• Tidak ada hasil yang ditemukan

MODUL MATEMATIKA VEKTOR

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "MODUL MATEMATIKA VEKTOR"

Copied!
82
0
0

Teks penuh

(1)

MODUL MATEMATIKA

VEKTOR

Kementerian Pendidikan Nasional

Universitas Negeri Manado

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Pendidikan Matematika

(2)

Kata Pengantar

Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.

Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun 2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan vektor

Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor, Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

Tondano, 12 Oktober 2007

Penyusun,

(3)

Daftar Isi

Halaman

Halaman Francis ………...1

Kata Pengantar………... 2

Daftar Isi………... 3

Peta kedudukan Modul... 4

Glosarium... 6

Bab I Pendahuluan A. Deskripsi... 7

B. Prasyarat... 7

C. Petunjuk Penggunaan Modul...8

D. Tujuan Akhir... 9 - 11 E. Kompetensi... 11 - 13 F. Cek Kemampuan... 13

Bab II Pembelajaran A. Rencana Belajar Peserta Didik...14 - 15 B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar 1... 16 - 31 2. Kegiatan Belajar 2... 32 - 41 3. Kegiatan Belajar 3... 42 - 52 4. Kegiatan Belajar 4 ... 53 - 72 Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi... 73 - 74 B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian... 75 - 80 Bab IV Penutup... 81

(4)

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang

Vektor

Ekspresi Vektor

(5)

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Ekspresi Vektor

Aplikasi

Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor

Matriks

(6)

Glosarium

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Notasi Vektor PQ dapat dituliskan a atau a

Kesamaan Dua Vektor jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik P.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0

Jarak antara titik A(x1+ y1+ z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3sama dengan panjang vektor AB yaitu

│ AB │

(7)

Bab I

PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI

Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu : 1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor,

kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis, panjang suatu vektor.

2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.

3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.

4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua vektor.

B. PRASYARAT

Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :  Memahami bentuk dan ciri matriks

 Memahami invers matrik

(8)

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

a. Penjelasan Bagi Peserta Didik

1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.

2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya.

3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik.

4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih

dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.

6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.

b. Peranan Guru

1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.

2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. 3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang

diperlukan untuk belajar.

4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik

5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

(9)

D. TUJUAN AKHIR

Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar :

Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan masalah

- Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.

- Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkali-an skalar, proyeksi, dperkali-an perkaliperkali-an silperkali-ang vektor dalam pemecahperkali-an masalah.

- Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat dalam pemecahan masalah.

Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang vektor

Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang vektor.

Indikator Hasil Belajar :

Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor - Menentukan penyelesaian ekspresi vektor

- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor - Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor

- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor

- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor.

- Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat - Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.

(10)

Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran. - Siswa menenjukan kesiapan belajar.

- Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

- Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran. - Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

- Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru. - Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

- Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

- Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan soal.

- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan.

- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti. - Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.

- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya. - Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.

- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi. - Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai

Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga - Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran

Matematika

- Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

- Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar matematika

(11)

E. KOMPETENSI : Menerapkan

Ekspresi vektor Sub kompeten si Kriteria kinerja Lingkup belajar

Materi pokok Pembelajaran

Kognitif Afektif Psikomotor

Mendeskri psikan ekspresi vektor - Pengertian vektor, Kesamaan dua vektor, Vektor nol, Vektor posisi, Vektor satuan, Vektor dalam ruang , Vektor basis, Panjang suatu vektor 1.Mengetahui dan memahami pengertian ekspresi vektor 2.Menentukan penyelesaian ekspresi vektor 1. Memperlihatkan kesiapan dalam mengikuti pembelajaran 2. memperhatikan dengan baik setiap materi yang diberikan 3. bertanya jika belum dimengerti 1. Dapat menuliskan simbol-simbol (Notasi) khususnya dalam materi vektor tepat 2. Dapat menggambar ruang berdimensi dua dan tiga.

Mendeskri psikan operasi aljabar vektor penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor 1. Mengetahui dan memahami operasi vektor 2. Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor 1 Mengikuti pembelajaran dengan serius 2. Dengan antusias bertanya apabila ada materi yang belum dimengerti 3. mengerjakan

latihan soal yang diberikan guru

1. Dapat

menggambar cara segitiga dan jajaran genjang

(12)

psikan rumus jarak, perbandin gan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor jarak, Rumus pembagian. rumus jarak, perbandingan , perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor 2. Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan , perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor Kritis Ketika pembelajaran berlangsung apabila di dalam Materi Yang disampaikan ada yang keliru 2. Mau bertanya kepada teman jika ada yang belum dimengerti menggambar pembagian ruas garis AB dengan perbandingan m : n 2. Dapat menggambar pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor. Mendeskri psikan pembagia n dalam bentuk vektor - Hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 1. Menentukan Pembagian dalam Bentuk Koordinat 1. Selalu berpikir kritis ketika pembelajaran berlangsung apabila di dalam materi yang disampaikan ada yang keliru 2. Mau bertanya kepada guru jika tidak dimengerti.

(13)

perkalian silang dua vektor.

F. CEK KEMAMPUAN

No Pertanyaan Ya Tidak

1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ? 4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

penyelesaian vektor ?

5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah penyelesaian definisi vektor ?

BAB II

Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

(14)

BAB II

PEMBELAJARAN

A.

RANCANGAN BELAJAR SISWA

Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.

1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai berikut.

N o

Kegiatan Pencapaian Alasan Perubahan bila

diperlukan

Paraf

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui ..., ... 20 Guru pembimbing Peserta Diklat

(...) (...)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

(15)

b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).

c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).

d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.

(16)

B.

KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1 :

Ekspresi Vektor

a

. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat mengetahui pengertian vektor,

2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor, 3. Dapat memahami vektor nol,

4. Dapat memahami vekktor posisi, 5. Dapat memahami vektor satuan, 6. Dapat memahami vektor ruang , 7. Dapat memahami vektor basis. 8. Dapat menentukan suatu vektor. .

b. Uraian Materi

EKSPRESI VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.

Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.

A

(17)

Notasi Vektor

Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ .

PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau

dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi topi,misalnya

Q a

P a

Gambar 5.2 Notasi Vektor

Untuk vektor PQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q disebut titik ujung (titik terminal).

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD . Dari pengertian ini dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.

B D A

C

Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama dengan)

(18)

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini, salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB = 2 CD . atau CD = 2 1 AB B A D C

Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB = - EF atau EF = - AB

B E A

F

Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3 EF atau EF =

3 1 AB B E A F

Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan O

(19)

4. Vektor Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

P. Jika koordinat titik P adalah (x1,y1) maka vektor posisi dari titik P adalah p = OP = 

     1 1 y x Y P (x1,y1) p y1 O x1 X

Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah

vertikalnya adalah y1.

Jika titik A di R3 dengan koordinat A adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik A adalah

Gambar 5.8 Vektor posisi titik A

a = OA =           1 1 1 z y x sebaliknya, jika a =           1 1 1 z y x

merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A

berkoordinat (x1, y1, z1)

5. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k

(20)

Sehingga untuk vektor di R2adalah i =       0 1 j =       1 0 Y B (0,1) j A (1,0) O i X

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2

Sedangkan untuk di R3 adalah

i =           0 0 1 ; j =           0 1 0 ; k =           1 0 0

Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektor a adalah vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnya

a

1

(21)

6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2,

diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal atau sumbu Y.

Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif. Dengan demikian vektor pada R2dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan

dituliskan sebagai vektor kolom a =       1 1

dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b =       3 4

Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

AB = b - a =       3 4 -       1 1 =       2 3

Dengan cara yang sama kita dapatkan:

CD =       1 4 EF =        4 0 GH =        2 4

(22)

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3atau R

3. R3ditandai dengan tiga buah

sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:

1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X; 2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;

3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.

Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga

Contoh :

ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu

koordinat dengan koordinat A (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

Misalkan titik A (0, 1, 0) dituliskan sebagai a =           0 1 0

dan titik E (0, 1, 6) dituliskan sebagai e =           6 1 0 maka AE = e - a =           6 1 0 -          0 1 0 =           6 0 0 Z Z Y Y O O X X

(23)

Z

Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH

Dengan cara yang sama didapatkan:

AF =           6 0 4 ; AG =           6 2 4 ; BH =           6 2 4 7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:

OP = OQ + QP

di mana OP = P

OQ = x1i

QP = y1 j

sehingga dapat dituliskan :

P = x1i + y1 j

Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

(24)

Jadi, setiap vektor di R2dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor basis i dan j dalam bentuk

:

x1dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P .

b. Vektor Basis di R3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vektor posisi R, maka

komponen-komponen r dapat dinyatakan sebagai: x1i (searah dengan OX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k (searah dengan OZ )

Z

Gambar 5.15 Vektor basis pada R3

dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor basis i , j , k

OR= OP+ PR

OR= OQ+ QP+ PR, sehingga

P = x1i + y1 j

Vektor dapat disajikan dalam bentuk : a. vektor basia, yaitu P = (x1, y1)

b. vektor kolom, yaitu P = 

     1 1 y x catatan

(25)

OR= r = x1i + y1 j + z1k

Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

a. Vektor di R2

Jika p adalah titik (x1, y1) maka OP= P = 

     1 1 y x Y P(x1, y1) P O Q X

Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2

Dengan menggunakan pythagoras maka

2 OP = OQ 2+ QP 2 (perhatikan Gambar 5.16) 2 P = x12+ y12 ( karena OP= P ) 2 P = 12 2 y xr = x1i + y1 j + z1k

Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam bentuk:

a. vektor baris, yaitu r = (x1, y1, z1)

b. vektor kolom, yaitu r =

          1 1 1 z y x Catatan :

(26)

Jadi, jika P =       1 1 y x

maka panjang vektor P adalah P2= x12 y12

b. Vektor di R3 Misalkan OR= r =           1 1 1 z y x adalah vektor

Gambar 5.17 panjang vektor r di R3

posisi di R3seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

2 OR = 2 OP + 2 R P = 2 OQ + QP 2 + PR2 2 OR = x12+ y12+ Z12(perhatikan Gambar 5.17) r = X12 Y12 Z12 ( karena OR= r ) Jadi, r =           1 1 1 z y x

, panjang vektor r adalah r = 2 1 2 1 2 1 Y Z X  

C Rangkuman Kegiatan Belajar 1

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.

(27)

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD .

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berlawanan.

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol.

4. Vektor Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik

P.

5. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 6. Vektor dalam Ruang

a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2.

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga

buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vektor Basis

a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OP merupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

b. Vektor Basis di R3

(28)

komponen-x1i (searah dengan OX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k (searah dengan OZ )

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor P ditulis dengan P .

d

. Tugas Kegiatan Belajar

Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan

.

e.

Tes Formatif

1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom! a. A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5) 2. Nyatakan vektor-vektor a =           1 3 2 dan c =           3 0 1

sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3i + j - 2 k carilah

a. P

b. Q

c. PQ

(29)

f. Kunci Jawaban 1. a. a =       3 2 ; b =       4 1 b. p =           4 1 2 ; q =            5 2 3 2. a = 2 i + 3 j + k c = - i + 3 k 3. p =            2 2 1 ; q =            2 1 3 a. P = 12 (2)2 22 = 144 = 3 b. Q = 32 12 (2)2 = 914= 14

c. Untuk menghitung PQ , tentukan dulu p + q ; p + q =            2 2 1 +            2 1 3 =            0 1 4 Q P = 42(1)2 02 = 16 = 171

d. vektor satuan dari p =

p p = 3 2 2J K i  = i 3 1 - j 3 2 + k 3 2

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang).

1. Diketahui : a = 3 i + 2 j + 4 k b = i - j + 2 k

c = i + 3 k

Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom! a. a + b

b. b + c c. ( a + b ) + c

(30)

d. a + ( b + c )

e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?

f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?

2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC = 3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

a. OB e. AF b. AC f. BD c. FC g. AG d. EB 3. Jika p =            6 4 2 dan q =           7 4 4 Tentukan: a. P c. PQ

b. Q d. vektor satuan dari p dan q

4. Diketahui: a. 2 i - 3 j + 4 k c. 3i + 2 j + 3 k

b. - i + 5 k Carilah:

a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c b.│ a + b + c │

(31)

5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2 k dan b = 2i + 3 j - 5 k

a. Carilah │ a │ dan│ b │ c. Apakah │ a + b │= a + b b. Carilah a b dan│ a + b │

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah

(32)

2. Kegiatan Belajar 2 :

Operasi Aljabar Vekto r

a.

Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,

2. Dapat menetukan pengurangan vektor,

3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

b.

Uraian Materi

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1 Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga Perhatikan Gambar 5.18 b b b a a a (i) (ii)

Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a .

(33)

Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor

b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).

b. Cara Jajar Genjang

Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa

mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .

Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .

Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal dengan cara jajar genjang Gambar 5.18(ii).

Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:

c = a + b PR= PQ+ QR

Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga

Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

AB = AC + CB (untuk titik-titik, A, C, dan B) AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B)

AB = AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan poligon seperti berikut. P4 P5 P3 Tugas

(34)

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif

Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)! Misalkan PQ = a , SR = a S R Misalkan PS = b , QR = b . b

PR= PQ+ QR = a + b

PR= PS + SR = b + a P a Q

Jadi, a + b = b + a Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara komulatif

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif.

2) Asosiatif

Perhatikanlah Gambar 5.21!

SPQR adalah suatu limas segitiga PQ = a , QR = b , RS = c Maka: S ( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS = PR + SR c = PS a + ( b + c ) = PQ + ( QR + RS ) P a b R = PQ+ QS Q

= PS Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif

Jadi, ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif.

Jika a =       2 1 , b =       3 2 dan c =       4 3 , apakah a - b + c = a - ( b + c )? Bagaimanakah dengan ( a + b ) - c , apakah sama dengan a + ( b - c )?

(35)

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku

a + o = o + a = a

4) Lawan suatu vektor

Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a

adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis - a

dengan - a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan dari sebuah vektor

lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya

sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a . Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).

Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b .

Jadi, c = a - b = a + (- b )

Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada Gambar 5.23.

(36)

a - b = a + (- b )

= PQ + PS

= PT = RQ

Dari ∆ PQR terlihat bahwa :

PQ - PR = RQ

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0

Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor

Jika a =        2 1 , maka 2 a = 2        2 1 =        4 2 Jika b =            4 3 2 , maka 3 b = 3            4 3 2 =           12 9 6

Secara umum, bila a =           r q p maka k a = k           r q p =           kr kq kp

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1 k (- a ) = - (k a )= - k a

2 k (l a ) = (kl) a 3 (k + l) a = k a + l a

(37)

4 k( a + b ) = k a + k b

c.

Rangkuman Kegiatan Belajar 2

OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga b. Cara Jajar Genjang

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor 1) Komutatif

2) Asosiatif

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku a + o = o + a = a

4) Lawan suatu vekto

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b .

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jika k = 0

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1. k (- a ) = - (k a )= - k a

(38)

3. (k + l) a = k a + l a 4. k( a + b ) = k a + k b

d.

Tugas Kegiatan Belajar

Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan

.

.

e.

Tes Formatif

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik tengah DC dan CB . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v

a. AE b. EF c. AF

2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan

carilah AB : BC

3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah nilai p dan q.

f. Kunci Jawaban

1. a. AE = AD + DE D E C = v + 2 1 u = 2 1 u + v b. EF = CE + CF v F = 2 1 u -2 1 v A u B

c. AF = AB + FB Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD

= u +

2 1

v

2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah

1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumbu koordinat x - y, yaitu A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)

(39)

2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC)

3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan

AB : BC, dihitung nilai AB dan AC , yaitu

AB = b - a =       2 4 -       1 1 =       1 3 AC = c - a =       4 10 -       1 1 =       3 9 3. AB = b - a =             2 1 2 -          4 5 2 =             6 6 4 BC = c- b =           l q p -            2 1 2 =             3 1 2 q p

Karena A,B, dan C segaris maka: AB = m ∙ BC             6 6 4 = m             3 1 2 q p , diperoleh m = -2 4 = -2 (p - 2) -6 = -2(q + 1) 4 = -2p + 4 3 = q + 1 2p = 0 q = 2 p = 0

(40)

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

1. ABCD jajar genjang bila AB = a , AD = b , titik E perpotongan diagonal AC clan BD . Nyatakan dengan a dan b vektor - vektor tersebut!

D C a. AC d. BE b E b. AE e. ED

c. BD f. EB A a B

2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah tunggal!

a. AE - AD c. BE - BC b. AB - AC d. CD - CB

3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal! a. AB + BC + CD + DE b. AD + DC + CE + EK c. AD - AB + CB - CD 4. Diketahui a =           3 2 1 , b =            2 1 2 , dan c =             3 2 1 Hitunglah: a. 2 a + b - c b. 3 a + 2 b + 4c c. 4 a + 3b - 2c 5. Diketahui: a = 3 i + 4 j + 5 k b = i + 3 k c = -2 i + 3 j - 4 k

Nyatakan sebagai vektor kolom! a. a + b d. ( a + b ) + c

b. b + a e. a + ( b + c)

(41)

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah

(42)

3. Kegiatan Belajar 3

: Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor.

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:

Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat : 1. Mengetahui dan memahami rumus jarak

2. Mengetahui rumus pembagian.

b. Uraian Materi :

1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =

          1 1 1 z y x

dan titik B(x2+ y2+ z2) dengan

vektor posisi b =           2 2 2 z y x

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │ AB = b - a =           2 2 2 z y x -          1 1 1 z y x =              1 2 1 2 1 2 z z y y x x Z X O

Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak │ AB │=

x2x1

 

2  y2y1

 

2  z2z1

2

Jarak antara titik A(x1+ y1+

z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3

sama dengan panjang vektor

(43)

Contoh :

1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa ∆ABC siku-siku sama kaki!

Jawab:

Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. r =

 

 

2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x     

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu │ AB │=

 

2

 

2

2 5 3 7 7 5 4      = 104= 5 │ AC │=

 

2

 

2

2 5 4 7 7 5 2      = 901= 10 │ BC │=

24

 

2 77

 

2 43

2 = 401= 5

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

AB2= 5 BC2= 5 AC2= 10

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan AB2+ BC2= AC2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.

2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku sama kaki.

Jawab:

Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut. 1. Memahami masalah

(44)

2. Merencanakan penyelesaian

Dengan jarak dua titik =

 

 

2 2 1 2 2 1 2 2 1 x y y z z x      atau cos x = b a b a   3. Melaksanakan perhitungan │ AB │=

13

 

2  35

 

2 10

2 = 441= 3 │ AC │=

  

112 34

 

2 11

2 = 414= 3 │ BC │=

 

2

 

2

2 1 0 4 5 1 3     = 1611= 15 = 3 2 Hasil perhitungan: │ BC │= │ AB │2+ │ AC │2

Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.

Cara lain AB = b - a =           0 5 3 -          1 3 1 =           1 2 2 AC = c- a =           1 4 1 -          1 3 1 =           2 1 2 A (1, 3, -1) B(3, 5, 0) C(-1, 4, 1)

Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki. Cos A = 3 3 2 2 4     = 0 Jadi A = 90° ∆ ABC siku-siku di A.

(45)

2. Rumus Pembagian

Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n.

a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama.

b. Jika P membagi di luar, AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan n berlawanan tanda

A P B A B P (a) (b)

Gambar 5.28 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P membagi garis AB di luar garis

Contoh :

Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis, sebagai berikut. AP : PB = m : n m n AP : AB = m : (m + n) A P B AP : PB = m : -n m AP : AB = m: (m - n) n A B P AP : PB = 1 : 1 AP : AB = 1 : 2 A P B

(46)

AP : PB = 2 : 1 AP : AB = 2 : 3 A P B AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1 AP : AB = 4: 2 = 2 :1 A B P

Gambar 5.29 Pembagian ruas garis

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor Perhatikan Gambar 5.30!

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi ABdengan perbandingan m : n, P antara

A dan B, maka p = n m a n b m   O

Gambar 5.30 Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : n Bukti:

AP : PB = m : n

Untuk semua letak P : AB, di dalam maupun di luar berlaku:

AP : PB = m : n n ( p - a ) = m ( b - p ) n p - n a = m b - m p m p + n p = m b + n a (m + n) p = m b + n a

(47)

p = n m a n b m   (terbukti) O

Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

Contoh:

1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada

AC sehingga AD : DC = l : 2. Titik E pada BC sehingga EC : EC = 3 : 1

Nyatakan DE dalam a , b , dan c

Jawab: C d = 2 1 2 1    c a = 3 1 (c +2 a ) D E e = 1 3 1 3    c b = 4 1 (3c + b ) A B

Gambar 5.31 pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor

DE = e - d = 4 1(3 c + b ) -3 1 (c +2 a ) =

  

12 2 4 3 3 cbca = 12 1 (9c+3 b - 4c- 8 a ) = 12 1 (-8 a + 3b - 5c)

- Dalam hal ini untuk pembagian di luar, rumus" akan lebih mudah digunakan bila angka numerik m dan n yang lebih besar diambil positif (misalnya 3 : -2 lebih mudah daripada -3 : 2).

- Jika P di tengah-tengah AB, m : n =1 : 1

(48)

2. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan 5:3 Jawab: Untuk P, m : n = 5: 3 Untuk Q, m : n = 5 : -3 Maka p = n m a n b m   Maka q = n m a n b m   = 3 5 3 5   a b = 3 5 3 5   a b = 8 1 (5 b +3 a ) = 2 1 (5b -3 a )

c. Rangkuman kegiatan belajar 3: 1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =

          1 1 1 z y x

dan titik B(x2+ y2+ z2) dengan

vektor posisi b =           2 2 2 z y x

Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yaitu │ AB │ AB = b - a =           2 2 2 z y x -          1 1 1 z y x =              1 2 1 2 1 2 z z y y x x 2. Rumus Pembagian

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n.

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi ABdengan perbandingan m : n, P antara

(49)

p = n m a n b m  

d. Tugas Kegiatan Belajar

Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.

e. Tes Formatif

1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titiky (300, 30, 18) km?

2. Hitung jarak antara titik-titik berikut! a. O (0,0,0) dan P (4, 4, 2)

3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga sama kaki! 4. Pergunakan rumus p = n m a n b m  

untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut dengan a dan b

a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2 b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2

f. Kunci Jawaban

1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak:

r =

x2x1

 

2  y2y1

 

2  z2z1

2

Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y (300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

r =

300100

 

2 2060

 

2 108

2

=

     

200 2 40 2 2 2

= 4000016004 = 41604

(50)

= 203,97 km 2. O = 0 P = 4 0 4 0 4 OP = 4 0 4 - 0 4 0 │ OP │=

40

 

2  40

 

2  40

2 = 161616 OP = 48

3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut.

r =

x2x1

 

2  y2y1

 

2  z2z1

2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu

│ PQ │=

93

 

2 24

 

2 31

2 = 1443616= 196 = 14

│ PR │=

93

 

2  84

 

2  111

2 = 3616144= 196 = 14 │ QR │=

99

 

2  82

 

2  113

2 = 32410081= 506 = 22. 49

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

(51)

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan PQ2+ PR2= QR2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki.

4. a. Untuk C, m : n = 3: 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2 Maka p = n m a n b m   Maka q = n m a n b m   = 2 3 2 3   a b = 2 3 2 3   a b = 5 1 (3 b +2 a ) = (3 b -2 a )

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan belah ketupat!

2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sudut segitiga siku-siku sama kaki!

3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nilai perbandingan:

a. OB : BC c. AB : BC e. OB : BA b. OC : CB d. OA : OB

4. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carilah nilai-nilai perbandingan dari:

a. AB : BD c. AE : EC e. DA : AC b. AB : AE d. BE : ED f. CE : EB

5. Titik-titik P, Q, dn R berturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ∆ ABC; a , b ,

dan c adalah vektor-vektor posisi dari A, B, C

Nyatakan p , q , dan r dengan a , b , dan c

Nyatakan bahwa AP , BQ , clan CR dengan a , b , dan c

Tunjukkan bahwa p + q + r = a + b + c

(52)

h. Tingkat Penguasaan Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100% 15 x diperoleh yang Skor Jumlah

(53)

4. Kegiatan Belajar 4

: Pembagian Dalam Bentuk Koordinat

a. Tujuan Kegiatan Belajar 4:

Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat: 1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,

2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar, 3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor, 4) Dapat menentukan sifat – sifat perkalian skalar,

5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.

b. Uraian Materi :

Pembagian

Dalam Bentuk Koordinat

Jika P (xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkan A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)

dengan perbandingan m : n, maka :

xp= n m nx mx   1 2 ; y p = n m ny my   1 2 ; z p = n m nz mz   1 2 Bukti :

Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu

p = n m a n b m   ; di mana a =           1 1 1 z y x

adalah vektor posisi dari titik A (x1, y1, z1)

b =           2 2 2 z y x

adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2)

(54)

A (x1, y1, z1 P (xp, yp, zp) B(x2, y2, z2)           p p p z y x = n m z y x n z y x m                       1 1 1 2 2 2 m n           p p p z y x = n m 1              1 2 1 2 1 2 nz mz ny my nx mx a p b Sehingga diperoleh , O

Gambar 5.35 titik Q membagi diluar

xp= n m nx mx   1 2 ; y p = n m ny my   1 2 ; z p = n m nz mz   1 2 (terbukti) contoh :

Carilah koordinat titik P dan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1, 0, 2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1

Jawab:

(i) Titik P membagi di dalam A(1, 4, 6) P (xp, yp, zp) B(1, 0, 2)

xp= 1 3 1 1 1 3     = 4 1 3 = 1 3 -1 yp = 1 3 4 1 0 3     = 4 4 0 = 1 a p b zp = 1 3 6 1 2 3     = 4 6 6 = 3 Jadi, koordinat P (1, 1, 3) O

(55)

(ii) Titik Q membagi di luar Q (xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)

xq=

 

3 1 1 1 1 3       = 2 2 = 1 3 -1 yq =

 

3 1 4 1 0 3       = 2 4  = -2 q a b zq = 3 1 6 ) 1 ( 2 3       = 2 0 = 0 O Jadi, koordinat Q (1, -2, 0) Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan

a ∙ b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang

didefinisikan oleh:

a ∙ b = │ a ││ b │cos ө

ө adalah sudut antara a dan b , dengan 0 ≤ B ≤ л

Jika a = 0 atau b = 0 maka a ∙ b = 0 dan sudut ө tidak tertentu. Tanda dari a ∙ b ditentukan oleh besarnya ө

1. Jika 0 ≤ ө < 2 1 л, maka a ∙ b > 0 a 2. Jika ө = 2 1 л, maka a ∙b = 0 b a

(56)

3. Jika 2 1 л < ө ≤ л , maka a ∙ b < 0 a

Gambar 5.36 Tanda dari a ∙ b berdasarkan besarnya ө

2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:

OA = 2 3 2 2 2 1 a a a   │AB│ = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) (bababa Z Y B(b1, b2, b3) b A(a1, a2, a3) a O X

Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar

1. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө dari a ke b atau dari b ke a tidak menjadi soal.

2. Bila a ± b , maka a ∙ b = 0

3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan (skalar).

Gambar

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R 2
Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga
Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH
Gambar 5.17 panjang vektor r di R 3
+7

Referensi

Dokumen terkait

Satu hal yang sering saya bahas di seminar adalah soal mental pemenang.. Dalam keseharian, mereka yang bermental pemenang kadang

Rapeseed Dunia, Harga Minyak Kedelai Dunia, PDB Uni Eropa, Konsumsi Uni Eropa dan Kebijakan Perdagangan CSPO terhadap Volume Ekspor CPO Indonesia ke Uni Eropa per triwulan Tahun

Pengaruh Faktor Dukungan Keluarga dengan Pemberian ASI Eksklusif di Kecamatan Darussalam Kabupaten Aceh Besar .... Dukungan

Apabila kredit yang disalurkan lancar maka pengembalian pokok pinjaman akan lancar yang diikuti dengan kenaikan pendapatan bunga lebih besar dari biaya bunga,

berikan ungkapan atau kata-kata yang ditampilkan. Semua ungkapan memberikan citra tertentu saat diterima oleh kahlayak. Ketiga , media menentukan apakah peristiwa dianggap

Peserta dapat menyebutkan karakter rema ja yang sehat fisik, menta l, dan sosial untuk mendukung kualita s tumbuh kembang remaja?. Peserta dapat menyebut kan minimal 3

Kelimpahan dan jumlah jenis ikan pada Stasiun bervegetasi lamun (Wawatoe dan P. Wowonii) menunjukkan rata-rata yang relatif lebih tinggi dibandingkan Stasiun tanpa

pada MTsN Katingan Tengah Kabupaten Katingan, yang sedang diselesaikan penulisannya dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan untuk menyelesaikan Program