BAB X RUANG HASIL KALI DALAM

BAB X

RUANG HASIL KALI DALAM

10.1 Hasil Kali Dalam

Definisi. Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V (misalkan pasanganu dan v, dinotasikan dengan u , v ) dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma , yaitu:

1. Simetris : u , v = v , u

2. Aditivitas : u v , w+ = u , w + v , w 3. Homogenitas : ku , v = k u , v , k skalar 4. Positivitas : u , u ³ 0dan

(

u , u = «0 u= 0

)

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti di atas disebut ruang hasil kali dalam yang biasa disebut RHD.

Contoh 10.1

Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik-titik standar di R3Euclides merupakan hasil kali dalam!

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam, yaitu:

Misalkan a= a a ,a

(

1, 2 3

)

, b= b b ,b

(

1, 2 3

)

, c= c c ,c

(

1, 2 3

)

maka a, b, cÎ ¡ 3 1. Simetris

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ... = = + + = + + = a b a b a b b a b a b a (terpenuhi) a , b a . b b , a 2. Aditivitas

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) ( )

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , , , ... + = + = + + + = + + + + + = + + + + + = + = + a b a b a b c c ,c a c b c a c b c a c b c a c a c a c b c b c b c (terpenuhi) a b, c a b . c . a . c b. c a , c b,c 3. Homogenitas

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ... k k k k k k k k = = + + = + + = = a b a b a b a b a b a b (terpenuhi) a , b a . b a . b a , b 4. Positivitas

(

)

(

2 2 2

)

1 2 3 0 ... = = a + a + a ³ (terpenuhi) a , a a . a Dan

(

2 2 2

)

1 2 3 0 (0,0,0) ... = a + a + a = « = = (terpenuhi) a , a a 0

RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti di atas biasa disebut RHD Euclides.

Contoh 10.2

Diketahui u, v = ad cf+ dengan u = (a, b, c) dan v = (d, e, f). Apakah u, v tersebut merupakan hasil kali dalam?

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan apakah u, v tersebut memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam 1. Simetris ad cf da fc = + = + = K K K (terpenuhi) u, v v, u

2. Aditivitas Misalkanw = (g, h, i) ( ( + = + + + = + + + = + + + = + K K K (a d,b e,c f),(g,h,i) (a d)g c f)i

(ag ci) dg fi)

(terpenuhi) u v, w u , w v, w 3. Homogenitas ( ) ( ) k kad ckf k ad cf k = + = + = K K K (terpenuhi) u, v u, v 4. Positivitas

(

)

(

2 2

)

₀ = = a + c ³ K K K(terpenuhi) u , u u . u Dan

(

2 2

)

_{0 (0,0,0)}

= a + c = tidak selalu « = = karena untuk nilai

u , u u 0

(0, ,0) 0

= b dengan b 0 maka nilai ¹ = K K K (tidak terpenuhi)

u u , u

Aksioma positivitas tidak terpenuhi maka u, v = ad cf+ dengan u = (a, b, c) dan v = (d, e, f) bukan merupakan hasil kali dalam.

10.2 Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor, dan Besar Sudut dalam RHD

Ketika kita membahas tentang panjang vektor, maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalam ruang–n Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik . Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama – sama bahwa hasil kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya.

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam, u, vÎ V maka a. Panjang u= u , u 12

b. Jaraku dan v, d(u, v) = u v , u v- - 12

c. Misalkan f sudut antarau dan v dalam RHD, maka besar cosf adalah:

f =

cos u , v

u v

Contoh 10.3

Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam u, v =

(

u v1 1+ 2u v2 2+ u v3 3

)

dengan u= u u ,u

(

1, 2 3

)

, v= v v ,v

(

1, 2 3

)

. Jika vektor-vektor u v, Î V dengana = (1,2,3) danb = (1,2,2), tentukan

a. Besar cosa jika sudut yang dibentuk antara a dan b adalah a! b. Jarak antaraa dan b!

Penyelesaian: f = cos a , b a b a , b = 1.1 + 2.(2.2) + 2.3 = 15 1 18 = 2 _{+ 2.2 + 3}2 2 = a 1 13 = 2 _{+ 2.2 + 2}2 2 = b Jadi 15 15 18 13 234 f = = = cos a , b a b 10.3 Basis Orthonormal

Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v ,v , ,v_{1 2} K _n adalah vektor-vektor dalam V. Beberapa definisi penting

a. H ={v ,v , ,v1 2 K n} disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V

saling tegak lurus, yaitu v ,vi j = 0 untuk i j¹ dan i, j = 1,2, …,n.

b. G = {v ,v , ,v1 2 K n} disebut himpunan orthonormal bila

- G himpunan orthogonal

- Norm darivi= 1, i = 1, 2, …, n atau v ,vi i = 1

Metode Gramm-Schmidt

Metode Gramm-Schmidt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang orthonormal. Jadi, dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan orthonormal adalah himpunan yang bebas linier. Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm-Schmidt akan menghasilkan basis orthonormal untuk V.

Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi orthogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor.

Diketahui H ={v ,v , ,v_{1 2} K _n} adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim n³ dan S = {w ,w , ,w_{1 2} K _n} merupakan himpunan yang orthonormal. Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w ,w , ,w_{1 2} K _n maka untuk setiap vektor z1 dalam W, dapat dituliskan z1= k1w1+ k2w 2+ K + knwn

dengan k k₁, ₂,K,k_n skalar.

Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z1 dan z2, jadi

dapat dituliskan u = z1+ z2. Karena z1dalam W, maka sebenarnya z1merupakan

proyeksi orthogonal u terhadap W, sedangkan z2 merupakan komponen vektor u

yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z1, maka harus ditentukan

nilai k1, k2, …, kn sedemikian hingga nilai k1 merupakan panjang proyeksi u

terhadap w1, k2 merupakan panjang proyeksi u terhadap w2 dan seterusnya

sehingga kn merupakan panjang proyeksi u terhadap wn. Proyeksi orthogonal u

terhadap wi adalah proy Wi (u) = < u, wi >, dikarenakan w1, w2,…, wn merupakan

vektor – vektor yang orthonormal .

Jadi dapat dituliskan bahwaproyeksi orthogonal u terhadap W adalah :

ProyW (u) = z1= < u, w1> w1+ < u, w2> w2+ ... + < u, wn>wndengan {w1, w2,…,

wn} merupakan himpunan orthonormal.

Komponenu yang tegak lurus terhadap W adalah: z2= u – (< u, w1> w1+ <u, w2> w2+ ... + <u, wn>wn)

Misal diketahui K = {v ,v , ,v1 2 K n}adalah himpunan yang bebas linier, maka K

dapat dirubah menjadi himpunan S = {w1, w2,…, wn} yang orthonormal dengan

metode Gramm-Schmidt yaitu:

1. = 1

1 1

v w

v ini proses normalisasi yang paling sederhana karena hanya melibatkan satu vektor saja. Pembagian dengan v1 bertujuan agar wi

memiliki panjang = 1, pada akhir langkah ini didapatkan w₁orthonormal.

2. , , -= -2 2 1 1 2 2 2 1 1 v v w w w v v w w

Pada akhir langkah ini didapatkan dua vektor w₁ dan w₂ yang orthonormal.

3. , , , , - -= - -3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 1 1 3 2 2 v v w w v w w w v v w w v w w M

n. , , , , , , - - -= - - -L L n n 1 1 n 2 2 n n-1 n-1 n n n 1 1 n 2 2 n n-1 n-1 v v w w v w w v w w w v v w w v w w v w w Secara umum ( ) ( ) W W pro pro -= -i i i i i v v w

v v dengan W merupakan ruang yang dibangun olehw1,w2,…,wi-1.

Pada metode ini, pemilihan v ,v , ,v1 2 K n tidak harus mengikuti urutan vektor yang

diberikan tetapi bebas sesuai keinginan kita karena satu hal yang perlu diingat bahwa basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan dari

K

1 2 n

v ,v , ,v sangat memungkinkan didapatkan jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari v ,v , ,v1 2 K n yang disarankan adalah yang mengandung

hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu <vi,vj> = 0, dalam kasus ini bisa diambilv1=

vidan v2= vjdan seterusnya.

Contoh 10.4

Diketahui H = {a , b , c } dengan a = ( 1,1,1 ), b = ( 1,2,1 ) , c = (−1,1,0 ) a. Apakah H basis R3?

b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides !

Penyelesaian:

a. Karena dim(R3_{) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3, maka untuk menentukan}

apakah H merupakan basis R3 _{atau bukan, adalah dengan cara menghitung}

determinan matriks koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R3_{, yaitu = det}

1 1 1 1 2 1 1 1 0 é - ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û

. Jika det = 0 maka berarti H bukan merupakan basis R3, sebaliknya jika det ¹ 0 maka berarti vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R3, jadi H merupakan basis R3.

Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, diperoleh:

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 0 -- -= - = - =

Karena det = 1, ini berarti H merupakan basis dari R3_.

b. Hasil kali dalam antaraa, b, dan c 4

=

Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil = 1 v a, v2= c, v3= b a. (1,1,1) 3 = = 1 a w a b. , ( 1,1,0) , 2 - -= = = -1 1 2 1 1 c c w w c w c c c w w {Karena ,a c = 0 maka c w, ₁ = c a, = a c, = 0} a a c. 1 _, 1 _, , , _{3 2} 1 1 , , _{, ,} 3 2 - -- -= = - - _- -1 1 2 2 3 1 1 2 2 b b a a b c c b b w w b w w w b b w w b w w _{b b a a b c c} 1 6 1 1 1 1 1 _, 1 _{, 2} 4 ₁ 1 _{1 1} 1 ₁ 6 3 2 3 2 6 1 1 0 ₁ 2 3 é ù ê ú é ù éù é ù- _{ê ú} é ù ê ú êú ê ú _{ê ú} ê ú ê ú êú ê ú ê ú - - _{ê ú}- _êú- _{ê ú}= _{ê ú}= _{ê ú} ê ú ê ú êú ê ú ê ú -ë û ëû ë û ê_{-ê ú}ú ë û ë û b b a a b c c = 1 _, 1 _, 6 1 3 2 6 6 - - = = b b a a b c c Jadi 1 1 ₁ 6 2 s é ù ê ú ê ú = _{ê ú} ê ú_{-ë û} 3 w

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormal

Diketahui V RHD dan H = {v ,v , ,v_{1 2} K _n} VÎ merupakan himpunan orthogonal dengan vi ≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan

sebagai S = { s1, s2,…, sn } dengan i= i , i

v s

v i =1,2,...,n . Kalau dilihat secara seksama, sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schmidt yang telah mengalami reduksi yaitu untuk nilai proyW(vi) = 0 akibat dariv1

, v2,…, vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang

orthonormal biasa disebut dengan menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis orthonormal dari V.

Contoh 10.5

Diketahui a = ( 2,–1,1 ) , b = ( 2,5,1 ) , c = ( –1,0,2 ) dan _{a , b ,c Î ¡} 3_{. Jika R}3

merupakan RHD Euclides, Transformasikana , b , c ke basis orthonormal ! Penyelesaian 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, , 0, , 0 2 ( 1) 1 6 2 5 1 30 ( 1) 0 2 5 = = = = + - + = = + + = = - + + = a b a c b c a b c

Misalkan H = {a, b, c} maka H merupakan himpunan orthogonal. Dim(R3_{) = 3 jadi dapat ditentukan basis orthonormal untuk R}3_.

Misalkan 1 (2, 1,1), 1 (2,5,1), 1 ( 1,0,2) 6 30 5 = = - = = = = -1 a 2 b 3 c s s s a b c

Basis orthonormal untuk R3_adalah 1 _{(2, 1,1),} 1 _(2,5,1), 1 _{( 1,0,2)}

6 30 5 ì ü ï ï ï _{- -} ï í ý ï ï ï ï î þ 10.4 Perubahan Basis

Seperti diketahui bahwa suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis. Dari sifat inilah tentunya jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di A dan B. Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah melihat hubungan antar kombinasi linier tersebut . Secara sistematis , langkah-langkahnya dapat dilihat seperti berikut ini;

Jika V ruang vektor, S = { s1, s2,…, sn } merupakan basis V maka untuk

sembarang x Î V, dapat dituliskan :

1 2

k k k

= ₁+ ₂+ K + _n

x s s ns dengan k1, k2, …, knskalar.

k1, k2, …, knjuga disebut koordinatx relatif terhadap basis S.

[ ]

1 2 1\n k k s k é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û M

x disebut matriksx relatif terhadap basis S.

[ ]

, , , s é ù ê ú ê ú ê ú = ê_ê ú_ú ê ú ê ú ë û M 1 2 n x s x s x x s

Jika A = {x1,x2} dan B = {y1,y2} berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk

sembarang z Î V bisa didapatkan

[ ]

z dan_A

[ ]

z . Bagaimana hubungan_B

[ ]

z dan_A

[ ]

z ?_B MIsalkan

[ ]

_B a b é ù ê ú = ê ú_{ë û} 1 x dan

[ ]

_B c d é ù ê ú = ê ú_{ë û} 2 x Dari

[ ]

_B a b é ù ê ú = ê ú_{ë û} 1 x didapatkan x1= ay1+ by2...(1) Dari

[ ]

_B c d é ù ê ú = ê ú_{ë û} 2 x didapatkan x2= cy1+ dy2...(2) Untuk

[ ]

1 2 A k k é ù ê ú = ê ú_{ë û} z didapatkan z= k1x1+ k2x2...(3)

Dengan melakukan substitusi dari persamaan 1 dan 2 ke persamaan 3 didapatkan:

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k a b k c d k a k c k b k d = + + + = + + + 1 2 1 2 1 2 z y y y y y y Ini berarti

[ ]

1 2 1

[ ]

1 2 2 B A k a k c a c k P k b k d b d k é + ù é ùé ù ê ú ê úê ú = _{ê ú}= _{ê úê ú}= + _{ë û} ë û ë û z z

P disebut matriks transisi dari basis A ke basis B.

Secara umum, jika A = { x1, x2,…, xn } dan B = { y1, y2,…, yn } berturut-turut

merupakan basis dari ruang vektor V, maka matiks transisi basis A ke basis B adalah:

[ ] [ ] [ ]

_{B B B} P é_{= êë}x1 x2 L xn ù_úû

Contoh 10.6

Diketahui A = {v , w } dan B = { x, y } berturut-turut merupaka basis R2_{, dengan v}

= (2,2),w = (3,1), x = (1,3) dan y = (-1, -1) Tentukan:

a. Matriks transisi dari basis A ke basis B! b. Hitung 1 3 _A éæ ö_{çê- ÷}ù_ú ÷ ç ÷ êç ÷_{çè ø}ú ë û c. Hitung 1 3 _B éæ ö_{çê- ÷}ù_ú ÷ ç ÷ êç ÷_{çè ø}ú

ë û dengan menggunakan hasil pada (b)!

d. Matriks transisi dari basis B ke basis A! Penyelesaian a. Misalkan

[ ]

_{B = ê ú}é ùê ú_ba ë û v maka 2 1 1 3 3 1 a b é ù é - ùé ù ê ú ê= úê ú ê ú ê _- úê ú ë û ë ûë û, didapatkan 0 2 a b é ù é ù ê ú ê ú= ê ú ê ú -ë û -ë ûdan untuk

[ ]

_{B = ê ú}é ùê úc_d ë û w maka 3 1 1 1 3 1 c d é ù é - ùé ù ê ú ê= úê ú ê ú ê_{- -} úê ú ë û ë ûë û, maka didapatkan 2 5 c d é ù é ù -ê ú -ê ú= ê ú ê ú -ë û -ë û

Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah: 0 2

2 5 P_{= ê}éê - ùú_ú - -ë û b. Misalkan 1 2 1 3 _A k k éæ ö_{çê- ÷}ù_ú é ù ê ú ÷ = ç ÷ êç_{çè ø}÷ú ê ú_{ë û} ë û maka, didapatkan 1 2 1 1 k k é ù é ù ê ú ê ú= ê ú ê ú_{-ë û} ë û c. Dari (a) dan (b) didapatkan 0 2

2 5 P_{= ê}éê - ùú ú - -ë û dan 1 1 3 _A 1 éæ ö_{çê- ÷}ù_ú é ù_{ê ú} ÷ = ç ÷ êççè ø÷ú ê ú_{ë û} -ë û sehingga 1 0 2 1 2 3 _A 2 5 1 3 P_êéçê_{çç ÷ç}æ ö- ÷÷ =_÷ú_úù é_êê - ùé ù é ùúê ú ê ú_{úê ú ê ú}= - - -è ø _{ë ûë û ë û} ë û

d. Matriks transisi dari basis B ke basis A adalah P-1dengan P merupakan matriks transisi terhadap basis A ke basis B.

Jadi 1 1 5 2

2 0 4

P- _{= -} é-ê ù_ú

ê ú

Latihan

1. Diketahui = + 2 2

1 1 1 2 a b a b

a , b dengan a= (a ,a1 2) dan b= (b ,b1 2). Tunjukkan sifat Hasil kali dalam yang tidak dipenuhi!

2. Diketahui a , b = a b a b1 1- 2 2+ a b3 3 dengan a= (a ,a a1 2, )3 dan b= (b ,b b1 2, )3 . Periksa apakah a , b merupakan hasil kali dalam atau tidak! Jika tidak tentukan aksioma mana yang tidak dipenuhi!

3. R3merupakan RHD dengan hasil kali dalam u , v = u v_{1 1}+ 2u v_{2 2}+u v_{3 3} dengan 1 2 3

= (u ,u u

u , ) dan v= (v ,v v1 2, )3 . W adalah subruang R3 yang memiliki basis B = { (-2, 2, 2), (1, 3, -3) }

a. Transformasikan B menjadi basis orthonormal!

b. Misalkan x = (2, 2, -4) di R3_{, nyatakan x = y + z dengan y WÎ dan z}

orthogonal terhadap W.

4. R3 merupakan RHD dengan hasil kali dalam u , v = u v1 1+ 2u v2 2+ 2u v3 3 dengan u= (u ,u u1 2, )3 dan v= (v ,v v1 2, )3 . W adalah subruang R3 yang memiliki basis C = {b1= (-1, 0, -1), b2= (2, 1, 2) }

a. Hitung sin b jika b adalah sudut antarab1danb2!

b. Tentukan jarak antara b1dan b2!

c. Misalkan x = (1, 2, -1) di R3_{, nyatakan y dan z adalah komponen dari x,}

dengan y WÎ danz orthogonal terhadap W. Tentukan y dan z! 5. Diketahui P = 1 2

1 1

é ù

ê ú

ê_-ë ú_ûmerupakan matriks transisi dari basis A terhadap basis B,

dengan A = { a1, a2 } dan B = { b1, b2} merupakan basis R2. Jika x = 2a1 – a2,

tentukan [x]B! 6. Diketahui A = 1 0 1 2 , 1 , 1 1 1 1 ìé ù é ù éùü ï ï ï_{ê ú ê ú êú}ï ï ï ï_{ê ú ê ú êú}ï í_{ê ú ê ú êú}ý ï ï ï_{ê ú ê ú êú}ï ï_{ë û ë û ëû}ï ï ï î þ dan B = 1 0 1 0 , 1 , 1 1 0 1 ìé ù é ù é ù- ü ï ï ï_{ê ú ê ú ê ú}ï ï ï ï_{ê ú ê ú ê ú-} ï í_{ê ú ê ú ê ú}ý ï ï ï_{ê ú ê ú ê ú}ï ï_{ë û ë û ë û}ï ï ï î þ , basis R3_{. Jika}

_{[ ]}

2 2 1 A é ù ê ú ê ú = ê ú ê ú ë û x , tentukan a. x

b. Matriks transisi dari basis A ke basis B c. [x]B