk²

=ku−x+zk² =ku−xk²+kzk²+2 Rehu−x , zi

(37)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

Proof.

(38)

Proses Orthogonalisasi

Corollary

Proof.

(39)

Proses Orthogonalisasi: Vektor terdekat

Proof.

ky−xk² =ku+z−xk²

=ku−x+zk²=ku−xk²+kzk² ditambah dengan 2hu−x , zi =0.

Jadi

ky−xk²≥ kzk²=ky−uk²

(40)

Proses Orthogonalisasi: Vektor terdekat

Proof.

Jadi

(41)

Proses Orthogonalisasi: Vektor terdekat

Proof.

Jadi

(42)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Misalkan S ={v₁,. . . , vk}basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n.

S dapat diperluas menjadi basis orthonormal{v₁,. . . , vk, v_k+1,. . . , vn} untuk V .

Jika W =span(S), maka S₁={v_k+1,. . . , vn}basis dari W^⊥. Jika W sebarang subruang, maka dim(V) =dim(W) +dim W^⊥.

Proof.

Misalkan S ={v₁,. . . , vk}basis orthonormal, maka dapat diperluas menjadi {v₁,. . . , vk, w_k+1,. . . , wn}

Selanjutnya dengan menggunakan GramSchmidt pada

{v₁,. . . , vk, w_k+1,. . . , wn}, maka {w_k+1,. . . , wn}dapat diubah menjadi {v₁,. . . , vk, v_k+1,. . . , vn}menjadi basis orthonormal di V .

(43)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Jika W =span(S), maka S₁={v_k+1,. . . , vn}basis dari W^⊥.

Jika W sebarang subruang, maka dim(V) =dim(W) +dim W^⊥.

Proof.

(44)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

(45)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

(46)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

(47)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Misalkan S ={v₁,. . . , vk}basis orthonormal dari ruang vektor berdimensi n. S dapat diperluas menjadi basis orthonormal{v₁,. . . , vk, v_k+1,. . . , vn}untuk V .

Jika W =span(S), maka S₁={v_k+1,. . . , vn}basis dari W^⊥.

Jika W sebarang subruang, maka dim(V) =dim(W) +dim W^⊥.

Proof.

Dalam hal ini mudah dilihat bahwa S₁⊂W^⊥.

Untuk melihat membangun W^⊥, misalkan x∈V , maka x=_∑ⁿ_i₌₁hx , v_iiv_i, dan khususnya jika x ∈W^⊥, maka hx , v_ii =0 untuk i=1,. . . , k. Jadi

x =

∑

n i=k +1

hx , v_iiv_i

Untuk yang terakhir, akibat dari sifat di atas.

(48)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

x =

∑

n i=k +1

hx , v_iiv_i

(49)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

x =

∑

n i=k +1

hx , v_iiv_i

(50)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

x =

∑

n i=k +1

hx , v_iiv_i

(51)

Proses Orthogonalisasi: Perluasan Basis

Theorem

Proof.

x =

∑

n i=k +1

hx , v_iiv_i