1 PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT. Tanpa karunia-Nya kami tidak akan bisa menyelesaikan buku ini terselesaikan tepat pada waktunya. Sholawat serta salam kita panjatkan kepada Nabi besar kita, Muhammad SAW beserta para sahabatnya dan keluarganya.
Buku ini dibuat karena untuk menyelesaikan tugas prokom kami. Buku ini berjudul
“Belajar Vektor Asik” dengan materinya yang disajikan dari beberapa sumber, antara lain beberapa buku dan internet. Materi – materi yang disajikan juga terbilang singkat guna untuk mempermudah mempelajarinya. Dan didalam buku ini juga terdapat soal – soal latihan guna untuk melatih atau mempelancarkan dari isi materi dari buku ini.
Kami menyadari bahwa buku ini masih banyak sekali kekurangannya, untuk itu kami sangat berharap kritik dan saran dari para pembaca. Dan terima kasih juga kepada pihak – pihak yang telah membantu membuat buku ini. Dan mudah – mudahan buku ini dapat memberikan manfaat dalam segala bentuk kegiatan belajar mengajar.
Penulis
2
DAFTAR ISI
Kata – kata motivasi ... 3
Tujuan Pembelajaran ... 4
Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari – hari ... 4
PEMBAHASAN A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah ... 5
B. Operasi aljabar pada vektor di 𝑅2 1. Penjumlahan Vektor ... 6
2. Pengurangan Vektor ... 7
3. Perkalian Skalar dengan Vektor ... 7
4. Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 dikatakan sama bila 𝑥1= 𝑦1 dan 𝑦1 = 𝑦2 . ... 7
C. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑅3 1. Penjumlahan Vektor ... 7
2. Pengurangan vektor ... 8
3. Perkalian skalar dengan vektor ... 8
4. Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 dikatakan sama bila 𝑥1= 𝑥2 , 𝑦1 = 𝑦2 , 𝑧1 = 𝑧2 . ... 8
D. Perbandingan vektor dan koordinat ... 8
Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat 1. Rumus Perbandingan Vektor ... 8
2. Rumus Perbandingan Koordinat ... 9
E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Vektor Kolom ... 10
2. Sifat – sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor ... 10
F. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi Vektor 𝑎 pada Vektor 𝑏 ... 10
2. Proyeksi Vektor 𝑏 pada Vektor 𝑎 ... 11
Soal Latihan ... 11
Daftar Pustaka ... 12
Biodata ... 13
3
4 Tujuan Pembelajaran Materi
Tujuan pembelajaran materi ini sebagai berikut:
- Membedakan besaran vektor dan skalar - Menggambar sebuah vektor
- Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode segitiga - Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode jajar genjang - Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode poligon - Menentukan vektor resultan dengan metode rumus kosinus - Menentukan vektor resultan dengan metode vektor komponen - Menentukan hasil perkalian dua buah vektor
Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari – hari.
- Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.
- Ketika seorang melakukan olahraga tersebut, mereka akan terjun dengan kemiringan tertentu hingga menginjak tanah.
- Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.
- Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat – koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada layar monitor komputer terdiri atas titik – titik yang mempunyai nilai koordinat.
Layar Monitor berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam program tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional).
5
Vektor
A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah
Nama suatu vektor dapat ditulis dengan dua huruf besar dengan tanda panah diatasnya atau satu huruf kecil dengan tanda panah atau bar di atasnya.
Dalam fisika dikenal dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.
Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Sedangkan besaran vektor ada besaran yang mempunyai nilai dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas garis berarah. Besar suatu vektor diwakili oleh panjangnya, sedangkan arahnya ditunjukkan oleh mata panah disalah satu ujungnya.
Q u ̅
P
Dari gambar diatas, nama vektor tersebut adalah 𝑃𝑄 atau 𝑢 . Titik P disebut titik pangkal dan titik Q disebut titik ujung sekaligus menunjukkan arah.
Vektor terletak pada dua tempat yaitu dibidang datar dan bidang ruang. Vektor yang terletak di bidang datar disebut vektor di 𝑅2, sedangkan vektor yang terletak di bidang ruang disebut vektor di 𝑅3.
Vektor di 𝑅2 secara Geometri
Penjumlahan Vektor
a. Aturan segitiga b. Aturan jajargenjang
𝑢 + 𝑣 𝑣
𝑣 𝑢 + 𝑣
𝑢 𝑢
Sifat – sifat penjumlahan vektor a. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
b. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 )
c. 𝑢 + 0 = 𝑢 untuk setiap vektor 𝑢 , vektor 0 disebut vektor nol.
d. 𝑢 + 𝑣 = 0 , dengan vektor 𝑣 lawan dari vektor 𝑢 dan ditulis 𝑣 = 𝑢
. Pengurangan Vektor
𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + (−𝑣 )
6
Perkalian Skalar m dengan vektor 𝑣 a. 𝑚 𝑣 searah dengan 𝑣 jika 𝑚 > 0.
b. 𝑚 𝑣 berlawanan arah dengan 𝑣 jika 𝑚 < 0 c. 𝑚 𝑣 vektor nol jika 𝑚 = 0
Sifat perkalian skalar dengan vektor a. 𝑚 + 𝑛 𝑢 = 𝑚𝑢 + 𝑛𝑢
b.𝑚 𝑢 + 𝑣 = 𝑚𝑢 + 𝑚𝑣 c. 𝑚𝑛 𝑢 = 𝑚(𝑛𝑢 ) d. 1𝑢 = 𝑢
Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 disebut sama jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.
𝑢 𝑣
𝑤
𝑢 = 𝑣 tetapi 𝑢 ≠ 𝑤 dan 𝑣 ≠ 𝑤 2. Vektor di 𝑅2 secara Aljabar
Vektor 𝑝 adalah vektor posisi P dan dapat dituliskan sebagai:
𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥, 𝑦 atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥
𝑦 atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 .
Panjang vektor 𝑝 dinyatakan sebagai:
𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥2+ 𝑦2
Vektor satuan dari 𝑢 ditentukan dengan rumus:
𝑒 = 𝑢
𝑢 = 𝑢
𝑥2+𝑦2 = 1
𝑥2+𝑦2 𝑥 𝑦 .
B. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑹𝟐 Misalkan 𝑢 = 𝑥1
𝑦1 dan 𝑣 = 𝑥2
𝑦2 serta 𝑘 suatu konstanta.
1. Penjumlahan vektor
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1
𝑦1 + 𝑥2
𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
a. Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di 𝑅2 adalah vektor 0 = 0
0 yang bersifat: 0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢 .
b. Lawan dari vektor 𝑢 = 𝑥1
𝑦1 adalah vektor −𝑢 = −𝑥1
−𝑦1 .
7 2. Pengurangan vektor
𝑢 − 𝑣 = 𝑥1
𝑦1 − 𝑥2
𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 3. Perkalian skalar dengan vektor
𝑘 . 𝑢 = 𝑘 𝑥1
𝑦1 = 𝑘𝑥1 𝑘𝑦1
4. Dua vektor 𝒖 dan 𝒗 dikatakan sama bila 𝒙𝟏= 𝒚𝟏 dan 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 .
Jika diketahui 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄(𝑥2, 𝑦2), maka 𝑃𝑄 didefinisikan dengan:
𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 = 𝑥2
𝑦2 − 𝑥1
𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 Panjang vektor 𝑃𝑄 = (𝑥2− 𝑥1)2+ (𝑦2 − 𝑦1)2
Vektor di 𝑹𝟑
Vektor 𝑝 adalah vektor posisi P dan dapat dituliskan sebagai:
𝑝 = 𝑂𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑦 𝑧
atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
Panjang vektor 𝑝 dinyatakan sebagai: 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2
Vektor satuan dari 𝑢 ditentukan dengan rumus:
𝑒 = 𝑢
𝑢 = 𝑢
𝑥2+𝑦2+𝑧2 = 1
𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑥 𝑦 𝑧
. C. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑹𝟑
Misalkan 𝑢 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1
, 𝑣 = 𝑥2 𝑦2 𝑧2
, dan 𝑘 skalar.
a. Penjumlahan Vektor
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1
+ 𝑥2 𝑦2 𝑧2
=
𝑥1+ 𝑥2 𝑦1+ 𝑦2 𝑧1+ 𝑧2
1) Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di 𝑅3 adalah 0 = 0 0 0
yang bersifat: 0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢 .
2) Lawan dari vektor 𝑢 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1
adalah vektor −𝑢 =
−𝑥1
−𝑦1
−𝑧1 .
8 b. Pengurangan vektor
𝑢 − 𝑣 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 −
𝑥2 𝑦2 𝑧2 =
𝑥1− 𝑥2 𝑦1− 𝑦2 𝑧1− 𝑧2 c. Perkalian skalar dengan vektor
𝑘 . 𝑢 = 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1
= 𝑘𝑥1 𝑘𝑦1 𝑘𝑧1
d. Dua vektor 𝒖 dan 𝒗 dikatakan sama bila 𝒙𝟏= 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏= 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 . Misalkan diketahui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝑄(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) .
Ruas garis berarah 𝑃𝑄 dinyatakan sebagai: 𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 = 𝑥2 𝑦2 𝑧2 −
𝑥1 𝑦1
𝑧1 =
𝑥2− 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1 Panjang vektor 𝑃𝑄 adalah: 𝑃𝑄 = (𝑥2− 𝑥1)2+ (𝑦2− 𝑦1)2+ (𝑧2− 𝑧1)2
D. Perbandingan Vektor dan Koordinat
Jika titik P terletak pada ruas garis AB sehingga titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka diperoleh
hubungan:
𝐴𝑃 ∶ 𝑃𝐵 = 𝑚 ∶ 𝑛 atau 𝐴𝑃 ∶ 𝐴𝐵 = 𝑚 ∶ (𝑚 + 𝑛) . Tanda – tanda dari m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut.
1. Jika titik P terletak di antara ruas garis 𝐴𝐵, maka 𝐴𝑃 dan 𝑃𝐵 searah. Jadi, m dan n berbeda sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negatif).
2. Jika titik P pada perpanjangan ruas garis 𝐴𝐵, maka 𝐴𝑃 dan 𝑃𝐵 berlawanan arah. Jadi, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).
Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat 1. Rumus Perbandingan Vektor
Jika titik P terletak pada ruas garis 𝐴𝐵 sehingga titik P membagi ruas garis 𝐴𝐵 dengan perbandingan m : n, maka vektor posisi titik P adalah:
𝑝 = 𝑚 𝑏 +𝑛𝑎
𝑚 +𝑛 Keterangan: 𝑏 = vektor posisi titik B 𝑎 = vektor posisi titik A Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵, maka 𝑝 = 𝑎 +𝑏
2 .
9 2. Rumus Perbandingan Koordinat
a. Rumus Perbandingan Koordinat Titik di 𝑅2.
Diketahui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan titik 𝐵(𝑥2, 𝑦2). Jika titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝) membagi ruas garis 𝐴𝐵 dengan perbandingan 𝑚 ∶ 𝑛, maka
koordinat titik P ditentukan dengan rumus:
𝑥𝑝 = 𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥1
𝑚 +𝑛 dan 𝑦𝑝 = 𝑚𝑦2+ 𝑛𝑦1
𝑚 +𝑛
Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵 , maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus:
𝑥𝑝 = 𝑥2+ 𝑥1
2 dan 𝑦𝑝 = 𝑦2+ 𝑦1
2
b. Rumus Perbandingan Koordinat Titik di 𝑅3 .
Diketahui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan titik 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Jika titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) membagi ruas garis 𝐴𝐵 dengan perbandingan 𝑚 ∶ 𝑛 , maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus:
𝑥𝑝 = 𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥1
𝑚 +𝑛 , 𝑦𝑝 = 𝑚𝑦2+ 𝑛𝑦1
𝑚 +𝑛 , 𝑧𝑝 = 𝑚𝑧2+ 𝑛𝑧1
𝑚 +𝑛 .
Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵 , maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus:
𝑥𝑝 = 𝑥2+ 𝑥1
2 , 𝑦𝑝 = 𝑦2+ 𝑦1
2 , 𝑧𝑝 = 𝑧2+ 𝑧1
2 .
E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Hasil kali skalar dua vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 (ditulis 𝑎 . 𝑏 ) adalah suatu skalar yang besarnya sama dengan jumlahnya dari hasil kali komponen – komponen 𝑎 dan 𝑏 yang
bersesuaian. Hasil kali skalar vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏 ditentukan dengan hubungan berikut.
Keterangan :
𝑎 = panjang vektor 𝑎 𝑏 = panjang vektor 𝑏
= besar sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏 𝑎 . 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos
Rumus tersebut dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏 . cos = 𝑎 𝑏 𝑎 .𝑏
10 1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk
Vektor Kolom
a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di 𝑅2 Jika vektor 𝑎 = 𝑥1
𝑦1 dan vektor 𝑏 = 𝑥2
𝑦2 , maka hasil kali skalar vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 ditentukan dengan rumus:
𝒂
. 𝒃 = 𝒙𝟏𝒙𝟐+ 𝒚𝟏𝒚𝟐 .
b. Hasil kali skalar dua vektor di 𝑅3 Misalkan diketahui vektor 𝑎 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1
dan vektor 𝑏 = 𝑥2 𝑦2 𝑧2
.
Hasil kali skalar vektor 𝑎 dan 𝑏 di tentukan dengan rumus: 𝑎 . 𝑏 = 𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 2. Sifat – sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor
a. 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
b. 𝑎 . 𝑏 ± 𝑐 = 𝑎 . 𝑏 ± 𝑎 . 𝑐
c. 𝑘 𝑎 . 𝑏 = 𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . (𝑘𝑏 ) ; 𝑘 bilangan riil d. 𝑎 . 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 . 𝑎
e. 𝑎 . 𝑎 > 0 jika 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎 . 𝑎 = 0 jika 𝑎 = 0 F. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi Vektor 𝒂 pada Vektor 𝒃
𝑂𝐴 adalah wakil dari 𝑎 dan 𝑂𝐵 Wakil dari 𝑏 .Titik C merupakan proyeksi Titik A pada garis OB.
OC = OA cos= 𝑎 cos (skalar)
a. proyeksi skalar Ortogonal vektor 𝑎 pada Vektor 𝑏 , di tentukan oleh: 𝑐 = 𝑎 cos .
Dengan substitusi cos = 𝑎 .𝑏
𝑎 𝑏 , maka diperoleh: 𝑐 = 𝑎 .𝒃
𝑏 .
b.proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑎 pada vektor 𝑏 , ditentukan oleh: 𝑐 = 𝑐 𝑒 dengan 𝑒 adalah vektor satuan vektor 𝑐 . Oleh karena vektor 𝑐 searah dengan vektor 𝑏 , maka vektor satuan dari vektor 𝑐 sama
dengan vektor satuan dari vektor 𝑏 . Dengan menyubstitusikan 𝑐 = 𝑎 .𝑏
𝑏 dan 𝑒 = 𝑏
𝑏 ke persamaan 𝑐 = 𝑐 𝑒 , diperoleh:
𝑐 = 𝑎 .𝑏
𝑏 . 𝑏
𝑏 𝑐 = 𝑎 .𝑏
𝑏 2 . 𝑏 .
11 2. Proyeksi Vektor 𝒃 pada Vektor 𝒂
𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 𝑐𝑜𝑠 = 𝑏 𝑐𝑜𝑠
a. Proyeksi skalar orthogonal vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 ditentukan oleh: 𝑑 = 𝑎 .𝑏
𝑎
b. Proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 ditentukan oleh: 𝑑 = 𝑎 . 𝑏
𝑎 2 . 𝑎
2.5 Soal Latihan
1. Diberikan Vektor 𝑎 = 𝑥𝑖 − 3𝑥𝑗 + 6𝑦𝑘 dan 𝑏 = 1 − 𝑦 𝑖 + 3𝑗 − (1 + 𝑥)𝑘 dengan 𝑥 > 0 Jika 𝑎 dan 𝑏 sejajar, maka 𝑎 + 3𝑏 = ...
2. Diketahui segitiga ABC. Titik 𝑃 di tengah 𝐴𝐶 , dan 𝑄 pada 𝐵𝐶 sehingga 𝐵𝑄 = 𝑄𝐶 . Jika 𝐴𝐵 = 𝑐 , 𝐴𝐶 = 𝑏 , dan 𝐵𝐶 = 𝑎 , maka 𝑃𝑄 = ...
3. Agar vektor 𝑎 = 2𝑖 + 𝑝𝑗 + 𝑘 dan 𝑏 = 3𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘 saling tegak lurus, maka nilai 𝑝 adalah ...
4. Diketahui 𝑢 = (𝑎, −2, −1) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑎, −1). Jika vektor 𝑢 tegak lurus pada 𝑣 , maka nilai 𝑎 adalah ...
5. Diketahui vektor 𝑢 = −𝑝2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 dan 𝑣 = 𝑝𝑖 + 𝑝𝑗 − 5𝑘 dengan −2 < 𝑝 < 2. Nilai maksimum 𝑢 . 𝑣 adalah ...
6. Vektor proyeksi dari vektor (2,1,0) pada (3,1,2) adalah ...
7. Nilai 𝑝 agar vektor 𝑝 𝑖 + 2 𝑗 − 6 𝑘 dan 4 𝑖 − 3 𝑗 + 𝑘 saling tegak lurus adalah ...
8. Diketahui 𝑢 = 3 𝑖 − 2 𝑗 + 2 𝑘 dan 𝑣 = 𝑖 + 2 𝑗 + 𝑘 . Tentukan vektor 𝑤 yang memenuhi kesamaan 3𝑢 − 2𝑣 = 𝑤 .
Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(−2,4,0), 𝐵(3, −2,1), dan 𝐶(−1,5, −3).
9. Tentukan vektor 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 10. Hitunglah hasil 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶
11. Diketahui 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 dan 𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘 . Tentukan 𝑎 + 𝑏
12. Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(−2, −1, −1), 𝐵(−1,4, −2),dan 𝐶(5,0, −3).
Tentukanlah proyeksi vektor orthogonal vektor 𝐴𝐵 pada vektor 𝐴𝐶
12
DAFTAR PUSTAKA
http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_(spasial)
http://unipa2013.blogspot.com/2013/09/aplikasi-vektor-dalam-kehidupan-sehari.html Jeroanayam. (2014). Wangsit Pejuang SBMPTN. Serang: Kaskuser Education.
Rosyidah, H. dan Hastuti, P. (2006). Matematika SMA/MA Kelas 3 semester gasal, Jawa Tengah: KREATIF.
13
BIODATA
Nama saya Rahmat Nopiawan, tempat tanggal lahir saya Indramayu 20 November 1995. Alamat asal saya Blok Punduan RT 24 RW 15 Desa Mekarjaya Kecamatan Gantar Kabupaten Indramayu, karena melanjutkan ke perguruan tinggi jadi Alamat tinggal sekarang Jalan Kandang Perahu Kelurahan Karya mulya RT 04 RW 11, saya tinggal dengan teman saya disini untuk sementara waktu. Riwayat Pendidikan saya yaitu, SD Negeri Punduan, SMP Negeri Satu Gantar, SMA Negeri Satu Gantar.
Nama saya Asep Lukman Hakim, umur saya kurang lebih 19 tahun. Saya lahir di Cirebon pada tanggal 8 bulan Desember tahun 1995. Saya tinggal bersama kedua orang tua dan mempunyai 1 adik.
Sekarang saya sedang melanjutkan S1 di Universitas Unswagati dan mengambil jurusan FKIP Pendidikan Matematika. Riwayat
pendidikan saya, perjalanan pendidikan saya, saya pernah sekolah di SD Negeri Kartini Cirebon, lalu melanjutkan ke SMP Negeri 4 Cirebon, lalu melanjutkan ke SMA Negeri 6 Cirebon.
Nama saya Durohman, biasa dipanggil Eman tempat tanggal lahir saya di Indramayu,13 November 1992. Alamat saya di: ds.
Limpas Gg. Kyai Ali yahya Rt.05/Rw 02 kec. Patrol Kab.
Indramayu jawa Barat. Riwayat pendidikan saya yaitu SDN III LIMPAS, SMP NEGERI 1 ANJATAN, SMA NEGERI 1 ANJATAN.
