Makalah Vektor Matematika - Makalah

MODUL MATEMATIKA

“

VEKTOR

”

Kementerian Pendidikan Nasional

Universitas Negeri Manado

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Pendidikan Matematika

Kata Pengantar

Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.

Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahun 2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan vektor

Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah materi aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vektor, Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

Tondano, 12 Oktober 2007

Penyusun,

Daftar Isi

Halaman

Halaman Francis ………...1

Kata Pengantar………... 2

Daftar Isi………... 3

Peta kedudukan Modul... 4

Glosarium... 6

Bab I Pendahuluan A. Deskripsi... 7

B. Prasyarat... 7

C. Petunjuk Penggunaan Modul...8

D. Tujuan Akhir... 9 - 11 E. Kompetensi... 11 - 13 F. Cek Kemampuan... 13

Bab II Pembelajaran A. Rencana Belajar Peserta Didik...14 - 15 B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar 1... 16 - 31 2. Kegiatan Belajar 2... 32 - 41 3. Kegiatan Belajar 3... 42 - 52 4. Kegiatan Belajar 4 ... 53 - 72 Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi... 73 - 74 B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian... 75 - 80 Bab IV Penutup... 81

Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian

Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang

Vektor

Ekspresi Vektor

Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar,

Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor Pembagian dalam Bentuk

Koordinat

Ekspresi Vektor

Aplikasi

Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor

Matriks

Glosarium

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Notasi VektorPQdapat dituliskan a atau a

Kesamaan Dua Vektor jika AB# CDdibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis

CD makaAB=CD.

Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= pdisebut vektor posisi dari titik P.

Vektor satuanadalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali panjang

vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jikak< 0

c. sama dengan nol jika k= 0

Jarak antara titik A(x1+ y1+ z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3sama dengan panjang vektor AB yaitu

│AB│

Bab I

PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI

Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :

1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektor,

kesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor basis, panjang suatu vektor.

2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.

3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebagai kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.

4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang dua vektor.

B. PRASYARAT

Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :

 Memahami bentuk dan ciri matriks

 Memahami invers matrik

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

a. Penjelasan Bagi Peserta Didik

1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.

2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya.

3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik.

4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih

dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.

6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.

b. Peranan Guru

1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.

2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. 3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang

diperlukan untuk belajar.

4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik

D. TUJUAN AKHIR

Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecahan

masalah

- Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dalam

pemecahan masalah.

- Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan,

perkali-an skalar, proyeksi, dperkali-an perkaliperkali-an silperkali-ang vektor dalam pemecahperkali-an masalah.

- Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat

dalam pemecahan masalah.

Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara

bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang vektor

Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan

tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang vektor.

Indikator Hasil Belajar :

Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor

- Menentukan penyelesaian ekspresi vektor

- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor - Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor

- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor

- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor.

Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran. - Siswa menenjukan kesiapan belajar.

- Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

- Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran. - Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

- Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru. - Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

- Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

- Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan soal.

- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan.

- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti. - Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.

- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya. - Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.

- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi. - Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai

Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga

- Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran

Matematika

- Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

- Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar

E. KOMPETENSI : Menerapkan

Ekspresi vektor

Materi pokok Pembelajaran

Kognitif Afektif Psikomotor

Mendeskri psikan ekspresi

vektor

- Pengertian vektor,

1. Memperlihatkan kesiapan dalam mengikuti

pembelajaran 2. memperhatikan

dengan baik setiap materi yang diberikan

3. bertanya jika belum dimengerti

khususnya dalam materi vektor tepat

2. Dapat

menggambar ruang berdimensi dua dan tiga.

Mendeskri kali bilangan dengan vektor

1. Mengetahui dan

memahami operasi vektor 2. Menentukan

penyelesaian operasi aljabar vektor

1 Mengikuti pembelajaran dengan serius 2. Dengan antusias

bertanya apabila ada materi yang belum dimengerti 3. mengerjakan

latihan soal yang diberikan guru

1. Dapat

psikan

rumus jarak,

perbandingan , perkalian

skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor 2. Menentukan

penyelesaian rumus jarak, perbandingan , perkalian skalar,

proyeksi, dan perkalian silang vektor

Kritis Ketika

pembelajaran berlangsung

apabila di dalam Materi Yang disampaikan ada yang keliru

2. Mau bertanya kepada teman jika ada yang belum dimengerti

menggambar

pembagian ruas garis AB dengan perbandingan m : n

2. Dapat

menggambar pembagian ruas

garis AB dalam

bentuk vektor. skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat – sfaat

perkalian skalar,

proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

1. Menentukan Pembagian dalam Bentuk Koordinat

1. Selalu berpikir kritis ketika pembelajaran berlangsung apabila di dalam materi yang disampaikan ada yang keliru

2. Mau bertanya kepada guru jika tidak dimengerti.

perkalian

silang dua vektor.

F. CEK KEMAMPUAN

No Pertanyaan Ya Tidak

1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?

4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

penyelesaian vektor ?

5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

penyelesaian definisi vektor ?

BAB II

BAB II

PEMBELAJARAN

A.

RANCANGAN BELAJAR SISWA

Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep

aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional,Anda perlu

latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi

matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka

dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.

1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai berikut.

N o

Kegiatan Pencapaian Alasan

Perubahan bila diperlukan

Paraf

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui ..., ... 20

Guru pembimbing Peserta Diklat

(...) (...)

2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang

telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap

b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).

c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).

B.

KEGIATAN BELAJAR

1. Kegiatan Belajar 1 :

Ekspresi Vektor

a

. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat mengetahui pengertian vektor,

2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor, 3. Dapat memahami vektor nol,

4. Dapat memahami vekktor posisi, 5. Dapat memahami vektor satuan, 6. Dapat memahami vektor ruang , 7. Dapat memahami vektor basis. 8. Dapat menentukan suatu vektor.

.

b. Uraian Materi

EKSPRESI VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya.

Perpindahan dari titik Ake titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang

berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya,

sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.

Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.

A

Notasi Vektor

Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis

berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor.

Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnyaPQ.

PQdapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau

dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau diberi

topi,misalnya

Q

a

P a

Gambar 5.2 Notasi Vektor

Untuk vektorPQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q

disebut titik ujung(titik terminal).

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CDdibaca :

ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD makaAB=CD. Dari pengertian ini

dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah

asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula. B

D A

C

Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak sama dengan)

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal ini,

salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4AB=

2CD. atau CD =

2 1

AB

B

A D C

Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan. Dua

buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB =

-EFatau EF= -AB

B E A

F

Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang

satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3EFatau EF=

3 1

AB

B E

A F

Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,

4. Vektor Posisi

Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= pdisebut vektor posisi dari titik

P. Jika koordinat titik Padalah (x1,y1) maka vektor posisi dari titik Padalah p= OP =

   

1 1 y x

Y

P (x1,y1)

p y1

O x1 X

Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen arah

vertikalnya adalah y1.

Jika titik Adi R3 dengan koordinat Aadalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titik Aadalah

Gambar 5.8 Vektor posisi titik A

a= OA=

  

 

  

 

1 1 1

z y x

sebaliknya, jika a=

  

 

  

 

1 1 1

z y x

merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik A

berkoordinat (x1, y1, z1)

5. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i

Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j

Sehingga untuk vektor di R2adalah

i=

   

0 1

j=

   

1 0

Y

B (0,1)

j A (1,0)

O i X

Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2

Sedangkan untuk di R3 adalah

i =

  

 

  

 

0 0 1

; j=

  

 

  

 

0 1 0

; k=

  

 

  

 

1 0 0

Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang

panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektoraadalah

vektor yang arahnya sama dengan arah vektor adan panjangnya

a

1

6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2. Untuk menyajikan vektor di R2,

diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal atau sumbu Y.

Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh

perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri diberi tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negatif.

Dengan demikian vektor pada R2dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) dan

dituliskan sebagai vektor koloma =

   

1 1

dan titik B(4, 3) dengan- vektor kolom b=

   

3 4

Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

AB = b- a

=

   

3 4

-   

1 1

=

   

2 3

Dengan cara yang sama kita dapatkan:

CD =

   

1 4

EF =

   

4 0

GH =

   

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3atau R3. R3ditandai dengan tiga buah

sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:

1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X; 2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;

3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.

Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar ke kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga

Contoh :

ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar

dengan sumbu

koordinat dengan koordinat A(0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) dan

titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

Misalkan titik A(0, 1, 0) dituliskan sebagai a =

Z

Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH

Dengan cara yang sama didapatkan:

AF=

  

 

  

 

6 0 4

; AG=

  

 

  

 

6 2 4

; BH =

  

 

  

 

6 2

4

7. Vektor Basis

a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:

OP = OQ+ QP

di mana OP = P

OQ = x1i

QP = y1 j

sehingga dapat dituliskan :

P= x1i+ y1 j

Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

Jadi, setiap vektor di R2dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari dua vektor

basis i dan j dalam bentuk

:

x1dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatar dan vertikal dari vektor P.

b. Vektor Basis di R3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan radalah vektor posisi R, maka

komponen-komponen r dapat dinyatakan sebagai:

x1i (searah denganOX)

y1 j (searah dengan OY)

z1 k(searah dengan OZ)

Z

Gambar 5.15 Vektor basis pada R3

dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari

vektor-vektor basisi, j, k

OR= OP+ PR

OR= OQ+ QP+ PR, sehingga

P= x1i+ y1 j

Vektor dapat disajikan dalam bentuk : a. vektor basia, yaitu P= (x1, y1)

b. vektor kolom, yaitu P=

   

OR= r= x1i + y1 j + z1k

Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga

vektor basis i, j, dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang

ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor Pditulis dengan P.

a. Vektor di R2

Jika padalah titik (x1, y1) makaOP= P=

   

1 1 y x

Y

P(x1, y1)

P

O Q X

Gambar 5.16 Panjang vektor P di R2

Dengan menggunakan pythagoras maka

2

OP = OQ 2+ QP 2 (perhatikan Gambar 5.16)

2

P = x12+ y12 ( karena OP= P)

2

P = x 2y 2

r= x1i + y1 j + z1k

Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam bentuk:

a. vektor baris, yaitu r= (x1, y1, z1)

b. vektor kolom, yaitu r=

  

 

  

 

1 1 1

z y x

Jadi, jika P=

   

1 1 y x

maka panjang vektor Padalah P2= x₁2 y₁2

b. Vektor di R3

Misalkan OR= r=

  

 

  

 

1 1 1

z y x

adalah vektor

Gambar 5.17 panjang vektor rdi R3

posisi diR3seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

2

OR = OP 2+ PR2

= OQ 2+ QP 2 + PR2

2

OR = x12+ y12+ Z12(perhatikan Gambar 5.17)

r = X₁2 Y₁2 Z₁2 ( karena OR= r)

Jadi, r=

  

 

  

 

1 1 1

z y x

, panjang vektor radalah r = X₁2 Y₁2 Z₁2

C Rangkuman Kegiatan Belajar 1

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB# CDdibaca

: ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD makaAB=CD.

b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.

c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan.

d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tentu,

misalnya AA, BB, CC, dan semacamnya disebut vektor nol.

4. Vektor Posisi

Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= pdisebut vektor posisi dari titik

P.

5. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2atau R2.

b. Vektor di R3

Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga

buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vektor Basis

a. Vektor Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujung

dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

b. Vektor Basis di R3

komponen-x1i (searah denganOX)

y1 j (searah dengan OY)

z1 k(searah dengan OZ)

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan

panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektor Pditulis dengan P .

d

. Tugas Kegiatan Belajar

Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan

.

e.

Tes Formatif

1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom! a. A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P (2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)

2. Nyatakan vektor-vektor a =

  

 

  

 

1 3 2

dan c =

  

 

  

 

3 0 1

sebagai kombinasi linear dari i, j, dan k

3. Diketahui p= i - 2 j + 2k dan q= 3i + j - 2k carilah

a. P

b. Q

c. PQ

f. Kunci Jawaban

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal-soal berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (3-4 orang).

1. Diketahui : a = 3i + 2 j + 4k

b = i - j + 2k

c = i + 3k

Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut sebagai vektor kolom!

a. a + b

b. b + c

d. a + (b + c)

e. Apakah a + b = c + a, bila berlaku sifat apakah itu?

f. Apakah (a + b) + c = (a + b) + c, bila berlaku sifat apakah itu?

2. OABC•DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbu X, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC =

3, dan OD= 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i, j, dan k

a. OB e. AF

b. AC f. BD

c. FC g. AG

d. EB

3. Jika p=

  

 

  

  

6 4 2

dan q=

  

 

  

 

7 4 4

Tentukan: a. P c. PQ

b. Q d. vektor satuan dari pdanq

4. Diketahui: a. 2i - 3 j + 4k c. 3i + 2 j + 3k

b. -i + 5k

Carilah:

a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c

5. Diketahui vektor a= 4i + 4j + 2k dan b= 2i + 3 j - 5k

a. Carilah │a│ dan│ b│ c. Apakah │a+b│= a + b b. Carilah a b dan│a+b│

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda

capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan

dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih

seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan

bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100%

15 x

diperoleh yang

2. Kegiatan Belajar 2 :

Operasi Aljabar Vekto r

a.

Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,

2. Dapat menetukan pengurangan vektor,

3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

b.

Uraian Materi

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1 Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b. Vektor ketiga yaitu vektor cdiperoleh dengan

menjumlahkan vektor a dan vektor b. Jadi, c= a + b. Vektor c dapat ditentukan dengan cara

segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga

Perhatikan Gambar 5.18

b b b

a

a a

(i) (ii)

Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan

memindahkan vektorb (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b

Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor

b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitigaGambar 5.18(i).

b. Cara Jajar Genjang

Jumlah dari vektor a dan vektor b adalah vektor c yang

dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa

mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal

vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a.

Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik

pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan

vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat

dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b.

Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal

dengan cara jajar genjangGambar 5.18(ii).

Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:

c= a + b

PR= PQ+ QR

Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga

Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

AB= AC+ CB(untuk titik-titik, A, C, dan B)

AB = AP + PB (untuk titik-titik A, P, dan B)

AB= AD + DL + LB (untuk titik-titik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan poligon seperti berikut.

P4

P5 P3

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor

1) Komutatif

Perhatikan Gambar 5.20 (PQRS adalah jajar genjang)!

Misalkan PQ = a, SR = a S R

Misalkan PS = b, QR = b. b

PR= PQ+ QR = a + b

PR= PS + SR= b+ a P a Q

Jadi, a + b = b+ a Gambar 5.20 penjumlahan vektor secara

komulatif

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat komutatif.

2) Asosiatif

Perhatikanlah Gambar 5.21!

SPQR adalah suatu limas segitiga

PQ =a, QR = b, RS= c

Maka: S

(a + b) + c = (PQ + QR) +RS

= PR +SR c

= PS

a + (b + c) = PQ + (QR +RS) P a b R

= PQ+ QS Q

= PS Gambar 5.21 Penjumlahan vektor secara asosiatif

Jadi, (a + b) + c = a + (b + c)

Berarti penjumlahan pada vektor bersifat asosiatif.

Jika a = 

    

2 1

, b= 

    

3 2

dan c= 

    

4 3

, apakah a - b + c = a - (b + c)?

Bagaimanakah dengan (a + b) - c , apakah sama dengan a + (b - c)?

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O(vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku

a + o= o+a= a

4) Lawan suatu vektor

Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a

adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a

menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis -a

dengan -a. Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan dari

sebuah vektor

lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya

sama dengan vektor a, tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a.

Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).

Sebab: a + (-a) = (-a) + a = o

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b. Misalkan selisih vektor a dengan

vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan

vektor b.

Jadi, c= a- b= a+ (-b)

Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada

Gambar 5.23.

a- b= a+ (-b)

= PQ +PS

= PT= RQ

Dari ∆ PQR terlihat bahwa :

PQ - PR = RQ

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│ kali

panjang vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0

c. sama dengan nol jika k= 0

Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor

Jika a=

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

1 k (-a) = - (ka)= -k a

2 k (la) = (kl) a

4 k(a+b) = ka+ kb

c.

Rangkuman Kegiatan Belajar 2 OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor a dan vektor b. Vektor ketiga yaitu vektor cdiperoleh dengan

menjumlahkan vektor a dan vektor b. Jadi, c= a + b. Vektor c dapat ditentukan dengan

cara segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga

b. Cara Jajar Genjang

Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor

1) Komutatif 2) Asosiatif

3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O(vektor nol) Sebab untuk semua vektor a

berlaku a + o= o+a= a

4) Lawan suatu vekto

2. Pengurangan Vektor

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b. Misalkan selisih vektor a dengan

vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan

lawan vektor b.

3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya │k│

kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0

c. sama dengan nol jika k= 0

Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

3. (k+ l) a = ka + la

4. k(a+b) = ka+ kb

d.

Tugas Kegiatan Belajar

Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan

.

.

e.

Tes Formatif

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB= u, AD = v, titik E dan F masing-masing titik

tengah DC dan BC . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v

a. AE b. EF c. AF

2. Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan

carilah AB: BC

3. Diketahui titik-titik A(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan Csegaris, carilah nilai pdan q.

f.

Kunci Jawaban

1. a. AE = AD+ DE D E C

= v +

2 1

u =

2 1

u+ v

b. EF = EC+CF v F

=

2 1

u

-2 1

v A u B

c. AF =AB + BF Gambar 5.25 Jajaran genjang ABCD

= u+

2 1

v

2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah

2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C

segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan ABdan BC(AB: BC)

3. Untuk menunjukkan titik-titik A, B, dan Csegaris (kolinear) dan mengetahui perbandingan

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

1. ABCD jajar genjang bila AB = a, AD = b, titik E perpotongan diagonal AC clan BD.

Nyatakan dengan a dan bvektor - vektor tersebut!

D C a. AC d. BE

b E b. AE e. ED

c. BD f. EB

A a B

2. Dari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih-selisih vektor berikut sebagai ruas garis berarah tunggal!

a. AE - AD c. BE - BC

b. AB- AC d. CD - CB

3. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal!

a. AB+ BC+CD + DE

b. AD + DC + CE + EK

c. AD -AB +CB -CD

4. Diketahui a=

  

 

  

 

3 2 1

, b =

  

 

  

 

2 1

2

, dan c =

  

 

  

   

3 2 1

Hitunglah:

a. 2a + b- c b. 3a + 2b+ 4c c. 4a + 3b- 2c

5. Diketahui: a = 3i + 4 j + 5k

b = i + 3k

c = -2i + 3 j - 4k

Nyatakan sebagai vektor kolom!

a. a + b d. (a + b) + c

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda

capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan

dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih

seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan

bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100%

15 x

diperoleh yang

3. Kegiatan Belajar 3

: Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor.

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:

Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat : 1. Mengetahui dan memahami rumus jarak

2. Mengetahui rumus pembagian.

b. Uraian Materi :

1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =

Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak

│AB│=



x₂ x₁

 

2  y₂y₁

 

2  z₂ z₁



2

Jarak antara titik A(x1+ y1+

z1) dan B(x2+ y2+ z2) pada R3

sama dengan panjang vektor

Contoh :

1. Diketahui titik A(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa

∆ABC siku-siku sama kaki!

Jawab:

Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa

segitiga ABC yang disusun dari titik-titik A, B, dan Cmemang siku-siku sama kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut.

r =



x₂x₁

 

2 y₂ y₁

 

2 z₂z₁



2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu

│AB│=

    

45 2 77 2 35



2 = 104= 5

│AC│=

    

25 2 77 2 45



2 = 901= 10

│BC│=

    

24 2  77 2 43



2 = 401= 5

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

AB2= 5 BC2= 5 AC2= 10

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu ABdan BC, maka segitiga itu adalah sama

kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang

menyatakan AB2+ BC2= AC2. Jadi, segitiga ABCsiku-siku di Bdan sama kaki.

2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku sama kaki.

Jawab:

Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut. 1. Memahami masalah

2. Merencanakan penyelesaian

3. Melaksanakan perhitungan

│AB│=

    

132  35 2 10



2 = 441= 3 │AC│=

    

112 34 2 11



2 = 414= 3

│BC│=

     

312 54 2 012 = 1611= 15= 3 2

Hasil perhitungan: │BC│= │AB│2+ │AC│2

Jadi, segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di A.

Cara lain AB= b- a =

Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki.

2. Rumus Pembagian

Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa

sehingga AP: PB= m : n.

a. Jika P membagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan n

mempunyai tanda yang sama.

b. Jika P membagi di luar, APdan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga mdan n

berlawanan tanda

A P B A B P

(a) (b)

Gambar 5.28 (a) Titik Pmembagi garis ABdi dalam garis (b) Titik Pmembagi garis AB di luar

garis

Contoh :

Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis, sebagai berikut.

AP : PB = m : n m n AP : AB = m : (m + n)

A P B

AP : PB = m : -n m

AP : AB = m: (m - n) n A B P

AP : PB = 1 : 1

AP : AB = 1 : 2

AP : PB = 2 : 1

AP : AB = 2 : 3

A P B

AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1 AP : AB = 4: 2 = 2 :1

A B P

Gambar 5.29 Pembagian ruas garis

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

Perhatikan Gambar 5.30!

Jika padalah vektor posisi titik Pyang membagi ABdengan perbandingan m : n, P antara

A dan B, maka

p=

n m

a n b m

 

O

Gambar 5.30 Pembagian ruas garis ABdengan Perk.dingan m : n

Bukti:

AP : PB = m : n

Untuk semua letak P: AB, di dalam maupun di luar berlaku:

AP:PB = m : n

n (p- a) = m (b-p)

np - na =mb- mp

mp+np = mb+ na

p=

n m

a n b m



 _(terbukti)

O

Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

Contoh:

1. Bila a, b, dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari ∆ABC. Titik D pada

ACsehingga AD : DC= l : 2. Titik Epada BCsehingga EC: EC = 3 : 1

Nyatakan DEdalam a, b, dan c

Jawab: C

d=

2 1

2 1

   c a

=

3 1

(c +2a) D E

e =

1 3

1 3

   c b

=

4 1

(3c +b) A B

Gambar 5.31 pembagi ruas garis ABdalam bentuk vektor

DE= e - d=

4 1

(3c +b)

-3 1

(c +2a)

=

   

12 2 4 3

3 cb  c a

=

12 1

(9c+3b- 4c- 8a)

=

12 1

(-8a + 3b- 5c)

- Dalam hal ini untuk pembagian di luar, rumus" akan lebih mudah digunakan bila angka numerik m dan n yang lebih besar diambil positif (misalnya 3 : -2 lebih mudah daripada -3 : 2).

- Jika Pdi tengah-tengahAB, m : n =1 : 1

2. Carilah vektor letak titik Pdan Qyang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan

c. Rangkuman kegiatan belajar 3: 1. Rumus Jarak

Diberikan titik A(x1+ y1+ z1) dengan vektor posisi a =

2. Rumus Pembagian

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa

sehingga AP: PB= m : n.

b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

p=

n m

a n b m

 

d. Tugas Kegiatan Belajar

Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.

e. Tes Formatif

1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara

Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titiky (300, 30, 18) km?

2. Hitung jarak antara titik-titik berikut! a. O(0,0,0) dan P(4, 4, 2)

3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitiga

sama kaki!

4. Pergunakan rumus p=

n m

a n b m



 _{untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut}

dengan a dan b

a. C, membagi ABdengan perbandingan 3 : 2

b. D, membagi ABdengan perbandingan 3: -2

f. Kunci Jawaban

1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak:

r =



x₂ x₁

 

2  y₂y₁

 

2  z₂ z₁



2

Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y (300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

r =



300100

 

2 2060

 

2  108



2

=

     

200 2  40 2  2 2

= 203,97 km

2. O = 0 P = 4

0 4

0 4

OP= 4 0

4 - 0 4 0

│OP│=



40

 

2  40

 

2  40



2

= 161616

OP = 48

3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut

1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)

2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak

bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-titik P, Q, dan R memang siku-siku sama

kaki.

3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90°, sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut.

r =



x₂ x₁

 

2  y₂ y₁

 

2  z₂ z₁



2

4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu

│PQ│=



93

 

2  24

  

2  31 2 = 1443616= 196= 14 │PR│=

    

93 2  84 2  111



2 = 3616144= 196= 14 │QR│=

    

99 2  82 2  113



2 = 32410081= 506 = 22. 49

5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu ABdan BC, maka segitiga itu adalah

sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras

yang menyatakan PQ2+ PR2= QR2. Jadi, segitiga ABCsiku-siku di Bdan sama kaki.

4. a. Untuk C, m : n= 3: 2 b. Untuk D, m : n= 3 : -2

Maka p=

n m

a n b m



 _{Maka q=}

n m

a n b m

 

=

2 3

2 3

  a b

=

2 3

2 3

  a b

=

5 1

(3b+2a) =(3b-2a)

g. Lembar Kerja Siswa (LKS)

1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan belah ketupat!

2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sudut segitiga siku-siku sama kaki!

3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nilai

perbandingan:

a. OB : BC c. AB : BC e. OB : BA

b. OC : CB d. OA : OB

4. Suatu ruas garis AEdibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carilah

nilai-nilai perbandingan dari:

a. AB : BD c. AE : EC e. DA : AC

b. AB : AE d. BE : ED f. CE : EB

5. Titik-titik P, Q, dn R berturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ∆ ABC; a, b,

dan c adalah vektor-vektor posisi dari A, B, C

 Nyatakan p, q, danrdengan a, b, dan c

 Nyatakan bahwa AP, BQ, clan CR dengan a, b, dan c

 Tunjukkan bahwa p+ q+r= a+ b+ c

h. Tingkat Penguasaan

Rumus :

Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda

capai sebagai berikut:

1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan

dengan kegiatan belajar 3.

2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih

seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan

bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

Tingkat Penguasaan = 100%

15 x

diperoleh yang

4. Kegiatan Belajar 4

: Pembagian Dalam Bentuk Koordinat a. Tujuan Kegiatan Belajar 4:

Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat: 1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,

2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar, 3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor, 4) Dapat menentukan sifat – sifat perkalian skalar,

5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, 6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.

b. Uraian Materi :

Pembagian

Dalam Bentuk Koordinat

Jika P (xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkan A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)

dengan perbandingan m : n, maka :

xp=

n m

nx mx

 1

2 _{; y}

p =

n m

ny my

 1 2 _{; z}

p =

n m

nz mz

 1 2

Bukti :

Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu

p=

n m

a n b m



 _{; di mana a =}

  

 

  

 

1 1 1

z y x

adalah vektor posisi dari titik A(x1, y1, z1)

b=

  

 

  

 

2 2 2

z y x

adalah vektor posisi dari titikB(x2, y2, z2)

A(x1, y1, z1 P(xp, yp, zp) B(x2, y2, z2)

Gambar 5.35 titik Qmembagi diluar

xp=

Carilah koordinat titik P dan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1, 0,

2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1

Jawab:

(ii) Titik Qmembagi di luar Q(xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)

xq=

 

3 1

1 1 1 3

   

 ₌

2 2

= 1 3 -1

yq =

 

3 1

4 1 0 3

   

 ₌

2 4

 _{= -2 q a b}

zq =

3 1

6 ) 1 ( 2 3

   

 ₌

2 0

= 0 O

Jadi, koordinat Q(1, -2, 0)

Gambar 5.35 Titik Qmembagi di luar

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali skalar dari vektor adan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan dengan

a∙b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang

didefinisikan oleh:

a∙b= │a││b│cos ө

ө adalah sudut antara a dan b, dengan 0 ≤ B ≤ л

Jika a = 0 atau b= 0 maka a∙b= 0 dan sudut ө tidak tertentu.

Tanda dari a∙bditentukan oleh besarnya ө

1. Jika 0 ≤ ө <

2 1

л, maka a∙b> 0

a

2. Jika ө =

2 1

л, maka a∙b= 0

b

3. Jika

2 1

л < ө ≤ л , maka a∙b< 0

a

Gambar 5.36 Tanda dari a∙bberdasarkan besarnya ө

2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:

OA = a₁2a₂2 a₃2

│AB│ = (b₁a₁)2 (b₂ a₂)2(b₃a₃)2

Z

Y B(b1, b2, b3)

b A(a1, a2, a3)

a

O X

Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar

1. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө dari a ke b atau dari b ke a

tidak menjadi soal.

2. Bila a ± b, maka a∙b= 0

3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan (skalar).

3. Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut

adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor adan kaki vektor b. Sudut yang diambil adalah

sudut terkecil. Sudut Dari rumus:

a∙b= a1b1 +a2b2 +a3b3

a∙b= │a││b│cos ө

Gambar 5.38 Sudut antara dua vektor

Diperoleh:

cos ө =

b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

b b b a a a

b a b a b a

  



 

Contoh:

Carilah besar sudut antara a dan b, bila a= i + j + 2k dan b = - 2i + j + k

Jawab:

Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah

1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memiliki

satuan-satuan a= i + j + 2k dan b = - 2i + j + k

2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b

3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b, maka digunakan rumus perkalian skalar antara a

dan b, sehingga

a∙b= │a││b│cos ө

cos ө =

b a

4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektor a dan b, yaitu

5. Dari langkah (4) didapatkan:

a∙b=

4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar

a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar

Misalkan a =

dalam bentuk vektor kolom di mana berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Komutatif, yaitu a∙ b atau dari b ∙ a

2. Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu

a∙ (b + c) =a∙ b + a∙c

2. b + c =

b. Hal-Hal Mengenai Perkalian Skalar

Hal-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut.

1. Tidak tertutup, sebab a∙bbukan vektor.

= 16 + 12 2

b. b∙ (a + b) = b∙ a + b∙ b

= │b││a│cos

4 1

л + │b│2

= 6 × 4 ×

2 1

2+ 62 = 12 2+ 36

= 36 + 12 2

5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vektor lain.

a. Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

Misalkan proyeksi OA pada OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.39).

A

O C

Gambar 5.39 Proyeksi skalar ortogonal

|OC| = | c| disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b. | c| = │a│cos  (perhatikan ∆ AOC

pada Gambar 5.39 di mana cos  =

OA OC

=

a c

Dari rumus:

a∙ b = │a││b│cos 

Diperolah :

│a│ cos  =

b b a

pada gambar

| c| = │a│cos 

Jadi, proyeksi skalar ortogonal apada b adalah

c=

b b a

Nilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positif, nol, atau negatif, tergantung dan besamya sudut

. Jika:

1. 0 ≤ <

2 1

л , maka | c| positif

2.  =

2 1

л, maka | c| = 0

3.

2 1

л < ≤ л , maka | c| negatif

b. Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c

Vektor satuan dari c =

c c

atau c = | c| , karena vektor csearah dengan vektor maka vektor

satuan dari

b maka vektor satuan dari cadalah juga vektor satuan dari b sehingga

OC = c = | c| vektor satuan dari b

=

b b a

∙ b b

=

 

₂

b b a

∙b

Jadi, proyeksi vektor ortogonal apada b adalah

Contoh: