RPP MATEMATIKA KELAS XII IPA

(1)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Nama Sekolah : SMA PGRI 2 Kajen Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Program : XII / IPA

Semester : Ganjil

Standar Kompetensi: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

Indikator : 1. Mengenal arti Integral tak tentu

2. Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan

3. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

4. Mengenal arti integral tentu

5. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral

6. Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu

Alokasi Waktu : 4 jam pelajaran (2 pertemuan). A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.

b. Peserta didik dapat menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.

c. Peserta didik dapat menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.

B. Materi Ajar

a. Aturan rantai untuk mencari turunan fungsi. Definisi

Contoh :

1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = sin x sebab F’_{(x) =}__{sin x} 2. a(x) = 2x2_{anti turunan dari f (x) = 4x sebab a}’_{(x) = 4x}

3. v(x) = 1₃ x 3_{anti turunan dari g(x) = x}2_{sebab v}’_{(x) = x}2

Definisi

(2)

b. Pengertian integral.

Untuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi turunan yang telah dipelajari sebelumnya.

Definisi :

Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu pada interval [a, b] diperoleh

dx x F d( ( ))

= F’(x) = f(x). Antiturunan dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis f(x) dx

Secara umum dapat kita tuliskan : ∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C

Catatan:

f(x) dx : disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x” f(x) : disebut integran (yang diitegralkan)

F(x) : disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok) C : disebut konstanta / tetapan integrasi

Perhatikan tabel dibawah ini ! Pendiferensialan

F(x) F′(x) = f(x)

x2 _{+ 3x} x2_{+ 3x + 2} x2_{+ 3x - 6} x2_{+ 3x +} ₃ x2_{+ 3x +C, dengan} C = konstanta



R

2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x + 3

Pengintegralan

Berdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh F′(x) yang sama, sehingga dapat kita katakan bahwa jika F′(x) = f(x) diketahui sama, maka fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x) dari F′(x) yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan (anti turunan) dan lebih dikenal dengan nama operasi integral.

c. Integral tak tentu.

(3)

secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut: Integral fungsi aljabar

1.

_

k _d_x_{= k}_x_{+ C}

2. ,

1

1 C n

x dx

xn n _

 





bila n ≠ -1

3. ,

` 1

` 1 _c x n

a dx

axn n _



 



dengan n 1

4.

_

(f(x)g(x))dx

_

f(x)dx

_

g(x)dx

5.

_

a.f(x)dx a

_

f(x)dx,_{dimana a konstanta sebarang.} Integral fungsi trigonometri

1.

_

sinxdx cosxC

2. ax b C

a dx b

ax   



sin( ) 1cos( )

3.

_

cosxdxsinxC

4. ax b C

a dx b

ax   



cos( ) 1sin( )

Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan

sebagai berikut berikut ini:

1. sin2_x_+cos2_x_{= 1 4. sin}_x_{. cos}_x₌

2 1

sin 2x

2. sin2_x₌

2 1

(1- cos 2x) 5. 1 – cos x = 2 sin2 ₂x

1

3. cos2_x₌

2 1

(1 + cos 2x ) 6. 1 + cos x = 2 cos2₂ x

1

Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu. Perhatikan contoh berikut :

Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut !

Penyelesaian:

Percepatan molekul a(t) = -12t +24 Sehingga : v =

_

a_dt

v =

_

(12t24)_dt v = -6t2_{+ 24}_t_{+ C}

(4)

Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2_{+ 24}_t_{+ 20}

d. Integral tertentu.

Integral tertentu dinotasikan dengan



b

a

x

f ( ) dx =





b a

x

F( ) = F(b) – F(a)

Keterangan:

f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x) a, b adalah batas-batas pengintegralan [a, b] adalah interval pengintegralan C. Metode Pembelajaran

Ceramah, tanya jawab, diskusi. Strategi Pembelajaran

Tatap Muka Terstruktur Mandiri

 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

 Menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan

trigonometri.

 Siswa dapat Menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.

D. Langkah-langkah Kegiatan

 Pertemuan Pertama Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai turunan dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat mengetahui cara menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

Dalam kegiatan eksplorasi :

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri berdasarkan aturan pengintegralan.

(5)

c. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai cara menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.

 Elaborasi

Dalam kegiatan elaborasi,

a. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai penggunaan aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, penentuan nilai stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi yang turunannya menggunakan aturan rantai, penentuan integral tak tentu, penentuan turunan dari fungsi trigonometri, penentuan integral fungsi trigonometri, penentuan rumus fungsi jika turunan fungsi dan nilai fungsi diketahui, dan penentuan persamaan kurva jika diketahui turunannya dan sebuah titik pada kurva. b. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan aturan rantai

untuk mencari turunan fungsi, penentuan nilai stasioner dan jenisnya dari suatu fungsi, penentuan integral tak tentu, penentuan turunan dari fungsi trigonometri, penentuan integral fungsi trigonometri, penentuan rumus fungsi jika turunan fungsi dan nilai fungsi diketahui, dan penentuan persamaan kurva jika diketahui turunannya dan sebuah titik pada kurva dan mengerjakan tugas individu

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal dari beberapa soal yang dikerjakan.

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku paket sebagai tugas individu.

 Konfirmasi

Dalam kegiatan konfirmasi, Siswa:

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui. b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral, dan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral, dan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri dari soal-soal yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain.

(6)

Apersepsi : - Mengingat kembali mengenai turunan fungsi aljabar dan trigonometri dan aturan pengintegralan (integral tak tentu). - Membahas PR.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar dan menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai keadaan lingkungan yang berhubungan dengan luas daerah serta penjelasan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar dan cara menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral. b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan

penjelasan mengenai integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar dan menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.

 Elaborasi

a. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai cara menyatakan luas daerah di bidang datar dengan integral tertentu, dan mengenai penghitungan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan) integral.

b. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan limit jumlah untuk menghitung luas daerah pada bidang datar, penggunaan integral tertentu untuk menyatakan luas daerah pada bidang datar, dan penentuan/penghitungan integral tertentu sebagai tugas individu.

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal yang diberikan).

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dapat mengerjakan soal-soal mengenai integral tertentu pada kuis yang dilakukan.

f. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral, integral tak tentu, dan integral tertentu untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya.

 Konfirmasi

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral, integral tak tentu, dan integral tertentu.

(7)

E. Alat dan Sumber Belajar Sumber :

- Buku paket, yaitu buku Matematika SMA 3A Penerbit Erlangga - LKS Kreatif.

Alat : - Spidol - Papan Tulis F. Penilaian

Teknik : tugas individu, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat.

Instrumen Penilaian :

1. Tentukan hasil integral berikut !





3. Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan _3_x2 _ 8_x_5

dx dy

, maka tentukan persamaan kurva tersebut ! 4. Tentukan :



KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN

No Kunci Jawaban Skor

(8)

2.

ACHMAD JAENUDIN, S.Pd NIY. 201877

Kajen, 27 Juli 2015

Guru Mata Pelajaran Matematika

MUSTOFA, S.Pd. NIY. 201903

(9)

Semester : Ganjil

Kompetensi Dasar : 1.2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

Indikator : 1. Menentukan integral dengan cara substitusi aljabar.

2. Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri.

3. Menentukan integral dengan rumus integral parsial.

a. Peserta didik dapat menentukan integral dengan cara substitusi aljabar. b. Peserta didik dapat menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri. c. Peserta didik dapat menentukan integral dengan rumus integral parsial. B. Materi Ajar

Pengintegralan dengan substitusi:

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.



dx



f u du

dx du u

f( ) ] ( )

[

- Pengintegralan dengan substitusi aljabar. Contoh :

Tentukan

_

₂x₍x2 ₃₎4dx ! Penyelesaian:

Misalkan u = _x2 _3_{, maka} _x

dx du

2

 _atau

x du dx

2 

Sehingga diperoleh,

_

₂x₍x2 ₃₎4dx =

_

x du u x

2

2 4

=

_

u4du = u5 C

5 1

= ₍x2 ₃₎5C

(10)

- Pengintegralan dengan substitusi trigonometri. Contoh :

Tentukan

_

sin3x.cosxdx ! Penyelesaian:

Misalkan u = sin x, maka x dx

du

cos

 _atau

x du dx

cos 

Sehingga diperoleh,

_

sin3x.cosxdx =

_

x du x

cos cos u3

=

_

u3du = u4 C

4 1

= sin4xC

4 1

- Integral parsial.

Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat

diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut.

y = u .v



dy = du.v + u.dv  dy =  v du +  u dv

y =  v du +  u dv u.v =  v du +  u dv  u dv = u.v -  v du

pengintegralan parsial integral tak tentu pengintegralan parsial integral tertentu



u v′ = uv -

_

u′v

_

b

a

u v′ =

 

b a

uv -

_

b

a

u′v



u dv = uv -

_

v du

_

b

a

u dv =

 

b a

uv -

_

b

a

v du

Contoh soal : Tentukan

_

x2sinx

dx ! Penyelesaian:

(11)

dv = sin x dx  v

_

sinxdx_{= - cos}_x sehingga diperoleh,

_

x2sinx

dx = x2_{. (-cos}_x_{) -}

_

₍_ _cos_x₎₂_xdx = x2_{. (-cos}_x_{) +}

_

_cos_x_.₂_xdx = - x2_.cos_x_{+ 2 (}_x_.sin_x_-

_

_sin_xdx₎ = - x2_{. cos}_x_{+ 2}_x_{. sin}_x_{+2 cos}_x_{+ C} Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk

_

udv,_{yang turunan ke-k dari} u adalah 0 dan integral ke- k dari v selalu ada.

Cara 2:

Diturunkan Diintegralkan + x2 _{sin x}

- 2x - cos x + 2 - sin x - 0 cos x

Deferensialkan sampai nol Sehingga diperoleh,

_

x2sinxdx

= - x2_{. cos}_x_{+ 2}_x_{. sin}_x_{+2 cos}_x_{+ C}

C. Metode Pembelajaran

 Menentukan integral dengan cara substitusi aljabar

 Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri.

 Siswa dapat Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

Pertemuan Pertama, Kedua dan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : - Mengingat kembali aturan pengintegralan. - Membahas PR.

Motivasi : Menyelesaikan soal-soal integral yang penyelesaiannya tidak dapat langsung menggunakan rumus integral (misalkan fungsi pangkat tinggi), yaitu dengan menggunakan cara substitusi (substitusi aljabar, substitusi trigonometri., integral parsial).

Kegiatan Inti

(12)

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai cara menentukan integral dengan substitusi aljabar, substitusi trigonometri, maupun menggunakan rumus integral parsial, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut.

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai cara menentukan integral dengan substitusi aljabar, substitusi trigonometri, maupun menggunakan rumus integral parsial.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh mengenai penyelesaian soal-soal integral dengan cara substitusi aljabar, substitusi trigonometri, dan penyelesaian soal-soal integral dengan menggunakan rumus integral.

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penyelesaian soal-soal integral dengan cara substitusi aljabar, substitusi trigonometri, maupuan dengan menggunakan rumus integral, sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam Uji Kompetensi 5.

 Konfirmasi

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai pengintegralan dengan substitusi, yaitu substitusi aljabar, substitusi trigonometri, dan integral parsial.

b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi. E. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :

Alat : - Spidol - Papan Tulis F. Penilaian

Teknik : tugas individu.

Bentuk Instrumen : uraian singkat. Instrumen Penilaian :

1. Dengan metode substitusi hitunglah a.

_

₂x₍₄x2 ₁₎10 dx

b.

_

2sin5 xcosxdx

(13)

b.

_

xsinx dx

(14)

Mengetahui, Kepala Sekolah

Kajen, 27 Juli 2015

Semester : Ganjil

(15)

a. Peserta didik dapat menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

b. Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat. c. Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume

benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat. B. Materi Ajar

Penggunaan integral:

. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah. Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y y

y y = f(x)

x=a x=b

0 x

0 x=a x=b x

y =f(x) (a) ( b)

y y1 = f(x) y

y= sin x

y2 = g(x)

0 a b x 0 a b x

(c) (d)

Keterangan:

(a) Luas daerah di atas sumbu x (b) Luas daerah di bawah sumbu x (c) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva (d) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :

LA =



b

a

x f( )

dx LB =







a

b b

a

dx x f dx x

f( ) ( )

LC =

dx y y

b

a



( ₁  ₂)

LD =



b

a

xdx

(16)

Contoh soal :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: 1. y =2x - 2, untuk 0x2

2. y1= x2 dan y2 = 2x +3 3. y = cos x, untuk

2 3 2

 

 x

Penyelesaian: 1. y =2x - 2

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2 y= 2x-2

y L = L1 + L2

0 1 2 x -1

-2

L1=



 

2 1

) 2 2

( x dx



_



2 _

1 2 ₂_x

x ( 22_-12_{)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1}

L2=



 

1

0

) 2 2

( x dx



₂



1 ₁2 ₂_.₁ ₁

0

2 _ _x _ _ __ x

Jadi luas L=1+  1 = 2 satuan luas

2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan y2 = 2x + 3

y=2x+3 y

9 y=x2 _{menentukan batas-batasnya} y1 - y2 = 0 jadi diperoleh x2_{- 2x-3=0 x}

1= -1 dan x2= 3

(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3) sebagai batas atas.

(17)

L =

_

atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya).

L = ₂

(18)

1.

Volume benda putar ,mengelilingi sumbu x

y y= f(x) V =

_

b

a

x f₍ ₎2

(

 _dxx

D C A f(x) B

V =

_

1

2

x

x y

 _{dx 0 a b x}

2. Volume benda putar , mengelilingin sumbu y y

V =

_

d

c

y f₍ ₎₎2

(

 _dy

BENTUK BIDANG DATAR HASIL PENGAMATAN

1. A

B C

2. C

B D

3. K L

M N

1. ▲ABC diputar dengan AB sebagai pusat sumbu putar. A

C′ C

2. ▲BCD, diputar dengan BD Sebagai pusat sumbu putar. C

D

C′

3.Persegi panjang ABCD diputar dengan KM sebagai pusat sumbu putar.

K L

M N B

B

(19)

V =

_

3. Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva.

V =



(

f

₁

(

x

)

2

(

f

₂

(

x

)

2

}

Contoh soal :

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh

satuan volume

(20)

=   _

 Menggunakan integral tertentu untuk

menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

 Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

 Siswa dapat

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar.

 Pertemuan Pertama, Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali mengenai aturan pengintegralan dan integral tertentu.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas daerah.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai penggambaran suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dan penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut.

(21)

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai penggambaran suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dan penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai penggunaan integral tertentu dalam penghitungan luas daerah di atas sumbu X, penghitungan luas daerah di bawah sumbu X, dan penghitungan luas antara daerah di atas sumbu X dengan di bawah sumbu X, serta mengenai penggunaan integral tertentu dalam penghitungan luas daerah antara dua kurva.

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan integral tertentu untuk penghitungan luas daerah antara kurva dengan sumbu X dan penghitungan luas daerah antara dua kurva, sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal dari dalam buku paket.

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam Uji Kompetensi (LKS Kreatif) sebagai tugas individu.

 Konfirmasi

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui. b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui.

Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai penggambaran suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dan penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan penggambaran suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dan penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat, dari soal-soal latihan.

 Pertemuan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : - Mengingat kembali mengenai aturan pengintegralan dan integral tertentu.

- Membahas PR.

Motivasi : Agar peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar.

(22)

 Eksplorasi

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut.

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu X, penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu Y, penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar antara dua kurva mengelilingi sumbu X, mengenai penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar antara dua kurva mengelilingi sumbu Y. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penggunaan integral

tertentu untuk menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu X, volume benda putar mengelilingi sumbu Y, volume benda putar antara dua kurva mengelilingi sumbu X, dan volume benda putar antara dua kurva mengelilingi sumbu Y, sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal dari “ buku paket.

f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku paket sebagai tugas individu.

g. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai pengintegralan dengan substitusi aljabar, substitusi trigonometri, maupun integral parsial, serta penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar, untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya.

 Konfirmasi

a. Menyimpulkan tentang hal-hal yang belum diketahui b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

 Pertemuan Keempat Pendahuluan

(23)

parsial, serta penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Motivasi : Agar peserta didik dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi mengenai pengintegralan dengan substitusi aljabar, substitusi trigonometri, maupun integral parsial, serta penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian.

 Elaborasi

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian.

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan

harian telah selesai.

 Konfirmasi

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang program linear.

Alat :

- Spidol

- Papan Tulis F. Penilaian

Teknik : tugas individu, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat.

Instrumen :

1. Tentukan luas daerah antara kurva y = _x3_{, sumbu X , x = -1 dan x = 1 !} 2. Tentukan luas daerah antara kurva y _x2_3x_{dan y = 2x + 2 !}

3. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2

x

y  , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 

(24)

4. Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2

x

y  _{dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh}₃₆₀_!

Penyelesaian : Y

2. Titik potong kedua kurva yaitu :

(25)

 

V satuan volume.

4.

Kajen, 27 Juli 2015

Semester : Ganjil

Standar Kompetensi: 2. Menyelesaikan masalah program linear. Kompetensi Dasar : 2.1. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear

dua variabel.

Indikator : 1. Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2. Menentukan penyelesaian sistem

(26)

A. Tujuan Pembelajaran

a. Peserta didik dapat mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel. b. Peserta didik dapat menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear

dua variabel.

Karakter siswa yang diharapkan :

 Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras. Demokratis.

 Kewirausahaan / Ekonomi Kreatif :

 Berorientasi tugas dan hasil, Percaya diri,Keorisinilan. B. Materi Ajar

Sistem pertidaksamaan linear. Bentuk umum :

ax + by < c ax + by > c ax + by  c ax + by  c x, y adalah variabel a, b, dan c



R

Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y  8 Jawab :

Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel sbb :

x 0 4

y 2 0

Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y (0,2)

DP

Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk pertidaksamaan 2x + 4y  8

4 2

(27)

B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan liniear dengan dua variabel.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.

Contoh :

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x + y  5

x + 2y  6 x  0 y  0 Jawab : x + y  5

X 0 5

Y 5 0

x + 2y  6

X 0 6

Y 3 0

DP

 Menentukan

penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

 Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

 Siswa dapat

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

D. Langkah-langkah Kegiatan Pendahuluan

x y

6 5

5

(28)

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai persamaan garis dan pembuatan grafiknya, serta cara menentukan titik potong dua garis.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai penjelasan arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan cara menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut. b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai penentuan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan penentuan sistem pertidaksamaan yang daerah himpunan penyelesaiannya diberikan pada gambar.

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai pengidentifikasian beberapa pertidaksamaan yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel, penentuan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan, serta penentuan sistem pertidaksamaan yang daerah himpunan penyelesaiannya diberikan pada gambar, sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku paket sebagai

tugas individu.

 Konfirmasi

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai sistem pertidaksamaan linear khususnya sistem pertidaksamaan linear dua variabel. b. Peserta didik dan guru melakukan refleksi.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear.dari soal-soal Uji Kompetensi Pada LKS Kreatif – Viva Pakarindo.

(29)

- LKS Kreatif. Alat :

- Spidol

Teknik : tugas individu. Bentuk Instrumen : uraian singkat. Instrumen :

1. Tentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut.

0 dan , 0 3 3 ,

3    



y x y x

x _.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

0 ; 0 ; 8 2 4 ; 6 3

2x y x y x y

2.

Hp.

x

3 2

y

2 4

Hp.

x y

4

8 2

4x y2 3 6   y x

2

(30)

PEDOMAN PENILAIAN

100

x TotalSkor JumlahSkor Nilai 

Kajen, 27 Juli 2015

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

ACHMAD JAENUDIN, S.Pd MUSTOFA, S.Pd.

(31)

Semester : Ganjil

Standar Kompetensi: 2. Menyelesaikan masalah program linear. Kompetensi Dasar : 2.2. Merancang model matematika dari masalah

program linear.

Indikator : 1. Mengenal masalah yang merupakan program linier

2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linier

3. Menggambar daerah fisibel dari program linier 4. Merumuskan model matematika dari masalah

program linier

a. Peserta didik dapat menentukan fungsi objektif beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear.

b. Peserta didik dapat membuat model matematika dari masalah program linear. B. Materi Ajar

Program linear dan model matematika.

Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi tujuan atau objektif.

Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika.

Contoh :

(32)

barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.

Jawab :

Kelas A Kelas B

Bagasi 60 kg 20 kg

Penumpang x orang y orang

Bagasi : 60x + 20y  1440 3x + y  72

Penumpang : x + y  48

Banyak penumpang tidak pernah negatif : x  0, y  0 Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

3x + y  72 x + y  48 x  0 y  0

 Menentukan fungsi objektif beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear.

 Membuat model matematika dari

masalah program linear.

 Siswa dapat Merancang model matematika dari masalah program linear.

Pertemuan Pertama, Kedua dan Ketiga Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali materi mengenai persamaan garis dan pembuatan grafiknya, cara menentukan titik potong dua garis, dan pertidaksamaan linear.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan fungsi objektif beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear, dan dapat membuat model matematika dari masalah program linear. Kegiatan Inti

 Eksplorasi

(33)

matematika dari masalah program linear, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan cara menentukan fungsi objektif beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear dan cara membuat model matematika dari masalah program linear.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai penentuan fungsi objektif beserta kendala dalam masalah program linear dan pembuatan model matematika dari masalah program linear.

d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penentuan fungsi objektif beserta kendala dalam masalah program linear dan pembuatan model matematika dari masalah program linear dari buku paket sebagai tugas individu.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal dari dalam buku paket.

 Konfirmasi

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai penentuan fungsi objektif beserta kendala dalam masalah program linear dan pembuatan model matematika dari masalah program linear.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan penentuan fungsi objektif beserta kendala dalam masalah program linear dan pembuatan model matematika dari masalah program linear dari soal-soal “Uji Kompetensi” LKS Kreatif – Viva Pakarindo yang belum terselesaikan di kelas.

Alat :

- Spidol

- Papan Tulis

F. Penilaian

Teknik : tugas individu. Bentuk Instrumen : uraian singkat. Instrumen Penilaian:

(34)

membutuhkan 1,5 m katun dan 1,5 m tessa. Pengusaha itu mempunyai persediaan kain katun 300 m dan kain tessa 200 m. Jika banyaknya baju model I adalah x dan baju model II y, maka tentukan model matematikanya!

2. Seorang pengusaha mebel mengerjakan proses finishing 2 set kursi, yaitu kursi tamu dan kursi makan. Dalam pengerjaannya ia dibantu beberapa karyawan. 1 set kursi tamu memerlukan waktu 4 jam mengampelas dan 4 jam untuk mewarnai. 1 set kursi makan memerlukan 3 jam untuk mengampelas dan 2 jam untuk mewarnai. Pengusaha tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 150 jam untuk mengampelas dan 100 jam untuk mewarnai. Jika keuntungan bersih masing-masing kursi adalah Rp 50.000,00 dan Rp 40.000,00, maka tentukan model matematika agar keuntungan diperoleh sebesar-besarnya.

KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK

Untuk membuat model matematika dari persoalan diatas, maka akan lebih mudah jika dibuat tabel terlebih dahulu.

Model I (x)

Model II (y)

Persediaan kain maksimum

Katun 2x 1,5y 300

Tessa x 1,5y 200

Banyaknya kain katun yang dibutuhkan untuk membuat kedua jenis model baju adalah (2x+y)m. Karena persediaan kain katun adalah 300 m, maka diperoleh hubungan

2x +1,5 y  300  4x3y600

sedangkan banyaknya kain tessa yang dibutuhkan untuk membuat kedua jenis model baju adalah (x + 1,5y) m. Karena persediaan kain tessa adalah 200 m, maka diperoleh hubungan

x + 1,5 y  200 2 x + 3y  400

(35)

4x + 3y  600 2x+3y  400

x  0 y  0

Misalkan banyaknya kursi tamu = x, dan banyaknya kursi makan = y maka persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut ini:

Kursi tamu (x)

Kursi makan

(y) Waktu

mengampela s

4x 3y 150

mewarnai 4x 2y 100

biaya 50000x 40000y

Waktu yang digunakan untuk mengampelas kedua set kursi tersebut adalah (4x+3y) jam dengan waktu yang tersedia maksimum 150 jam sehingga diperoleh hubungan:

4x + 3y  150…………(1)

Waktu yang digunakan untuk mewarnai kedua set kursi tersebut adalah (4x + 2y) jam dengan waktu yang tersedia maksimum 100 jam sehingga diperoleh hubungan:

4x + 2 y  100

2 x + y  50………….(2)

x dan y menyatakan banyaknya set kursi tamu dan kursi makan maka diperoleh: x  0, y  0, dengan x, y



C………….(3).

Keuntungan yang diperoleh dari kedua set kursi adalah z = 50.000x + 40.000 y. Jadi model matematika untuk persoalan diatas adalah

Fungsi obyektif: menentukan nilai maksimum z = 50000x + 40000y Kendala:

(36)

x  0 y  0 dengan x, y



C

PEDOMAN PENILAIAN

100

x TotalSkor JumlahSkor Nilai 

Kajen, 27 Juli 2015

(37)

Semester : Ganjil

Standar Kompetensi: 2. Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar : 2.3. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.

Indikator : 1. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.

2. Menafsirkan solusi dari masalah program linier.

a. Peserta didik dapat menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian dari program linear.

b. Peserta didik dapat menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian masalah program linear.

 Karakter siswa yang diharapkan :

Nilai optimum fungsi objektif.

Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.

Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik sudut) dari daerah penyelesaian (DP), kemudian dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum.

Contoh :

Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok.

a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)

(38)

Model matematikanya

Rokok Jumlah Harga Laba

A x 6000 400

B y 3000 300

Persediaan 500 240.000

Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y Sistem pertidaksamaan linearnya : x + y  500

6000x + 3000y  240.000 2x + y  800 x  0

y  0

Daerah himpunan penyelesaian x + y = 500

x 0 500

y 500 0

2x + y = 800

x 0 400

y 800 0

DP

Eliminasi persamaan (1) dan (2) x + y = 500

x y

500 400 800

500

(39)

2x + y = 800

- x = - 300 x = 300 y = 200

Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :

Titik pojok Untung = 400x + 300y

(0, 0) 0 + 0 = 0

(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000 (300, 200) 120.000 + 60.000 = 180.000 (0, 500) 0 + 150.000 = 150.000

Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.

Ceramah, tanya jawab, diskusi kelompok. Strategi Pembelajaran

 Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian dari program linear.

 Menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagi penyelesaian masalah program linear.

 Siswa dapat

Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya. D. Langkah-langkah Kegiatan

- Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan

Apersepsi : Mengingat kembali mengenai program linear dan model matematika yang terdiri dari fungsi objektif dan kendala-kendala.

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan menafsirkannya.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

(40)

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi secara garis besar oleh guru mengenai cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan menafsirkannya.

 Elaborasi

b. Peserta didik dikondisikan dalam beberapa kelompok diskusi dengan masing - masing kelompok terdiri dari 3-5 orang.

c. Dalam kelompok, masing - masing peserta didik berdiskusi mengenai: 1. Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif

sebagai penyelesaian program linear.

2. Penggambaran daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear pada model matematika (daerah layak).

3. Penentuan penyelesaian optimum sistem pertidaksamaan linear dengan mengunakan metode uji titik pojok dari daerah layak atau menggunakan metode garis selidik.

4. Penafsiran penyelesaian dari masalah program linear.

d. Masing-masing kelompok diminta menyampaikan hasil diskusinya, sedangkan kelompok yang lain menanggapi.

e. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan menafsirkannya.

f. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai pembuatan model matematika dari masalah program linear dan penentuan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan penafsirannya.

g. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penentuan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan penafsirannya sebagai tugas kelompok.

h. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. i. Setiap kelompok mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku paket

sebagai tugas kelompok.

j. Peserta didik diingatkan untuk mempelajari kembali materi mengenai sistem pertidaksamaan linear, program linear, model matematika, dan nilai optimum fungsi objektif untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya.

 Konfirmasi

a. Peserta didik merangkum cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan menafsirkannya.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan materi mengenai dan penentuan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian program linear dan penafsirannya berdasarkan latihan dalam buku paket.

(41)

Apersepsi : Mengingat kembali mengenai sistem pertidaksamaan linear, program linear, model matematika, dan nilai optimum fungsi objektif.

Motivasi : Agar peserta didik dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi mengenai sistem pertidaksamaan linear, program linear, model matematika, dan nilai optimum fungsi objektif.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diminta untuk menyiapkan kertas ulangan dan peralatan tulis secukupnya di atas meja karena akan diadakan ulangan harian.

 Elaborasi

b. Peserta didik diberikan lembar soal ulangan harian.

c. Peserta didik diingatkan mengenai waktu pengerjaan soal ulangan harian, serta diberi peringatan bahwa ada sanksi bila peserta didik mencontek. d. Guru mengumpulkan kertas ulangan jika waktu pengerjaan soal ulangan

harian telah selesai.

 Konfirmasi

Peserta didik diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang matriks.

Alat :

- Spidol

Teknik : tugas kelompok, ulangan harian. Bentuk Instrumen : uraian singkat.

Instrumen :

1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi z = 2x + y dengan kendala-kendala : x + y  12

2x + y  18 x  0 y  0

(42)

Setiap tablet jenis II mengandung 1 mg vitamin A, 1 mg vitamin B1, dan 2 mg vitamin B2. Persediaan vitamin A, vitamin B1 dan vitamin B2 berturut-turut 0,12 kg, 0,08 kg, dan 0,12 kg. Harga jual 1 tablet jenis I adalah Rp 1000,00 dan jenis II adalah Rp 800,00. Berapa banyak tablet I dan II harus dibuat agar penerimaan maksimum?

a. Membuat grafik dan menentukan daerah himpunan penyelesaian. Titik potong grafik x + y = 12 dan 2x + y = 18 dengan sumbu x dan sumbu y, dapat dilihat dari tabel berikut:

Grafik

Titik yang diujung-ujung daerah penyelesaian adalah titik O, A, B, dan C. Titik B merupakan titik potong garis x + y = 12 dan 2x + y = 18. Sehingga B dicari dengan eliminasi atau substitusi.

x + y = 12 2x + y = 18 – x = –6 x = 6

Untuk x = 6, maka x + y = 12  6 + y = 12  y = 6 Jadi diperoleh titik B (6,6)

b. Menentukan nilai optimum z, yaitu nilai maksimum. Untuk menentukan nilai x + y = 12

x 0 12

y 12 0

(x,y) (0,12) (12,0)

2x + y = 18

x 0 9

y 18 0

(x,y) (0,18) (9,0)

Hp 18

9 12

12

x B

y

0 C

(43)

optimum z, maka titik-titik ujung daerah penyelesaian, yaitu O, A,B dan C kita substitusikan ke z.

z = 2x + y (0,0)  z = 200

= 0 (9,0)  z = 290

= 18 (6,6)  z = 266

= 18

(0,12)  z = 2012

= 12

Jadi nilai maksimum dari fungsi obyektif adalah 18, dicapai saat x = 9 dan y = 0 atau x = 6 dan y = 6.

Misalkan banyaknya tablet jenis I adalah x dan tablet jenis II adalah y. Permasalahan di atas dapat dibuat tabel sebagai berikut:

Tablet I Tablet II Persediaan

Vitamin A 6x Y 120000

Vitamin B1 2x Y 80000

Vitamin B2 2x 2y 120000

Sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut: Fungsi obyektif : memaksimumkan z = 1000x + 800y Kendala: 6x + y 120000

2x + y  80000 x + y  60.000

x  0 y  0

 Langkah pertama adalah menentukan daerah himpunan penyelesaian.

Titik potong garis 6x + y = 120.000, 2x + y = 80000, dan x + y = 60000 dengan sumbu x dan y, dapat dilihat pada tabel berikut:

6x + y =120000

x 0 20000

y 120000 0

(x,y) (0,120000) (20000,0)

2x + y = 80.000

x 0 40000

y 80000 0

(x,y) (0,80000) (40000,0) x + y = 60.000

x 0 60000

y 60000 0

(44)

Diperoleh grafik sebagai berikut:

 Penyelidikan nilai optimum, yaitu menentukan nilai maksimum dari z = 1000x + 800y.

titik E merupakan titik potong garis 6x + y = 120.000 dan garis x + y = 60.000, sehingga:

6x + y =120.000 x + y = 60.000 – 5x = 60.000

x = 12.000

untuk x = 12000, maka x + y = 60 000 12.000 + y = 60.000

y = 48000

Jadi titik E ( 12000, 48000)

Karena fungsi obyektifnya adalah z = 1000x + 800y, maka diperoleh: (20000,0)  z = 20.000.000

(12000,48000)  z = 1200000038400000

= 50.400.000 (0,60000)  z = 800



60000



= 48.000.000

Jadi penerimaan terbesar adalah Rp 50.400.000,00 dicapai jika yang diproduksi tablet I sebanyak 12000 dan tablet II sebanyak 48000.

Hp 12

6. 6

4

I II III

8

2. 0.

(45)

Kajen, 27 Juli 2015

(46)

Standar Kompetensi: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks

untuk menunjuk-kan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

Indikator : 1. Mengenal matriks persegi.

2. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. 3. Menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi

melalui contoh

4. Mengenal invers matriks persegi. Alokasi Waktu : 4 jam pelajaran (2 pertemuan).

a. Peserta didik dapat mengenal matriks persegi.

b. Peserta didik dapat melakukan operasi aljabar atas dua matriks. c. Peserta didik dapat mengenal invers matriks persegi.

 Karakter siswa yang diharapkan :

1. Pengertian, notasi, dan ordo suatu matriks.

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.

Bentuk umum :

A =

a _{elemen matriks pada baris 1, kolom 1}



2 . 1

a _{elemen matriks pada baris 1, kolom 2}



3 . 1

a _{elemen matriks pada baris 1, kolom 3} .

(47)

Contoh :

2. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks baris

adalah matriks yang hanya memiliki satu baris Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]

2. Matriks kolom

adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom

Contoh : C =

3. Matriks persegi

adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh : A =

Diagonal samping Diagonal utama 4. Matriks Identitas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.

Contoh :

5. Matriks segitiga atas

(48)

Contoh :

6. Matriks segitga bawah

adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh :

adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

3. TRANSPOSE MATRIKS

adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Contoh :

4. KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

Contoh :

(49)

a. 

B. Operasi Aljabar Bentuk Matriks 1. Penjumlahan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

2. Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

(50)

3. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks Dengan Bilangan Real

Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k.

Contoh :

b. Perkalian Dua Matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.

Am x n . Bp x q = Cm x q

 Mengenal matriks persegi.

 Melakukan operasi aljabar atas dua

 Siswa dapat

(51)

sifat-Tatap Muka Terstruktur Mandiri

matriks. sifat dan operasi

matriks untuk

menunjuk-kan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

D. Langkah-langkah Kegiatan Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan

Apersepsi :

Motivasi : Apabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat mengenal matriks persegi, melakukan operasi aljabar atas dua matriks, dan mengenal invers matriks persegi.

Kegiatan Inti

 Eksplorasi

a. Peserta didik diberikan stimulus berupa pemberian materi oleh guru mengenai pengertian matriks persegi, cara melakukan operasi aljabar atas dua matriks, serta pengertian invers matriks persegi, kemudian antara peserta didik dan guru mendiskusikan materi tersebut.

b. Peserta didik mengkomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai matriks persegi, operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian) atas dua matriks, dan invers matriks persegi.

 Elaborasi

c. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas contoh dalam buku paket mengenai penentuan transpos matriks, kesamaan dua matriks, penentuan hasil dari penjumlahan dua matriks, penentuan hasil dari pengurangan dua matriks, penentuan hasil dari perkalian matriks dengan bilangan real, penentuan hasil dari perkalian dua matriks, dan pembuktian bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai penentuan

elemen-elemen matriks, ordo dan transpos matriks, kesamaan dua matriks, penentuan hasil dari penjumlahan dua matriks, pengurangan dua matriks, perkalian dua matriks, serta pembuktian bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal-soal. f. Peserta didik mengerjakan beberapa soal latihan dalam buku paket sebagai

tugas individu.

 Konfirmasi

(52)

b. Menjelaskan tentang hal-hal yang belum diketahui. Penutup

a. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai pengertian, notasi, dan ordo suatu matriks, operasi aljabar pada matriks, serta pengertian invers matriks persegi.

c. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) berkaitan dengan pengertian, notasi, dan ordo suatu matriks, operasi aljabar pada matriks, serta pengertian invers matriks persegi dari soal-soal latihan dalam buku paket.

Alat :

- Spidol

- Papan Tulis

F. Penilaian

Teknik : tugas individu. Bentuk Instrumen : uraian singkat. Instrumen :

1. Jika 

(53)

(54)

Kajen, 27 Juli 2015

Semester : Ganjil

Standar Kompetensi: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x

2.

Indikator : 1. Menentukan determinan dari matriks 2 x 2. 2. Menentukan invers dari matriks 2 x 2. Alokasi Waktu : 4 jam pelajaran (2 pertemuan).