RUANG HASIL KALI DALAM

RUANG HASIL KALI DALAM

(Inner Product Space)

Definisi 1 ^:

Hasil kali dalam pada r.v. 𝑉 adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real dengan setiap vektor 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑉, dinotasikan 𝐮, 𝐯 , jika memenuhi 4 aksioma:

(1) 𝐮, 𝐯 = 𝐯, 𝐮 (Simetri)

(2) 𝐮 + 𝐯, 𝐰 = 𝐮, 𝒘 + 𝐯, 𝐰 (Aditivitas)

(3) 𝑘𝐮, 𝐯 = 𝑘 𝐮, 𝐯 (Homogenitas)

(4) 𝐯, 𝐯 ≥ 0 dan 𝐯, 𝐯 = 0 j.h.j. 𝐯 = 0 (Positivitas)

Ruang vektor dengan hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam.

Ruang Hasil Kali Dalam

Sifat-sifat tambahan berikut didapatkan dari keempat aksioma hasil kali dalam:

(i) 𝟎, 𝐯 = 𝐯, 𝟎 = 𝟎

(ii) 𝐮, 𝐯 + 𝐰 = 𝐮, 𝐯 + 𝐮, 𝐰 (iii) 𝐮, 𝑘𝐯 = 𝑘 𝐮, 𝐯

Bukti:

(ii) 𝐮, 𝐯 + 𝐰 = 𝐯 + 𝐰, 𝐮 (simetri)

= 𝐯, 𝐮 + 𝐰, 𝐮 (aditivitas)

= 𝐮, 𝐯 + 𝐮, 𝐰 (simetri)

Contoh 1:

Misalkan 𝐮 = 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 dan 𝐯 = 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛 . Hasil kali dalam Euclides:

𝐮, 𝐯 = 𝐮. 𝐯 = 𝒖_𝟏𝒗_𝟏 + 𝒖_𝟐𝒗_𝟐 + ⋯ + 𝒖_𝒏𝒗_𝒏 memenuhi semua aksioma hasil kali dalam menurut Teorema hasil kali dalam Euclidean di 𝑅^𝑛.

(a) 𝐮. 𝐯 = 𝐯. 𝐮

(b) 𝐮 + 𝐯 . 𝐰 = 𝐮. 𝐰 + 𝐯. 𝐰 (c) 𝑘𝐮 . 𝐯 = 𝑘 𝐮. 𝐯

(d) 𝐯. 𝐯 ≥ 𝟎. Selanjutnya, 𝐯. 𝐯 = 𝟎 j.h.j. 𝐯 = 0

Contoh 2:

Jika 𝐮 = 𝑢₁, 𝑢₂ dan 𝐯 = 𝑣₁, 𝑣₂ adalah vektor-vektor di 𝑅^𝑛 maka 𝐮, 𝐯 = 3𝒖_𝟏𝒗_𝟏 + 2𝒖_𝟐𝒗_𝟐 mendefinisikan sebuah hasil kali dalam.

Bukti:

(1) Jika 𝐮 dan 𝐯 dipertukarkan, maka ruas kanan tetap sama. Maka 𝐮, 𝐯 = 𝐯, 𝐮

(2) Jika 𝐰 = 𝑤₁, 𝑤₂ , maka

𝐮 + 𝐯, 𝐰 = 3 𝑢₁ + 𝑣₁ 𝑤₁ + 2 𝑢₂ + 𝑣₂ 𝑤₂

= 3𝑢₁𝑤₁ + 2𝑢₂𝑤₂ + 3𝑣₁𝑤₁ + 2𝑣₂𝑤₂

Next…

(3) 𝑘𝐮, 𝐯 = 3 𝑘𝑢₁ 𝑣₁ + 2 𝑘𝑢₂ 𝑣₂

= 𝑘 3𝑢₁𝑣₁ + 2𝑢₂𝑣₂

= 𝑘 𝐮, 𝐯

(4) 𝐯, 𝐯 = 3𝑣₁𝑣₁ + 2𝑣₂𝑣₂ = 3𝑣₁² + 2𝑣₂²

Jelaslah bahwa 𝐯, 𝐯 = 3𝑣₁² + 2𝑣₂² ≥ 0. Selanjutnya, 3𝑣₁² + 2𝑣₂² = 0 j.h.j. 𝑣₁ = 𝑣₂ = 0, yakni jika dan hanya jika 𝐯 = 𝑣₁, 𝑣₂ = 0.

Contoh 3:

Jika 𝑈 = 𝑢₁ 𝑢₂

𝑢₃ 𝑢₄ dan 𝑉 = 𝑣₁ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑣₄ adalah sebarang dua matriks 2 × 2 , maka rumus berikut mendefinisikan sebuah hasil kali dalam 𝑀₂₂ (buktikan):

𝑈, 𝑉 = 𝒖_𝟏𝒗_𝟏 + 𝒖_𝟐𝒗_𝟐 + 𝒖_𝟑𝒗_𝟑 + 𝒖_𝟒𝒗_𝟒 Misalnya, jika

𝑈 = 1 2

3 4 dan 𝑉 = −1 0 3 2 Maka

𝑈, 𝑉 = 1 −1 + 2 0 + 3 3 + 4 2 = 16

Bukti:

(1) 𝑈, 𝑉 = 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ + 𝑢₄𝑣₄

= 𝑣₁𝑢₁ + 𝑣₂𝑢₂ + 𝑣₃𝑢₃ + 𝑣₄𝑢₄

= 𝑉, 𝑈

(2) Jika 𝑊 = 𝑤₁ 𝑤₂

𝑤₃ 𝑤₄ , maka

𝑈 + 𝑉, 𝑊 = 𝑢₁ + 𝑣₁ 𝑤₁ + 𝑢₂ + 𝑣₂ 𝑤₂ + 𝑢₃ + 𝑣₃ 𝑤₃ + 𝑢₄ + 𝑣₄ 𝑤₄

= 𝑢₁𝑤₁ + 𝑢₂𝑤₂ + 𝑢₃𝑤₃ + 𝑢₄𝑤₄ + 𝑣₁𝑤₁ + 𝑣₂𝑤₂ + 𝑣₃𝑤₃ + 𝑣₄𝑤₄

= 𝑈, 𝑊 + 𝑉, 𝑊

Next…

(3) 𝑘𝑈, 𝑉 = 𝑘𝑢₁ 𝑣₁ + 𝑘𝑢₂ 𝑣₂ + 𝑘𝑢₃ 𝑣₃ + 𝑘𝑢₄ 𝑣₄

= 𝑘 𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + 𝑢₃𝑣₃ + 𝑢₄𝑣₄

= 𝑘 𝑈, 𝑉

(4) 𝑉, 𝑉 = 𝑣₁𝑣₁ + 𝑣₂𝑣₂ + 𝑣₃𝑣₃ + 𝑣₄𝑣₄ = 𝑣₁² + 𝑣₂² + 𝑣₃² + 𝑣₄²

Jelaslah bahwa 𝑉, 𝑉 = 𝑣₁² + 𝑣₂² + 𝑣₃² + 𝑣₄² ≥ 0.

Selanjutnya,𝑣₁² + 𝑣₂² + 𝑣₃² + 𝑣₄² = 0 j.h.j. 𝑣₁ = 𝑣₂ = 𝑣₃ = 𝑣₄ = 0, yakni jika dan hanya jika 𝑉 = 𝑣₁ 𝑣₂

𝑣₃ 𝑣₄ = 0 0

Contoh 4:

Jika 𝐩 = 𝑎₀ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥² dan 𝐪 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑥² adalah sebarang dua vektor di 𝑃₂, maka rumus berikut

mendefinisikan sebuah hasil kali dalam pada 𝑃₂ (buktikan):

𝐩, 𝐪 = 𝑎₀𝑏₀ + 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂ Bukti:

(1) 𝐩, 𝐪 = 𝑎₀𝑏₀ + 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂ = 𝑏₀𝑎₀ + 𝑏₁𝑎₁ + 𝑏₂𝑎₂

= 𝐪, 𝐩

(2) Jika 𝐫 = 𝑐₀ + 𝑐₁𝑥 + 𝑐₂𝑥²

𝐩 + 𝐪 , 𝐫 = 𝑎₀ + 𝑏₀ 𝑐₀ + 𝑎₁ + 𝑏₁ 𝑐₁ + 𝑎₂ + 𝑏₂ 𝑐₂

= 𝑎₀𝑐₀ + 𝑎₁𝑐₁ + 𝑎₂𝑐₂ + 𝑏₀𝑐₀ + 𝑏₁𝑐₁ + 𝑏₂𝑐₂

= 𝐩, 𝐫 + 𝐪, 𝐫

Next…

(3) 𝑘𝐩, 𝐪 = 𝑘𝑎₀ 𝑏₀ + 𝑘𝑎₁ 𝑏₁ + 𝑘𝑎₂ 𝑏₂

= 𝑘 𝑎₀𝑏₀ + 𝑎₁𝑏₁ + 𝑎₂𝑏₂ = 𝑘 𝐩, 𝐪 (4) 𝐪, 𝐪 = 𝑏₀𝑏₀ + 𝑏₁𝑏₁ + 𝑏₂𝑏₂

= 𝑏₀² + 𝑏₁² + 𝑏₂²

Jelaslah bahwa 𝐪, 𝐪 = 𝑏₀² + 𝑏₁² + 𝑏₂² ≥ 0.

Selanjutnya, 𝑏₀² + 𝑏₁² + 𝑏₂² = 0 j.h.j. 𝑏₀ = 𝑏₁ = 𝑏₂ = 0, yakni jika dan hanya jika 𝐪 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑥² = 0

Contoh 5:

Misalkan 𝐩 = 𝑝 𝑥 dan 𝐪 = 𝑞 𝑥 adalah dua polinomial di 𝑃_𝑛, dan definisikanlah

𝐩, 𝐪 = _𝑎^𝑏 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 … (5)

dimana 𝑎 < 𝑏, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Kita akan perlihatkan (5) mendefinisikan hasil kali dalam pada 𝑃_𝑛.

(1) 𝐩, 𝐪 = _𝑎^𝑏 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = _𝑎^𝑏 𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐪, 𝐩 (2) 𝐩 + 𝐪, 𝐬 = _𝑎^𝑏 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑝_𝑎^𝑏 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑞_𝑎^𝑏 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐩, 𝐬 + 𝐪, 𝐬

Next…

(3) 𝑘𝐩, 𝐪 = 𝑘𝑝_𝑎^𝑏 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑝_𝑎^𝑏 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑘 𝐩, 𝐪

(4) 𝐩, 𝐩 = 𝑝_𝑎^{𝑏 2} 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

Selanjutnya, karena 𝑝² 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 dan karena polinomial adalah fungsi kontinu, maka 𝑝_𝑎^{𝑏 2} 𝑥 𝑑𝑥 = 0 j.h.j.

𝑝 𝑥 = 0 untuk semua 𝑥 yang memenuhi 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Maka 𝐩, 𝐩 = 𝑝_𝑎^{𝑏 2} 𝑥 𝑑𝑥 = 0 j.h.j. 𝐩 = 𝟎.

Ruang Hasil Kali Dalam

• Jika u dan v vektor-vektor tak nol di dalam 𝑅³, maka 𝐮. 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 𝜃. Jika dikuadratkan kedua ruasnya dan menggunakan hubungan-hubungan 𝐮 ² = 𝐮. 𝐮,

𝐯 ² = 𝐯. 𝐯 , dan 𝑐𝑜𝑠²𝜃 ≤ 1, maka didapat ketaksamaan:

𝐮. 𝐯

²

≤ 𝐮. 𝐮 𝐯. 𝐯

Teorema 2: ( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam 𝑉, maka

Bukti:

Jika 𝐮 = 0 maka 𝐮, 𝐯 = 𝐮, 𝐮 = 𝟎. Jelas, kesamaan akan berlaku.

Anggap 𝐮 ≠ 0. Misalkan 𝑎 = 𝐮, 𝐮 , 𝑏 = 2 𝐮, 𝐯 , 𝑐 = 𝐯, 𝐯 , dan 𝑡 ∈ 𝑅. Menurut aksioma positivitas, hasil kali dalam vektor dengan dirinya sendiri selalu tak negatif, maka:

𝐮, 𝐯

²

≤ 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯

Next…

0 ≤ 𝑡𝐮 + 𝐯 , 𝑡𝐮 + 𝐯 = 𝐮, 𝐮 𝑡² + 2 𝐮, 𝐯 𝑡 + 𝐯, 𝐯

= 𝑎𝑡² + 𝑏𝑡 + 𝑐

Ketaksamaan ini berarti bahwa polinomial kuadratik

𝑎𝑡² + 𝑏𝑡 + 𝑐 tidak punya akar-akar real maupun akar real yang berulang, maka Diskriminannya harus memenuhi 𝑏² − 4𝑎𝑐 ≤ 0 ⇔ 4 𝐮, 𝐯 ² − 4 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯 ≤ 0 atau secara ekivalen 𝐮, 𝐯 ² ≤ 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯 .

Contoh 6:

Jika 𝐮 = 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 dan 𝐯 = 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛 adalah dua vektor di 𝑅^𝑛, maka ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang dipakaikan pada u dan v akan menghasilkan

𝑢₁𝑣₁ + 𝑢₂𝑣₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝑣_𝑛 ²

≤ 𝑢₁² + 𝑢₂² + ⋯ + 𝑢_𝑛² 𝑣₁² + 𝑣₂² + ⋯ + 𝑣_𝑛²

Yang dinamakan ketaksamaan Cauchy (Cauchy inequality)

PANJANG & SUDUT

DI RUANG HASIL KALI DALAM

Definisi 3:

Jika 𝑉 adalah ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) dari sebuah vektor 𝐮 didefinisikan oleh:

Selanjutnya, jarak diantara dua titik (vektor) u dan v:

𝐮 = 𝐮, 𝐮

^1/2

𝑑 𝐮, 𝐯 = 𝐮 − 𝐯

Contoh 7:

Jika 𝐮 = 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 dan 𝐯 = 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛 adalah dua vektor di 𝑅^𝑛 dengan hasil kali dalam Euclides, maka

𝐮 = 𝐮, 𝐮 ^1/2 = 𝑢₁² + 𝑢₂² + ⋯ + 𝑢_𝑛² dan

𝑑 𝐮, 𝐯 = 𝐮 − 𝐯 = 𝐮 − 𝐯, 𝐮 − 𝐯 ^1/2

= 𝑢₁ − 𝑣₁ ² + 𝑢₂ − 𝑣₂ ² + ⋯ + 𝑢_𝑛 − 𝑣_𝑛 ²

Contoh 8:

Misalkan 𝑅² mempunyai hasil kali dalam 𝐮, 𝐯 = 3𝑢₁𝑣₁ + 2𝑢₂𝑣₂. Jika 𝑢 = 1,0 dan 𝑣 = 0,1 maka

𝐮 = 𝐮, 𝐮 ^1/2 = 3𝑢₁𝑢₁ + 2𝑢₂𝑢₂ ^1/2

= 3 1 1 + 2 0 0 ^1/2 = 3 dan

𝑑 𝐮, 𝐯 = 𝐮 − 𝐯 = 1, −1 , 1, −1 ^1/2

= 3 1 1 + 2 −1 −1 ^1/2 = 5

Next…

• Norma dan jarak bergantung pada perkalian dalam yang digunakan. Jika perkalian dalam diubah, maka norma dan jarak diantara vektor akan berubah.

• Misalnya, jika 𝑅² mempunyai perkalian dalam Eulides, maka norma vektor 𝐮

𝐮 = 𝐮, 𝐮 ^1/2 = 1 ² + 0 ² = 1 dan

𝑑 𝐮, 𝐯 = 𝐮 − 𝐯 = 1 − 0 ² + 0 − 1 ² = 2

Panjang vektor di Ruang Hasil Kali Dalam

Gambar 1

Teorema 4:

Jika 𝑉 adalah ruang hasil kali dalam, maka norma

𝐮 = 𝐮, 𝐮 ^1/2 dan jarak 𝑑 𝐮, 𝐯 = 𝐮 − 𝐯 memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada Gambar 1.

A.d.b: L4

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: 𝐮, 𝐯 ² ≤ 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯 Karena 𝐮 ² = 𝐮, 𝐮 dan 𝐯 ² = 𝐯, 𝐯 , maka

𝐮, 𝐯 ² ≤ 𝐮 ² 𝐯 ² dengan mengambil akar-akar kuadratnya:

𝐮, 𝐯 ≤ 𝐮 𝐯 ….. (*)

Bukti: L4

Menurut definisi:

𝐮 + 𝐯 ² = 𝐮 + 𝐯, 𝐮 + 𝐯

= 𝐮, 𝐮 + 2 𝐮, 𝐯 + 𝐯, 𝐯

≤ 𝐮, 𝐮 + 2 𝐮, 𝐯 + 𝐯, 𝐯

≤ 𝐮, 𝐮 + 2 𝐮 𝐯 + 𝐯, 𝐯 ……. (*)

= 𝐮 ² + 2 𝐮 𝐯 + 𝐯 ²

= 𝐮 + 𝐯 ²

Dengan mengambil akar-akar kuadratnya:

Panjang vektor di Ruang Hasil Kali Dalam

• Fakta geometrik bahwa jumlah panjang dari dua sisi segitiga setidak-tidaknya sama seperti panjang sisi ketiga.

Gambar 2 u

u+v v

Sudut vektor di Ruang Hasil Kali Dalam

• Misalkan u dan v vektor-vektor tak nol di ruang hasil kali dalam 𝑉. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

𝐮, 𝐯 ² ≤ 𝐮 ² 𝐯 ² dapat ditulis: ^𝐮,𝐯

𝐮 𝐯

2 ≤ 1

atau ekivalen: −1 ≤ ^𝐮,𝐯

𝐮 𝐯 ≤ 1

maka ada sebuah sudut 𝜃 yang unik sehingga cos 𝜃 = ^𝐮,𝐯 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Contoh 9:

Carilah cosinus dari sudut 𝜃 diantara vektor-vektor 𝐮 = 4, 3, 1, −2 dan 𝐯 = −2, 1, 2, 3

Dimana ruang vektornya 𝑅⁴ dengan perkalian dalam Euclidis.

Jawab:

𝐮 = 30 𝐯 = 18 dan 𝐮, 𝐯 = −9 Sehingga

cos 𝜃 = 𝐮, 𝐯

𝐮 𝐯 = −9

30 18 = − 3

30 2 = − 3

2 15 = − 15 10

Contoh 10:

Jika 𝑀₂₂ mempunyai perkalian dalam yang diberikan di dalam contoh 3, maka sudut diantara matriks-matriks

𝑈 = 1 0

1 1 dan 𝑉 = 0 2 0 0 Adalah 𝜋/2 karena

cos 𝜃 = 𝑈. 𝑉

𝑈 𝑉 = 1 0 + 0 2 + 1 0 + 1 0

𝑈 𝑉 = 0

Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol sehingga 𝐮, 𝐯 = 0, maka jelas cos 𝜃 = 0 dan 𝜃 = 𝜋/2.

Definisi 5:

Di dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v

dinamakan ortogonal jika 𝐮, 𝐯 = 0. Selanjutnya, jika u ortogonal kepada setiap vektor di dalam sebuah himpunan W, maka u ortogonal kepada W.

Contoh 11:

Misalkan 𝑃₂ mempunyai perkalian dalam

𝐩, 𝐪 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥_−𝟏^𝟏 , dan jika 𝐩 = 𝑥, 𝐪 = 𝑥² maka 𝐩 = 𝐩, 𝐩 ^1/2 = 𝒙𝒙𝑑𝑥_−𝟏^{𝟏 1/2} = 𝒙_−𝟏^{𝟏 𝟐}𝑑𝑥 ^1/2 = ²

3 𝐪 = 𝐪, 𝐪 ^1/2 = 𝒙_−𝟏^{𝟏 𝟐}𝒙^𝟐𝑑𝑥 ^1/2 = 𝒙_−𝟏^{𝟏 𝟒}𝑑𝑥 ^1/2 = ²

5 𝐩, 𝐪 = 𝒙𝒙_−𝟏^{𝟏 𝟐}𝑑𝑥 = 𝒙_−𝟏^{𝟏 𝟑}𝑑𝑥 = 0

Karena 𝐩, 𝐪 = 0 maka 𝐩 = 𝑥, 𝐪 = 𝑥² ortogonal terhadap hasil kali dalam yang diberikan.

Teorema (T. Pythagoras yang diperumum)

Jika u dan v vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam, maka

𝐮 + 𝐯 ² = 𝐮 ² + 𝐯 ² Bukti:

𝐮 + 𝐯 ² = 𝐮 + 𝐯, 𝐮 + 𝐯 = 𝐮 ² + 2 𝐮, 𝐯 + 𝐯 ²

= 𝐮 ² + 𝐯 ²

Gambar 3 u

u+v v