handout aljabar linear iiruang hasil kali dalam

(1)

Diktat Aljabar Linear II

Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati E_mail: [email protected]

40

Dalam ruang vektor Rn, dipelajari tentang hasil kali titik ( Hasil Kali dalam Euclid) dari

dua vektor u (u₁,u₂,...,u_n) dan v (v₁,v₂,...,v_n) yang didefinisikan sebagai:

n n 2

2 1

1v u v u v

u v

u. ....

Dari definisi tersebut, mudah dibuktikan bahwa hasil kali titik memenuhi sifat sebagai berikut:

i. u.v v.u ( komutatif )

ii. u..v w u.v u.w ( Distributif )

iii. s.u.v s.u.v , untuk setiap s R ( Homogen )

iv. u.u 0, u.u 0 u 0

Jika diperhatikan, hasil kali dalam merupakan aturan pengawanan dari setiap pasang vektor di

n

R ke bilangan real. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh 2.1

Diberikan ruang vektor R3 dan suatu pemetaan , :R3 R3 R yang didefinisikan

3 3 2 2 1

1v 2u v u v

u 3 v

u, , dengan u (u₁,u₂,u₃) dan v (v₁,v₂,v₃) maka pemetaan ini

memenuhi sifat (i) – (iv).

Bukti:

(i) Ambil sebarang vektor di R3, misalkan u (u₁,u₂,u₃) dan v (v₁,v₂,v₃), maka dipenuhi:

3 3 2 2 1

1v 2u v u v

u 3 v u,

(2)

berbeda dengan hasil kali titik, tetapi masih memenuhi semua sifat hasil kali titik. Berangkat dari

kondisi demikian, maka diangkat suatu definisi hasil kali dalam yang merupakan generalisasi

(3)

42 Definisi 2.1._{Suatu pemetaan yang membawa setiap pasang vektor pada sebarang ruang vektor}

V atas bilangan real ke bilangan real disebut hasil kali dalam, yang dinotasikan dengan ,

jika memenuhi axioma-axioma sebagai berikut:

(i) Untuk setiap u,v V berlaku u,v v,u

(ii) Untuk setiap u,v,w V berlaku u,v w u,v u,w

(iii) Untuk setiap R, u,v V berlaku u,v u,v

(iv) Untuk setiap u V berlaku u,u 0 dan u,u 0 u 0

Selanjutnya, ruang vektor yang didalamnya didefinisikan suatu hasil kali dalam disebut