handout aljabar linear iisub ruang vektor 2

C g

f atau f g 0

dx g f d ) ( ) (

. Diperoleh bahwa:

0 0 0 g dx dg f dx df g f dx dg dx df g f dx dg df g f dx g f d ) ( ) ( ) (

Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:

Ambil f C, R. Ditunjukkan bahwa .f C atau f 0

dx f d ) . ( ) . ( .

diketahui bahwa f 0 0

dx df f dx df f dx f d . ) . ( . ) . ( ) . ( .

Jadi terbukti bahwa C f F f 0

dx df

adalah sub ruang vektor F .

Contoh 1.2.5.

Apakah himpunan 1

b a P cx bx a

D 2 ₂ sub ruang vektor dari P₂?

Jawab:

Ambil (a bx cx2) D, sehingga 1 b a

dan R, sehingga:

2 2 cx bx a cx bx

a ) . . .

( , apakah asil perkalian skalar ini merupakan

elemen di D? Ambil0 R, maka (a bx cx2) 0.a 0.bx 0.cx2 0 0x 0x2 0.

Akan tetapi, 0 0x 0x2 D sebab 1 0 0

Dalam suatu ruang vektor, pasti dipenuhi sifat tertutup terhadap penjumlahan

vektor maupun perkalian skalar. Dari sifat tersebut, himpunan suatu vektor dapat

dilihat ada suatu vektor yang dapat dinyatakan sebagai perkalian skalar dari vektor

yang lain. Di lain pihak, mungkin saja dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari

dua vektor atau lebih. Bahkan mungkin kombinasi dari keduanya. Sebagai contoh,

cermati himpunan berikut:

) , ( ), , ( ), , ( ), ,

(12 24 01 10

A R2

Dari himpunan vektor di atas , diperoleh hubungan sebagai berikut:

) , ( ) ,

( 24

2 1 2

1 atau (1,2) 1(1,0) 2(0,1) atau (1,2) (2,4) (1,0) 2(0,1)

dan masih banyak lagi cara menyajikan vektor tersebut sebagai penjumlahan

sekaligus perkalian skalar secara simultan.

Dari kondisi tersebut, didefinisikan suatu konsep kombinasi linear yang

diberikan sebagai berikut:

Definisi 1.2.4. Jika a1,a2,a3,...,an adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V,

maka kombinasi linear dari a1,a2,a3,...,an adalah suatu vektor dalam bentuk :

a= 1a1 2a2 3a3 ... nan

dengan ₁, ₂, ₃,..., _n R

Contoh 1.2.6:

Diberikan himpunan vektor – vektor di R3 : B (1, 1,2),( 3,2,1),(2,2,2) , maka

) , ,

(073 adalah kombinasi linear dari himpunan tersebut, sebab:

) , ,

Contoh 1.2.7 :

Apakah vektor 2 3x 2x2merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor

2

x 2 x 2

1 , 4 x x2,2x x2, 2 2x2.

Untuk menyelesaikan masalah ini, sama halnya kita mencari skalar , , ,

R, sehingga dipenuhi :

2

x 2 x 3

2 = (1 2x 2x2)+ (4 x x2)+ (2x x2)+ ( 2 2x2)

Berdasarkan pada definisi perjumlahan dan perkalian skalar pada P₂, diperoleh:

2 2 4 3 2 2 2 2 2

Sehingga dipunyai suatu sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 4 variabel.

Untuk menyelesaikannya dapat digunakan operasi baris elementer, yang pernah

dipelajari pada Aljabar Linear Elementer:

4 9 4

9

4 3 4 7

8 11 8

9

atau

4 9 4 9

4 7 4 3

8 9 8 11

sehingga, untuk nilai beta tertentu, senantiasa dapat ditemukan nilai , , . Dengan

demikian vektor 2 3x 2x2merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor

2

x 2 x 2

1 , 4 x x2,2x x2, 2 2x2.

Contoh 1.2.8

Apakah vektor M_{2 2}

2 2

3 1

merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor

0 0

0 1

0 0

1 1

0 1

1 1

1 1

1 1

, ,

, ?

Sejalan dengan bukti pada contoh soal sebelumnya diperoleh:

2 2

3 1

=

0 0

0 1

0 0

1 1

0 1

1 1

1 1

1 1

2

2 , atau 4

3 , atau 5

Definisi 1.2.5. Andaikan a1,a2,a3,...,an adalah vektor – vektor di dalam ruang

vektor V, maka vektor-vektor a₁,a₂,a₃,...,a_n dikatakan merentang ( span ) ruang

vektor V, yang dinotasikan dengan rt V jika semua vektor di V merupakan

kombinasi linear dari vektor – vektor a1,a2,a3,...,an.

Contoh 1.2.9.

Apakah vektor-vektor (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) merentang runag vektor R3 ?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, maka perlu dibuktikan, apakah semua vektor di

3

R merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor tersebut. Dengan demikian,

ambil sebarang vektor di R3, sebut x,y,z . Sekarang tinggal diuji, vektor x,y,z ini

merupakan kombinasi linear dari (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) atau bukan:

z y

x, , = (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)

diperoleh:

z

y atau y z

x atau x y

Jadi setiap vektor di R3 merupakan kombinasi linear dari (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) atau

vektor-vektor (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) merentang runag vektor R3.

Proposisi 1.2.6. Andaikan a1,a2,a3,...,an adalah vektor – vektor di dalam ruang

vektor V, maka rt(a₁,a₂,a₃,...,a_n) adalah sub ruang vektor dari V.

Bukti :

 Dibuktikan rt(a1,a2,a3,...,an) tertutup terhadap penjumlahan vektor:

Ambil sebarang vektor a,b rt(a₁,a₂,a₃,...,a_n), sehingga

a= 1a1 2a2 3a3 ... nan dan b= 1a1 2a2 3a3 ... nan

a+b = ( 1a1 2a2 3a3 ... nan ) + ( 1a1 2a2 3a3 ... nan)

= ( 1 1)a1 ( 2 2)a2 ( 3 4)a3 ... ( n n)an

Jadi a +b rt(a1,a2,a3,...,an).

 Dibuktikan rt(a1,a2,a3,...,an) tertutup terhadap perkalian skalar

Ambil sebarang R dan a rt(a1,a2,a3,...,an), sehingga

a= 1a1 2a2 3a3 ... nan ,

a = ( 1a1 2a2 3a3 ... nan)

= 1a1 2a2 3a3 ... nan