MODUL MATEMATIKA
“
VEKTOR
”
Kementerian Pendidikan Nasional
Universitas Negeri Manado
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Pendidikan Matematika
Kata Pengantar
Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.
Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun 2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan vektor
Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor, Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.
Tondano, 12 Oktober 2007
Penyusun,
Daftar Isi
Halaman
Halaman Francis ………...1
Kata Pengantar………... 2
Daftar Isi………... 3
Peta kedudukan Modul... 4
Glosarium... 6
Bab I Pendahuluan A. Deskripsi... 7
B. Prasyarat... 7
C. Petunjuk Penggunaan Modul...8
D. Tujuan Akhir... 9 - 11 E. Kompetensi... 11 - 13 F. Cek Kemampuan... 13
Bab II Pembelajaran A. Rencana Belajar Peserta Didik...14 - 15 B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar 1... 16 - 31 2. Kegiatan Belajar 2... 32 - 41 3. Kegiatan Belajar 3... 42 - 52 4. Kegiatan Belajar 4 ... 53 - 72 Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi... 73 - 74 B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian... 75 - 80 Bab IV Penutup... 81
Pembagian dalam Bentuk Koordinat
Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang
Vektor
Ekspresi Vektor
Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor
Pembagian dalam Bentuk Koordinat
Ekspresi Vektor
Aplikasi
Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor
Matriks
Glosarium
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Notasi Vektor PQ dapat dituliskan a atau a
Kesamaan Dua Vektor jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P.
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0
Jarak antara titik A(x1+ y1+ z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3sama dengan panjang vektor AB yaitu
│ AB │
Bab I
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSI
Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu : 1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor,
kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis, panjang suatu vektor.
2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.
3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.
4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua vektor.
B. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah : Memahami bentuk dan ciri matriks
Memahami invers matrik
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
a. Penjelasan Bagi Peserta Didik
1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.
2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya.
3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik.
4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih
dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.
6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.
b. Peranan Guru
1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. 3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang
diperlukan untuk belajar.
4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik
5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.
D. TUJUAN AKHIR
Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar :
Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan masalah
- Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
- Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkali-an skalar, proyeksi, dperkali-an perkaliperkali-an silperkali-ang vektor dalam pemecahperkali-an masalah.
- Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat dalam pemecahan masalah.
Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang vektor
Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang vektor.
Indikator Hasil Belajar :
Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor - Menentukan penyelesaian ekspresi vektor
- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor - Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor
- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor
- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor.
- Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat - Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.
Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran. - Siswa menenjukan kesiapan belajar.
- Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.
- Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran. - Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.
- Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru. - Siswa merasa senang mengerjakan tugas.
- Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.
- Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan soal.
- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan.
- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti. - Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.
- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya. - Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.
- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi. - Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai
Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga - Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran
Matematika
- Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti
- Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar matematika
E. KOMPETENSI : Menerapkan
Ekspresi vektor Sub kompeten si Kriteria kinerja Lingkup belajarMateri pokok Pembelajaran
Kognitif Afektif Psikomotor
Mendeskri psikan ekspresi vektor - Pengertian vektor, Kesamaan dua vektor, Vektor nol, Vektor posisi, Vektor satuan, Vektor dalam ruang , Vektor basis, Panjang suatu vektor 1.Mengetahui dan memahami pengertian ekspresi vektor 2.Menentukan penyelesaian ekspresi vektor 1. Memperlihatkan kesiapan dalam mengikuti pembelajaran 2. memperhatikan dengan baik setiap materi yang diberikan 3. bertanya jika belum dimengerti 1. Dapat menuliskan simbol-simbol (Notasi) khususnya dalam materi vektor tepat 2. Dapat menggambar ruang berdimensi dua dan tiga.
Mendeskri psikan operasi aljabar vektor penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor 1. Mengetahui dan memahami operasi vektor 2. Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor 1 Mengikuti pembelajaran dengan serius 2. Dengan antusias bertanya apabila ada materi yang belum dimengerti 3. mengerjakan
latihan soal yang diberikan guru
1. Dapat
menggambar cara segitiga dan jajaran genjang
psikan rumus jarak, perbandin gan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor jarak, Rumus pembagian. rumus jarak, perbandingan , perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor 2. Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan , perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor Kritis Ketika pembelajaran berlangsung apabila di dalam Materi Yang disampaikan ada yang keliru 2. Mau bertanya kepada teman jika ada yang belum dimengerti menggambar pembagian ruas garis AB dengan perbandingan m : n 2. Dapat menggambar pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor. Mendeskri psikan pembagia n dalam bentuk vektor - Hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 1. Menentukan Pembagian dalam Bentuk Koordinat 1. Selalu berpikir kritis ketika pembelajaran berlangsung apabila di dalam materi yang disampaikan ada yang keliru 2. Mau bertanya kepada guru jika tidak dimengerti.
perkalian silang dua vektor.
F. CEK KEMAMPUAN
No Pertanyaan Ya Tidak
1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?
3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ? 4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah
penyelesaian vektor ?
5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?
6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah penyelesaian definisi vektor ?
BAB II
Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
BAB II
PEMBELAJARAN
A.
RANCANGAN BELAJAR SISWA
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.
1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai berikut.
N o
Kegiatan Pencapaian Alasan Perubahan bila
diperlukan
Paraf
Tgl Jam Tempat Siswa Guru
Mengetahui ..., ... 20 Guru pembimbing Peserta Diklat
(...) (...)
2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.
b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).
c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.
B.
KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 :
Ekspresi Vektora
. Tujuan Kegiatan Belajar 1Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat mengetahui pengertian vektor,
2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor, 3. Dapat memahami vektor nol,
4. Dapat memahami vekktor posisi, 5. Dapat memahami vektor satuan, 6. Dapat memahami vektor ruang , 7. Dapat memahami vektor basis. 8. Dapat menentukan suatu vektor. .
b. Uraian Materi
EKSPRESI VEKTOR
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.
Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.
Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.
A
Notasi Vektor
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ .
PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau
dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi topi,misalnya
Q a
P a
Gambar 5.2 Notasi Vektor
Untuk vektor PQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q disebut titik ujung (titik terminal).
2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD . Dari pengertian ini dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.
B D A
C
Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor
Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama dengan)
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini, salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB = 2 CD . atau CD = 2 1 AB B A D C
Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.
c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB = - EF atau EF = - AB
B E A
F
Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan
d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3 EF atau EF =
3 1 AB B E A F
Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda
3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan O
4. Vektor Posisi
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik
P. Jika koordinat titik P adalah (x1,y1) maka vektor posisi dari titik P adalah p = OP =
1 1 y x Y P (x1,y1) p y1 O x1 X
Gambar 5.7 Vektor posisi titik P
Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah
vertikalnya adalah y1.
Jika titik A di R3 dengan koordinat A adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik A adalah
Gambar 5.8 Vektor posisi titik A
a = OA = 1 1 1 z y x sebaliknya, jika a = 1 1 1 z y x
merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A
berkoordinat (x1, y1, z1)
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k
Sehingga untuk vektor di R2adalah i = 0 1 j = 1 0 Y B (0,1) j A (1,0) O i X
Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2
Sedangkan untuk di R3 adalah
i = 0 0 1 ; j = 0 1 0 ; k = 1 0 0
Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3
Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektor a adalah vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnya
a
1
6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2,
diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal atau sumbu Y.
Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif. Dengan demikian vektor pada R2dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.
AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan
dituliskan sebagai vektor kolom a = 1 1
dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b = 3 4
Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua
AB = b - a = 3 4 - 1 1 = 2 3
Dengan cara yang sama kita dapatkan:
CD = 1 4 EF = 4 0 GH = 2 4
b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3atau R
3. R3ditandai dengan tiga buah
sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:
1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X; 2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;
3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.
Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).
Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga
Contoh :
ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu
koordinat dengan koordinat A (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).
Misalkan titik A (0, 1, 0) dituliskan sebagai a = 0 1 0
dan titik E (0, 1, 6) dituliskan sebagai e = 6 1 0 maka AE = e - a = 6 1 0 - 0 1 0 = 6 0 0 Z Z Y Y O O X X
Z
Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH
Dengan cara yang sama didapatkan:
AF = 6 0 4 ; AG = 6 2 4 ; BH = 6 2 4 7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:
OP = OQ + QP
di mana OP = P
OQ = x1i
QP = y1 j
sehingga dapat dituliskan :
P = x1i + y1 j
Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j
Jadi, setiap vektor di R2dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor basis i dan j dalam bentuk
:
x1dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P .
b. Vektor Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka
komponen-komponen r dapat dinyatakan sebagai: x1i (searah dengan OX )
y1 j (searah dengan OY )
z1 k (searah dengan OZ )
Z
Gambar 5.15 Vektor basis pada R3
dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor basis i , j , k
OR= OP+ PR
OR= OQ+ QP+ PR, sehingga
P = x1i + y1 j
Vektor dapat disajikan dalam bentuk : a. vektor basia, yaitu P = (x1, y1)
b. vektor kolom, yaitu P =
1 1 y x catatan
OR= r = x1i + y1 j + z1k
Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .
a. Vektor di R2
Jika p adalah titik (x1, y1) maka OP= P =
1 1 y x Y P(x1, y1) P O Q X
Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2
Dengan menggunakan pythagoras maka
2 OP = OQ 2+ QP 2 (perhatikan Gambar 5.16) 2 P = x12+ y12 ( karena OP= P ) 2 P = 12 2 y x r = x1i + y1 j + z1k
Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam bentuk:
a. vektor baris, yaitu r = (x1, y1, z1)
b. vektor kolom, yaitu r =
1 1 1 z y x Catatan :
Jadi, jika P = 1 1 y x
maka panjang vektor P adalah P2= x12 y12
b. Vektor di R3 Misalkan OR= r = 1 1 1 z y x adalah vektor
Gambar 5.17 panjang vektor r di R3
posisi di R3seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka
2 OR = 2 OP + 2 R P = 2 OQ + QP 2 + PR2 2 OR = x12+ y12+ Z12(perhatikan Gambar 5.17) r = X12 Y12 Z12 ( karena OR= r ) Jadi, r = 1 1 1 z y x
, panjang vektor r adalah r = 2 1 2 1 2 1 Y Z X
C Rangkuman Kegiatan Belajar 1
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.
2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.
c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan.
d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.
3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol.
4. Vektor Posisi
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik
P.
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 6. Vektor dalam Ruang
a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2.
b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga
buah sumbu yang saling berpotongan.
7. Vektor Basis
a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.
b. Vektor Basis di R3
komponen-x1i (searah dengan OX )
y1 j (searah dengan OY )
z1 k (searah dengan OZ )
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .
d
. Tugas Kegiatan BelajarDiskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan
.
e.
Tes Formatif1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom! a. A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5) 2. Nyatakan vektor-vektor a = 1 3 2 dan c = 3 0 1
sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k
3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3i + j - 2 k carilah
a. P
b. Q
c. PQ
f. Kunci Jawaban 1. a. a = 3 2 ; b = 4 1 b. p = 4 1 2 ; q = 5 2 3 2. a = 2 i + 3 j + k c = - i + 3 k 3. p = 2 2 1 ; q = 2 1 3 a. P = 12 (2)2 22 = 144 = 3 b. Q = 32 12 (2)2 = 914= 14
c. Untuk menghitung PQ , tentukan dulu p + q ; p + q = 2 2 1 + 2 1 3 = 0 1 4 Q P = 42(1)2 02 = 16 = 171
d. vektor satuan dari p =
p p = 3 2 2J K i = i 3 1 - j 3 2 + k 3 2
g. Lembar Kerja Siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang).
1. Diketahui : a = 3 i + 2 j + 4 k b = i - j + 2 k
c = i + 3 k
Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom! a. a + b
b. b + c c. ( a + b ) + c
d. a + ( b + c )
e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?
f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?
2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC = 3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k
a. OB e. AF b. AC f. BD c. FC g. AG d. EB 3. Jika p = 6 4 2 dan q = 7 4 4 Tentukan: a. P c. PQ
b. Q d. vektor satuan dari p dan q
4. Diketahui: a. 2 i - 3 j + 4 k c. 3i + 2 j + 3 k
b. - i + 5 k Carilah:
a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c b.│ a + b + c │
5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2 k dan b = 2i + 3 j - 5 k
a. Carilah │ a │ dan│ b │ c. Apakah │ a + b │= a + b b. Carilah a b dan│ a + b │
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah
2. Kegiatan Belajar 2 :
Operasi Aljabar Vekto ra.
Tujuan Kegiatan Belajar 2Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,
2. Dapat menetukan pengurangan vektor,
3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor
b.
Uraian MateriOPERASI ALJABAR VEKTOR
1 Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang.
a. Cara Segitiga Perhatikan Gambar 5.18 b b b a a a (i) (ii)
Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang
Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a .
Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor
b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).
b. Cara Jajar Genjang
Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa
mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .
Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .
Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal dengan cara jajar genjang Gambar 5.18(ii).
Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:
c = a + b PR= PQ+ QR
Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga
Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:
AB = AC + CB (untuk titik-titik, A, C, dan B) AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B)
AB = AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.
Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan poligon seperti berikut. P4 P5 P3 Tugas
Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif
Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)! Misalkan PQ = a , SR = a S R Misalkan PS = b , QR = b . b
PR= PQ+ QR = a + b
PR= PS + SR = b + a P a Q
Jadi, a + b = b + a Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara komulatif
Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif.
2) Asosiatif
Perhatikanlah Gambar 5.21!
SPQR adalah suatu limas segitiga PQ = a , QR = b , RS = c Maka: S ( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS = PR + SR c = PS a + ( b + c ) = PQ + ( QR + RS ) P a b R = PQ+ QS Q
= PS Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif
Jadi, ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif.
Jika a = 2 1 , b = 3 2 dan c = 4 3 , apakah a - b + c = a - ( b + c )? Bagaimanakah dengan ( a + b ) - c , apakah sama dengan a + ( b - c )?
3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku
a + o = o + a = a
4) Lawan suatu vektor
Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a
adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis - a
dengan - a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan dari sebuah vektor
lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya
sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a . Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).
Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o
2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b .
Jadi, c = a - b = a + (- b )
Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada Gambar 5.23.
a - b = a + (- b )
= PQ + PS
= PT = RQ
Dari ∆ PQR terlihat bahwa :
PQ - PR = RQ
3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0
Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor
Jika a = 2 1 , maka 2 a = 2 2 1 = 4 2 Jika b = 4 3 2 , maka 3 b = 3 4 3 2 = 12 9 6
Secara umum, bila a = r q p maka k a = k r q p = kr kq kp
Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1 k (- a ) = - (k a )= - k a
2 k (l a ) = (kl) a 3 (k + l) a = k a + l a
4 k( a + b ) = k a + k b
c.
Rangkuman Kegiatan Belajar 2OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang.
a. Cara Segitiga b. Cara Jajar Genjang
Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif
2) Asosiatif
3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku a + o = o + a = a
4) Lawan suatu vekto
2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b .
3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0
Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1. k (- a ) = - (k a )= - k a
3. (k + l) a = k a + l a 4. k( a + b ) = k a + k b
d.
Tugas Kegiatan BelajarDiskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan
.
.e.
Tes Formatif1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik tengah DC dan CB . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v
a. AE b. EF c. AF
2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan
carilah AB : BC
3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah nilai p dan q.
f. Kunci Jawaban
1. a. AE = AD + DE D E C = v + 2 1 u = 2 1 u + v b. EF = CE + CF v F = 2 1 u -2 1 v A u Bc. AF = AB + FB Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD
= u +
2 1
v
2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah
1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumbu koordinat x - y, yaitu A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)
2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC)
3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan
AB : BC, dihitung nilai AB dan AC , yaitu
AB = b - a = 2 4 - 1 1 = 1 3 AC = c - a = 4 10 - 1 1 = 3 9 3. AB = b - a = 2 1 2 - 4 5 2 = 6 6 4 BC = c- b = l q p - 2 1 2 = 3 1 2 q p
Karena A,B, dan C segaris maka: AB = m ∙ BC 6 6 4 = m 3 1 2 q p , diperoleh m = -2 4 = -2 (p - 2) -6 = -2(q + 1) 4 = -2p + 4 3 = q + 1 2p = 0 q = 2 p = 0
g. Lembar Kerja Siswa (LKS)
1. ABCD jajar genjang bila AB = a , AD = b , titik E perpotongan diagonal AC clan BD . Nyatakan dengan a dan b vektor - vektor tersebut!
D C a. AC d. BE b E b. AE e. ED
c. BD f. EB A a B
2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah tunggal!
a. AE - AD c. BE - BC b. AB - AC d. CD - CB
3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal! a. AB + BC + CD + DE b. AD + DC + CE + EK c. AD - AB + CB - CD 4. Diketahui a = 3 2 1 , b = 2 1 2 , dan c = 3 2 1 Hitunglah: a. 2 a + b - c b. 3 a + 2 b + 4c c. 4 a + 3b - 2c 5. Diketahui: a = 3 i + 4 j + 5 k b = i + 3 k c = -2 i + 3 j - 4 k
Nyatakan sebagai vektor kolom! a. a + b d. ( a + b ) + c
b. b + a e. a + ( b + c)
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah
3. Kegiatan Belajar 3
: Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor.a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:
Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat : 1. Mengetahui dan memahami rumus jarak
2. Mengetahui rumus pembagian.
b. Uraian Materi :
1. Rumus Jarak
Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =
1 1 1 z y x
dan titik B(x2+ y2+ z2) dengan
vektor posisi b = 2 2 2 z y x
Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │ AB = b - a = 2 2 2 z y x - 1 1 1 z y x = 1 2 1 2 1 2 z z y y x x Z X O
Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak │ AB │=
x2 x1
2 y2y1
2 z2 z1
2Jarak antara titik A(x1+ y1+
z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3
sama dengan panjang vektor
Contoh :
1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa ∆ABC siku-siku sama kaki!
Jawab:
Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. r =
2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x 4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu │ AB │=
2
2
2 5 3 7 7 5 4 = 104= 5 │ AC │=
2
2
2 5 4 7 7 5 2 = 901= 10 │ BC │=
24
2 77
2 43
2 = 401= 55. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh
AB2= 5 BC2= 5 AC2= 10
Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan AB2+ BC2= AC2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.
2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku sama kaki.
Jawab:
Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut. 1. Memahami masalah
2. Merencanakan penyelesaian
Dengan jarak dua titik =
2 2 1 2 2 1 2 2 1 x y y z z x atau cos x = b a b a 3. Melaksanakan perhitungan │ AB │=
13
2 35
2 10
2 = 441= 3 │ AC │=
112 34
2 11
2 = 414= 3 │ BC │=
2
2
2 1 0 4 5 1 3 = 1611= 15 = 3 2 Hasil perhitungan: │ BC │= │ AB │2+ │ AC │2Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.
Cara lain AB = b - a = 0 5 3 - 1 3 1 = 1 2 2 AC = c- a = 1 4 1 - 1 3 1 = 2 1 2 A (1, 3, -1) B(3, 5, 0) C(-1, 4, 1)
Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki. Cos A = 3 3 2 2 4 = 0 Jadi A = 90° ∆ ABC siku-siku di A.
2. Rumus Pembagian
Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n.
a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama.
b. Jika P membagi di luar, AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan n berlawanan tanda
A P B A B P (a) (b)
Gambar 5.28 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P membagi garis AB di luar garis
Contoh :
Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis, sebagai berikut. AP : PB = m : n m n AP : AB = m : (m + n) A P B AP : PB = m : -n m AP : AB = m: (m - n) n A B P AP : PB = 1 : 1 AP : AB = 1 : 2 A P B
AP : PB = 2 : 1 AP : AB = 2 : 3 A P B AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1 AP : AB = 4: 2 = 2 :1 A B P
Gambar 5.29 Pembagian ruas garis
b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor Perhatikan Gambar 5.30!
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi ABdengan perbandingan m : n, P antara
A dan B, maka p = n m a n b m O
Gambar 5.30 Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : n Bukti:
AP : PB = m : n
Untuk semua letak P : AB, di dalam maupun di luar berlaku:
AP : PB = m : n n ( p - a ) = m ( b - p ) n p - n a = m b - m p m p + n p = m b + n a (m + n) p = m b + n a
p = n m a n b m (terbukti) O
Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor
Contoh:
1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada
AC sehingga AD : DC = l : 2. Titik E pada BC sehingga EC : EC = 3 : 1
Nyatakan DE dalam a , b , dan c
Jawab: C d = 2 1 2 1 c a = 3 1 (c +2 a ) D E e = 1 3 1 3 c b = 4 1 (3c + b ) A B
Gambar 5.31 pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor
DE = e - d = 4 1(3 c + b ) -3 1 (c +2 a ) =
12 2 4 3 3 cb c a = 12 1 (9c+3 b - 4c- 8 a ) = 12 1 (-8 a + 3b - 5c)- Dalam hal ini untuk pembagian di luar, rumus" akan lebih mudah digunakan bila angka numerik m dan n yang lebih besar diambil positif (misalnya 3 : -2 lebih mudah daripada -3 : 2).
- Jika P di tengah-tengah AB, m : n =1 : 1
2. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan 5:3 Jawab: Untuk P, m : n = 5: 3 Untuk Q, m : n = 5 : -3 Maka p = n m a n b m Maka q = n m a n b m = 3 5 3 5 a b = 3 5 3 5 a b = 8 1 (5 b +3 a ) = 2 1 (5b -3 a )
c. Rangkuman kegiatan belajar 3: 1. Rumus Jarak
Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =
1 1 1 z y x
dan titik B(x2+ y2+ z2) dengan
vektor posisi b = 2 2 2 z y x
Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │ AB = b - a = 2 2 2 z y x - 1 1 1 z y x = 1 2 1 2 1 2 z z y y x x 2. Rumus Pembagian
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n.
b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi ABdengan perbandingan m : n, P antara
p = n m a n b m
d. Tugas Kegiatan Belajar
Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.
e. Tes Formatif
1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titiky (300, 30, 18) km?
2. Hitung jarak antara titik-titik berikut! a. O (0,0,0) dan P (4, 4, 2)
3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga sama kaki! 4. Pergunakan rumus p = n m a n b m
untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut dengan a dan b
a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2 b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2
f. Kunci Jawaban
1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak:
r =
x2 x1
2 y2y1
2 z2 z1
2Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y (300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah
r =
300100
2 2060
2 108
2=
200 2 40 2 2 2= 4000016004 = 41604
= 203,97 km 2. O = 0 P = 4 0 4 0 4 OP = 4 0 4 - 0 4 0 │ OP │=
40
2 40
2 40
2 = 161616 OP = 483, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut.
r =
x2 x1
2 y2 y1
2 z2 z1
24. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu
│ PQ │=
93
2 24
2 31
2 = 1443616= 196 = 14│ PR │=
93
2 84
2 111
2 = 3616144= 196 = 14 │ QR │=
99
2 82
2 113
2 = 32410081= 506 = 22. 495. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh
Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan PQ2+ PR2= QR2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.
4. a. Untuk C, m : n = 3: 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2 Maka p = n m a n b m Maka q = n m a n b m = 2 3 2 3 a b = 2 3 2 3 a b = 5 1 (3 b +2 a ) = (3 b -2 a )
g. Lembar Kerja Siswa (LKS)
1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan belah ketupat!
2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sudut segitiga siku-siku sama kaki!
3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nilai perbandingan:
a. OB : BC c. AB : BC e. OB : BA b. OC : CB d. OA : OB
4. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carilah nilai-nilai perbandingan dari:
a. AB : BD c. AE : EC e. DA : AC b. AB : AE d. BE : ED f. CE : EB
5. Titik-titik P, Q, dn R berturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ∆ ABC; a , b ,
dan c adalah vektor-vektor posisi dari A, B, C
Nyatakan p , q , dan r dengan a , b , dan c
Nyatakan bahwa AP , BQ , clan CR dengan a , b , dan c
Tunjukkan bahwa p + q + r = a + b + c
h. Tingkat Penguasaan Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah
4. Kegiatan Belajar 4
: Pembagian Dalam Bentuk Koordinata. Tujuan Kegiatan Belajar 4:
Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat: 1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,
2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar, 3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor, 4) Dapat menentukan sifat – sifat perkalian skalar,
5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.
b. Uraian Materi :
Pembagian
Dalam Bentuk KoordinatJika P (xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkan A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)
dengan perbandingan m : n, maka :
xp= n m nx mx 1 2 ; y p = n m ny my 1 2 ; z p = n m nz mz 1 2 Bukti :
Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu
p = n m a n b m ; di mana a = 1 1 1 z y x
adalah vektor posisi dari titik A (x1, y1, z1)
b = 2 2 2 z y x
adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2)
A (x1, y1, z1 P (xp, yp, zp) B(x2, y2, z2) p p p z y x = n m z y x n z y x m 1 1 1 2 2 2 m n p p p z y x = n m 1 1 2 1 2 1 2 nz mz ny my nx mx a p b Sehingga diperoleh , O
Gambar 5.35 titik Q membagi diluar
xp= n m nx mx 1 2 ; y p = n m ny my 1 2 ; z p = n m nz mz 1 2 (terbukti) contoh :
Carilah koordinat titik P dan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1, 0, 2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1
Jawab:
(i) Titik P membagi di dalam A(1, 4, 6) P (xp, yp, zp) B(1, 0, 2)
xp= 1 3 1 1 1 3 = 4 1 3 = 1 3 -1 yp = 1 3 4 1 0 3 = 4 4 0 = 1 a p b zp = 1 3 6 1 2 3 = 4 6 6 = 3 Jadi, koordinat P (1, 1, 3) O
(ii) Titik Q membagi di luar Q (xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)
xq=
3 1 1 1 1 3 = 2 2 = 1 3 -1 yq =
3 1 4 1 0 3 = 2 4 = -2 q a b zq = 3 1 6 ) 1 ( 2 3 = 2 0 = 0 O Jadi, koordinat Q (1, -2, 0) Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan
a ∙ b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang
didefinisikan oleh:
a ∙ b = │ a ││ b │cos ө
ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л
Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙ b = 0 dan sudut ө tidak tertentu. Tanda dari a ∙ b ditentukan oleh besarnya ө
1. Jika 0 ≤ ө < 2 1 л, maka a ∙ b > 0 a 2. Jika ө = 2 1 л, maka a ∙b = 0 b a
3. Jika 2 1 л < ө ≤ л , maka a ∙ b < 0 a
Gambar 5.36 Tanda dari a ∙ b berdasarkan besarnya ө
2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar
Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:
OA = 2 3 2 2 2 1 a a a │AB│ = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) (b a b a b a Z Y B(b1, b2, b3) b A(a1, a2, a3) a O X
Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar
1. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө dari a ke b atau dari b ke a tidak menjadi soal.
2. Bila a ± b , maka a ∙ b = 0
3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan (skalar).
