ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B

1. Pengertian Besaran Vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa jenis, luas, volum, muatan listrik, potansial listrik, kapasitas, dan kuat arus listrik.

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan juga arah. Beberapa besaran skalar di antaranya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, impuls, momentum, momen gaya dan kuat medan magnet. Besar (nilai) dari suatu besaran vektor selalu positif.

2. Menggambar Vektor dan Menulis Notasi Besaran Vektor Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah

anak panah yang terdiri atas pangkal dan ujung. Panjang anak panah menyatakan besar atau nilai, dengan menggunakan skala sembarang. Arah anak panah (dari pangkal ke ujung) menyatakan arah vektor.

Gambar di samping menjelaskan tiga buah vektor gaya : 100 N ke kanan, 200 N ke kiri, dan 300 N ke kanan. Ditetapkan skala panjang 2 cm sama dengan 100 N, sehingga 200 N sama dengan skala panjang 4 cm dan 300 N sama dengan 6 cm.

Notasi besaran vektor dapat berupa huruf besar (kapital) atau huruf kecil. Untuk tulisan cetak, notasi tersebut biasanya berupa huruf tebal misalnya, A atau a dan dibaca

vektor A. Untuk tulisan tangan, notasi besaran vektor berupa huruf diberi tanda panah di atasnya, misalnya A atau a. Dua buah vektor dikatakan sama jika besar dan arah kedua vektor sama. Sebuah vektor dikatakan berlawanan (negatif) terhadap vektor lain jika kedua vektor mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan.

1. Penjumlahan Vektor Secara Grafis

Penjumlahan vektor secara grafis terdiri dari dua, yaitu a) cara polygon dan b) cara jajar genjang. Berikut ini penjelasan dari kedua cara tersebut.

a. Cara Poligon

Ciri-ciri melukis vektor dengan cara poligon adalah:

“ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”

Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara poligon sebagai berikut.

1. Lukis salah satu vektor (sebut vektor pertama).

2. Lukis vektor kedua dengan pangkal di ujung vektor pertama (arahnya harus tepat), bertemu vektor ketiga dengan pangkal di ujung vektor kedua, dan seterusnya sampai semua vektor yang akan dijumlahkan telah dilukis.

3. Vektor hasil penjumlahan (disebut resultan) didapat dengan menghubungkan pangkal vektor pertama ke ujung terakhir.

F=100 N ke kanan pangkal

ujung

F=200 N ke kiri

F=300 N ke kanan

Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B dan R = B+A secara POLIGON

Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara POLIGON

b. Cara Jajaran Genjang

Ciri-ciri melukis vektor dengan cara jajar genjang adalah:

“ pangkal vektor A bertemu dengan pangkal vektor B”

Aturan melukis penjumlahan vektor dengan cara jajaran genjang sebagai berikut.

1. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berhimpit.

2. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisi.

3. Resultan adalah diagonal jajaran genjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor.

Gambar Resultan dua buah vektor R = A+B secara JAJAR GENJANG

Gambar Resultan tiga buah vektor R = A+B+C secara JAJAR GENJANG

---

B

O A

B

A R

O

B R

O

A

O B

A

C O

A

B R

C

O B

A

O B

A R

B

O

A

C

B

O C

S

Soal :

Empat buah vektor A, B, C, dan D memiliki arah dan besaran seperti pada gambar berikut ini. Pernyataan yang benar adalah...

a. A + B + C = D b. D + A + B = C c. A + D + C = B d. B + C + D = A e. A + B + C + D = 0 Penyelesaian :

Dalam poligon pada gambar soal terlihat bahwa dua

anak panah yang ujungnya bertemu adalah A dan B dan dua anak panah yang pangkalnya bertemu adalah B dan C, sehingga anak panah yang menutup poligon adalah B. Dengan demikian, vektor resultannya adalah B. Jadi pernyataan yang benar adalah A + D + C = B.

sehingga jawabannya adalah (C).

---

1. Lengkapilah tabel berikut ini! Dengan memberikan tanda silang (X) jika besaran termasuk besaran vektor atau besaran skalar.

Nama Besaran Vektor Skalar

Kecepatan X -

Perpindahan Kelajuan Gaya Usaha Energi Percepatan Kuat Arus Suhu

2. Lukislah besaran vektor berikut ini!

a. 4 cm Ke arah sumbu X positif.

b. 5 cm ke arah sumbu Y negatif.

c. 3 cm membentuk sudut 30^O terhadapa sumbu X positif.

d. 5 cm membentuk sudut 60^O terhadap sumbu Y negatif.

3. Tentukan resultan dari kedua vektor berikut secara poligon dan secara jajar genjang!

a. A = 3 cm ke Timur, B = 4 cm ke utara.

b. A = 3 cm ke sumbu X positif, B = 4 cm membentuk sudut 30^O terhadap sumbu positif.

4. Dari kelima diagram vektor dibawah ini,

B

A D

C

Yang menggambarkan D = A + B + C adalah….

5. Gambar dibawah ini merupakan penjumlahan vektor secara segitiga

Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah….

2. Penjumlahan Vektor Secara Analitis

a) Menentukan Resultan Dua Vektor dengan Rumus Kosinus Perhatikan gambar di sampingini. Besar resultan dari dua

vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut 𝛼dapat dinyatakan dengan :





²



²

 2 cos

R A B AB

Dengan :

R = Resultan kedua vektor A , B = Dua buah vektor

θ = sudut antara kedua vektor A dan B.

Soal :

Dua buah vektor masing – masing besarnya F1 = 3 N dan F2 = 5 N, kedua vektor tersebut berapda pada satu titik tangkap dan membentuk sudut 60^O, maka tentukan : a. Resultan kedua vektor tersebut; b. Arah resultan vektor terhadapa F1

Penyelesaian : Diketahui :

F1 = 3 N; F2 = 5 N; θ = 60^O ditanya : a. R = …?; b. arah ? jawab :

a. Menentukan Resultan (R)

2 2

1 2 1 2

2 2

2 cos 3 5 2.3.5cos60 9 25 15

49 7 N

O

R F F F F

R R R



  

  

  

 

b. Untuk menentukan arah kita gunakan persamaan Berikut ini!

F1

F2 R

F

1

F

2

R

60

^O

2

sin60 sin

7 5

0,87 sin 5 0,87

sin 7

sin 0,621 38,4

O

O

R F















 





--- b) Menentukan Resultan Dua Vektor atau Lebih

Untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode analitis, terlebih dulu kita bahas menguraikan vektor.

Menguraikan vektor

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi komponen horisontal dan vertikal . sebuah vektor A dapat diuraikan menjadi komponen – komponen yang saling tegak lurus yaitu AX dan AY.

Soal :

1. Sebuah vektor perpindahan sebesar 200 m terletak pada bidang XOY dan membentuk sudut 30^O terhadap sumbu X positif, maka tentukan : a. Komponen perpindahan yang searah sumbu X; b. Komponen perpindahan yang searah sumbu Y

Penyelesaian :

Diketahui : s = 200 m; θ = 30^O Ditanya : a. sX = …?; b. sY = … ? Jawab :

a. Komponen perpindahan pada sumbu X



 

 

 

 cos 200 cos30 200 1 3

2 100 3 m

x

O x

x x

s s s s s

b. Komponen perpindahan pada sumbu Y



 

 

 

 sin 200 sin30 200 1 100 m2

x

O x

x x

s s s s s

--- 2. Perhatikan gambar berikut

A

AX

Ay

y

x

vektor A dapat diuraikan menjadi dua vektor, yaitu A dan A_{X Y}



 cos Ax A



 sin AY A



^{A AX2AY2}

}

komponen vektor A

s

sX

sy

y

o 30^O x

dari gambar di samping, tentukan :

 

a. komponen pada sumbu X v_x

 

b. komponen pada sumbu v_Y

 

c. besar vektor v v

2 3 4 5

Jawab:

a. Komponen pada sumbu (vX)

vX = 4 m/s (Karena ada 4 kotak ke arah sumbu x positif)

b. Komponen pada sumbu (vX)

vY = 5 m/s (Karena ada 5 kotak ke arah sumbu y positif)

c. Besar vektor (v)

2 2 42 52

16 25 41 m/s

X Y

v v v

v

   

  

Setelah memahami penguraian vektor, selanjutnya kita bahas penjumlahan dua buah vektor atau lebih dengan memperhatikan soal penyelesaian berikut ini!

Soal :

Resultan dari ketiga vektor pada gambar berikut ini adalah ….

Penyelesaian :

1. Menguraikan masing – masing vektor.





  





  

1

1 1

1

1

3 60

cos 3cos60 3 1 1,5

2

O

X

O X

X

F N

F F

F

F N

1

1 1

1

1

3 60

sin 3sin60

3 1 3 1,5 3 2

O

y

O Y

Y

F N

F F

F

F N





  





  

 

2

2 2

2 2

3 180

cos 3cos180

3 1 3

O

X

O X

X

F N

F F

F

F N





  





    

2

2 2

2 2

3 180

sin 3sin180 3 0 0

O

y

O y

y

F N

F F

F

F N





  





   1

F₂

F1

F1y

F1x F3x

F3y

F3

3

3 3

3

3

6 270

cos 6cos270 6 1 3

2

O

X

O X

X

F N

F F

F

F N





  





  

3

3 3

3

3

6 270

sin 6sin270

6 1 3 3 3

2

O

y

O y

y

F N

F F

F

F N





  





 

    

 

*) semua sudut diukur dari sumbu X positif.

2. Menjumlahkan komponen – komponen vektor.

1 2 3

1,5 3 3 1,5 N

X X X X

X

X

F F F F

F F

  

  



 



1 2 3

1,5 3 0 3 3 1,5 3 N

y y y y

y

y

F F F F

F F

  

  

 







3. Menentukan resultan.

 

2 2

2 2

1,5 1,5 3

2,25 6,75 9 3 N

X y

R F F

R R

 

 

   

 

1. Sebuah balok ditarik dengan gaya F = 100 N membentuk sudut 60^O terhadap bidang datar.

Tentukan komponen gaya sumbu X dan sumbu Y.

2. Resultan ketiga gaya dibawah ini adalah….

3. Tiga buah vektor setitik tangkap terlihat seperti gambar berikut. Besar masing-masing vektor adalah :

|V1| = 30 satuan

|V2| = 30 satuan

|V3| = 40 satuan

Besar resultan ketiga vektor tersebut adalah …

4. Tiga buah gaya masing – masing 8√3 N, 12 N, dan 6 N berada pada bidang cartesian x – y.

gaya pertama searah sumbu x, gaya kedua searah sumbu y dan gaya ketiga membentuk sudut 30^O terhadap sumbu x negatif, tentukan : a. Resultan gaya pada sumbu X; b. Resultan gaya pada sumbu Y; c. Resultan dari ketiga gaya.

5. Pada gambar di bawah, F1 = F2 = 10 N dan F3 = 15 N. Nilai resultan ketiga gaya dalam arah sumbu X adalah … N.

6. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar dan arah resultannya adalah…

7. Perhatikan ganbar. Sebuah bola ditarik oleh tiga gaya dengan arah berbeda-beda. Jika satu petak mewakili dua Newton, maka resultan gaya yang bekerja pada balok adalah…

1. Perkalian Skalar dengan Vektor

Vektor B = k A dengan k bilangan(skalar) adalah suatu vektor yang besarnya k kali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua dengan kosinus sudut apitnya.

Secara matematis, ditulis :



  cos

A B AB atau B A BA  cos Dengan 0^o ≤ θ≤180^o

Oleh karena AB cosθ = BA cosθ, maka pada perkalian titik berlaku hukum komutatif :

   A B B A Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian titik

a. Pada perkalian titik berlaku hukum distributif.



^



^{   }

A B C A B A C

b. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90º, maka : 60⁰

Y

X

F1

F2

F3

60⁰

Utara

Timur 60

o

F1=2 N F2=4 N

30

o

30

o

F3=6 N Barat

Selatan

F F

F

 0 A B c. Jika kedua vektor A dan B searah yaitu θ= 0^o, maka :

A B AB 

d. Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah, yaitu θ= 180^o, maka :

   A B AB 3. Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang AxB didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang di mana A dan b mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis ditulis :



  sin C A B

Berikut adalah beberapa hal penting tentang perkalian silang.

a. Nilai 0^o ≤ θ≤180^o, sehingga nilai C dalam C=AB sin θ selalu positif.

b. Perkalian silang bersifat antikomutatif.

    A B B A

c. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus, yaitu sudut apit θ= 90^o, maka :

A B AB 

d. Jika kedua vektor A dan B segaris kerja, dapat searah atau berlawanan arah, maka :

 0 A B

Soal :

1. Dua buah vektor masing-masing 10 satuan dan 5 satuan. Vektor tersebut satu sama lainnya saling tegak lurus, maka hasil perkalian titiknya adalah ....

Penyelesaian :

misalkan A = 10 satuan, B = 5 satuan, dan θ = 90^O

  



 

 

  

  cos 10 5 cos90 50 0

0

O

A B AB A B A B A B Soal :

2. Dua buah vektor V1 danV2 masing-masingbesarnya 5 satuan dan 6 satuan, keduanya saling mengapit sudut sebesar 37⁰. Hitunglah: a. Hasil perkalian titik kedua vektor!; b. Besar hasil perkalian silang kedua vektor!

Penyelesaian :

a. Hasil perkalian titik kedua vektor b. Hasil perkalian silang kedua vector

  



 

 

  

 

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

cos 5 6 cos37 30 0,8 24 satuan

O

V V V V V V V V V V

  



 

 

  

 

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

sin 5 6 sin37 30 0,6 18 satuan

O

V V V V V V V V V V

--- ---

1. Dua buah vektor masing-masing 20 satuan dan 10 satuan. Keduanya membentuk sudut tertentu. Hasil perkalian titik kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:

a. 0^o b. 60^o c. 90^o

2. Dua buah vektor masing-masing 30 satuan dan 20 satuan. Keduanya membentuk sudut tertentu. Hasil perkalian silang kedua vektor tersebut jika sudut antara keduanya:

a. 0^o b. 30^o c. 90^o

3. Dua buah vektor

a 

dan b

masing - masing besarnya 10 N dan 8 N, saling mengapit sudut 30⁰. Besarnya vektor

a 

xb

atau axb adalah ……

4. Vektor Satuan

a. Vektor Satuan di dalam Bidang

Suatu vektor pada suatu bidang dapat dinyatakan dalam vector satuan. Seperti gambar berikut:

adalah vektor satuan darah arah sumbu X.

j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.

i

Vektor i dan j disebut vektor satuan Karena besar vektor ini sama dengan satu.

1 dan j =1

i  .

Suatu vektor di dalam suatu bidang dapat dinyatakan dalam vektor satuan, yaitu : r xi y j 

Dengan besarnya :

2 2

r x y Yang digambarkan sebagai berikut:

b. Vektor Satuan di dalam Ruang

Suatu vektor satuan di dalam ruang, dinyatakan sebagai : (lihat gambar)

adalah vektor satuan darah arah sumbu X.

j adalah vektor satuan darah arah sumbu Y.

adalah vektor satuan darah arah sumbu Z.

i

k

Suatu vektor di dalam ruang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan, yaitu :

r xi y j zk   Dengan besarnya :

2 2 2

r x y z Yang digambarkan sebagai berikut:

---

Soal :

1. Jika pada suatu bidang XOY terdapat r  8i 6j satuan, maka tentukan : a. besar vektor r; b. arah vektor .r

Penyelesaian:

Diketahui :

 8 6

r i j  x = 8 satuan ; y = 6 satuan.

a. Menentukan besar vektor .r b. menentukan arah vektor .r

2 2

2 2

8 6

100 10 satuan

r x y

r r r

 

 





6 8 37^O tg y

x tg













2. Jika diketahui vektor A3ˆ ˆi  j 2kˆ dan vektor B  ˆi 3ˆj4kˆ, maka nyatakan A B ke dalam vektor satuan dan hitung besarnya.

Penyelesaian:

Menentukan vektor A B menentukan besar vekto A B

   

       

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 3 4

ˆ ˆ ˆ

3 1 1 3 2 4

ˆ

ˆ ˆ

2 4 2

A B i j k i j k

A B i j k

A B i j k

       

        

   

2 2 2

2 4 2

4 16 4

24 2 6 satuan A B

A B A B

   

   

  

--- 5. Perkalian Dua Vektor Satuan

a. Perkalian Titik atau Dot Product Perhatikan gambar berikut ini!

Jika :

ˆ ˆ 1.1cos0 1 ˆ ˆ 1.1cos0 1 ˆ ˆ 1.1cos0 1

o o o

i i j j k k

  

  

  

ˆ ˆ 1.1cos90 0 ˆ

ˆ 1.1cos90 0 ˆ ˆ 1.1cos90 0

o o o

i k j k i j

  

  

  

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 i k k i

j k k j i j j i

   

   

    Sehingga dapat diambil kesimpulan :

ˆ ˆ ˆ ˆi i     j j k kˆ ˆ 1 Selain perkalian di atas = NOL.

b. Perkalian Silang atau Cross Product Perhatikan gambar di samping!

Jika :

ˆ ˆ 1.1sin0 0 ˆ ˆ 1.1sin0 0 ˆ ˆ 1.1sin0 0

o o o

i i j j k k

  

  

  

ˆ ˆ 1.1sin90 ˆ ˆ ˆ

ˆ 1.1sin90 ˆ ˆ ˆ ˆ 1.1sin90 ˆ ˆ

o o o

i j k k

j k i i

k i j j

   

   

   

   

 

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

j i i j k

k j j k i

i k k i j

     

     

      Untuk memudahkan dalam memahami perkalian silang vektor satuan dapat dituliskan :

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ i j k

j k i k i j

 

 

 

untuk perkalian silang KEBALIKANNYA bertanda NEGATIF (-)

---

Soal :

Diberikan dua vektor satuan dalam ruang sebagai berikut. A3ˆi 2ˆj4 dan ˆk B   2ˆ ˆi j 3 kˆ Tentukan : a. A B beserta besarnya.; b. A B beserta besarnya.

Penyelesaian:

a. menentukan A B beserta besarnya.

   

                 

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 4 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3

6 0 0 0 2 0 0 0 12 20

A B i j k i j k

A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k

A B A B

       

                           

          

  

b. menentukan A B beserta besarnya.

   

                 

   

^{2 2 2}

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 4 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 3 9 4 0 6 8 4 0 ˆ ˆ ˆ

2 7

2 1 7

4 1 49 54

A B i j k i j k

A B i i i j i k j i j j j k k i k j k k

A B k j k i j i

A B i j k

A B A B A B

       

                           

         

    

     

   

 

1. lengkapilah tabel dot product berikut ini!

. i j k

i 1

j

k 0

2. lengkapilah tabel cross product berikut ini!

X i j k

i 0 k

j

k

3. dua vektor masing – masing : A  2ˆi 4ˆj5 dan kˆ B4ˆi 3ˆj2kˆ, nyatakan kedua vektor tersebut dalam bentuk : a. A B ; b. A B ; c. 2A3B; d. 2B3A

A. SOAL PILIHAN GANDA

1. berikut ini adalah besaran – besaran vektor, kecuali ….

A. Perpindahan D. momentum

B. Berat E. usaha

C. percepatan

2. Kelompok besaran di bawah ini yang termasuk besaran vektor adalah . . . .

A. kelajuan, kuat arus, gaya D. tegangan, intensitas cahaya, gaya B. energi, usaha, banyak mol zat E. gaya, percepatan, waktu

C. kecepatan, momentum, kuat arus listrik

3. Dua buah vektor masing – masing besarnya 3 satuan dan 4 satuan. Sudut antara kedua vektor tersebut adalah 90^O. resultan dari vektor tersebut adala….

A. 7 satuan D. 5 satuan

B. 1 satuan E. 12 satuan

C. 0,75 satuan

4. Ada tiga buah gaya dengan besar masing – masing 14 N arah timur, 8 N arah selatan, 8 N arah barat.

Resultan ketigagaya tersebut adalah ….

A. 6 N D. 12 N

B. 8 N E. 16 N

C. 10 N

5. Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan resultan antar kedua vektor tersebut adalah 1

2 2maka cosinus sudut apit antara kedua vektor adalah ….

A. 1

3 ^D.

1 2 2 B. 1

2 ^E.

1 3 2 C. 1

6. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bia perbandingan jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan 3, maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….

A. 30^O D. 60^O

B. 37^O E. 120^O

C. 45^O

7. Bila hasil perkalian silang kedua vektor sama dengan nol, maka kedua vektor ….

A. Searah D. berlawanan arah

B. Membentuk sudut 60^O E. membentuk sudut 45^O

C. Tegak lurus

8. Tiga buah gaya yang masing – masing nilainya 6 N, 5 N dan 4 N digambarkan dalam diagram Cartesius seperti berikut:

Resultan ketiga gaya tersebut adalah … N

A. √31 D. √7

B. √63 E. √5

C. √11

9. Seseorang menarik meja ke arah barat dengan gaya 60 N. Jika 1 cm mewakili gaya 15 N, gambar vektor gaya tersebut yang benar adalah . . . .

A. D.

B. E.

C. Perhatikan gambar vektor- vektor berikut untuk menjawab soal no 10 sampai no 12

10. Gambar resultan dari a + b dengan metode jajargenjang yang benar adalah . . .

A. D.

B. E.

C.

11. Gambar resultan dari a + c + d dengan metode poligon yang benar adalah....

A. D.

B. E.

C.

12. Gambar resultan dari a + b – c – d dengan metode analisis yang benar adalah ....

A. D.

B. E.

C.

13. Vektor gaya (F) mempunyai titik asal (6,–4) dan titik ujung (8,2). Bila ditulis dalam vektor satuan, maka F adalah ….

A. F 2iˆ2ˆj D. F 14iˆ2ˆj

B. F2iˆ6jˆ E. F 14iˆ6ˆj C. F2iˆ6ˆj

14. Diketahui vektor ^A



^{5iˆ2j k mˆˆ}



. Jika besar 2A B adalah 74 m, maka vektor B adalah ....

A.



^{4iˆ5jˆ8k mˆ}



^D.



^{6iˆ3jˆ5k mˆ}



B.



^{2iˆ3ˆj k m ˆ}



^E.



^{8iˆ6ˆj5k mˆ}



C.



^{8iˆ ˆ j 4k mˆ}



15. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Seseorang memindahkan sebuah benda dengan gaya ^{F  }



^{iˆ 2ˆj3k Nˆ}



, sehingga mengalami perpindahan



^{3ˆ 3ˆ}



s  i  j m. Usaha yang dilakukan orang tersebut adalah ….

A. 9 Nm D. 18 Nm

B. 10 Nm E. 20 Nm

C. 15 Nm

16. Hasil perkalian silang antara vektor ^F1



^{2iˆ3ˆj3kˆ}



^{dan F2  }



^{3iˆ 6ˆj4kˆ}



^{adalah ….}

A.



^{4iˆ13ˆj18kˆ}



^D.



^{6iˆ21ˆj17kˆ}



B.



^{6iˆ17ˆj21kˆ}



^E.



^{8iˆ19ˆj21kˆ}



C.



^{6iˆ19ˆj21kˆ}



17. Diketahui vektor ^P



^6iˆ12ˆj



^{dan Q}



^{ai bjˆ ˆ}



. Jika kedua vektor saling tegak lurus, maka ….

A. 1

a 3b D. 1

a3b

B. 1

a 2b E. 1

b2a

C. 1

a2b

18. Pernyataan berikut yang benar adalah ….

A. A B   A B D. A B B A   B. A B   B A E. A B   B A C. A B A B  

19. Dua buah partikel bergerak dari suatu titik. Partikel pertama bergerak dengan persamaan kecepatan ˆ ˆ

2 4 ,

v  i j sedangkan partikel kedua bergerak dengan kecepatan v   2iˆ 4 .ˆj jika besar resulran kedua vektor 44, maka sudut yang dibentuk oleh kedua partikel tersebut adalah ….

A. 120^O D. 45^O

B. 90^O E. 30^O

C. 60^O

20. Dua buah vektor besarnya sama yaitu F, bila resultan kedua vektor sama dengan F, maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah ….

A. 30^O D. 60^O

B. 37^O E. 120^O

C. 45^O

B. SOAL URAIAN

1. Mobil bergerak sejauh 6 km ke timur, kemudian 2 km ke selatan, dan seterusnya bergerak 2 km ke barat. Hitung besar dana rah resultan perpindahan tersebut?

2. Sebuah perahu menyebrangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu diarahkan menyilang tegal lurus arus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka hitung :

a. Kecepatan resultannya

b. Ke arah mana perahu meluncue melintasi sungai itu c. Lamanya perahu menyebrang

d. Panjang lintasan yang dilalui perahu

3. Tiga buah vektor yang besarnya masing – masing V1 = 80 N, V2 = 80 N, dan V3 30 N, yang tampak seperti gambar berikut:

Tentukan :

a. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu X.

b. Jumlah komponen vektor terhadap sumbu Y.

c. Besarnya resultan dari ketiga vektor.

d. Arah resultan terhadap sumbu X positif.

4. Tiga buah vektor diberikan dengan persamaan A2iˆ3 ,ˆj B  iˆ 2jˆ dan C  2iˆ 4 ,ˆj tentukan dan gambarkan hasil operasi penjumlahan berikut menggunakan metode analitis dan metode poligon:

a. A2B b. B2A c. A B C 

5. Dari vektor pada soal nomor 4, tentukan :

a. A B c.

 

^{A B C }

b.  B A d.

 

^{A B C}

1. EBTANAS 1988

Jika besar vektor A = 10 satuan, membuat sudut 60^O dengan sumbu X positif, maka besar vektor tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah ….

A. AX = 10 satuan; AY = 10 satuan D. AX = 5 satuan; AY = 5√3 satuan B. AX = 10 satuan; AY = 10√3 satuan E. AX = 5√3 satuan; AY = 5 satuan C. AX = 5 satuan; AY = 5 satuan

2. EBTANAS 1986

Vektor A = 3 satuan, B = 4 satua. A + B = 5 satuan. Besar sudut yang diapit vektor A dan B adalah

….

A. 90^O D. 120^O

B. 45^O E. 180^O

C. 60^O

3. EBTANAS 2006

Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing – masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60^O, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ….

A. 15 N D. 24 N

B. 20 N E. 30 N

C. 21 N 4. EBTANAS 1986

Jika sebuah vektor dari 12 N diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan sebuah diantaranya membentuk sudut 30^O dengan vektor itu, maka besar masing – masing vektor adalah

….

A. 6 N dan 6√3 N D. 3 N dan 3√2 N

B. 6 N dan 2√2 N E. 3 N dan 3√3 N

C. 6 N dan 3√2 N 5. EBTANAS 1998

Pada gambar di samping, komponen vektor gaya F menurut sumbu X adalah ….

A. 1 3 F

2 ^D.

1 F

2 B. 1

2 2 F ^E.

1 3 F

2 C. 1

2 F 6. UN 2016

Rute perjalanan sebuah robot track line adalah sebagai berikut:

 9 m menuju ke timur

 15 m membentuk sudut 53^O dari timur ke utara

 9 m menuju ke bara

Perpindahan robot track line adalah … m

A. 5 D. 15

B. 8 E. 29

C. 12 7. UN 2016

Seorang anak kecil berjalan sejauh 10 m kea rah timur, kemudian berbelok ke utara sejauh 6 m dan kembali kea rah barat sejauh 2 m, untuk kemudian berhenti. Besar Perpindahan anak kecil tersebut adalah … m

A. 2 D. 14

B. 6 E. 18

C. 10

8. UN 2016

Seorang berjalan ke arah barat sejauh 5 m, kemudian berbelok ke selatan sejauh 3 m dan setelah itu anak tersebut melanjutkan perjalanan ke arah timur sejauh 9 m. maka perpindahan anak tersebut adalah … m

A. 5 D. 20

B. 9 E. 22

C. 17 9. UN 2013

Vektor gaya F1, F2, dan F3 terletak pada sebuah diagram kartesius seperti gambar. Resultan ketiga vektor adalah….

A. √26 N D. √168 N

B. √76 N E. √204 N

C. √84 N 10. UN 2013

Perhatikan gambar di samping. Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah ....

A. 0 D. 8√3 N

B. 2√3 N E. 12√3 N

C. 4√3 N 11. UN 2013

Perhatikan gambar berikut!

Tiga buah vektor gaya, masing-masing besarnya F1 = 12 N, F2 = 6 N, dan F3 = 12 N tersusun seperti gambar. Resultan ketiga vektor tersebut adalah….

A. 6 N D. 16 N

B. 8 N E. 20 N

C. 12 N 12. UN 2013

Tiga buah vektor kecepatan v1, v2, dan v3 titik tangkap seperti gambar tersebut. Diketahui v1 = 30 satuan, v2 = 30 satuan, v3 = 10 satuan, maka besar resultan ketiga vektor adalah….

A. 100 satuan D. 10√10 satuan

B. 10√3 satuan E. 130 satuan

C. 10√5 satuan 13. UN 2013

Perhatikan gambar! Resultan ketiga vektor gaya tersebut adalah….

A. 10 N D. 5 N

B. 8 N E. 4 N

C. 6 N 14. UN 2013

Resultan ketiga gaya pada gambar di samping adalah….

A. 24 N D. 10 N

B. 16 N E. 4 N

C. 12 N 15. UN 2013

Vektor F1 = 9 N, F2 = 15 N, dan F3 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gampar.

Berapa resultan ketiga vektor tersebut?

A. 6 N D. 12 N

B. 8 N E. 16 N

C. 10 N 16. UN 2013

Tiga buah vektor gaya setitik tangkap seperti gambar, masing-masing F1 = 10 N, F2 = 4 N dan F3 = 3 N. Berapa resultan ketiga gaya tersebut? (Sin 37^o = 0,6 dan Cos 37^o = 0,8)

A. 2,5 N D. 6 N

B. 5 N E. 7,5 N C. 5,5 N

17. UN 2012

Tiap skala pada gambar berikut ini setara dengan besar gaya 1 N. Besar resultan kedua vektor gaya tersebut adalah…

A. 13 N B. 15 N C. 17 N D. 18 N E. 21 N 18. UN 2012

Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 15 N dan 9 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, nilai resultan dari kedua vektor tersebut ...

A. 15 N D. 24 N

B. 20 N E. 30 N

C. 21 N 19. UN 2012

Jika pada suatu bidang XOY terdapat vektor posisi r = 4i + 4j , maka besar dan arah vektor r adalah…

A. 8 m ; 45^O D. 4 2 m ; 90^O

B. 4

2

m ; 45^o E. 4 3 m ; 45^O

C. 8 m ; 90^O 20. UN 2012

Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.

Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...

A. 7i + 10√3j B. 7i + 10j C. 3i + 7√3j D. 3i + 10j E. 3i + 7j 21. UN 2012

Sebuah benda bergerak dengan lintasan seperti grafik berikut : Perpindahan yang dialami benda sebesar ….

A. 23 m

B. 21 m

C. 19 m D. 17 m E. 5 m

22. UN 2012

Seorang anak naik sepeda ke sekolah dengan lintasan seperti gambar. Besar perpindahan anak tersebut dari keberangkatannya sampai tiba di sekolah adalah….

A. 300 m B. 400 m C. 500 m D. 700 m E. 900 m 23. UN 2012

Budi berjalan sejauh 6 meter ke timur, kemudian 6 meter ke selatan, dan 2 meter le timur.

Perpindahan Budi dari posisi awal adalah ….

A. 20 m D. 10 m

B. 14 m E. 8 m

C. 12 m

F1

F2

F1

F2

60

X ( satuan vektor ; i ) Y ( satuan vektor ; j )

Ruma h₅₀₀

m MA

N 100 m 300 m

mula bergerak

x(m ) y(m

)

berhenti bergerak

B A

-5

-5 0 3

10

24. UN 2012

Seorang anak berlari menempuh jarak 80 m ke utara, kemudian membelok ke timur 80 m dan ke selatan 20 meter. Besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah ….

A. 60 m D. 120 m

B. 80 m E. 180 m

C. 100 m 25. UN 2008

Fitria melakukan perjalanan napak tilas dimulai dari titik A ke titik B : 600 m arah utara; ke titik C 400 m arah barat; ke titik D 200 m arah selatan; dan kemudian berakhir di titik E 700 m arah timur. Besar perpindahan yang dialami Fitria adalah....

A. 100 m D. 1500 m

B. 300 m E. 1900 m

C. 500 m 26. UN 2007

Vektor F1 = 14 N dan F2 = 10 N diletakkan pada diagram Cartesius seperti pada gambar.

Resultan |R| = F1 + F2 dinyatakan dengan vektor satuan adalah...

A. 7i + 10√3j D. 3i + 10j

B. 7i + 10j E. 3i + 7j

C. 3i + 7√3j 27. UMPTN 1996

Perhatikan vektor – vektor yang besar dan arahnya terlukis pada kertas berpetak seperti gambar.

jika panjang satu petak adalah 1 newton (N), maka besar resultan kedua vektor adalah ….

A. 8 N D. 11 N

B. 9 N E. 12 N

C. 10 N

:: catatan ::

MATERI : KOMPONEN VEKTOR Kelompok :

Nama : 1………..

2………..

3………..

4………..

A.

Tujuan

1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea 2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor

3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relatif dari percobaan vektor 4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dari percobaan yang dilakukan

B.

Alat dan Bahan

1.

Neraca pegas (3 buah)

2.

Benang

3.

Kertas grafik

4.

Papan triplek

5.

Paku payung

6.

Busur derajat

C.

Langkah Kerja

1. Siapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.

2. Kaitkan neraca pegas pada tiap ujung benang sehingga membentuk seperti gambar berikut.

3. Siapkan papan triplek, tancapkan dua paku payung kemudian kaitkan dua neraca pegas pada paku payung. Tarik neraca pegas ketiga sehingga dua neraca pegas pertama yang terikat pada paku payung membentuk sudut 90⁰ (siku-siku). Pastikan sudut siku-siku itu dengan meletakkan kertas grafik milimeter pada papan triplek.

4. Tandai titik sambungan benang yang membentuk sudut siku-siku dan titik lain pada

benamg penghubung neraca pegas ketiga. Kemudian, hubungkan titik potong benang (siku- siku) dengan masing-masing paku payng dan titk kedua sehingga membentuk garis.

Perpanjang garis yang menghubungkan titik siku-siku dengan titik lain sehingga membentuk gambar seperti berikut.

5. Catat hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas sebagai vektor F1 dan F2 untuk dua neraca pegas saling menyiku. Cata pula hasil yang ditunjukkan oleh neraca pegas ketiga sebagai vektor F.

Informasi :

Vektor F1 dan F2 merupakan komponen dari F.

Vektor F merupakan vektor negatif dari tarikan neraca pegas ketiga, karena ketiga Vektor gaya membentuk kesetimbangan, sehingga resultannya nol.

Ketiga gaya itu dapat digambar sebagai berikut.

6. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara garis hubung putus-putus (mewakili F) denga vektor F1. 7. Lakukan percobaan seperti langkah 1 sampai dengan 6 sebanyak 3 kali dengan cara

memindahkan salah satu paku payung yang tertancap.

8. Masukkan data hasil percobaan anda ke dalam tabel.

9. Hitung kesalahan relatif dari pengukuran.

D.

Data Hasil Penelitian

Percobaan ke F1 F2 F α

1 2 3

α

F

2

F

F

1

𝛼

4

E.

Analisis Data

1. Lengkapi data percobaan dengan tabel berikut ini.

Percobaan ke F1 F2 F α Sin α F1 Sin α F2Sin α 1

2 3 4

2. Amati tabel tersebut, adakah kecenderungan nilai yang sama? Tuliskan pada bagian yang mana ………

3. Biasanya komponen vektor ada yang dinamakan komponen pada sumbu x dan komponen pada sumbu y. Adakah yang memiliki kecenderungan sama dengan penamaan itu? Tuliskan bagian mana yang dimaksud ………

4. Besar kesalahan relatif dari percobaan adalah

………

………

………

F.

Kesimpulan

1. Hubungan antara nilai, F, F1, F2 dan sudut α dapat ditulis sebagai berikut.

………

………

………

………

………

2. Jika komponen vektor dinyatakan dengan Fx, dan Fy, maka dapat dituliskan rumus komponen sebagai berikut.

………

………

………

………

………

………

………

MATERI : RESULTAN DUA VEKTOR Kelompok :

Nama : 1………..

2………..

3………..

4………..

A. Tujuan

1. Siswa mampu mengukur besar vektor dengan arah yang berbeda-bea 2. Siswa mampu mengukur besar sudut yang dibentuk oleh vektor

3. Siswa mampu menghitung besar kesalahan relati dari percobaan vektor

4. Siswa mampu menuliskan persamaan vektor dengan menggunakan metode analitis dari percobaan yang dilakukan

B. Alat dan Bahan

1. Neraca pegas (3 buah) 4. Busur derajat 2. Paku payung (2 buah) 5. Benang secukupnya

3. Alas dari triplek 6. Paku paying, papan triplek, dan benang secukupunya C. Langkah Kerja

Alternatif pertama

1. Menyiapkan benang dan ikat membentuk huruf Y seperti gambar berikut.

2. Menancapkan dua buah paku payung pada papan triplek (setelah diberi kertas di atasnya), kemudian memasang neraca pegas seperti seperti gambar berikut.

3. Tarik neraca pegas ketiga (tidak dikaitkan ke paku payung) sampai posisi tertentu.

Pertahankan dalam keadaan diam, kemudian catatlah ketiga gaya yang ditunjukkan neraca pegas. Beri tanda pada titik sambung benang dan pada garis yang dihubungkan pada neraca pegas ketiga.

4. Setelah dilepas, gambarkan garis yang menghubungkan titik-titik yang sudah ditandai dengan paku payung sehingga membentuk gambar sebagai berikut.

5. Ukurlah sudut α, yaitu sudut antara F1 dengan F1.

6. Lakukan percobaan berulang-ulang dengan mengubah tarikan neraca pegas ketiga.

Kemudian ikuti langkah 2,3 dan 4

7. Masukkan data hasil percobaan dalam tabel 8. Hitung kesalahan relatif yang dilakukan.

F1

F2

F3

α

Alternatif kedua

1. Susunlah statif, katrol bertangkai, dan beban seperti gambar berikut.

2. Letakkan papan triplek yang dilapisi kertas dibelakangnya sehingga seperti gambar berikut.

3. Aturlah beban A, B, dan C sehingga mencapai keseimbangan (sistem tidak gerak lagi).

4. Nyatakan di A, B, dan C dengan F1, F2, FR.

5. Ukurlah sudut α.

6. Lakukan percobaan beberapa kali, kemudian masukkan data percobaan ke dalam tabel.

D. Data Hasil Percobaan

Percobaan ke F1 F2 FR α

1 2 3 4 5 E. Analisis Data

1. Lakukan anallisis data dengan melengkapi tabel berikut.

Percobaan

ke F1 F2 FR α Cos α 2 F1 F2 Cos α F12+ F22+2 F1 F2

Cos α 1

2 3 4 5

2. Amati tabel analisis data, adakah kecenderungan membentuk pola tertentu? Kecenderungan apa yang terlihat? Sebutkan pada bagian mana.

………

………

………

α A

C

B

C

α

A

C

B

3. Berdasarkan kecenderungan yang ada, buatlah formula dalam bentuk persamaan matematis (rumus)

………

4. Adakah kesalahan yang diperoleh ? berikan penjelasan di mana letak kesalahan yang mungkin dilakukan

………

………

………

5. Hitung besar kesalahan relatif dari percobaan

………

………

………

F. Kesimpulan

Berdasarkan data dan analisis diperoleh kesimpulan bahwa

1. Penjumlahan dua vektor dapat menggunakan formula atau rumus

………

………

………

………

2. Beberapa kesalahan yang perlu diperbaiki dalam percobaan, yaitu

………

………