Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014

Aljabar Linier

Ruang vektor dan subruang vektor

2 Oktober 2014

Pertemuan-2

Pertemuan ke-2 memuat

1. Ruang vektor • operasi linier • field • definisi • Contoh • Kombinasi linier 1

2. Subruang • definisi

• penentuan subruang

Ruang vektor • operasi linier • field • definisi • Contoh • Kombinasi linier 2

Operasi Linier

Misalkan x = (x₁,· · · , x_n) dan y = (y₁,· · · , y_n) adalah vektor berdimensi-n dan r ∈ _R adalah sebuah skalar. Operasi linier meliputi

1. Penjumlahan

x+y = (x₁ + y₁,· · · , x_n + y_n)

2. Perkalian dengan skalar

rx = r(x₁,· · · , x_n) = (rx₁,· · · , rx_n)

3. Vektor nol 0 = (0,· · · ,0) 4. Vektor negatif −y = (−y₁,· · · ,−y_n) 5. Pengurangan vektor x-y = x+(-y) = (x₁ − y₁,· · · , x_n − y_n)

Field

Misalkan F adalah himpunan tak kosong (F 6= ∅) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian (F,+,·). F disebut lapangan jika memenuhi

1. a + b = b + a ∈ F

2. (a + b) + c = a + (b + c) ∈ F

3. ∃0 ∈ F 3 a + 0 = 0 + a = a ∈ F

4. ∀a ∈ F ∃b ∈ F 3 a + b = b + a = 0 ∈ F

5. a · b = b · a ∈ F

6. (a · b) · c = a(b · c) ∈ F

7. ∃1 ∈ F 3 a · 1 = 1 · a = a ∈ F

8. ∀a ∈ F∃b ∈ F 3 a · b = b · a = 1 ∈ F

Definisi informal: ruang vektor

Ruang vektor = Ruang linier = Himpunan V yang ter-diri atas element vektor-vektor yang bisa dijumlahkan dan dikalikan.

Untuk u,v ∈ V dan r ∈ _R maka

u+v ∈ V dan ru ∈ V

Definisi formal: ruang vektor

Sebuah himpunan V dikatakan ruang vektor atas field

F jika dikenai operasi linier berupa α : V × V → V dan

µ : F × V → V dan memenuhi sifat-sifat berikut ini

1. x+y=y+x, ∀x,y ∈ V

2. (x+y)+z=x+(y+z), ∀x,y,z ∈ V

3. Terdapat nilai tunggal 0 di V sedemikian sehingga 0+v=v+0=v, ∀v ∈ V

4. Untuk setiap v ∈ V , terdapat −v ∈ V sedemikian sehingga v+(-v)=(-v)+v=0

5. r(x + y) = rx + ry untuk setiap x,y ∈ V dan r ∈ F

6. (r + s)v = rv + sv

7. (rs)v = r(sv)

8. Terdapat nilai tunggal 1 di V sedemikian sehingga 1 · v = v · 1 = v

Operasi α : V × V → V dikatakan operasi linier pen-jumlahan dan µ : F × V → V disebut dengan operasi perkalian skalar.

Contoh

1. {0}

2. _Rn

3. M_m×n(_R)

contoh: detail vektor 0

Himpunan vektor 0 merupakan ruang vektor. Ambil 0 ∈ 0

1. Tertutup terhadap penjumlahan

0+0=0 ∈ 0

2. Memenuhi sifat asosiatif

0+(0+0)=(0+0)+0 ∈ 0

3. Terdapat elemen identitas penjumlahan 0 ∈ 0 se-demikian sehingga 0+0=0. Elemen identitas pen-jumlahan merupakan dirinya sendiri.

4. Terdapat elemen identitas perkalian 1 ∈ _R sedemi-kian sehingga 0 · 1 = 1 · 0=0 1 ·    0 ... 0    =    0 ... 0   

5. Memenuhi sifat distributif skalar l(0+0) = l    0 + 0 ... 0 + 0    =    l · 0 + l · 0 ... l · 0 + l · 0    =    l · 0 ... l · 0    +    l · 0 ... l · 0    = l · 0 + l · 0

6. Memenuhi sifat distributif vektor (l + k)0 =    (l + k)0 ... (l + k)0    =    l · 0 + k · 0 ... l · 0 + k · 0    =    l · 0 ... l · 0    +    k · 0 ... k · 0    = l · 0 + k · 0

7. Memenuhi sifat asosiatif perkalian (l · k)0 =    (l · k)0 ... (l · k)0    =    l(k · 0) ... l(k · 0)    = l(k0)

8. Terdapat invers sehingga 0+(-0)=0 0+(-0) =    0 ... 0    −    0 ... 0    =    0 ... 0   

contoh: detail Matriks

Himpunan matriks M_m×n merupakan ruang vektor. Mi-salkan A, B ∈ M_m×n dan k, l ∈ _R. A =    a_1,1 · · · a_1,n ... . . . ... a_m,1 · · · a_m,n   , B =    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n   

1. Tertutup terhadap penjumlahan

A + B =    a_1,1 · · · a_1,n ... . . . ... a_m,1 · · · a_m,n    +    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n    =    a_1,1 + b_1,1 · · · a_1,n + b_1,n ... . . . ... a_m,1 + b_m,1 · · · a_m,n + b_m,n    ∈ Mm×n 9

2. Memenuhi sifat asosiatif (A + B) + C =   a1,1 + b1,1 + c1,1 · · · a1,n + b1,n + c1,n ... . . . ... am,1 + bm,1 + cm,1 · · · am,n + bm,n + cm,n   =   a1,1 · · · a1,n ... . . . ... am,1 · · · am,n   +   b1,1 + c1,1 · · · b1,n + c1,n ... . . . ... bm,1 + cm,1 · · · bm,n + cm,n   = A+ (B + C)

3. Terdapat matriks 0 sehingga B + 0 = 0 + B = B B + 0 =    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n    +    0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0    =    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n   

sede-mikian sehingga A + (−A) = 0 A + (−A) =    a_1,1 · · · a_1,n ... . . . ... a_m,1 · · · a_m,n    +    −a_1,1 · · · −a_1,n ... . . . ... −a_m,1 · · · −a_m,n    =    0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0   

5. Terdapat unsur identitas perkalian 1 sedemikian se-hingga B · 1 = 1 · B = B B · 1 =    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n    · 1 =    b_1,1 · · · b_1,n ... . . . ... b_m,1 · · · b_m,n   

6. Memenuhi sifat distributif skalar l(A + B) =    l(a_1,1 + b_1,1) · · · l(a_1,n + b_1,n) ... . . . ... l(a_m,1 + b_m,1) · · · l(a_m,n + b_m,n)    =    la_1,1 · · · la_1,n ... . . . ... la_m,1 · · · la_m,n    +    lb_1,1 · · · lb_1,n ... . . . ... lb_m,1 · · · lb_m,n    = lA + lB

7. Memenuhi sifat distribusi matriks (l + k)A =    (l + k)a_1,1 · · · (l + k)a_1,n ... . . . ... (l + k)a_m,1 · · · (l + k)a_m,n    =    la_1,1 + ka_1,1 · · · la_1,n + ka_1,n ... . . . ... la_m,1 + ka_m,1 · · · la_m,n + ka_m,n    =    la_1,1 · · · la_1,n ... . . . ... la_m,1 · · · la_m,n    +    ka_1,1 · · · ka_1,n ... . . . ... ka_m,1 · · · ka_m,n    = lA + kA

8. Memenuhi sifat assosiatif perkalian skalar (l · k)A =    (l · k)a_1,1 · · · (l · k)a_1,n ... . . . ... (l · k)a_m,1 · · · (l · k)a_m,n    =    l(ka_1,1) · · · l(ka_1,n) ... . . . ... l(ka_m,1) · · · l(ka_m,n)    = l    ka_1,1 · · · ka_1,n ... . . . ... ka_m,1 · · · ka_m,n    = l(kA)

Masalah 1

Misalkan V ⊂ _R3 adalah himpunan vektor dengan ope-rasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai

v₁ + v₂ =    x₁ y₁ z₁    +    x₂ y₂ z₂    =    x₁ + x₂ − 1 y₁ + y₂ − 1 z₁ + z₂ − 1   

dan operasi perkalian didefinisikan sebagai perkalian vek-tor biasa dimana

cv₁ = c    x₁ y₁ z₁    =    cx₁ cy₁ cz₁   

Apakah V ruang vektor ?

Misalkan v₁,v₂ ∈ V

1. Tertutup terhadap penjumlahan v₁ + v₂ =    x₁ + x₂ − 1 y₁ + y₂ − 1 z₁ + z₂ − 1    ∈ V

2. Memenuhi sifat asosiatif

v₁ + (v₂ + v₃) = v₁ +    x₂ + x₃ − 1 y₂ + y₃ − 1 z₂ + z₃ − 1    =    x₁ + x₂ + x₃ − 2 y₁ + y₂ + y₃ − 2 z₁ + z₂ + z₃ − 2    =    x₁ + x₂ − 1 + x₃ − 1 y₁ + y₂ − 1 + y₃ − 1 z₁ + z₂ − 1 + z₃ − 1    =    x₁ + x₂ − 1 y₁ + y₂ − 1 z₁ + z₂ − 1    + v3 = (v₁ + v₂) + v₃

Misalkan θ adalah elemen identitas penjumlahan v₁ + θ = v₁    x₁ y₁ z₁    +    α β γ    =    x₁ y₁ z₁       x₁ + α − 1 y₁ + β − 1 z₁ + γ − 1    =    x₁ y₁ z₁   

dengan kesamaan dua vektor akan kita dapatkan

θ =    1 1 1   

Misalkan ψ adalah invers dari v₁ maka akan kita dapatkan ψ + v₁ = θ    a b c    +    x₁ y₁ z₁    =    1 1 1       a + x₁ − 1 b + y₁ − 1 c + z₁ − 1    =    1 1 1   

dengan kesamaan dua vektor akan kita dapatkan

ψ =    2 − x₁ 2 − y₁ 2 − z₁   

5. sifat distributif. Misalkan l ∈ _R. l(v₁ + v₂) = l    x₁ + x₂ − 1 y₁ + y₂ − 1 z₁ + z₂ − 1    =    lx₁ + lx₂ − l ly₁ + ly₂ − l lz₁ + lz₂ − l    =    lx₁ ly₁ lz₁    +    lx₂ ly₂ lz₂    −    l l l    6 = lv₁ + lv₂

Oleh karena V tidak memenuhi salah satu sifat dari ruang vektor yaitu sifat distributif, maka V bukan ruang vektor

sifat-sifat umum

Pada ruang vektor V berlaku beberapa sifat berikut

1. vektor 0 bersifat unik (tunggal).

2. vektor (−v) dari vektor v bersifat unik.

3. Sifat cancellation

Untuk x,y,z ∈ V dimana

x+y=x+z maka berlaku

y=z

bukti: sifat umum-1

Misalkan θ dan ψ adalah elemen identitas dari ruang vektor V . Kita dapatkan

θ + ψ = θ

dikarenakan ψ adalah unsur identitas penjumlahan pada

V . Juga,

ψ + _θ = _ψ

dikarenakan θ adalah unsur identitas penjumlahan pa-da V . Dengan sifat komutatif pada penjumlahan pada ruang vektor

θ + ψ = ψ + θ =⇒ θ = ψ

bukti: sifat umum-2

Misalkan θ dan ψ adalah invers dari x pada ruang vektor

V . Dengan menjumlahkan ketiganya kita akan dapatk-an sesuai sifat asosiatif

(θ + x) + ψ = θ + (x + ψ) dimana

(θ + x) + ψ = 0 + ψ = ψ dan

θ + (x + ψ) = θ + 0 = θ

dengan menyatukan semuanya, kita akan dapatkan (θ + x) + ψ = θ + (x + ψ) =⇒ θ = ψ

bukti: sifat umum-3

diketahui bahwa x,y,z ∈ V dan x+y=x+z. Oleh karena x ∈ V maka dijamin terdapat (−x) ∈ V sehingga bisa diperoleh

x+y=x+z =⇒ (-x)+x+y=(-x)+x+z

0+y=0+z =⇒ y = z

Kombinasi linier

Misalkan V adalah ruang vektor atas field F. Misalkan v ∈ V . Terdapat r₁,· · · , r_n ∈ F dan untuk v₁,· · · ,v_n ∈ V

berlaku

v = r₁v₁ + r₂v₂ + · · · + r_nv_n (1) maka v disebut kombinasi linier dari V . Himpunan

selu-ruh kombinasi linier dari v₁,· · · ,v_n ∈ V disebut span{v₁,· · · ,v_n}

Subruang

• definisi

• penentuan subruang

• spanned subruang

definisi: subruang

definisi 1. Sebuah himpunan W dikatakan subruang dari

V jika W 6= ∅ ⊆ V dan W adalah ruang vektor dibawah operasi yang sama pada V .

definisi 2. Sebuah himpunan bagian W dari ruang vek-tor V adalah subruang dari V jika dan hanya jika W

bukan himpunan kosong dan tertutup terhadap operasi linier, atau dengan kata lain

x,y ∈ W −→ x+y ∈ W

x ∈ W −→ rx ∈ W, ∀r ∈ _R

atau seringkali dituliskan sebagai

αx + βy ∈ W, α, β ∈ _R dan x,y ∈ W

Penentuan subruang

Untuk menentukan W ⊆ V adalah subruang maka

• Pastikan W 6= ∅

• Berlaku w₁ + w₂ ∈ W, w₁,w₂ ∈ W

• Berlaku cw₁ ∈ W, c ∈ _R dan w₁ ∈ W

atau buktikan bahwa αx+βy ∈ W, α, β ∈ _R dan x,y ∈ W

terpenuhi

Spanned subruang

teorema 1. Misalkan W = span{v₁,· · · ,v_n} untuk v₁,· · · ,v_n ∈

V maka W subruang dari V .

Bukti. Misalkan w₁,w₂ ∈ W. Oleh karena W = span{v₁,· · · ,v_n} maka diperoleh

w₁ = α₁v₁ + α₂v₂ + · · · + α_nv_n w₂ = β₁v₁ + β₂v₂ + · · · + β_nv_n

1. W bukan himpunan kosong

0v₁ + · · · + 0v_n ∈ W

2. w₁ + w₂ = (α₁ + β₁)v₁ + · · · + (α_n + β_n)v_n ∈ W

3. cw₁ = (cα₁)v₁ + (cα₂)v₂ + · · · + (cα_n)v_n ∈ W

atau

untuk suatu a, b ∈ _R diperoleh

aw₁ + bw₂ = a(α₁v₁ + α₂v₂ + · · · + α_nv_n) + b(β₁v₁ + β₂v₂ + · · · + β_nv_n)

= (aα₁ + bβ₁)v₁ + · · · + (aα_n + bβ_n)v_n karena a, b, α_i, β_i ∈ _R, i = 1· · · n maka c = aα + bβ ∈ _R sehingga

aw₁ + bw₂ = (aα₁ + bβ₁)v₁ + · · · + (aα_n + bβ_n)v_n = c₁v₁ + · · · + c_nv_n ∈ W

contoh : vektor subruang dari _R4

Misalkan W adalah himpunan vektor-vektor dalam

ben-tuk      2s + 4t 2s 2s − 3t 5t     

dimana t, s ∈ _R. Tunjukkan bahwa W

adalah subruang dari _R4.

solusi. Untuk menunjukkan bahwa W adalah subruang

dari _R4 cukup dengan menunjukkan bahwa W = span{v₁,v₂}

dengan v₁,v₂ ∈ _R4.      2s + 4t 2s 2s − 3t 5t      =      2s 2s 2s 0      +      4t 0 −3t 5t      = s      2 2 2 0      + t      4 0 −3 5     

sehingga W = span{v₁,v₂} dengan v₁ = (4,0,−3,5)T

contoh : subruang vektor dari matriks

Tunjukkan bahwa H yang merupakan himpunan matrik-matriks dalam bentuk

"

a b

0 d

#

dengan a, b, d ∈ _R adalah subruang dari matriks M_2×2.

solusi. 1. Jelas bahwa H tidak kosong, salah satunya adalah a, b, d = 0 ∈ _R sehingga " 0 0 0 0 # ∈ H 2. Misalkan h₁, h₂ ∈ H dimana h₁ = " a₁ b₁ 0 d₁ # dan h₂ = " a₂ b₂ 0 d₂ # . 21

h₁ + h₂ = " a₁ b₁ 0 d₁ # + " a₂ b₂ 0 d₂ # = " a₃ = a₁ + a₂ b₃ = b₁ + b₂ 0 d₃ = d₁ + d₂ # ∈ H, a₃, b₃, d₃ ∈ _R

3. jelas bahwa tertutup terhadap perkalian dimana un-tuk α ∈ _R berlaku αh₁ = α " a₁ b₁ 0 d₁ # = " a₄ = αa₁ b₄ = αb₁ 0 d₄ = αd₁ # ∈ H, a₄, b₄, d₄ ∈ _R