• Tidak ada hasil yang ditemukan

Modul matematika vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Modul matematika vektor "

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Tri Wahyu Suciati, S.Pd. ; Hilyatun Nadzifah, S.Pd. ; Bambang Wahyudi, S.Pd. ; Endah Setya Prihati, S.Pd Saiful Arif, S.T. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.

A. Vektor di R2 ( Bidang )

I. PENGERTIAN

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil cetak tebal, misal a, b dan c

atau dengan menggunakan anak panah diatasnya, misalnya →

a, →

b atau →

c. Apabila dituliskan dengan dua huruf, maka dengan menggunakan huruf besar

dan tanda anak panah diatasnya. Misal : AB,CD atau EF

Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah gaya dan kecepatan.

Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari dicontohkan dengan jarak/ panjang, luas, isi dan temperatur.

Perhatikan gambar berikut:

Secara Geometri, suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas garis berarah.

Pada gambar disamping ruas garis AB

diwakili oleh vektor a dengan A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujungnya dan besar/panjang vektor tersebut 4 satuan,

yaitu a = AB =4

a. Menyatakan suatu vektor

Perhatikan Gambar 1.

Misalkan vektor OA digambarkan dalam koordinat kartesius dengan A pada pangkal koordinat (0,0) dan A pada (a1, a2), maka

vektor OA dapat dinyatakan sebagai : A

B

a

X

O

A (a1, a2)

Y

a

Gambar 1

(2)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

• Vektor baris, yaitu OA = a = (a1, a2) • Vektor kolom, yaitu OA = a = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

2 1

a a

• Vektor basis disebut juga vector komponen, yaitu

OA = a = a1i + a2j dengan i dan, j masing-masing adalah vektor basis pada arah x dan y.

Perhatikan gambar 2.

Vektor AB = OBOA = b - a =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− −

2 2

1 1

a b

a b

b. Besar atau Panjang

Pada gambar 1, jika vektor OA=a = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

2 1

a a

, maka

besar/ panjang vektor OA= |OA| = |a|= a12+a22

Pada gambar 2 , besar vektor AB = |AB| = (b1a1)2+(b2a2)2

Contoh :

Tentukan besar vektor a jika a = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

−4 3

,

Jawab :

Besar vektor a = |a| = 32 +(4)2 = 9+16 = 25=5

c. Kesamaaandua vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah

yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a =

b

Contoh :

Diketahui u=(mn)i+(2mn)j dan v =6i+3j. Tentukan nilai m dan n

yang memenuhi jika u = v.

Jawab :

j n m i n m

u=( − ) +(2 − ) dan v =6i+3j serta u = v, maka:

m – n = 6 ...(1)

2m – n = 3 ...(2)

dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka:

X

B(b1,b2)

A (a1, a2)

Y

(3)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Vektor satuan dari a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan searah

dengan vektor

a

. Jika a = ⎟⎟

ditentukan dengan ketentuan :

e =

Tentukan vektor satuan dari vektor ⎟⎟

Panjang vektor dari vektor ⎟⎟

II.Operasi aljabar pada vektor

a. Penjumlahan Vektor

Dalam operasi penjumlahan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan.

Misalkan vektor a = ⎟⎟

Diketahui ⎟⎟

b. Pengurangan Vektor

Dalam operasi pengurangan, hanya komponen sejenis yang dikurangkan.

(4)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Diketahui ⎟⎟

c. Perkalian vektor dengan skalar

Perhatikan vektor berikut.

Misalkan a adalah vektor bukan nol, maka:

• 3a adalah suatu vektor yang panjangnya 3 kali vektor a dan arahnya searah vektor a.

• –2a adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya berlawanan arah dengan vektor a.

Jika vektor a = ⎟⎟

d. Perkalian skalar antara dua vektor

Misalkan diketahui vektor a = ⎟⎟

, maka perkalalian

skalar (perkalian titik atau dot product) antara dua vektor a, dan b

dirumuskan oleh:

1. ab = a1b1 + a2b2

2. ab = |a| |b| cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh

a dan b

Contoh :

Diketahui ⎟⎟

(5)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Jawab :

a. ab = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

6 8

12 5

= (5.8) + (12.6) = 40 + 72

= 112

b. |a| = 52+122

= 14425+

= 169

= 13

|b| = 82 +62

= 64+36

= 100

= 10

ab = |a| |b| cos θ, maka

b a

b a

. cosθ = •

= 10 . 13

112

= 130 112

e. Sudut-sudut khusus yang dibentuk antara dua vektor

Dari persamaan

ab = |a| |b| cos θ

b a

b a

.

cosθ = •

i) Jika θ = 90o, maka cos θ = 0. Sehingga ab =0 Seperti tampak pada gambar berikut ini

Contoh :

Jika ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

3

x

u dan ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

x

v 2 saling tegak lurus, tentukan nilai x.

Jawab :

v

u⊥ , maka uv = 0, sehingga 0 2

3 ⎟⎟=

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

x x

2x + (– 3x) = 0 –x = 0

x = 0

ii) Jika θ = 0o (berarti vektor a berhimpit dengan b), maka cos θ = 1. Sehingga ab =|a| . |b|

Seperti tampak pada gambar berikut ini

b

a

(6)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Contoh :

Jika ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

3 4

u dan ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

x

v 1 membentuk sudut 0o, tentukan nilai x.

Jawab :

v

u⊥ , maka uv =|u|.|v| , sehingga 2 2 2 2

1 . ) 3 ( 4 1 . 3 4

x

x⎟⎟= + − +

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

(4.1)+(-3x) = 25. 1+x2

– 3x + 4 = 25+25x2

Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh :

(- 3x + 4)2 = ( 25+25x2 )2 9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2

16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0

x = 4 3

iii)Jika θ = 180o (berarti vektor a berlawanan arah dengan b), maka cos θ = - 1. Sehingga ab = - |a| . |b|

Seperti tampak pada gambar berikut ini

Contoh :

Jika ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

3 4

u dan ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

x

v 1 membentuk sudut 180o, tentukan nilai x.

Jawab :

v

u⊥ , maka uv = - |u|.|v| , sehingga 2 2 2 2

1 . ) 3 ( 4 1

3 4

x

x⎟⎟=− + − +

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

(4.1)+(-3x) = - 25. 1+x2

- 3x + 4 = - 2

25 25+ x

Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh :

(- 3x + 4)2 = (- 25+25x2 )2

9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2

16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0

x = 4 3

(7)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

L A T I H A N 1

1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut:

a. a = ⎟⎟

Tentukan vektor berikut :

a.5a + 2b

b.-3c + 4a

c.2d - 4b

3. Tentukan cosinus sudut dari dua vektor berikut ini !

a. a = ⎟⎟

4. Tentukan vektor satuan dari

(8)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

B. Vektor Di R3 ( Ruang)

I. Sistem Koordinat dalam Ruang

Sistem koordinat ruang terdiri dari tiga sumbu misal sb x, sb y dan sb z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu tersebut bertemu pada satu titik pangkal O. Sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif tampak seperti gambar. Sedangkan untuk arah yang berlawanan ditetapkan sebagai arah negatif.

Titik P disamping mempunyai koordinat ruang (xp, yp ,zp).

dan vektor OP dapat dinyatakan dengan :

• Vektor kolom

OP = p =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

p p p

z y x

• Vektor baris

OP = p = ( xp, yp ,zp )

• Vektor basis

OP = p = xpi + ypj + zpk, dengan i , j dan k masing-masing adalah vektor basis pada arah x, y dan z.

• Vektor posisi

Misalkan OA dan OB masing-masing adalah vektor posisi titik A dan B

terhadap O, dan OA = a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

a a a

, OB = b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

b b b

maka

Vektor posisi AB = OB- OA= b - a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

b b b

-

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

a a a

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − −

3 3

2 2

1 1

a b

a b

a b

Contoh:

Nyatakan vektor

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

4 3 2

a dalam bentuk vektor basis!.

Jawab:

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

4 3 2

a = 2i + 3 j + 4k

X

Y Z

P

xp

yp

zp

(9)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

II. Operasi Aljabar pada Vektor di R3

Seperti pada vektor di R2, sifat-sifat dan operasi aljabar pada vektor juga dapat diaplikasikan pada vektor di R3

a. Besar atau Panjang Vektor

Misalkan vektor a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

a a a

dan b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

b b b

maka besar vektor a = |a| = a12 +a22 +a32

dan besar vektor b = |b | = b12+b22 +b32

Contoh :

Tentukan besar vektor a jika a =

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛−

5 4 3

,

Jawab :

Besar vektor a = |a| = (3)2+42+52 = 50=5 2

b. Kesamaaandua vektor

Sama seperti pada vektor pada bidang, dua vektor dikatakan sama

apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a

dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b

c. Vektor satuan

Seperti pada vektor di R2 , vektor satuan dari a adalah suatu vector yang

besarnya 1 satuan searah dengan vektor

a

. Jika a =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

3 2 1

a a a

, maka vektor

satuan dari a ditulis e, ditentukan dengan ketentuan :

e = | |a

a

=

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

+ +

3 2 1

2 3 2 2 2 1

1

a a a

a a a

d. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Seperti pada vektor di R2, dalam operasi penjumlahan atau pengurangan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan atau dikurangkan.

Misalkan vektora =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

a a a

dan b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1

b b b

(10)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

e. Perkalian vektor dengan skalar

Seperti perkalian vektor dan skalar di R2, setiap komponen dikalikan dengan skalar tersebut.

Jika vektor a =

f. Perkalian skalar antara dua vektor

Seperti pada pembahasan perkalian skalar dua vektor di R2, pembahasan ini juga berlaku untuk perkalian skalar dua vektor di R3.

Misalkan diketahui vektor a =

, maka perkalian skalar

(11)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

g. Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor a =

merupakan vektor di R3

dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah θ dapat ditentukan dengan rumus :

b

Diketahui

b . Hitunglah besar sudut antara vektor

(12)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

L A T I H A N 2

1. Diketahui

Tentukanlah vektor-vektor berikut

a. - a

v , tentukan besar dari vektor berikut :

a. u+2v

b. 5v−3u c. −2u−3v

3. Jika diketahui |a| = 4, |b| = 5 dan ∠(a,b) = sudut antara vektor a dan b adalah 60o, maka tentukanlah:

a. a. a

posisi dari titik P dan Q, tentukanlah nilai dari p . q

7. Tentukan vektor satuan dari :

(13)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

9. Diketahui p =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛−

0 1 1

dan q =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

−7 0 1

. Tentukan besar cosinus sudut yang

dibentuk antara p dan q.

10.Diketahui vektor a= - i+ 2 j + 2k dan b= 3i – 5 j + 2k serta c = j + 8k.

Jika c = p a+ q b, maka nilai tentukan nilai dari p dan q.

U J I K O M P E T E N S I

A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!

1. Diketahui vektor ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

24 10

PQ

maka panjang vektor PQ adalah ...

A. 23

B. 24 C. 25 D. 26 E. 27

2. Diketahui u =6ij+2k dan

k j i

v =−2 +3 −2 maka nilai ...

.v= u

A. -21 B. -19 C. 3 D. 5 E. 10

3. Vektor a = (5, 4, 0), vektor br = (2, -1, 0) dan cr = (-3, 8, 0). Jika

b q a p

cr = r + r, maka p + q = … A. –3

B. –2 C. –1 D. 2 E. 3

4. Jika vektor a =a1i +a2j +a3k , maka panjang vektor a dirumuskan

A.a1 + a2 + a3

B. a12+ a22+ a32

C. a1+a2+a3

D. a1.a2.a3

E. a12+a22+a32

5. Diketahui a = (2, 3) dan b = (4, –1) nilai |2b – 3a| = …

6. Diketahui |a| = 2, (a - b).(a+ b) = -1 dan b. (b-a) = 5 sudut antara

a dan b adalah... A. π

B. 2 π

C. 3 π

D. 4 π

E. 6 π

7. Apabila vektor a= 2i−3j−4k dan

k j i

b =3 −2 +5 dan c =4i+ j−3k

maka a+2bc adalah … A. 2i - 7j + 8k

B. 3i - 8j + 8k

C. 5i - 6j + 3k

D. 4i - 7j + 6k

E. 4i - 8j + 9k

A. 4 C. 5 3 E. 5 6

(14)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

8. Diketahui a= 2i+ j+3k dan

k j i

b = +3 −2 , maka nilai cos sudut yang dibentuk a dan b = ...

A. 6 1

B. 4 1

C. 3 1

D. 14

1

E. 3 2

9. Jika A(4,7,0) , B(6, 10, -6) dan C( x, 9,0) agar sudut BAC = 90o, maka nilai x adalah...

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

10.Jika a=(−1,1,2) dan b=(2,1,−1) maka besar sudut antara a dan b

adalah ... A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o E. 240o

11.Diketahui panjang vektor a = 5

dan b = 6 serta sudut yang

dibentuk oleh a dan b adalah 6

π

,

maka a . b adalah ……

A. 10 3 B. 12 3 C. 13 3

D. 14 3 E. 15 3

12.Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j + 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit sudut α, tan α=…

A. – ⅓√3 B. ⅓√3 C. ½√3

D.1 E. √3

13.Bila |a| = 7, |b|=8 , a.(b+a)=77, maka sudut antara a dan b sebesar …

A 0º B.15º C.30º D.45º E.60º

14.Diketahui vektor a =i+2j+mk

dan b=2i−10j+2k. Jika nilai 0

.•b =

a , maka nilai m adalah ... A. 18

B. 9 C. 6 D. 3 E. -16

15.Jika vektor a dan vektor b

membentuk sudut 60° , |a| = 4 dan |b| = 10, maka a.(b+a)=

A. 23 B. 24 C. 36 D.24√3 E. 36√3

16.Diketahui vektor a = (6, x, 14) dan b = (y, 4, 7) segaris, maka nilai

y – x = .... A. –5 B. –2 C. 3 D. 4 E. 6

17.Jika ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− =

3 2

a , ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

0 1

b dan ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− =

4 5

c ,

maka a+bc adalah . . . A. 17

B. 15

C. 13

D. 7

E. 5

18.Jika vektor a danbmembentuk

sudut 1200,a = 2 danb = 5, maka nilaib (b-- a) adalah...

(15)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

19.Diketahui B ( 1, –2,1 ) dan C( 7, p–1, –5 ), maka nilai p agar dari

vektor b dan vektor c tegak lurus adalah …

A. 2 B. 3 C. – ½ D. 5 E. –5

20.Diketahui a = 3, b =1 dan 1

= −b

a . Maka panjang vektor

= +b

a ….

A. 3 B. 5 C. 7 D. 2 2 E. 3

B. Kerjakan soal berikut dengan singkat dan jelas !

1. Diketahui dua vektor a=2i −3j +4k dan b=5j +k , tentukan nilai a .b

2. Tentukan besar sudut antara

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

4 2 3

a ,

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− =

3 3 2

b

3. Diketahui vektor-vektor p = 2i – 3j + 5k dan q = -3i -5j + 2k mengapit sudut α, tentukan nilai sin α

4. Bila |a| = 7, |b|=8 , a.(b+a)=77, maka tentukan besar sudut antara a dan b.

5. Diketahui vektor a=2i -4 j−2kdan vektor b =−i - j−2k. Tentukan besar sudut antara dua vektor tersebut !

6. Jika diketahui a = 3, b = 4 dan sudut antara keduanya θ= 600 , maka tentukan nilai dari ab

7. Jika sudut antara vektor

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− =

3 1 2

a

dan vektor

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − =

2 3

1

b

adalah α, maka

tentukan besarnya α

8. Diketahui vektor ar=ir+2rj+mkr dan br=2ri −10rj+2kr, Tentukan nilai m jika

b ar•r= 0

9. Jika vektor a =2i−2j+k, maka tentukan a

10.Tentukan AB, jika A(2, –3 , 1) dan B(–1, –3, 5)

(16)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

GALILEO, TOKOH YANG DIHUKUM

KARENA KECERDASANNYA

Pada tanggal 15 Februari 1564 Galileo lahir Di Pisa, Italia sebagai anak lelaki dari Vincenzo Galilei, ahli musik dan matematika yang miskin. Ayahnya berharap kelak Galileo menjadi seorang dokter karena gajinya begitu besar, berpuluh-puluh kali gaji ahli matematika. Karena itu, pada usia 17 tahun ia masuk Universitas Pisa jurusan Kedokteran.

Namun, akhirnya ia bosan kuliah Kedokteran. Ia mempelajari Matematika dari seorang guru di istana Tuscana bernama Ostillo Ricci. Lalu, pada usia 21 tahun ia berhenti kuliah karena kekurangan biaya.

a kembali ke Florence dan memulai karirnya sebagai pengarang. Karyanya mengenai neraca hidrostatik (1586) dan pusat gaya berat pada benda (1589) membuatnya menjadi begitu terkenal di seluruh Italia. Akhirnya, ia diangkat menjadi dosen di Universitas Pisa. Lalu, ia menjadi guru besar Matematika di Universitas Padua pada tahun 1592.

Walaupun begitu, kehidupannya tetap miskin, bahkan ia tak mampu menikah. Namun, ia mempunyai dua anak perempuan dan seorang anak laki-laki hasil hubungannya dengan Marina Gamba, pembantunya sendiri.

Pada tahun 1608 Hans Lippershey, seorang ahli optika Belanda, menemukan teleskop, namun tidak bersedia menerima patennya. Sehingga, kemudian Galileo pun berusaha membuat teleskop sederhana dan ia berhasil menciptakan teleskop dengan kemampuan pembesaran 33 kali. Dengan teleskopnya ini ia berhasil menemukan cincin Saturnus, empat buah bulan Yupiter, gunung-gunung dan kawah di bulan sehingga ia menjadi begitu terkenal di seluruh dunia hingga sekarang. Ia juga menemukan kenyataan bahwa galaksi sebenarnya adalah gugusan bintang yang jumlahnya berjuta-juta. Ia pun melakukan percobaan dengan menjatuhkan benda berbagai ukuran dan berat dari menara Pisa di hadapan para mahasiswa dan ilmuwan. Ia melakukannya untuk membuktikan bahwa teori Aristoteles yang mengatakan bahwa benda berat akan jatuh lebih dulu ke bumi daripada benda ringan merupakan teori yang salah.Hasil percobaan itu pun menunjukkan ternyata teori Aristoteles tersebut memang salah. Selain itu, dengan menggunakan teleskopnya ia juga berhasil membuktikan bahwa teori Aristoteles dan Ptolemeus mengenai benda-benda angkasa tidak benar. Aristoteles beranggapan bahwa permukaan bulan rata dan memancarkan cahaya. Ptolemeus mengatakan bahwa bumi tidak bergerak, matahari dan bintang-bintanglah yang bergerak mengelilingi bumi.

Saat itu para tokoh agama dan dosen-dosen universitas di seluruh Italia mengganggap ajaran Aristoteles dan Ptolemeus adalah ajaran yang paling benar. Karena, mereka salah menafsirkan sepenggal ayat yang tedapat dalam Kitab Suci. Sementara itu, Galileo tetap mempertahankan teorinya dan

mendukung teori Copernicus yang mengatakan bahwa matahari adalah pusat tata surya. Akibatnya, ia ditangkap para tokoh agama, diadili, dan dijatuhi hukuman sebagai tahanan rumah.

Galileo meninggal pada usia 78 tahun di Arcetri pada tanggal 8 Januari 1642 karena demam. Namun, meskipun demikian teori-teorinya tetap dipakai seluruh orang di dunia hingga kini. Ia adalah orang yang pertama di dunia yang menggunakan perhitungan matematika dalam menganalisis mekanika. Ia juga orang pertama yang menghubungkan fisika dan astronomi dengan matematika, bukan dengan filsafat tradisional.

Ia merupakan orang yang menemukan hukum benda jatuh, hukum bandul, hukum gerak yang selanjutnya dirumuskan oleh Newton. Ia juga penemu termometer, teleskop ( teropong bintang), dan teori

Referensi

Dokumen terkait

Perkalian antara vektor dan skalar memiliki arti yang sederhana, yaitu hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor a, dituliskan sebagai ka, didefinisikan sebagai sebuah

Terkait dengan struktur dari V dan W , maka didefinisikan suatu operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.. Definisi operasi tersebut, dapat

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang

 Menelaah konsep matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan dua matriks dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar

Berdasarkan pada pembuktian dari operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks fuzzy, maka diperoleh kesimpulan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar

4. Tunjukkan bahwa U adalah ruang bagian dari V dibawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.. Buktikan bahwa himpunan bagian di bawah ini bukan ruang

Crispina Pardede (Oktober 2011) K5.Operasi penjumlahan bersifat komutatifpada K6.Operasi perkalian bersifat asosiatifpada K7.Operasi perkalian bersifat distributifterhadap

Karena himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar memenuhi delapan aksioma pada Definisi 2.2.5, maka dengan