MAKALAH
VEKTORDi Susun Oleh :
Kelas : X MIPA III
PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR
SMAN 1 PAMIJAHAN
2017
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, saya ucapkan puja dan puji syukur kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini saya susun untuk menyelesaikan tugas mata pelajaran matimatika dengan judul makalah “operasi vektor”. Sistematika makalah ini dimulai dari pengantar yang merupakan apersepsi atas materi yang telah dan akan dibahas dalam bab tersebut yang dirangkai dengan peta konsep. Selanjutnya, pembaca akan masuk pada inti pembahasan dan diakhiri dengan penutup berupa kesimpulan dan saran
Saya juga berterima kasih atas dukungan guru dan teman, sehingga makalah ini dapat saya buat berdasarkan pembelajaran yang sudah saya lewati. Semoga makalah ini dapat disimpan dengan baik, agar dapat terus dipelajari, dan dapat memberikan wawasan baru bagi yang membacanya.
Terlepas dari semua itu, saya menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun bahasanya. Oleh karena itu, saya mengharapkan kritik dan saran atau penilaian tentang makalah ini.
Terima Kasih Bogor, Mei 2017
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ...i
Daftar Isi ...ii
BAB I PENDAHULUAN...1
A. Latar belakang ...1
B. Rumusan masalah...2
C.Tujuan...2
BAB II PEMBAHASAN ...3
Pengertian Vektor...3
Sifat –SifatVektor...4
Penjumlahan Vektor...4
Pengurangan Vektor...6
Perkalian Vektor...7
Vektor pada bidang (Dimensi 2...7
Vektor Pada Ruang(Dimensi 3...8
BAB III PENUTUP ...10
Kesimpulan ...10
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Memasuki abad 20, perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangatlah pesat. Berbagai piranti sederhana maupun elektronik telah berhasil dibuatuntuk memudahkan pekerjaan manusia. Keberhasilan demi keberhasilan yang diraih manusia, tidak lepas atau bahkan sangat bergantung dari keberadaan suatu ilmu, yakni ilmu Fisika.
Fisika memiliki kaitan erat dengan matematika. Hal ini karena matematika mampu menyediakan kerangka logika di mana hukum-hukum fisika dapat diformulasikan secara tepat. Definisi, teori, dan model fisika selalu dinyatakan menggunakan hubungan matematis.
Sebagai ilmu dasar, fisika memiliki pengaruh pada banyak ilmu sains lainnya. Salah satu contohnya pada ilmu kimia. Fisika banyak mempelajari partikel renik semacam elektron. Bahasan tersebut ternyata juga dipelajari dan dimanfaatkan pada ilmu kimia. Bahkan topik mekanika kuantum yang diterapkan pada ilmu
kimia telah melahirkan bidang baru yang dinamakan kimia kuantum (quantum
chemistry).
Selain itu, ilmu fisika yang diterapkan pada bidang ilmu lain ikut berperan dalam melahirkan bidang studi baru yang menarik. Di antaranya adalah biofisika (fisika pada ilmu biologi), geofisika (fisika pada ilmu bumi), fisika medis (fisika pada ilmu kedokteran), dan yang lebih baru adalah ekonofisika (fisika pada ilmu ekonomi).
mungkin ditemukan hal-hal penting lainnya di tata surya, dan hal-hal ini masih terus berlanjut, keteraturan yang telah ditemukan akan menjadi dasar untuk menemukan keteraturan-keteraturan lainnya.
Dengan demikian, Vektor merupakan pengetahuan yang sangat penting. Hal itulah yang melatar belakangi kami untuk menyusun makalah ini, agar nantinya dapat memahami dan mengaplikasikannya di kehidupan sehari-hari.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat dirumuskan masalah sebagai berikut : 1. Apakah perbedaan dari besaran skalar dan besaran vektor?
2. Apakah perbedaan dari vektor komponen dan vektor satuan? 3. Bagaimana menentukan vektor resultan?
4. Bagaimana menentukan arah vektor?
5. Bagaimana pengaplikasian vektor dalam kehidupan sehari – hari?
C. Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah :
1. Untuk mengetahui perbedaan dari besaran skalar dan besaran vektor. 2. Untuk mengetahui perbedaan dari vektor satuan dan vektor komponen. 3. Untuk mengetahui cara menentukan vektor resultan.
4. Untuk mengetahui caramenentukan arah vektor.
5. Untuk mengetahui pengaplikasian vektor dalam kehidupan sehari – hari.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Vektor
Secara sederhana pengertian vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh dari besaran ini misalnya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Untuk menggambarkan vektor digunakan garis berarah yang bertitik pangkal. Panjang garis sebagai nilai vektor dah anak panah menunjukkan arahnya. Simbol vektor menggunakan huruf kapital yang dicetak tebal (bold) atau miring dengan tanda panah di atasnya seperti gambar berikut:
Menggambar sebuah Vektor
Vektor pada bidang datar mempunyai 2 komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y. Khusus untuk vektor yang segaris dengan sumbu x atau y berarti hanya mempunyai 1 komponen. Komponen vektor adalah vektor yang bekerja menuyusun suatu vektor hasil (resultan vektor). Oleh karenanya vektor bisa dipindahkan titik pangkalnya asalkan tidak berubah besar dan arahnya.
Secara matematis vektor dapat dituliskan A = Ax+Ay dimana A adalah resultan dari komponen-komponenya berupa Ax dan Ay.
B. Sifat-sifat vektor
a. Komutatif
a + b = b + a b. Assosiatif
a + ( b + c) = (a + b) + c
c. Memiliki elemen satuan atau elemen identitas
a + 0 = 0 + a = a
d. Memiliki elemen inverse
a + (-a) = (-a) + a = 0
e. Distributive dengan perkalian skalar K(a + b) = ka +kb , dengan k= skalar
C. Penjumlahan Vektor
Inti dari operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya atau secara sederhana berarti mencari resultan dari 2 vektor. Aga susah memang dipahami dari definisi tertulis. Kita coba memahaminya dengan contoh
Untuk vektor segaris, resultannya
rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut
Menurut aturan cosinus dalam segitiga,
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2(OP)(PR) cos (180o – α)
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2(OP)(PR) cos (-cos α)
(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2(OP)(PR) cos α
Jika OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR
maka didapat persamaan
R2 = A2 + B2 – 2AB cos α
Rumus menghitung resultan vektornya
Dalam penjumlahan vektor sobat hitung bisa menggunakan 2 cara
1. Penjumlahan Vektor dengan cara Jajar Genjang (Pararelogram)
yaitu seprti yang dijelaskan di atas. Metode yang digunakan adalah dengan mencari diagonal jajar genjang yang terbentuk dari 2 vektor dan tidak ada pemindahan titik tangkap vektor.
2. Penjumlahan Vektor dengan Cara Segitiga
pada metode ini dilakukan pemindahan titik tangka vektor 1 ke ujung vektor yang lain kemudian menghubungkan titi tangkap atau titik pangkal vektor pertama dengn titik ujung vektor ke dua. Lihat ilustrasi gambar di bawah ini.
Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan adalah ada salah satu vektor yang mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya
R = A + (-B) = A – B
Rumus Cepat Vektor
berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika
Jika α = 0o maka R = V 1 + V2
Jika α = 90o maka R = √(V
12 + V22)
Jika α = 180o maka R = | V
1 + V2 | –> nilai mutlak
Jika α = 120o dan V
1 = V2 = V maka R = V
Contoh Soal
Dua buah vektor sebidang erturut-turut besarnya 8 satuan dan 6 satuan, bertitik
tangkap sama dan mengapit sudut 30o Tentukan besar dan arah resultan vektor
tersebut tersebut!
Jawaban :
R = 82 + 62 + 2.6.8.cos 30
R = 64 + 36 + 96 0,5 √3
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian antara vektor dan skalar adalah hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor A, sehingga dapat dituliskan kA dan didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Arah vektor yang baru ini sama dengan arah vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif.+
Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A • B. Perkalian skalar dua vektor dapat dikitang sebagai perkalian antara besar salah satu vektor dengan
komponen vektor lain dalam arah vektor yang pertama tadi. Maka pada perkalian
vektor ini ada ketentuan, yaitu :
Perkalian komponen vektor yang sejenis (searah) akan menghasilkan nilai
1, seperti : i • i = j • j = k • k = 1
Perkalian komponen vektor yang tidak sejenis (saling tegak liris) akan
menghasilkan nilai 0, seperti : i • j = j • k = k • i = 0
Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A X B dan hasilnya
adalah sebuah vektor lain C. Arah dari C sebagai hasil perkalian vektor A dan B
Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x
1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen :
AB
Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk :
- Kombinasi linear vektor satuan i, j , misalnya vektor a
= xi + yj.
- Koordinat kartesius, yaitu :
a
F.Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)
Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :
koordinat kartesius p = (x, y, z)
vektor kolom p = atau, vector baris p=(x,y,z)
kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk
dengan i = ,j = , dan k =
i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ
Vektor Posisi
Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis
8
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawahi.
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A dinamakan suatu fungsi u yang dilambangkan dengan A (u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i + A2(u)j + A3(u)k . Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang
(R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor.
