EKSISTENSI BASIS ORTHONORMAL PADA RUANG HASIL KALI
DALAM
Muhammad Kukuh Abstraksi
Suatu ruang vektor V yang dilengkapi oleh suatu operasi yang memenuhi beberapa aksioma tertentu dinamakan Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD). Pada RHKD, dikenal juga istilah tentang basis. Himpunan yang merupakan basis yang memenuhi sifat tertentu dinamakan basis orthonormal. Pada penelitian ini akan ditunjukkan bahwa untuk setiap RHKD maka bisa ditentukan basis orthonormal yang diperoleh dari setiap basis yang ada.
Kata Kunci : Ruang vektor, Ruang Hasil kali Dalam, Basis Orthonormal
A. Pendahuluan
Dalam Aljabar Linear dikenal istilah mengenai Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) yaitu suatu ruang vektor yang dilengkapi oleh suatu operasi yang memenuhi beberapa aksioma tertentu. Sama hal nya pada ruang vektor, pada RHKD dikenal juga tentang basis dan yang lebih jauh mengenai basis orthonormal. Untuk mencari basis orthonormal bukanlah hal yang mudah. Untuk itu, peneliti dalm hal ini akan mengkaji bagaimana mencari basis orthonormal yang diperoleh dari basis yang ada.
B. Eksistensi Basis Orthonormal Pada Ruang Hasil Kali Dalam Diberikan
x
y
R
y
x
R
2,
adalah ruang vektor atas lapangan R.Dot product dari 2
2 2 2 1 1 1
,
R
y
x
v
y
x
v
adalah relasiR
2
R
2
R
dengan definisi v1v2 x1x2 y1y2.Sifat-sifat dari dot product: 1. v1v2 v2 v1
2.
v1 v2
v1v2
3.
v
1
v
2
v
3
v
1
v
3
v
2
v
3Sitat-sifat diatas akan digeneralisasikan pada sembarang ruang vektor V atas lapangan bilangan real R.
Definisi
Fungsi
,
:
V
V
R
Disebut hasil kali dalam dari ruang vektor V jika
v
1,
v
2,
v
3
V
dan
R
berlaku:1.
v
1,
v
2
v
2,
v
12.
v
1,
v
2
v
1,
v
23.
v
1
v
2,
v
3
v
1,
v
3
v
2,
v
34.
v
1,
v
2
0
v
1,
v
1
0
v
1
0
.Jadi,
R
2
R
2
R
merupakan salah satu contoh hasil kali dalam padaR
2. Contoh: 1.,
:
R
2
R
2
R
dengan 2 2 1,
v
R
v
dideffinisikan 2 1 2 1 2 1,
v
2
x
x
3
y
y
v
merupakan hasil kali dalam karena memenuhi: 1.v
1,
v
2
2
x
1x
2
3
y
1y
2
2
x
2x
1
3
y
2y
1
v
2,
v
1 2.
v
1,
v
2
2
x
1x
2
3
y
1y
2
2
x
1x
2
3
y
1y
2
v
1,
v
2 3.v
1
v
2,
v
3
2
x
1
x
2
x
3
3
y
1
y
2
y
3
2
x
1x
3
2
x
2x
3
3
y
1y
3
3
y
2y
3
2
x
1x
3
3
y
1y
3
2
x
2x
3
3
y
2y
3
v
1,
v
3
v
2,
v
3 4.v
1,
v
1
2
x
12
3
y
12
0
,
0
2
3
120
2 1 1 1v
x
y
v
0 1 1 x y . 2.,
:
R
2
R
2
R
denganv
1,
v
2
x
1x
2
2
y
1y
2 bukan merupakan hasil kali dalam karena2 1 2 1 1 1
,
v
x
2
y
v
1 1, v
v
bisa bernilai negatif misalnya untuk danDefinisi v v v V v , , Diketahui 2 1 2 cos
2 2 2 1 2 1 v v v v v v ………….. (I) 2 1 2 1 1 1 2 1 v ,v x y v 2 2 2 2 2 2 2 2 v ,v x y v
2 2 1 2 2 1 2 2 1 v x x y y v 1 2 22 2 1 2 2 2 1 2 1 2x x x y 2y y y x
1 2 1 2
2 2 2 2 2 1 2 1 y x y 2 x x y y x 1 2 2 2 2 1 v 2 v ,v v ……….. (II)dari (I) dan (II) diperoleh
cos
2
,
2
v
1v
2
v
1v
2 2 1 2 1, cos v v v v
adalah sudut antara v1&v2V . Teorema 2 1 2 1,v v v v Bukti: 1) v1 00
,
0
,
.
0
,
0
,
2 2 2 2 2 2 1v
v
v
v
v
v
v
0 0 , 2 1 2 1 v v v vanalog untuk kasus
v
2
0
2) a) misalkanv
1
1
1 v 2 v 1 2 v v
bentuk
v
3
v
2
v
1,
v
2v
1 3 3 2 3 v , v v v2 v1,v2 v1,v2 v1,v2 v1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2,v 2 v,v v,v v,v v 1, 2 2 0 2 2 v v v 2 2 1 2 2 v , v v 2 1 2 v, v v 2 1 2 2 1,v 1.v v v v b) Untukv
1
1
bentuk 31
1 1 3
v
v
v
v
2 3 2 v , v v 2 1 1 2, v
v
v
v
2 1 1 2,
1
v
v
v
v
2 1 1 2 v v, v v . TeoremaDiberikan ruang vektor V, maka v1,v2V berlaku
0
,
2 1 2 1
v
v
v
v
. Bukti1. Diketahui
v
1
v
2 akan ditunjukkan v1,v2 00
,
0
,
cos
1 2 2 1 2 1
v
v
v
v
v
v
.2. Diketahui v1,v2 0 akan ditunjukkan v1 v2
2 1 2 1
90
0
,
cos
v
v
v
v
v
v
.Definisi
Diberikan V ruang vector dan X V,X
v1,v2,...,vn
. Himpunan X disebut himpunan orthogonal jika dan hanya jika0
,
,
,
,
2 1 2 1 2 1
v
v
X
v
v
v
v
. DefinisiDiberikan V ruang vektor, X V,X
v1,v2,...,vn
. Himpunan X disebut himpunan orthonormal Jika dan hanya jika1. X orthogonal 2.
v
i
X
,
v
i
1
.Keistimewaan himpunan orthonormal dalam ruang vektor V. Sifat:(keistimewaan ke-1)
v
v
v
n
X
V
X
,
1,
2,...,
, jika X orthonormal maka X bebas linear. Bukti
v v vn
X 1, 2,...,
untuk
1v
1
2v
2
...
nv
n
0
akan ditunjukkan0 ... 2 1
n
j n n j n i i iv
,
v
1v
1 2v
2...
v
,
v
1
j n n j j j j j j v v v v v v v v v , , ... , ... , , 0
1 1
2 2
j n n j j j j j v v v v v v v v , , ... , ... , 0
1 1
2 2
0 ... ... 0 0 0
j 0 j
.Karena berlaku untuk sembarang
j
1
,
2
,...,
n
maka0 ...
2
1
n
. Jadi X terbukti bebas linear. Definisi:Vektor nol tegak lurus terhadap setiap vektor.
v
v
v
n
X
V
X
,
1,
2,...,
V
v
v
y
y
V
v
v
y
v
v
y
v
v
y
v
v
y
n i i i i i i n n
1 1 2 2 1 1,
,
,
...
,
,
. Sifat:(keistimewaan ke-2)
v
v
v
n
X
V
X
,
1,
2,...,
orthonormal , Untuk sembarang X v v y y V y n i i n
1 , , BuktiAmbil sembarang vj X akan dibuktikan
,
,
0
1
n i j i iv
v
v
y
y
n i j i i j n i j i iv
v
y
v
y
v
v
v
v
y
y
1 1,
,
,
,
,
n i j i i j y v v v v y 1 , , ,
n i j i i j y v v v v y 1 , , ,
j n n j j j j j j v v v y v v v y v v v y v v v y v y , , ... , , ... , , , , , 1 1 2 2 y,vj y,vj 0. Karena berlaku untuk sembarangj
1
,
2
,...,
n
maka0
,
,
1
n i j i iv
v
v
y
y
. Teorema:Diberikan V ruang vektor berdimensi berhingga. Setiap ruang hasil kali dalam V yang tak nol mempunyai basis orthonormal.
Bukti:
V adalah ruang vektor berdimensi hingga. Untuk setiap
x
i
V
pandang subhimpunan orthonormal
X
k
v
1,
v
2,...,
v
k
di V. Menurut sifat diatas, subhimpunanX
k bebas linear. JikaX
k membangun V bukti selesai. Sekarang misalkanX
k tidak membangun V, dan misalkan S adalah subruang yang dibangun olehX
k. Ambil vektory
V
tetapiS
y
. Tulis . , , 1
k i i i i v v v y y zDiperoleh
z
S
. Menurut sifat diatas, vektor z orthogonal pada semua vektorv
i
X
k. Dengan demikian, diperoleh subhimpunan di V yaitu
z
z
X
X
k 1 k bersifat orthonormal, jadi bebas linear. Cara memperoleh subhimpunan orthonormalX
k1 seperti ini dapat kitalanjutan, selama subruang yang dibangun oleh subhimpunan
X
k1 tidaksama dengan V. Karena dimensi ruang vektor V hingga, proses ini berhenti. Akhirnya diperoleh suphimpunan orthonormal
k
k
v
v
v
X
1,
2,...,
yang membangun ruang vektor V. dengan kata lain. X adalah basis orthonormal dari V.Diberikan V adalah ruang hasil kali dalam hingga dengan
dim(
V
)
n
. Ada basis orthonormal dalam V, sebutB
e
1,
e
2,...,
e
n
.
n n B n ne v R e e v V v
2 1 2 2 1 1 ...
n n B n ne w R e e v V w
2 1 2 2 1 1 ...
v
B
w
B
1
1
2
2
...
n
n Sifat (Keistimewaan 3)
v
Bw
Bw
v
,
Bukti n n n n
e
e
e
e
e
e
w
v
,
1 1
2 2
...
,
1 1
2 2
...
n j j j n i i ie
e
1 1,
n i n j j j i ie
e
1 1,
n i n j j j i ie
e
1 1,
n i n j j j i ie
e
1 1,
n i n j j i j ie
e
1 1,
n i n j j i 1 1
, ingat
j
i
j
i
e
e
i j,
0
,
1
,
vB wB. DefinisiV ruang hasil kali dalam,
v
V
v
x
x
S
v
V
v
x
x
S
S
V
S
,.
,
,
0
,
.Sifat (Keitimewaan 4)
V ruang vektor atas lapangan R,
S
subruang V. Bukti:Ambil sembarang
v
1,
v
2,
x
S
dan
1,
2 Rx
v
x
v
x
v
v
1 2 2,
1 1,
2 2,
1
1v
1,
x
2v
2,
x
10
200. Jadi
1v
1
2v
2,
x
S
.Ingat! Untuk V ruang vektor dan
S
x
1,
x
2,
,
x
k
V
makaS
= Subruang yang dibangun oleh S= Subruang terkecil yang memuat S
=
S
,S
adalah subruang yang memuat S. Sifat (Keistimewaan 5)V ruang vektor atas lapangan R dan
S
V
,S
S
. BuktiS
s
s
x
S
x
,
ataux
,
s
0
S s R s y S y i i n i i i
, , 1
n i i is
x
y
x
1,
,
n i i is x 1 ,
n i i i x s 1 ,
0 0 1
n i i
. SoalDiketahui V suatu ruang hasil kali dalam dan
X
x
1,
x
2,...,
x
k
suatu basis dari V. Dari basis X buatlah suatu basis orthonormal.Jawab Bentuk 1 1 1
x
x
u
1 1 2 2 1 1 2 2 2,
,
u
u
x
x
u
u
x
x
u
2 2 3 1 1 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3,
,
,
,
u
u
x
u
u
x
x
u
u
x
u
u
x
x
u
3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 4 4,
,
,
,
,
,
u
u
x
u
u
x
u
u
x
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
x
u
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1,
...
,
,
,
...
,
,
n n n n n n n n n n n n nu
u
x
u
u
x
u
u
x
x
u
u
x
u
u
x
u
u
x
x
u
Diperoleh himpunan merupakan basis orthonormal di V yang diperoleh dari X.
C. Penutup
Berdasarkan uraian di atas diperolah beberapa keistimewaan basis orthonormal, yaitu :
1. Setiap Basis Orthonormal bersifat bebas linear
2. Setiap Basis Orthonormal dapat ditemukan vektor yang orthogonal dengan setiap vektor pada Basis Orthonormal tersebut
3. Hasil kali dalam dua vektor merupakan hasil kali masing-masing koordinat dari dua vektor terrsebut.
4. Suatu himpunan yang orthogonal merupakan subruang bagi ruang vektornya.
5. Setiap Himpunan Orthogonal Ortogonal juga terhadap himpunan .
6. Untuk suatu basis dapat diperoleh basis
ortonormal yaitu 1 1 1
