PERTEMUAN 13. MK ALJABAR LINEAR

PERTEMUAN 13. MK ALJABAR LINEAR

Dosen pengajar : Fesa Asy Syifa Nurul Haq, S.Kom, MMSI.

FSA 2021

RUANG VEKTOR

Ruang Vektor adalah himpunan yang anggota – anggotanya adalah vektor

Nama lainnya adalah Ruang Euclides orde n Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

• Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)



^{u v u v u}_n ^v_n



v

u   ₁  ₁, ₂  ₂ ,..., 



^{ku ku ku}_n



u

k  ₁, ₂ ,...,

n nv u v

u v

u v

u   _{1 1}  _{2 2}  ... 

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

^{u u}  ¹²

u  

u v  u v

d ,  

2 2

2 2

1 u ... u_n

u   



Contoh :

Diketahui dan

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab:

Panjang vektor :



^{1, 1, 2, 3}





u ^{v }



^{2, 2, 1, 1}



^{u u}  ¹²

u    1² 1²  2²  3²  15

10 1

1 2

2²  ²  ²  ² 

 v

15 3

2 1

1²  ²  ²  ² 

^{u u}  ¹²  u  

10 1

1 2

2²  ²  ²  ²  v 



u v



u v

d ,   ^ ^{1 2}^{2 } ^{1 2}^{2 } ^21^{2 } ^31²

   

7

2 1

1

1 ^{2 2 2 2}















Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V

W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor

yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W  { }

2. W  V

3. Jika maka

4. Jika dan k  Riil maka W

v

u ,  u  v  W W

u  k u  W

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab :

2. Jelas bahwa W  M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  W Tulis

0 maka 0

0

1. O 0 W



 



  ^{W }

 



 



 

0 0

2

1

a

A a _



 



 

0 0

2

1

b B b

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil maka

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.



 







 



 



 



 



 



0 0

0 0

0 0

2 2

1 1

2

1 2

1

b a

b a

b

b a

B a A

W B

A  

ka W

kA ka  

 



 

0 0

2

1

W kA

Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol

merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B  W Pilih a ≠ b :



 



 

0 0

b A a



 



 

a B b0 0

Perhatikan bahwa :

Jadi D bukan merupakan subruang

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan Karena a ≠ b

Maka det (A + B ) = a² – b² ≠ 0

B

A 

^_^ _b^a _a^{b }_^

FSA 2021