Jadi (f ( f) bernilai nol untuk setiap x, sehingga (f ( f) fungsi nol atau
) (
(f f .
Aksioma 5
Ambil f,g F, R,
) ( )
)(
( f g x f g x
f(x) g(x)
f(x) g(x)
( f g)(x)
Karena ( f g )(x) ( f g)(x) untuk setiap x sehingga f g f g
Aksioma 6
Ambil sebarang f F, , R sehingga:
) ( ). ( ) )( )
(( f x f x
) ( )
(x f x
f
) ( )
(x f x
f
Karena (( )f)(x) f (x) f (x) untuk setiap x sehingga
f f
f .
Aksioma 7
Ambil sebarang f F, , R sehingga:
) ( ). ( ) )( )
(( f x f x ( definisi perkalian skalar )
) (
) )(
( f x (definisi perkalian skalar )
) ( )
( f x (definisi perkalian skalar )
Karena (( )f)(x) ( f)(x) untuk setiap x sehingga ( )f f .
Aksioma 8
) ( ) ( . ) )( .
(1 f x 1 f x f x , untuk setiap x sehingga 1.f f.
Berikut diberikan sifat-sifat yang selalu dimiliki oleh suatu ruang vektor.
Sifat-sifat ini tidak diangkat menjadi aksioma pada ruang vektor karena dengan
memenuhi kedelapan aksioma, maka sifat-sifat berikut pasti dipenuhi.
Lemma 1.1.2
Andaikan V adalah suatu ruang vektor, untuk setiap v V, R berlaku:
a. 0.v 0
b. 1.v v 0
c. .0 0
Bukti:
a. 0.v 0
Perlu diingat bahwa selalu berlaku: v (1 0).v 1.v 0.v. Jika kedua sisi
v
Latihan 1.1.1
1. Tentukan elemen nol pada himpunan –himpunan berikut relatif terhadap definisi
operasi yang bersangkutan:
a. Himpunan semua matriks ordo 2 4 terhadap operasi matriks standar
b. Himpunan semua fungsi f :0..1 R f adalah fungsikontinu terhadap
operasi matriks standar
c. Himpunan M a b R
2 , terhadap operasi matriks standarnya.
d. Himpunan R3, terhadap operasi perkalian kalar standar, dan operasi
penjumlahan yang disefinisikan sebagai berikut:
2. Seperti dalam soal no. 1, carilah invers dari sebarang elemen pada himpunan
yang bersangkutan.
3. Tunjukkan bahwa setiap himpunan berikut merupakan ruang vektor:
a. Himpunan semua polinomial linear P4 a bx cx2 dx3 ex4a,b,c,d,e R
terhadap operasi jumlah dan perkalian standar polinomial.
b. Himpunan semua matriks ordo 3 3 dengan entri –entrinya elemen bilangan
real, terhadap operasi jumlah matriks dan perkalian skalar matriks standar.
c. Himpunan A (x,y,z) R3x y 0 terhadap operasi jumlah dan perkalian
skalar standar untuk R3.
d. Himpunan F acos bsin a,b R terhadap operasi :
sin ) ' ( cos ) ' ( ) sin ' cos ' ( ) sin cos
(a b a b a a b b
sin ) . ( cos ) . ( ) sin cos
.(a b a b
e. Himpunan L f R R f 0
2 dx
f 2 d
: terhadap operasi standarnya.
f. Himpunan semua bilangan real positif terhadap operasi:
Penjumlahan : a b a.b dan perkalian skalar .a a
g. Himpunan bagian dari himpunan polinomial berderajat n, untuk n berhingga
, yaitu Pn' p(x) Pn p( x) p(x) terhadap operasi standar pada Pn.
4. Ujilah himpunan berikut apakah memmbentuk ruang vekto atau tidak, terhadap
a. Himpunan semua R3 dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut :
terhadap operasi tersebut.
6. Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong
membentuk suatu ruang vektor terhadap operasi standarnya.
7. Diberikan V ,W suatu ruang vektor. Dibentuk suatu himpunan
W b V a b a W
V ( , ) , . Pada himpunan tersebut didefinisikan operasi jumlah
dan perkalian skalar sebagai berikut:
b
a, a,'b' a a,'b b' dan a b .a, .b
8. Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong
dengan s,t S. Didefinisikan : :F S,V V V dengan (f) f(s),f(t) .
Tunjukkan bahwa himpunan N f F S,V (f) 0 membentuk ruang vektor
terhadap operasi yang didefinisikan pada F S,V .
9. Andaikan 0 adalah himpunan semua barisan bilangan real. Tunjukkan 0
membentuk ruang vektor terhadap operasi standar untuk penjumlahan barisan dan
perkalian bilangan real pada barisan.
10.Andaikan S himpunan tak kosong , dan F(S) adalah ruang vektor fungsi bernilai
real pada S. Jika A,B S tunjukkan bahwa : F(S,A) F(S,B) F(S,A B).
Jika A B, tunjukkan bahwa F(S,A) memuat F(S,B).
11.Andaikan C himpunan semua fungsi y f(x), x , yang memenuhi
persamaan deferensial y" y' 2y 0. Tunjukkan bahwa C membentuk ruang
