RUANG
HASIL KALI DALAM
5.1 Hasil Kali Dalam
Untuk memotivasi konsep hasil kali dalam, diambil vektor di R2dan R3sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = (0, 0). Panjang suatu vektor x di R2dan R3 dinamakan norm dari x dan dinotasikan ||x||. Jadi untuk suatu vektor x = (x1, x2) R2, dirumuskan ||x|| = x12 x22 .
Gambar 5.1: Vektor x = (x1, x2)
Sejalan dengan itu, untuk vektor x = (x1, x2, x3) R3 didefinisikan ||x|| =
2 3 2 2 2
1 x x
x . Meskipun tidak bisa digambar di dimensi yang tinggi, generalisasi untuk Rnadalah jelas: norm dari vektor x = (x1, x2, …, xn) Rndidefinisikan oleh
||x|| = x12x22xn2 .
Norm tidaklah linear pada Rn. Untuk memasukkan linearitas ke pembahasan, diperkenalkan hasil kali titik. Untuk x, y Rn, hasil kali titik (dot product) dari x dan y, dinotasikan xy, didedifinisikan oleh
x y = x1y1+ … + xnyn.
Perlu dicatat bahwa hasil kali titik dari dua vektor di Rnadalah suatu bilangan, bukan suatu vektor. Jelasnya x x = ||x||2 untuk semua x Rn. Secara khusus, x x 0 untuk semua x Rn, dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x = 0. Selanjutnya, untuk y Rn, maka secara jelas pemetaan dari Rn ke R yang membawa x Rn ke x y adalah linear. Lebih jauh lagi, x y = y x untuk semua x, y Rn.
Suatu hasil kali dalam adalah suatu generalisasi dari hasil kali titik.
(x1, x2)
sumbu x1
sumbu x2
x
DEFINISI 5.1.1 Suatu hasil kali dalam (inner product) pada suatu ruang vektor V atas field F adalah suatu fungsi yang membawa setiap pasang vektor (x, y) dari elemen- elemen V ke suatu bilanganx, y F, dan dinotasikan
. , . : V V F,
sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua x, y, z V dan sebarang k F:
HKD1 Simetris:
x, y = y, x;
HKD2 Aditif-homogen:
kx + y, z = kx, z + y, z;
HKD3 Positif dan terbatas:
x, x 0 dan x, x = 0 x = 0V.
Suatu ruang vektor V yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam (inner product space). Khususnya, jika F = R maka V disebut ruang hasil kali dalam real, sedangkan jika F = C maka V disebut ruang hasil kali dalam kompleks. Selanjutnya di bab ini ditetapkan hasil kali dalam yang mengacu pada field R.
Sifat-sifat yang secara cepat bisa diturunkan dari ketiga aksioma hasil kali dalam antara lain:
1. 0V, x = x, 0V = 0V; 2. x, y + z = x, y + x, z;
3. x, ky = kx, y.
CONTOH 5.1.1 Diberikan vektor x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2, …, yn) di Rn dan didefinisikan hasil kali titik dari dua vektor x dan y yaitu
x, y = x1y1+ x2y2+ … + xnyn.
Akan ditunjukkan bahwa hasil kali titik memenuhi semua aksioma dari hasil kali dalam.
Bahasan. Diambil sebarang vektor x, y, z = (z1, z2, …, zn) Rndan kR.
(i) x, y = x1y1+ x2y2+ … + xnyn= y1x1+ y2x2+ … + ynxn=y, x.
(ii) kx + y, z = k(x1, x2, …, xn) + (y1, y2, …, yn), (z1, z2, …, zn)
= (kx1, kx2, …, kxn) + (y1, y2, …, yn), (z1, z2, …, zn)
= (kx1+ y1, kx2+ y2, …, kxn+ yn), (z1, z2, …, zn)
= (kx1+ y1)z1+ (kx2+ y2)z2+ … + (kxn+ yn)zn
= k(x1z1+ x2z2+ … + xnzn) + (y1z1+ y2z2+ … + ynzn) = kx, z + y, z.
(iii) x, x = x1x1+ x2x2+ … + xnxn= x12+ x22+ … + xn2 0;
x, x = 0 x12+ x22+ … + xn2= 0 x1= x2= … = xn= 0 x = 0
x, x = x1x1+ x2x2+ … + xnxn= 0.
Hasil kali dalam yang didefinisikan tersebut dinamakan hasil kali dalam Euclid.
CONTOH 5.1.2 Untuk setiap vektor u = (u1, u2), v = (v1, v2) R2 didefinisikan:
u, v = 3u1v1+ 2u2v2.
Akan ditunjukkan bahwau, v adalah suatu hasil kali dalam di R2.
Bahasan. Diambil sebarang vektor u, v, w = (w1, w2) R2dan k R.
(i) u, v = 3u1v1+ 2u2v2= 3v1u1+ 2v2u2=v, u.
(ii) ku + v, w = (k(u1, u2) + (v1, v2), (w1, w2)) = ((ku1, ku2) + (v1, v2), (w1, w2))
= ((ku1+ v1, ku2+ v2), (w1, w2)) = 3(ku1+ v1)w1+ 2(ku2+ v2)w2
= 3ku1w1+ 2ku2w2+ 3v1w1+ 2v2w2= ku, w + v, w.
(iii) v, v = 3v1v1+ 2v2v2= 3v12+ 2v22 0;
v, v = 0 3v12+ 2v22= 0 v1= v20 v = 0 v, v = 3v1v1+ 2v2v2= 0.
CONTOH 5.1.3 Diberikan ruang vektor M2(R), yaitu himpunan semua matriks berukuran 22 dengan semua unsurnya bilangan real. Untuk vektor-vektor:
U =
4 3
2 1
u u
u
u dan V =
4 3
2 1
v v
v v
di M2(R) berlaku bahwa rumus
U, V = u1v1+ u2v2+ u3v3+ u4v4
mendefinisikan suatu hasil kali dalam.
CONTOH 5.1.4 Rumus
p, q = a0b0+ a1b1+ a2b2
dengan p = a0+ a1x + a2x2dan q = b0+ b1x + b2x2adalah sebarang dua vektor di P2[x](R), mendefinisikan suatu hasil kali dalam di P2[x](R).
CONTOH 5.1.5 Diberikan sebarang polinomial p = p(x) dan q = q(x) di Pn[x](R), dan didefinisikan
p, q =
abp(x)q(x)dxdengan a, b R dan a < b. Rumus p, q mendefinisikan hasil kali dalam di Pn[x](R).
Bahasan. Diambil sebarang p, q, r Pn[x](R) dan k R.
(i) p, q =
abp(x)q(x)dx =
abq(x)p(x)dx =q, p.(ii) kp + q, r =
ab
kp(x)q(x)
r(x)dx = k
abp(x)r(x)dx +
abq(x)r(x)dx= kp, r + q, r.
(iii) p, p =
ab
p
x
2dx 0;p, p = 0
ab
p
x
2dx = 0
p
x
2 0 p(x) = 0 Pn[x](R)
ab p x 2dx = 0 p, p = 0.5.2 Norm
DEFINISI 5.2.1 Diberikan V adalah suatu ruang hasil kali dalam dan vektor v V. Norm dari vektor v, didefinisikan oleh
||v|| = v,v .
Perlu dicatat bahwa ||v|| = 0 jika dan hanya jika v = 0 (sebabv, v = 0 jika dan hanya jika v = 0). Sifat mudah yang lainnya dari norm adalah ||kv|| = |k| ||v|| untuk semua k
F dan semua v V. Di sini bisa dibuktikan
||kv||2=kv, kv = kv, kv = kkv, v = |k|2||v||2,
dan dengan pengambilan akar dua akan memberikan persamaan yang diinginkan. Bukti tersebut menggambarkan suatu prinsip umum: bekerja dengan norm kuadrat pada umumnya lebih mudah daripada bekerja secara langsung dengan norm.
Selanjutnya jarak antara dua vektor u dan v, dinotasikan dengan d(u, v), didefinisikan oleh
d(u, v) = ||u – v||.
CONTOH 5.2.1 Jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalah vektor- vektor di Rndengan hasil kali dalam Euclid, maka
||u|| = u,u = u12 u22 ...un2 dan
d(u, v) = ||u – v|| = u ,v uv
=
u1v1
2 u2 v2
2 ...
un vn
2CONTOH 5.2.2 Pada Contoh 5.1.2, jika diambil u = (1, 0) dan v = (0, 1) maka
||u|| = (1,0),(1,0) = 3.1.12.0.0 = 3 dan
d(u, v) = ||u – v|| = ||(1, –1)||
= (1,1),(1,1) = 31.12(1)(1)
= 5 .
DEFINISI 5.2.2 Diambil vektor u, v V. Vektor u dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap v jika u, v = 0. Secara simbolis dituliskan u v (dibaca: u tegak lurus (perpendicular) terhadap v).
Jelas bahwa u v jika dan hanya jika v u. Selanjutnya, jika u ortogonal terhadap setiap vektor di suatu himpunan S, maka dikatakan bahwa u ortogonal terhadap S. Secara jelas vektor 0 ortogonal terhadap setiap vektor. Lebih jauh lagi, vektor 0 menjadi satu-satunya vektor yang tegak lurus dengan dirinya sendiri.
DEFINISI 5.2.3
1. Suatu himpunan V1dikatakan ortogonal dengan himpunan V2, dituliskan V1 V2, jika v1 v2untuk setiap v1 V1dan v2 V2.
2. Suatu himpunan bagian U dari suatu ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika untuk setiap u, vU dan u v maka u, v = 0.
CONTOH 5.2.3 Pada ruang vektor P2[x](R) dengan hasil kali dalam
p, q =
11p(x)q(x)dx, jika diambil p = x dan q = x2, makap, q =
11.x2dx
x = 0.
Karenap, q = 0, maka vektor p = x ortogonal terhadap q = x2 relatif terhadap hasil kali dalam yang diberikan.
TEOREMA 5.2.1 (Teorema Pythagoras) Jika u, v adalah vektor-vektor ortogonal di V, maka
||u + v||2= ||u||2+ ||v||2.
Bukti. Diketahui u ortogonal v, berartiu, v = 0 dan karena itu
||u + v||2=(u + v), (u + v) = ||u||2+ 2u, v + ||v||2= ||u||2+ ||v||2.
Diandaikan u, v V. Selanjutnya dimaksudkan untuk menuliskan u sebagai suatu kelipatan skalar dari v ditambah suatu vektor w yang ortogonal terhadap v seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.2.
Gambar 5.2: Dekomposisi ortogonal vektor u
Untuk menemukan bagaimana cara menulis u sebagai suatu kelipatan skalar v ditambah suatu vektor ortogonal terhadap v, diambil k R, dan dinyatakan
u = kv + (u – kv).
Jadi harus dipilih k sehingga v ortogonal terhadap (u – kv). Dengan kata lain, haruslah 0 =u – kv, v = u, v – kv2.
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa dapat dipilih
2
, v
v
k u (diandaikan bahwa v
0Vuntuk menghindari pembagian oleh 0).
Dari pemilihan k tersebut, dapat dituliskan
v
v v u u v v
v u u
2 2
,
, .
Jika v 0Vmaka dari persamaan tersebut dapat dituliskan u sebagai suatu kelipatan skalar dari v ditambah suatu vektor ortogonal terhadap v.
Persamaan tersebut akan digunakan dalam pembuktian teorema di bawah ini, yang memberikan satu dari banyak ketaksamaan penting dalam matematika.
TEOREMA 5.2.2 (Ketaksamaan Cauchy) Jika u, vV, dengan V adalah ruang hasil kali dalam, maka berlaku
|u, v| u v
dan kesamaannya terjadi jika dan hanya jika u and v adalah tidak bebas linear.
Bukti. Diambil sebarang u, vV. Jika u and v adalah tidak bebas linear, maka dapat diambil v = ku yang mengakibatkan kedua sisi dari ketaksamaan sama dengan |k| u2. Secara khusus, jika v = 0Vmaka kedua sisi dari ketaksamaan sama dengan 0.
Selanjutnya untuk u and v yang tidak bebas linear (disajikan seperti pada Gambar 5.2), maka dapat diandaikan bahwa v 0. Diberikan dekomposisi ortogonal
w v v
v
u u
2
, ,
dengan w ortogonal terhadap v. Berdasarkan Teorema Pythagorean,
u2= 2
2 2
, v w
v v
u = 2
2
, 2
w v
v
u
2
, 2
v v
u .
Karena v2 > 0 maka dengan mengalikan kedua sisi dengan v2dan mengambil akar kuadrat diperoleh ketaksamaan Cauchy seperti yang diinginkan.
u
v w
kv
0
Ketaksamaan Cauchy sering juga disebut dengan ketaksaman Cauchy-Schwarz atau Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky. Selanjutnya dengan mengingat sifat harga mutlak, ketidaksamaan Cauchy dapat ditulis menjadi
–u v u, v u v
atau ekuivalen dengan
, 1
1
u v
v
u .
Dari hasil tersebut, untuk suatu ruang hasil kali dalam real didefinisikan v
u v θ u,
)
cos( .
Dengan mengambil nilai utama [0, ] diperoleh sudut antara vektor u dan v yang serupa dengan sudut biasa antara dua vektor di R2maupun di R3.
CONTOH 5.2.4 Diberikan vektor u = (4, 3, 1, –2) dan v = (–2, 1, 2, 3) di ruang vektor R4dengan suatu hasil kali dalam Euclid. Diperoleh
||u|| = 423212 (2)2 = 30 ,
||v|| = (2)212 2232 = 18 ,
u, v = 4(–2) + 3.1 + 1.2 + (–2).3 = –9, dan karena itu
60 3 8
30 ) 9
cos(θ atau
60 arccos 3 60
arccos 3
.
CONTOH 5.2.5 Pada Contoh 5.1.3, jika diambil
1 1
0
U 1 dan
0 0
2
V 0 ,
maka sudut antara matriks U dan V sama dengan 12 karena 0 0 . 1 0 . 1 2 . 0 0 . , 1 )
cos(
V U V
U V
θ U .
Hasil berikut ini dinamakan ketaksamaan segitiga sebab dari interpretasi geometrisnya bahwa panjang suatu sisi segitiga adalah kurang dari jumlahan panjang kedua sisi lainnya.
Gambar 5.3: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan segitiga u
u + v v
LEMMA 5.2.3 (Ketaksamaan Segitiga) Jika u, v V, maka
||u + v|| ||u|| + ||v||.
Ketaksamaan menjadi kesamaan jika dan hanya jika satu dari u atau v adalah kelipatan tak negatif dari yang lainnya.
Bukti. Diambil u, v V, maka
||u + v||2 = u + v, u + v
= u, u + v, v + u, v + v, u
= ||u||2+ ||v||2+ 2u, v
||u||2+ ||v||2+ 2|u, v|
||u||2+ ||v||2+ 2||u|| ||v||
= (||u|| + ||v||)2.
Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi akan diperoleh
||u + v|| ||u|| + ||v||.
Hasil berikutnya dinamakan kesamaan jajaran genjang sebab interpretasi geometrisnya adalah bahwa dalam suatu jajaran genjang, jumlah dari kuadrat panjang diagonal-diagonal sama dengan jumlah dari kuadrat panjang keempat sisinya.
Gambar 5.4: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan jajaran genjang LEMMA 5.2.4 (Kesamaan Jajaran Genjang) Jika u, v V, maka
||u + v||2+ ||u – v||2= 2(||u||2+ ||v||2).
Bukti. Diambil u, v V, maka
||u + v||2+ ||u – v||2 = u + v, u + v + u – v, u – v
= ||u||2+ ||v||2+u, v + v, u + ||u||2+ ||v||2–u, v – v, u
= 2(||u||2+ ||v||2).
5.3 Basis Ortonormal dan
Ortogonalisasi Gram-Schmidt
Dalam banyak persoalan yang berkenaan dengan ruang vektor, pemilihan suatu basis untuk ruang tergantung pada kemauan penyelesai masalah. Tentu saja strategi yang terbaik adalah memilih basis untuk menyederhanakan dengan mudah penyelesaian dari suatu persoalan. Di ruang hasil kali dalam, seringkali terjadi bahwa pilihan terbaik adalah suatu basis yang semua vektornya saling ortogonal. Di sini akan dibahas bagaimana basis-basis tersebut dapat dibentuk.
DEFINISI 5.3.1 Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm 1 dikatakan ortonormal. Dengan kata lain, {v1, v2, …, vn} dari vektor-vektor di V adalah ortonormal jika
) ..., , 1 , ( , 1
, , 0
n k
j k j
k v j
vj k .
u
u + v v u
v
u - v
CONTOH 5.3.1 Diberikan himpunan V = {v1, v2, v3} dengan v1= (0,1,0), v2=
2 , 1 0 , 2
1 , v3=
2 , 1 0 , 2 1
adalah vektor-vektor di R3yang dilengkapi hasil kali dalam Euclid. Diperoleh
v1, v2 =
2 . 1 0 0 . 1 2 . 1
0 = 0,
v1, v3 =
2 . 1 0 0 . 1 2 . 1
0
= 0,
v2, v3 =
2 . 1 2 0 1 . 0 2 1 2
1
= 0.
Selanjutnya dihitung norm dari setiap vektor di V sebagai berikut:
v1 = 0212 02 1,
v2 = 1
2 0 1
2
1 2 2 2
,
v3 = 1
2 0 1
2
1 2 2 2
.
Karena setiap vektor di V adalah ortogonal dan mempunyai norm 1 maka V adalah ortonormal.
Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka vektor v v
1 mempunyai norm 1 karena
v v
1 = v
v
1 = 1.
DEFINISI 5.3.2 Proses perkalian suatu vektor tak nol v dengan kebalikan panjangnya (norm) untuk memperoleh suatu vektor dengan norm 1 disebut dengan normalisasi (normalizing) v.
TEOREMA 5.3.1 Jika {v1, v2, …, vn} adalah ortonormal, maka
k1v1+ k2v2+ … + knvn2=k12+k22+ … +kn2 untuk v1, v2, …, vn V dan k1, k2, …, kn F.
Bukti. Karena setiap vj(j = 1, …, n) mempunyai norm 1, ini mengikuti dengan mudah aplikasi yang diulang pada Teorema Pythagoras.
AKIBAT 5.3.1 Setiap vektor di himpunan ortonormal adalah bebas linear.
Bukti. Diandaikan {v1, v2, …, vn} adalah ortonormal dengan v1, v2, …, vn V dan k1, k2, …, kn F sehingga
k1v1+ k2v2+ … + knvn= 0.
Selanjutnya berdasarkan Teorema 5.3.1, makak12+k22+ … +kn2= 0, yang berarti bahwa semua kisama dengan 0.
Suatu basis dari ruang hasil kali dalam V yang ortonormal disebut basis ortonormal atau basis satuan dari V. Jika basisnya hanya ortogonal maka disebut basis ortogonal.
Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa sederhana sekali untuk menyatakan suatu vektor dalam suku-suku dari suatu basis ortonormal.
TEOREMA 5.3.2 Jika {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor di V, maka
u =u, v1v1+u, v2v2+ … +u, vnvn
dan
u2=u, v12+u, v22+ … +u, vn2.
Bukti. Karena {v1, v2, …, vn} adalah basis, maka u bisa dinyatakan dalam bentuk u = k1v1+ k2v2+ … + knvn.
Untuk melengkapi bukti ini akan ditunjukkan bahwa untuk i = 1, 2, …, n, berlaku ki=u, vi.
Setiap vektor viakan mempunyai bentuk
u, vi = k1v1+ k2v2+ … + knvn, vi
= k1v1, vi + k2v2, vi + … + knvn, vi.
Karena himpunannya adalah ortonormal, berarti
vi, vi = vi2= 1, dan
vi, vj = 0 untuk i j,
dan karena ituu, vi = ki. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 5.3.1, diperoleh
u2 = u, v1v1+u, v2v2+ … +u, vnvn2
= u, v12+u, v22+ … +u, vn2.
CONTOH 5.3.2 Diberikan vektor-vektor v1= (0,1,0), v2=
5 ,3 0 5,
4 , v3=
5 ,4 0 5,
3 .
Mudah diperiksa bahwa himpunan S = {v1, v2, v3} adalah basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya diambil suatu vektor u = (1,1,1) dan akan dicari kombinasi linearnya dari vektor-vektor di S.
u, v1 = 1.0 + 1.1 + 1.0 = 1,
u, v2 =
5 1 5 1 3 0 . 5 1
1 4
,
u, v3 =
5 7 5 1 4 0 . 5 1
1 3
.
Berdasarkan Teorema 5.3.2 diperoleh
3 2
1 5
7 5
1v v
v
u .
TEOREMA 5.3.3 Diberikan himpunan ortonormal {v1, v2, …, vn} di suatu ruang hasil kali dalam V. Jika W adalah ruang yang direntang oleh v1, v2, …, vn maka setiap vektor u V bisa dinyatakan dalam bentuk
u = w1+ w2
dengan w1 W dan w2ortogonal terhadap W yang dirumuskan oleh w1=u, v1v1+u, v2v2+ … +u, vnvn,
w2= u – w1= u –u, v1v1–u, v2v2– … –u, vnvn.
Berikut ini ilustrasi dari Teorema 5.3.3 di ruang R3.
Gambar 5.5: Proyeksi vektor u
Berdasarkan gambar di atas, vektor w1disebut proyeksi ortogonal dari u pada W, disingkat proyWu, sedangkan vektor w2 disebut komponen dari u yang ortogonal terhadap W.
CONTOH 5.3.3 Diberikan ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclid dan ruang vektor W yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal v1 = (0,1,0) dan
5
,3 0 5, 4
v2 .
Proyeksi ortogonal dari vektor u = (1,1,1) pada W adalah
W u
proy =u, v1v1+u, v2v2= 1(0,1,0) –
5 ,3 0 5, 4 5
1 =
25 , 3 1 25,
4 ,
sedangkan komponen dari u yang ortogonal terhadap W adalah u – proyW u = (1,1,1) –
25 , 3 1 25,
4 =
25 , 28 0 25,
21 .
AKIBAT 5.3.2 Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempunyai suatu basis ortonormal.
Bukti. Diambil ruang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi n, dan suatu himpunan U = {u1, u2, …, un} sebagai basis untuk V. Langkah-langkah berikut ini, dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram-Schmidt, akan menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk V.
Langkah 1. Mengambil v1= u1.
Langkah 2. Membentuk vektor v2yang ortogonal terhadap v1dengan cara menghitung komponen dari u2 yang ortogonal terhadap ruang W1 yang direntang oleh v1, yaitu
v2= u2– 2
proyW1 u = u2– kv1= u2– 2 1
1 1 2,
v v
v
u .
[Untuk mendapatkan
2 1
1 2, v
v
k u , lihat kembali pembahasan dekomposisi
ortogonal pada halaman 187 – 188.]
Langkah 3. Membentuk vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2 dengan cara menghitung komponen dari u3 yang ortogonal terhadap ruang W2 yang direntang oleh v1dan v2, yaitu
v3= u3– 3
proyW2 u = u3– 1
2 1
1 3,
v v
v
u – 2
2 2
2 3,
v v
v
u .
u
w1
w2
W
Langkah 4. Membentuk vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2, dan v3 dengan cara menghitung komponen dari u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yang direntang oleh v1, v2, dan v3, yaitu
v4= u4– proyW3u4 = u4– 1
2 1
1 4,
v v
v
u – 2
2 2
2 4,
v v
v
u – 3
2 3
3 4,
v v
v
u .
Proses dilanjutkan sampai vn. Dihasilkan himpunan ortogonal {v1, v2, …, vn} yang terdiri dari n vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis ortogonal untuk V. Penormalan vektor-vektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis ortonormal.
Rumus Gram-Schmidt dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:
1
1 2
,
k
j
j j
j k k
k v
v v u u
v , k = 1, …, n.
CONTOH 5.3.4 Diberikan V = R3 dengan hasil kali dalam Euclid, dan akan diterapkan algoritma Gram-Schmidt untuk mengortogonalkan basis
{(1, –1,1), (1, 0, 1), (1, 1, 2)}.
Langkah 1. v1= (1, –1,1).
Langkah 2. v2= (1, 0, 1) –
1, 1,1
1 , 1 , 1
1 , 1 , 1 . 1 , 0 , 1
2
= (1, 0, 1) –
1, 1,1
3
2 =
3 ,1 3 ,2 3
1 .
Langkah 3. v3= (1, 1, 2) –
1, 1,1
1 , 1 , 1
1 , 1 , 1 . 2 , 1 , 1
2
–
, ,
31,32,31, , . 2 , 1 , 1
2 3 1 3 2 3 1
3 1 3 2 3 1
= (1, 0, 1) –
1, 1,1
3
2 –
3 ,1 3 ,2 3 1 2
5 =
2 ,1 0 2,
1 .
Selanjutnya, dengan menormalkan vektor-vektor v1, v2, dan v3 akan diperoleh basis ortonormal
2 , 2 0 2 , , 2 6 , 6 3 , 6 6 , 6 3 , 3 3 , 3 3
3 .
Seringkali diperlukan untuk mengetahui tidak hanya adanya suatu basis ortonormal, tetapi juga vektor-vektor ortonormal yang dapat diperluas ke suatu basis ortonormal. Pada akibat berikut ini, algoritma Gram-Schmidt menunjukkan bahwa suatu perluasan adalah mungkin.
AKIBAT 5.3.3 Setiap vektor-vektor ortonormal di V dapat diperluas ke suatu basis ortonormal untuk V.
Bukti. Diandaikan bahwa {v1, v2, …, vm} adalah suatu himpunan vektor-vektor ortonormal di V, maka {v1, v2, …, vm} adalah bebas linear dan karena itu dapat diperluas ke suatu basis {v1, …, vm, u1, …, un} untuk V. Sekarang diaplikasikan algoritma Gram- Schmidt untuk {v1, …, vm, u1, …, un} yang menghasilkan suatu vektor-vektor ortonormal
{v1, …, vm, w1, …, wn}.
Jelas bahwa himpunan tersebut adalah suatu basis ortonormal untuk V karena bebas linear dan rentangannya sama dengan V. Oleh karena itu dipunyai perluasan dari {v1, v2, …, vm} ke suatu basis ortonormal untuk V.
5.4 Perubahan Basis
DEFINISI 5.4.1 Jika B = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk ruang vektor V berdimensi berhingga, maka untuk setiap v V dapat dinyatakan:
v = k1v1+ k2v2+ … + knvn.
Skalar-skalar k1, k2, …, kn disebut koordinat-koordinat dari v relatif terhadap B, sedangkan vektor koordinat dari v relatif terhadap B, dinyatakan dengan (v)B, didefinisikan oleh
(v)B= (k1, k2, …, kn).
Matriks koordinat dari v relatif terhadap B, dinyatakan oleh [v]B, didefinisikan oleh
[v]B=
kn
k k
2 1
.
CONTOH 5.4.1 Diberikan basis B = {v1, v2, v3} untuk R3dengan v1= (1, 2, 1), v2= (2, 9, 0), dan v3= (3, 3, 4).
(a) Tentukan vektor koordinat dan matriks koordinat dari vektor v = (5, –1, 9) yang relatif terhadap basis B.
(b) Tentukan suatu vektor v di R3yang vektor koordinat relatif terhadap B adalah (v)S= (–1, 3, 2).
Penyelesaian.
(a) Dibentuk kombinasi linear
k1(1, 2, 1) + k2(2, 9, 0) + k3(3, 3, 4) = (5, –1, 9)
dengan k1, k2, k3 R. Dengan menyelesaikan sistem tersebut, maka akan diperoleh k1= 1, k2= –1, dan k3= 2. Jadi,
(v)B= (1, –1, 2) dan [v]B=
2
1 1 .
(b) Dengan menggunakan Definisi 5.4.1, diperoleh
v = –1(1, 2, 1) + 3(2, 9, 0) + 2(3, 3, 4) = (11, 31, 7).
Vektor koordinat dan matriks koordinat ditentukan oleh urutan bagaimana vektor-vektor basis ditulis. Perubahan urutan dari vektor-vektor basis menghasilkan perubahan yang bersesuaian dari urutan untuk unsur-unsur matriks koordinat dan vektor koordinat.
CONTOH 5.4.2 Diberikan basis B = {1, x, x2} untuk P2[x](R). Vektor koordinat dan matriks koordinat yang relatif terhadap B untuk p = a0+ a1x + a2x2adalah
(p)S= (a0, a1, a2) dan [p]B=
2 1 0
a a a
.
CONTOH 5.4.3 Jika B = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, maka berdasarkan Teorema 5.3.2 untuk sebarang u V diperoleh
(u)B= (u, v1v1,u, v2v2, …,u, vnvn)
dan
[u]B=
vn
u v u
v u
, , ,
1 1
.
Selanjutnya diandaikan {w1, w2, …, wk} dan {v1, v2, …, vk} adalah dua basis untuk suatu ruang bagian B dari Rn. Bagaimanakah mereka berhubungan?
Dibentuk matriks W = [w1, w2, …, wk] dan V = [v1, v2, …, vk] berukuran nk.
Diklaim bahwa terdapat suatu matriks inversibel R berukuran kk sehingga V = WR.
CONTOH 5.4.4 Diberikan matriks
3 3 4 1
1 9 3 3
3 3 1 1
1 3 4 1
A yang mempunyai basis
(tunjukkan sebagai latihan) {w1, w2, w3} dan {v1, v2, v3} dengan
w1=
1 0 0 1
, w2=
3 0 4 0
, w3=
1 4 0 0
dan v1=
1 3 1 1
, v2=
4 3 1 4
, v3=
3 1 3 1
.
Dari situ dibentuk matriks
1 3 1
4 0 0
0 4 0
0 0 1
W dan
3 4 1
1 3 3
3 1 1
1 4 1
V .
Benarkah bahwa V = WR untuk suatu matriks inversibel R berukuran 33? Jika ya, harus dipunyai WTV = (WTW)R, dan karena itu R = (WTW)-1WTV. Jika dihitung, akan didapatkan bahwa WTW adalah inversibel, dan
1 3 3
3 1 1
4 16 4 4
R 1 .
Dapat diperiksa bahwa V = WR.
Jika basis B untuk suatu ruang vektor diubah ke basis B, bagaimanakah matriks koordinat [v]B dihubungkan dengan matriks koordinat
v B?Berikut ini akan difokuskan pada vektor-vektor di R2 yang dapat digeneralisasikan ke Rn. Basis baku di R2 adalah
1 , 0 0
1 dan ditentukan basis lain
dengan acuan sistem koordinat kartesius.
Diberikan basis B = {u, w} dan B
u,w
untuk R2. Diandaikan bahwa vektor basis u dan w untuk B mempunyai koordinat relatif untuk basis B sebagai berikut:
b
u B a ,
d
w B c ,
yang mempunyai arti bahwa
u = au + bw, w = cu + dw.
Untuk sebarang vektor v V, dimisalkan
v B =
2 1
k k
yang mempunyai arti
v = k1u11k2u2. Dengan mensubstitusikan u dan w ke v akan diperoleh
v = k1(au + bw) + k2(cu + dw)
= (k1a + k2c)u + (k1b + k2d)w.
Dengan kata lain, matriks koordinat dari v terhadap basis B adalah
[v]B=
2 1
2 1
dk bk
ck
ak =
2 1
k k d b
c
a =
v Bd b
c a
.
Persamaan tersebut menyatakan bahwa jika matriks koordinat dari v relatif terhadap basis B sudah diketahui, maka matriks koordinat
v B dikalikan dari sebelah kiri dengan matriks
d b
c P a
akan menghasilkan matriks koordinat dari v relatif terhadap basis B. Matriks P disebut matriks perubahan koordinat (matriks transisi) dan bersifat inversibel. Oleh karena itu, jika P adalah matriks perubahan koordinat dari B ke B maka P-1 adalah matriks perubahan koordinat dari B ke B dan
v B = P-1[v]B. CONTOH 5.4.5 Diberikan basis
1 , 0 0
B 1 dan
1
, 2 1
B 3 . Matriks
transisi dari B ke B adalah
1 1
2
P 3 .
Jika diketahui
v B =
1
2 , maka vektor v mempunyai koordinat
[v]B=
1 2 1 1
2
3 =
3 4 yang relatif terhadap basis B. Karena
5 3 5 1
5 2 5 1
P 1 ,
maka dapat dinyatakan bahwa
v B =
1
2 =
3
4
5 3 5 1
5 2 5 1
.
Contoh berikut ini memperkenalkan suatu basis ketiga untuk melihat hubungan antara dua basis tak baku.
CONTOH 5.4.6 Diberikan
4
, 1 1
B 2 . Untuk menemukan matriks
perubahan koordinat dari basis B pada Contoh 5.4.5 ke basis B , pertama kali dinyatakan vektor basis
1
3 dan
1
2 di B sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor
basis
1
2 dan
4
1 di B :
1
3 = a
1
2 + b
4
1 ,
1
2 = c
1
2 + d
4 1 . Dengan menyelesaikan sistem-sistem di atas akan diperoleh
a = 7 11, b =
7
, c =1 7
, d =9 7 4. Jadi, matriks transisi dari B ke B adalah
7 4 7 1
7 9 7 11
.
Vektor v dengan koordinat
1
2 relatif terhadap basis B mempunyai koordinat
7 4 7 1
7 9 7 11
1 2 =
7 2 7 13
yang relatif terhadap basis B .
CONTOH 5.4.7 (Rotasi Sumbu Koordinat) Diandaikan diperoleh sistem koordinat baru dari sistem koordinat kartesius baku dengan rotasi berlawanan arah jarum jam bersudut . Basis baru B
u,v
dari vektor satuan sepanjang sumbu x dan sumbu y , berturut-turut mempunyai koordinat
sin( ) ) cos(
θ
u B θ ,
cos( )
) sin(
θ
v B θ .
Diperoleh
sin( ) cos( ) ) sin(
) cos(
θ θ
θ
P θ dan
) cos(
) sin(
) sin(
)
1 cos(
θ θ
θ
P θ .
Jadi, suatu vektor y B
x
pada sistem koordinat awal mempunyai koordinat y B
x
yang
dirumuskan oleh
y B
x
=
sin( ) cos( ) ) sin(
) cos(
θ θ
θ θ
y B
x
pada sistem koordinat rotasi.
Gambar 5.6: Rotasi sumbu koodinat kartesius
Misalnya, jika vektor [v]B=
2
3 pada sistem koordinat awal dirotasikan sebesar
= 45, maka koordinat barunya adalah
v B =
sin(45 ) cos(45 ) ) 45 sin(
) 45 cos(
2 3
=
22 22
2 2 2
2
2 3 =
22
2 2 5
.
Berikut ini diberikan definisi yang umum untuk memudahkan dalam memperoleh suatu matriks transisi dari dua basis.
DEFINISI 5.4.2 Diberikan B = {u1, u2, …, un} dan B = {v1, v2, …, vn} sebagai basis untuk suatu ruang vektor V. Diberikan A Mn(F) sebagai matriks yang mempunyai uisebagai kolom-kolomnya, dan B Mn(F) sebagai matriks yang mempunyai visebagai kolom-kolomnya. Matriks P = B–1A dinamakan matriks transisi dari B ke B , sedangkan matriks P–1= A–1B dinamakan matriks transisi dari B ke B .
CONTOH 5.4.8 Diberikan basis untuk R3
B =
0 0 1 , 0 1 1 , 1 1 1
, dan B =
0
0 2 , 0 1 1 , 1 1 1
.
Tentukan matriks transisi dari B ke B dan juga matriks transisi dari B ke B . Tentukan juga koordinat dari
B
3 2 1
relatif terhadap basis B2.
Penyelesaian. Diambil
0 0 1
0 1 1
1 1 1
A ,
0 0 1
0 1 1
2 1 1
B .
Matriks transisi dari B ke B adalah
P = B–1A, yaitu
x y
y x
u v u
v
0 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 1
0 1 1
2 1
1 1
P =
0 0 1
0 1 1
1 1 1
1 1 1 0
1 0 0
2 1 2 1
=
2
1 1
2
0 1 2
0 0 1
.
Matriks transisi dari B ke B adalah
2 2 0
0 1 2
0 0 1 1
2
0 1 2
0 0
1 1
2 1
P 1 .
Diperoleh koordinat dari
B
3 2 1
relatif terhadap basis B yaitu
2
1 1
2
0 1 2
0 0 1
3 2 1
=
2 11
4 1
.
SOAL-SOALUNTUKBAB 5
1. Diberikan V = Cn, F = C,x, y = x y.
Diambil x = (x1, x2, …, xn) dengan xj= j, dan y = (y1, y2, …, yn) dengan yj= (1 + i)j dan i2= –1.
Hitungx, y, y, x, x, x, dan y, y.
2. Diambil
3 1
1
A 3 dan x, y = Ax y
untuk semua x, y R2. Tunjukkan bahwa , mendefinisikan suatu hasil kali dalam pada R2.
3. Diambil A sebagai matriks real mn dan ATsebagai transposnya. Tunjukkan bahwa Ax y = x ATy untuk semua x Rndan y Rm.
4. Pada setiap rumus di bawah ini, tentukan apakah , adalah suatu hasil kali dalam atas ruang vektor yang diberikan:
(a) u, v = 2u1v1– u2v2; R2 (b) u, v = u1v1+ 2u1v2+ u2v2; R2 (c) u, v = u12v12u22v22u33v33; R3
5. Buktikan apakah
1
0 ( ) () ,g f t g t dt f
adalah suatu hasil kali dalam pada C0[–1, 1].
