Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

(1)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

1

BAB II

HASIL KALI TITIK DAN SILANG

Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B) didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut  antara keduanya. Disimbolkan sebagai berikut.

cos , 0

A B   A B     

Perhatikanlah bahwa ABcos merupakan bilangan biasa (skalar). Oleh karena itu, A B disebut juga sebagai perkalian skalar.

Secara grafis, misalnya vektor A dan vektor B digambarkan sebagai berikut.

Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor Adan B, atau A B maka vektor B diproyeksikan terhadap vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan Bcos.

Dengan demikian, A B didefinisikan sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B yang sejajar dengan vektor A. Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

cos , 0

A B  A B   

Bagaimana jika perkalian titik antara vektor A dan vektor B dibalik menjadi B A ? Secara grafis, proyeksi vektor A terhadap vektor B dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

A B

θ

 cos B

A B

θ

A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR

(2)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

2

Dari gambar di atas, perkalian B A didefinisikan sebagai besar vektor B dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan vektor B. Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

cos , 0

B A  B A   

1. A B B A   Hukum komutatif untuk hasil kali titik 2. ^{A B}^



^^C



^^{A B}^ ^^{A C}^ Hukum distributif

3. ^m



^{A B}^

 

^ ^m^{A B}



^ ^^A^



^m^B

 

^ ^{A B}^



^m^{, dimana}^m adalah sebuah skalar

4. 1

0 i i j j k k i j j k k i

  

  

5. Jika AA₁iA₂jA₃k dan BB₁iB₂jB₃k, maka

1 1 2 2 3 3

A B  A B A B A B

2 2 2 2

1 2 3

A A  A A A  A

2 2 2 2

1 2 3

B B B B B  B

6. Jika A B  0dan Abeserta Bbukanlah vektor nol, maka Adan B_tegak lurus

1. Akan dibuktikan bahwa A B B A   (Hukum Komutatif untuk hasil kali titik).

cos cos A B A B

B A B A







Jadi, A B B A   (terbukti).

PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TITIK

HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TITIK B

A θ

cos A

(3)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

3

2. Akan dibuktikan bahwa ^{A B C}^



^



^^{A B B C}^ ^ ^

Perhatikan gambar berikut.

Misalkan a sebuah vektor satuan dalam arah A, maka

 

,

B C A

B C a B a C a

A

B C a A B a A C a A

a A a A A

A

B C A B A C A

  

   

 

   

B A C A

  

proyeksi pada proyeksi pada proyeksi pada

kedua ruas dikalikan dengan diperoleh

Karena maka sehingga diperoleh

Jadi, ^{A B}



^C



^{A B B C}   (terbukti).

3. Akan dibuktikan bahwa ^m



^{A B}^

 

^ ^m^{A B}



^ ^^A^



^m^B

 

^ ^{A B}^



^m^{, dimana} ^m^adalah

sebuah skalar

a. Akan dibuktikan bahwa ^m



^{A B}^

 

^ ^m^{A B}



^

   

 

cos cos

A B A B

m m







b. Akan dibuktikan bahwa ^m



^{A B}^



^^A^



^m^B



   

 

cos cos

A B A B

A B

m m







B C

B + C

E F G A

(4)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

4

c. Akan dibuktikan bahwa m



^{A B}

 

 ^{A B}



m

   

 

cos cos

A B A B

m m







Dari poin a, b, c dapat disimpulkan bahwa m



^{A B}

 

 m^{A B}



 ^A



m^B

 

 ^{A B}



m (terbukti).

4. Akan dibuktikan bahwa i i j j k k   1dan i j j k k i   0 Berdasarkan gambar di samping, terlihat

bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah 0^, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90^. Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor, akan dibuktikan bahwa

1 0

i i j j k k    dan i j j k k i   

a. Akan dibuktikan bahwa i i j j k k   1

   

cos 0 1 1 1 1 cos 0 1 1 1 1 cos 0 1 1 1 1 i i i i

j j j j k k k k

   



Jadi, i i j j k k   1 (terbukti).

b. Akan dibuktikan bahwa i j j k k i   0

   

cos90 1 1 0 0 cos 90 1 1 0 0 cos90 1 1 0 0 i j i j

j k j k k i k i

   



Jadi, i j j k k i   0 (terbukti).

x

y z

i

j k

(5)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

5

5. Jika AA₁iA₂jA₃k dan BB₁iB₂jB₃k a. Akan dibuktikan bahwa A B A B_{1 1}A B₂ ₂A B₃ ₃

   

     

1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

A B i j k i j k

i i j k j i j k k i j k

i i i j i k j i j j j k k i k j k k

A A A B B B

A B B B A B B B A B B B

A B A B A B A B A B A B A B A B A B

    

        

 

  

        

Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa, i i j j k k   1dan i j j k k i   0 sehingga

                 

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

A B A B A B

        

  



Jadi, A B A B_{1 1}A B₂ ₂A B₃ ₃ (terbukti).

b. Akan dibuktikan bahwa A A  A₁²A₂²A₃²  A² 1) Akan dibuktikan bahwa A A A₁²A₂²A₃²

Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh



1 2 3

 

1 2 3



1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 2 3

A A Ai Aj Ak Ai Aj Ak A A A A A A

A A A

    

  

 

2) Akan dibuktikan bahwa A A  A²

Dengan menggunakan definisi perkalian vektor diperoleh

 

2

cos 0 1 A A A A

A A A

 





Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi A A  A₁²A₂²A₃² A²(terbukti).

c. Akan dibuktikan bahwa B B B₁²B₂²B₃² B² 1) Akan dibuktikan bahwa B B B₁²B₂²B₃²

Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh

(6)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

6



1 2 3

 

1 2 3



1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 2 3

B B Bi B j Bk Bi Bj Bk B B B B B B

B B B

    

  

 

2) Akan dibuktikan bahwa B B B²

Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh

 

2

cos 0 1 B B B B

B B B

 





Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi B B B₁²B₂²B₃²  B²(terbukti).

6. Akan dibuktikan bahwa Jika A B  0dan A_besertaB bukanlah vektor nol, maka A_danBtegak lurus

Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh 0

cos 0

cos 0 0 0)

90 A B

A B

( A B



 ^



 

   

 



karena diketahui bahwa dan

Sudut antara vektor A_danB_adalah90^, sehingga AB.

Jadi, jika A B  0dan A_besertaB bukanlah vektor nol, maka A_danBtegak lurus (terbukti).

1. Jika A i 2jdan B2i 3j , tentukan:

a. A B

b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B

Penyelesaian

a. ^{A B}^ ^



ⁱ^²^j

 

^ ²ⁱ^³^j



CONTOH SOAL

(7)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

7

     

 

1 2 2 3

2 6

4

  

 

b. Berdasarkan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh cos

cos

A B A B A B A B





 



Dari poin a diketahui bahwa A B   4. Selanjutnya,

2 2

1 2 1 4 5

A  

 



 

²

22 3 4 9 13 B   

 

 Sehingga

cos

4 5 13

4 65

4 8.062257748

0.4961389384 A B

 A B

 



 

arcsin 0, 4961389384 29.7448813

90 29.7448813 119.7448813





  

 



  

karena tandanya (negatif) maka ada dikuadran II sehingga

2. Jika A i 3j2kdan B4i2j4k, tentukan:

a. A B b. A c. B d. 3A2B

e.



²^{A B}^

 

^ ^A^²^B



Penyelesaian:

(8)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

8

a. ^{A B}^ ^



ⁱ^³^j^²^k

 

^ ⁴ⁱ^²^j^⁴^k



        

   

1 4 3 2 2 4

4 6 8

4 6 8 10

    

  

 

b. ^{A } ¹²^³²^{ }

 

² ²

1 9 4 14

  



c. B  ⁴² 

 

² ²

 

⁴ ²

16 4 16 36

6

  



d. ³A²B³



i³j²k



^{2 4}



i²j⁴k



   

2 2 2

3 9 6 8 4 8

11 5 2

3 2 11 5 2

121 25 4 150

i j k i j k

i j k

A B

     

  

   

  



e. ²^{A B}^ ^²



ⁱ^³^j^²^k

 

^ ⁴ⁱ^²^j^⁴^k





² ⁶ ⁴

 

⁴ ² ⁴



6 4 0

6 4

i j k i j k

i j k i j

     

  

 

   

- 2 3 2 2 4 2 4

3 2 -8 4 - 8 7 7 -10

A B i j k i j k

i j k i j k

i j k

     

    

  

       

        

2 2 6 4 0 -7 7 -10

6 7 4 7 0 10

42 28 0 14

A B A B  i j k i j k

    

   

 

 

(9)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

9

Hasil kali silang atau vektor dari A dan B adalah sebuah vektor CA B (Dibaca A silang B ). Besarnya A B didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya

A dan B dan sinus sudut  antara keduanya. Arah vektor CA B tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A , B , dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Disimbolkan sebagai berikut.

sin , 0

A B  A B u  

Dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari A B .

1. A B   B A Hukum komutatif tidak berlaku untuk hasil kali silang 2. ^A^



^{B C}^



^^{A B}^ ^^{A C}^ Hukum distributif

3. m



^{A B}

 

 m^A



^B^A



m^B

 

 ^{A B}



m, dimana m adalah sebuah skalar

4. 0

, ,

i i j j k k

i j k j k i k i j

     

5. Jika AA₁iA₂jA₃k dan BB₁iB₂jB₃k, maka

1 2 3

2 3 1 3 1 2

i j k

A B

i j k

A A A B B B

A A A A A A

B B B B B B

 

  

6. Besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Jika A B 0dan Abeserta Bbukanlah vektor nol, maka Adan B_sejajar.

1. Akan dibuktikan bahwa A B   B A

Untuk membuktikan hukum 1 ini, akan ditunjukkan secara grafis sebagai berikut.

PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN SILANG

HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN SILANG B. HASIL KALI SILANG ATAU VEKTOR

(10)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

10

Perhatikan gambar (a)

= × = | || |sin θ

Arah vektor sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan.

Perhatikan gambar (b)

= × = | || |sin θ

Arah vektor sedemikian rupa sehingga B, A dan D membentuk sebuah sistem tangan kanan

Dari uraian di atas diketahui bahwa D besarnya sama dengan C. Namun demikian, dilihat dari gambar (a) dan (b) D dan C memiliki arah yang berlawanan.

Sehingga, C = -D atau × = - ×

Jadi hukum komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang.

2. Akan dibuktikan bahwa × ( + ) = × + ×

× ( + ) = ( i + j + k) × [( i + j + k) + ( i + j + k)]

= ( i + j + k) × [( + )i + ( + )j + ( + )k]

=

i j k

+ + +

= + + i − + + j + + + k

= [ ( + ) − ( + )] − [ ( + ) − ( + )]

+[ ( + ) − ( + )]

= [ + − − ] − [ + − − ]

+[ + − − ]

= [ − ] − [ − ] + +[ − ]

+[ − ] − [ − ] + [ − ]

× = C

θ

Gambar (a)

× = D θ

Gambar (b)

(11)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

11

= i − j + k + i − j + k

=

i j k

+

i j k

= [( i + j + k) + ( i + j + k)] + [( i + j + k) + ( i + j + k)]

= × + × (terbukti).

3. Akan dibuktikan bahwa m( × ) = (m ) × = × (m ) = ( × )m di mana m adalah sebuah skalar

a. Akan dibuktikan bahwa m( × ) = (m ) × m( × ) = m| || | sin θ

= (m | |) | |sin θ

= (mA) × B

b. Akan dibuktikan bahwa m( × ) = × (m ) m( × ) = m | || |sin θ

= | |(m| |sin θ)

= × (m )

c. Akan dibuktikan bahwa m( × ) = ( × )m m( × ) = m | || |sin θ

= (| || |sin θ) m

= ( × )m

Dari poin a, b, c diperoleh bahwa m( × ) = (m ) × = × (m ) = ( × )m (terbukti).

x

y z

i

j k

(12)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

12

4. Akan dibuktikan bahwa i i     j j k k 0, dan i j k j k i k i  ,   ,  j

Berdasarkan gambar di samping, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah 0^, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90^. Dengan menggunakan definisi perkalian silang dua vektor, akan dibuktikan bahwa i i     j j k k 0dan i j k j k i k i  ,   ,  j

a. Akan dibuktikan bahwa i i     j j k k 0

   

sin 0 1 1 0 0 sin 0 1 1 0 0 sin 0 1 1 0 0 i i i i

j j j j k k k k

    

Jadi, i i     j j k k 0 (terbukti).

b. Akan dibuktikan bahwa i j k j k i k i  ,   ,  j

   

sin 90 1 1 1 1 1

sin 90 1 1 1 1 i j i j

i j i j

i j k

k i j k

j k j k

    

  

 

    

i)

Besar , dan sesuai definisi arah tegak lurus dengan bidang yang memuat dan , dalam hal ini adalah

Karena besar sendiri adalah 1 maka ii)

Besar

   

1

sin 90 1 1 1 1 1

j k j k

j k i

i j k i

k i k i k i

  

 

    

 

, dan sesuai definisi arah tegak lurus dengan bidang yang memuat dan , dalam hal ini adalah

Karena besar sendiri adalah 1 maka iii)

Besar , dan sesuai definisi k i

k i j

j k i j



 

arah tegak lurus dengan bidang yang memuat dan , dalam hal ini adalah

Karena besar sendiri adalah 1 maka

Dari i), ii), dan iii) diperoleh i j k j k i k i  ,   ,  j (terbukti).

5. Diketahui = i + j + k dan = i + j + k Akan dibuktikan bahwa

× =

i j k

= i − j + k.

× = ( i + j + k) × ( i + j + k)

= i × ( i + j + k) + j × ( i + j + k) + k × ( i + j + k)

(13)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

13

= i × i + i × j + i × k + j × i + j × j + j × k + k × i + k × j + k × k

Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa i i     j j k k 0 dan

, ,

i j k j k   i k i j, juga menurut hukum 1 diperoleh j i  k k j,   i i k,   j sehingga

× = (0) + (k) + (−j) + (−k) + (0) + (i)

+ (j) + (−i) + (0)

= k + (−j) + (−k) + i + j + (−i)

= i + (−i) + j + (−j) + k + (−k)

= i − i + j − j + k − k

= ( − )i + ( − )j + ( − )k

= i + j + k

= i − j + k

=

i j k

(terbukti).

6. Akan dibuktikan bahwa besarnya × sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B

Berdasarkan gambar jajaran genjang di samping Luas jajaran genjang = h| |

= (| |sin )| |

= | || |sin = | × |

Jadi besarnya × sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B.

7. Akan dibuktikan bahwa jika × = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar

× = 0

⇔ | || |sin = 0 (dengan 0° ≤ ≤ 180°)

⇔ sin = 0 (karena diketahui | | ≠ 0, | | ≠ 0, dan | | = 1) A h

B θ

(14)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

14

⇔ = 0° atau 180°

Karena = 0° atau 180° maka A dan B sejajar (terbukti).

1. Jika = 2 − 2 + dan = 3 + + 2 , tentukan:

a. ×

b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B

Penyelesaian :

a. × = (2 − 2 + ) × (3 + + 2 ) = 2 −2 1

3 1 2

= −2 1

1 2 − 2 1

3 2 + 2 −2

3 1

= (−4 − 1) − (4 − 3) + 2 − (−6) = (−4 − 1) − (4 − 3) + (2 + 6) = −5 − + 8

c. Akan dicari sudut yang dibentuk oleh A dan B Berdasarkan definisi

| × | = | || | sin

⇔ sin =| × |

| || |

⇔ sin =| × |

| || |

Dari soal diketahui bahwa = 2 − 2 + dan = 3 + + 2 , sehingga

| | = (2) + (−2) + (1) | | = (3) + (1) + (2)

= √4 + 4 + 1 = √9 + 1 + 4

= √9 = √14

= 3

Dari poin a diperoleh × = −5 − + 8 , sehingga

| × | = (−5) + (−1) + (8)

= √25 + 1 + 64 CONTOH SOAL

(15)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

15

= √90

= 3√10 Maka,

sin =

^{| × |}_{| || |}

=3√10 3√14

=√10

√14

=3,162 3,742

= 0,845

sehingga θ = arc sin 0,845 ≈ 57,671°.

2. Jika = 2 − 3 − dan = + 4 − 2 , carilah : a. ×

b. ×

c. ( + ) × ( − )

Penyelesaian :

a. × = (2 − 3 − ) × ( + 4 − 2 )

= 2 −3 −1

1 4 −2

= −3 −1

4 −2 − 2 −1

1 −2 + 2 −3

1 4

= (6 − (−4)) − (−4 − (−1)) + (8 − (−3))

= (6 + 4) − (−4 + 1) + (8 + 3)

= 10 + 3 + 11

b. × = ( + 4 − 2 ) × (2 − 3 − )

= 1 4 −2

2 −3 −1

= 4 −2

−3 −1 − 1 −2

2 −1 + 1 4

2 −3

= (−4 − 6) − (−1 − (−4)) + (−3 − 8)

(16)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

16

= (−4 − 6) − (−1 + 4) + (−3 − 8)

= −10 − 3 − 11

c. ( + ) × ( − ) = [(2 − 3 − ) + ( + 4 − 2 )] × [(2 − 3 − ) − ( + 4 − 2 )]

= (3 + − 3 ) × ( − 7 + )

= 3 1 −3

1 −7 1

= 1 −3

−7 1 − 3 −3

1 1 + 3 1

1 −7

= (1 − 21) − (3 − (−3)) + (−21 − 1)

= (1 − 21) − (3 + 3) + (−21 − 1)

= −20 − 6 − 22

3. Jika = 3 − 2 + 2 , = 2 + − dan = − 2 + 2 ,carilah : a. ( × ) ×

b. × ( × )

Penyelesaian :

a. ( × ) × = [(3 − 2 + 2 ) × (2 + − )] × ( − 2 + 2 )

= 3 −2 2

2 1 −1

× ( − 2 + 2 )

= −2 2

1 −1 − 3 2

2 −1 + 3 −2

2 1 × ( − 2 + 2 )

= [(2 − 2) − (−3 − 4) + (3 − (−4)) ] × ( − 2 + 2 )

= [(2 − 2) − (−3 − 4) + (3 + 4) ] × ( − 2 + 2 )

= (0 + 7 + 7 ) × ( − 2 + 2 )

= 0 7 7

1 −2 2

= 7 7

−2 2 − 0 7

1 2 + 0 7

1 −2

= (14 − (−14)) − (0 − 7) + (0 − 7)

= (14 + 14) − (0 − 7) + (0 − 7)

= 28 + 7 − 7

(17)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

17

b. × ( × ) = (3 − 2 + 2 ) × [(2 + − ) × ( − 2 + 2 )]

= (3 − 2 + 2 ) ×

k

2 1 −1

1 −2 2

= (3 − 2 + 2 ) × 1 −1

−2 2 − 2 −1

1 2 + 2 1

1 −2

= (3 − 2 + 2 ) × [(2 − 2) − (4 − (−1)) + (−4 − 1) ]

= (3 − 2 + 2 ) × [(2 − 2) − (4 + 1) + (−4 − 1) ]

= (3 − 2 + 2 ) × (0 − 5 − 5 )

= 3 −2 2

0 −5 −5

= −2 2

−5 −5 − 3 2

0 −5 + 3 −2

0 −5

= (10 − (−10)) − (−15 − 0) + (−15 − 0)

= (10 + 10) − (−15 − 0) + (−15 − 0)

= 20 + 15 − 15

4. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang dari = 2 − 6 − 3 dan

= 4 + 3 − , × adalah sebuah vektor yang tegak lurus dari A dan B.

Penyelesaian :

× = (2 − 6 − 3 ) × (4 + 3 − )

= 2 −6 −3

4 3 −1

= −6 −3

3 −1 − 2 −3

4 −1 + 2 −6

4 3

= (6 − (−9)) − (−2 − (−12)) + (6 − (−24))

= (6 + 9) − (−2 + 12) + (6 + 24)

= 15 − 10 + 30

| × | = (15) + (−10) + (30)

= √225 + 100 + 900

(18)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

18

= √1225

= 35

Misal c adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan × , maka c tegak lurus dengan bidang A dan B.

= ×

| × |

=15 − 10 + 30 35

=15 35 −10

35 +30 35 =3

7 −2 7 +6

7

| | = 3

7 + −2

7 + 6 7

= 9

49+ 4 49+36

49

= 49 49

= √1

= 1

Karena | |= 1 maka c merupakan vektor satuan

Jadi vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang A dan B adalah − + .

(19)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

19

Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B, dan C dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut ( ∙ ) , ∙ ( × ), dan

× ( × ).

1.



^{A B C}^



^^{A B C}



^



2. ^{A B C}







^{B C A}







^{C A B}







= volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak.

Jika AA₁iA₂jA₃k, BB₁iB₂jB₃k, dan CC₁iC₂jC₃k, maka

 

1 2 3

A B C

A A A B B B C C C

 



3. ^A



^{B C}

 

 ^{A B}



^C (Hukum asosiatif tidak berlaku untuk Hasil Kali Tripel) 4. ^A



^{B C}

 

 ^{A C B}







^{A B C}





^{A B}



^C



^{A C B}







^{B C A}



Hasil kali ^{A B C}







seringkali disebut hasil-kali tripel skalar atau hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan



ABC . Hasil kali



^A



^{B C}



disebut hasil-kali tripel vektor.

Dalam ^{A B C}







seringkali dihilangkan tanda kurungnya dan dituliskan saja sebagai A B C  , tetapi tanda kurung harus dipergunakan dalam ^A^



^{B C}^



^.

1. Akan dibuktikan bahwa ( ∙ ) ≠ ( ∙ )

( ∙ ) = [( + + ) ∙ ( + + )]( + + )

PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TRIPEL

HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TRIPEL C. HASIL KALI TRIPEL

(20)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

20

= ( + + )( + + )

= ( + + ) + ( + + )

+(( + + )

Sedangkan

( ∙ ) = ( + + )[( + + ) ∙ ( + + )]

= ( + + )( + + )

= ( + + ) + ( + + )

+( + + )

Daari uraian di atas terlihat bahwa ( ∙ ) ≠ ( ∙ ) (terbukti).

2. Pada hukum kedua ini terdapat 3 hal yang harus dibuktikan, yaitu:

a. ∙ ( × ) = ∙ ( × ) = ∙ ( × )

b. ∙ ( × ) = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak.

c. Jika A A₁iA₂jA₃k, BB₁iB₂jB₃k, dan CC₁iC₂jC₃k, maka

 

1 2 3

A B C

A A A B B B C C C

 



Berikut akan dibuktikan satu-persatu

a. Akan dibuktikan bahwa ∙ ( × ) = ∙ ( × ) = ∙ ( × ) 1) Akan dibuktikan bahwa ∙ ( × ) = ∙ ( × )

∙ ( × ) = ( + + ) ∙ [( + + ) × ( + + )]

= ( + + ) ∙

= ( + + ) ∙ − +

= ( + + ) ∙ [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( − ) − ( − ) + ( − )

= − − + + −

= − + − + −

= ( − ) + ( − ) + ( − )

(21)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

21

= ( − ) − ( − ) + ( − )

= ( + + ) ∙ [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( + + ) ∙ − +

= ( + + ) ∙

= ( + + ) ∙ [( + + ) × ( + + )]

= ∙ ( × )

2) Akan dibuktikan bahwa ∙ ( × ) = ∙ ( × )

∙ ( × ) = ( + + ) ∙ [( + + ) × ( + + )]

= ( + + ) ∙

= ( + + ) ∙ − +

= ( + + ) ∙ [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( − ) − ( − ) + ( − )

= − − + + −

= − + − + −

= ( − ) + ( − ) + ( − )

= ( − ) − ( − ) + ( − )

= ( + + ) ∙ [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( + + ) ∙ − +

= ( + + ) ∙

= ( + + ) ∙ [( + + ) × ( + + )]

= ∙ ( × )

Dari 1) dan 2) diperoleh ∙ ( × ) = ∙ ( × ) = ∙ ( × ) (terbukti).

b. Akan dibuktikan bahwa harga mutlak ∙ ( × ) = volum sebuah jajaran genjang ruang (paralel-epipedum) yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C, sesuai

(22)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

22

dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak.

Perhatikan gambar berikut.

Misalkan n adalah normal-satuan terhadap jajar genjang I, yang searah dengan × dan misalkan h adalah tinggi dari titik terminal A di atas jajaran genjang I.

Volum paralel-epipedum = (tinggi h) (luas jajaran genjang I) = ( ∙ n)(| × |)

= ∙ {| × | n } = ∙ ( × )

Jika A, B dan C tidak membentuk sebuah sistem tangan kanan maka A ∙ n < 0 dan volumnya = | ∙ ( × )|.

d. Akan dibuktikan bahwa jika A A₁iA₂jA₃k, BB₁iB₂jB₃k, dan

1 2 3

CCiC jCk, maka ∙ ( × ) =

∙ ( × ) = ( + + ) ∙ [( + + ) × ( + + )]

= ( + + ) ∙

= ( + + ) ∙ − +

= ( + + ) ∙ [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( − ) − ( − ) + ( − )

= − − + + −

= − + − + −

Dengan menggunakan aturan sarrus untuk menghitung determinan maka diperoleh

A

B C h

n

(23)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

23

∙ ( × ) = (terbukti).

3. Akan ditunjukkan bahwa × ( × ) ≠ ( × ) ×

× ( × ) = ( + + ) × [( + + ) × ( + + )]

= ( + + ) ×

= ( + + ) × − +

= ( + + ) × [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

=

− − −

= − − − − −

+ − −

= [ ( − ) − ( − )] − [ ( − ) − ( − )]

+[ ( − ) − ( − )]

= [ − − + ]

−[ − − + ]

+[ − − + ]

( × ) × = [( + + ) × ( + + )] × ( + + )

= × ( + + )

= − + × ( + + )

= [( − ) − ( − ) + ( − ) ] × ( + + )

= − − −

= − −

− − −

(24)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

24

+ − −

= [ ( − ) − ( − )] − [ ( − ) − ( − )]

+[ ( − ) − ( − )]

= [ − − + ]

−[ − − + ]

+[ − − + ]

Dari hasil di atas terlihat bahwa × ( × ) ≠ ( × ) × (tertunjuk).

Hal ini berarti hukum asosiatif untuk hasil kali tripel vektor tidak berlaku.

4. Pada hukum 4 ini adakan dibuktikan 2 hal, yaitu:

a. × ( × ) = ( ∙ ) − ( ∙ ) b. ( × ) × = ( ∙ ) − ( ∙ ) Berikut dilakukan pembuktian satu-persatu

a. Akan dibuktikan bahwa × ( × ) = ( ∙ ) − ( ∙ )

× ( × ) = ( + + ) × [( + + ) × ( + + )]

= ( + + ) ×

= ( + + ) × − +

= ( + + ) × [( − ) − ( − ) + ( − ) ]

= ( + + ) × [( − ) + ( − ) + ( − ) ]

=

− − −

= − − − − −

+ − −

= [ ( − ) − ( − )]

−[ ( − ) − ( − )]

+[ ( − ) − ( − )]

= [ − − + ]

−[ − − + ]

(25)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

25

+[ − − + ]

= − − + − +

+ − + − − +

= + + + + +

+ + + − − −

− − − − − −

= [ + + + + +

+ + + ] − [ + +

+ + + + + + ]

= [( + + ) + ( + + )

+( + + ) ] − [( + + )

+( + + ) + ( + + ) ]

= [( + + )( + + )]

−[( + + )( + + )]

= [{( + + ) ∙ ( + + )}( + + )]

−[{( + + ) ∙ ( + + )}( + + )]

= ( ∙ ) − ( ∙ )

b. Akan dibuktikan bahwa ( × ) × = ( ∙ ) − ( ∙ )

Dari poin a diperoleh × ( × ) = ( ∙ ) − ( ∙ ) dan menurut hukum 1

× = − × , sehingga ( × ) × = − × ( × )

= −{( ∙ ) − ( ∙ ) }

= −( ∙ ) + ( ∙ )

= ( ∙ ) − ( ∙ )

Berdasarkan hukum 1 perkalian titik bahwa ∙ = ∙ maka ( × ) × = ( ∙ ) − ( ∙ ) (terbukti).

(26)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

26

1. Hitung (2 − 3 ) ∙ [( + − ) × (3 − )]

Penyelesaian :

(2 − 3 ) ∙ [( + − ) × (3 − )] = (2 − 3 ) ∙ 1 1 −1 3 0 −1

= (2 − 3 ) ∙ 1 −1

0 −1 − 1 −1

3 −1 + 1 1 3 0

= (2 − 3 ) ∙ [(−1 − 0) − (−1 − (−3)) + (0 − 3) ]

= (2 − 3 ) ∙ [(−1 − 0) − (−1 + 3) + (0 − 3) ]

= (2 − 3 ) ∙ (− − 2 − 3 )

= (2)(−1) + (−3)(−2) + (0)(−3)

= −2 + 6 + 0

= 4

2. Jika = − 2 − 3 , = 2 + + , = + 3 − 2 , tentukan:

a. |( × ) × | b. | × ( × )|

c. ∙ ( × ) d. ( × ) ∙

e. ( + ) × ( × ) f. ( × ) ∙ ( × )

Penyelesaian :

a. ( × ) × = ( − 2 − 3 ) × (2 + + ) × ( + 3 − 2 )

= 1 −2 −3

2 1 1

× ( + 3 − 2 )

= −2 −3

1 1 − 1 −3

2 1 + 1 −2

2 1 × ( + 3 − 2 )

= [(−2 − (−3)) − (1 − (−6)) + (1 − (−4)) ] × ( + 3 − 2 )

= [(−2 + 3) − (1 + 6) + (1 + 4) ] × ( + 3 − 2 )

= ( − 7 + 5 ) × ( + 3 − 2 ) CONTOH SOAL

(27)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

27

= 1 −7 5

1 3 −2

= −7 5

3 −2 − 1 5

1 −2 + 1 −7

1 3

= (14 − 15) − (−2 − 5) + (3 − (−7))

= (14 − 15) − (−2 − 5) + (3 + 7)

= − + 7 + 10 atau

( × ) × = ( ∙ ) − ( ∙ )

= (2 + + ){( − 2 − 3 ) ∙ ( + 3 − 2 )}

−( − 2 − 3 ){(2 + + ) ∙ ( + 3 − 2 )}

= (2 + + )[(1)(1) + (−2)(3) + (−3)(−2)]

−( − 2 − 3 )[(2)(1) + (1)(3) + (1)(−2)]

= (2 + + )[1 − 6 + 6] − ( − 2 − 3 )[2 + 3 − 2]

= (2 + + )(1) − ( − 2 − 3 )(3)

= (2 + + ) − (3 − 6 − 9 )

= (− + 7 + 10 ) Selanjutnya,

|( × ) × | = (−1) + (7) + (10)

= √1 + 49 + 100

= √150

= 5√6

b. × ( × ) = ( − 2 − 3 ) × (2 + + ) × ( + 3 − 2 )

= ( − 2 − 3 ) × 2 1 1 1 3 −2

= ( − 2 − 3 ) × 1 1

3 −2 − 2 1

1 −2 + 2 1 1 3

= ( − 2 − 3 ) × [(−2 − 3) − (−4 − 1) + (6 − 1) ]

= ( − 2 − 3 ) × (−5 + 5 + 5 )

= 1 −2 −3

−5 5 5

(28)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

28

= −2 −3

5 5 − 1 −3

−5 5 + 1 −2

−5 5

= (−10 − (−15)) − (5 − 15) + (5 − 10)

= (−10 + 15) − (5 − 15) + (5 − 10)

= 5 + 10 − 5 Atau

× ( × ) = ( ∙ ) − ( ∙ )

= (2 + + ){( − 2 − 3 ) ∙ ( + 3 − 2 )}

−( + 3 − 2 ){( − 2 − 3 ) ∙ (2 + + )}

= (2 + + )[(1)(1) + (−2)(3) + (−3)(−2)]

−( + 3 − 2 )[(1)(2) + (−2)(1) + (−3)(1)]

= (2 + + )[1 − 6 + 6] − ( + 3 − 2 )[2 − 2 − 3]

= (2 + + )(1) − ( + 3 − 2 )(−3)

= (2 + + ) − (−3 − 9 + 6 )

= 5 + 10 − 5 Selanjutnya,

| × ( × )| = (5) + (10) + (−5)

= √25 + 100 + 25

= √150

= 5√6

c. ∙ ( × ) = ( − 2 − 3 ) ∙ [(2 + + ) × ( + 3 − 2 )]

= ( − 2 − 3 ) ∙ 2 1 1 1 3 −2 = ( − 2 − 3 ) ∙ 1 1

3 −2 − 2 1

1 −2 + 2 1 1 3 = ( − 2 − 3 ) ∙ [(−2 − 3) − (−4 − 1) + (6 − 1) ] = ( − 2 − 3 ) ∙ (−5 + 5 + 5 )

= (1)(−5) + (−2)(5) + (−3)(5) = −5 − 10 − 15

= −30

(29)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

29

d. ( × ) ∙ = [( − 2 − 3 ) × (2 + + )] ∙ ( + 3 − 2 ) = 1 −2 −3

2 1 1

∙ ( + 3 − 2 )

= −2 −3

1 1 − 1 −3

2 1 + 1 −2

2 1 ∙ ( + 3 − 2 )

= −2 − (−3) − (1 − (−6)) + (1 − (−4)) ∙ ( + 3 − 2 ) = [(−2 + 3) − (1 + 6) + (1 + 4) ] ∙ ( + 3 − 2 )

= ( − 7 + 5 ) ∙ ( + 3 − 2 ) = (1)(1) + (−7)(3) + (5)(−2) = 1 − 21 − 10

= −30

e. ( + ) × ( × ) = [( − 2 − 3 ) + (2 + + )] × [(2 + + ) × ( + 3 − 2 )]

= (3 − − 2 ) × [(2 + + ) × ( + 3 − 2 )]

= (3 − − 2 ) × 2 1 1 1 3 −2

= (3 − − 2 ) × 1 1

3 −2 − 2 1

1 −2 + 2 1 1 3

= (3 − − 2 ) × [(−2 − 3) − (−4 − 1) + (6 − 1) ]

= (3 − − 2 ) × (−5 + 5 + 5 )

= 3 −1 −2

−5 5 5

= −1 −2

5 5 − 3 −2

−5 5 + 3 −1

−5 5

= −5 − (−10) − (15 − 10) + (15 − 5)

= (−5 + 10) − (15 − 10) + (15 − 5) = 5 − 5 + 10

f. ( × ) ∙ ( × ) = [( − 2 − 3 ) × (2 + + )] ∙ [(2 + + ) × ( + 3 − 2 )]

= 1 −2 −3

2 1 1

∙ 2 1 1 1 3 −2

= −2 −3

1 1 − 1 −3

2 1 + 1 −2

2 1 ∙ 1 1

3 −2 − 2 1

1 −2 + 2 1 1 3

(30)

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Analisis Vektor

30

= [(−2 − (−3)) − (1 − (−6)) + (1 − (−4)) ] ∙ [(−2 − 3)i − (−4 − 1) + (6 − 1) ]

= [(−2 + 3) − (1 + 6) + (1 + 4) ] ∙ [(−2 − 3) − (−4 − 1) + (6 − 1) ]

= ( − 7 + 5 ) ∙ (−5 + 5 + 5 )

= (1)(−5) + (−7)(5) + (5)(5)

= −5 − 35 + 25

= −15