Bab 7 TRANSFORMASI LINEAR

(1)

Bab 7

TRANSFORMASI LINEAR

Secara umum transformasi (pemetaan) didefinisikan dari suatu himpunan ke himpunan lain. Pada bab ini kita akan mempelajari transformasi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain, sehingga operasi standar pada ruang vektor (penjumlahan dan perkalian dengan skalar) tetap berlaku. Dengan kata lain, transformasi ini dapat dipandang sebagai fungsi bernilai vektor yang berasal dari peubah yang vektor juga. Jadi, domain dan kodomain fungsi ini adalah berupa vektor. Misalkan V dan W merupakan ruang vektor dan T menkaitkan vektor unik di W dengan setiap vektor di V maka dapat kita katakan bahwa T memetakan V ke W. Selanjutnya, T dinamakan Transformasi dari V ke W. Kita akan memfokuskan pada T yang bersifat linear, sehingga T dinamakan transformasi linear.

7.1 TRANSFORMASI LINEAR

DAN MATRIKS TRANSFORMASI

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V Æ W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap a ,

b

∈

V dan

α

R, berlaku :

∈

i. T

(

a + b

)

= T

( )

a +T

( )

b ii. T

( )

αa = αT

( )

a

Berikut ini merupakan contoh bagaimana cara menunjukan bahwa suatu transformasi merupakan transformasi linear.

Contoh 7.1 :

(2)

98 Bab 7 ● Transformasi Linear ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ y x y x y x T

merupakan tranformasi linear. Jawab :

Akan dibuktikan bahwa T

(

u + v

)

∈R3 dan Τ

( )

αu ∈ untuk setiap 3 R

u

,v∈R2 dan α∈R. i. Ambil _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 u u u , 2 2 1 R v v v _⎟⎟∈ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = sembarang

(

u v

)

T + =

_⎥

⎦

⎤

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2 1 2 1

v

u

T

=

(

) (

)

(

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − + 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u =

(

) (

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − + 2 2 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 2 1 2 1 2 1 v v v v u u u u = Τ

( ) ( )

u +Τv Jadi T

(

u + v

)

∈R3 ii. Ambil u = _⎟⎟ ∈ dan

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 u u ₂ R α∈R sembarang.

( )

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Τ

=

Τ

2 1

u

α

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 2 1 u u u u

α

(3)

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 99

(

)

( )

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 2 1 u u u u

α

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 2 1 u u u u

α

=

α

Τ

( )

u Jadi Τ

( )

αu ∈R3

Dengan demikian, T merupakan transformasi linear. Contoh 7.2 :

Misalkan suatu transformasi dari M2x2 ke R didefinisikan

oleh

T(A) = det (A), untuk setiap A ∈ M2x2 ,

Apakah T merupakan Transformasi linier. Jawab : Misalkan 2 2 4 3 2 1 x M a a a a A _⎟⎟ ∈ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

maka untuk setiap α ∈ R Berlaku : det (αA) = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 3 2 1 det a a a a

α

(

1 2 3 4

)

2

a

−

=

α

= α2_{det (A)}

Perhatikan bahwa det (αA) ≠ α det (A) maka T (αA ) ≠ α T( A )

Jadi T bukan transformasi linier. Contoh 7.3 :

(4)

100 Bab 7 ● Transformasi Linear

Diketahui T : P2 _{(Polinom orde-2) Æ R}2_{, dimana}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = + + c a b a cx bx a T( 2)

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan _T(1₊_x₊_x2)

Jawab :

a. (i) Ambil unsur sembarang P2,

u

=

u

1

+

u

2

x

+

u

3

x

2 dan

2 3 2 1

v

x

v

x

v

=

+

Sehingga

=

+ v

u

(

u

₁

+

v

₁

) (

+

u

₂

+

v

₂

) (

x

+

u

₃

+

v

₃

)

x

2 Selanjutnya

(

)

(

) (

)

2

)

3 3 2 2 1 1

v

u

v

x

u

v

x

u

T

v

u

T

+

=

+

(

₍

) (

_{) (}

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + − + = 3 3 1 1 2 2 1 1 v u v u v u v u

)

(

₍

) (

_{) (}

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + − = 3 1 3 1 2 1 2 1 v v u u v v u u

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 2 1 3 1 2 1 v v v v u u u u

(

) (

2

)

3 2 1 2 3 2 1

u

x

u

x

T

v

x

v

x

u

T

+

=

(ii) Ambil unsur sembarang P2,

2 3 2 1

u

x

u

x

u

=

+

dan α ∈ R

( )

(

2

)

3 2 1

u

x

u

x

u

T

u

T

α

=

α

+

(

)

(

)

⎟⎟_⎠⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 2 1 u u u u

α

(

)

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 2 1 u u u u

α

(5)

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 101 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 2 1 u u u u

α

(

2

)

3 2 1

u

x

u

x

u

T

+

=

α

Jadi, T merupakan transformasi linear b.

T

(

1 +

x

+

x

2

)

=

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

0

1

Suatu transformasi linear T : V Æ W dapat direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut :

( )

u Au

T = , untuk setiap u ∈ V. A dinamakan matriks transformasi dari T.

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2_{Æ R}3_{didefinisikan oleh}

: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Τ y x y x y x maka ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Τ y x y x 1 0 0 1 1 1

Dengan demikian, matriks transformasi untuk T adalah . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 0 0 1 1 1

Oleh karena itu, jika 2

2 1

R

a

_⎟⎟

∈

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

_maka:

(6)

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = Τ 2 1 1 0 0 1 1 1 a a a A a ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 2 1 a a a a

Misalkan Β=

{

v1,v2

}

merupakan basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear dimana

W

V →

Τ : Τ

( ) ( )

vi = ui

untuk setiap i = 1,2. Kita dapat menentukan matriks transformasinya dengan cara sebagai berikut :

Tulis :

( )

_{( )}

2 2 2 1 1 1

u

v

T

u

v

T

=

Α

=

Α

=

Sehingga

[

v1 v2

] [

= u1 u2

]

Α

Karena

[

v1 v2

]

merupakan basis bagi V maka ia

mempunyai invers, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk :

[

]

[

]

1 2 1 2 1 − = Α u u v v Contoh 7.3 : Misalkan ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 3 2 1 v v v merupakan basis bagi 3

R

. Transformasi linear (polinom orde satu), didefinisikan 1 3

:

R

→

P

Τ

( )

v

i

A

v

i

p

i

T

=

untuk setiap i = 1,2,3. Jika

p

1

=

1 −

x

;

p

2

=

1 ;

p

3

=

2 x

.

(7)

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 103 Tentukan : a. Matrix transformasi b. ! ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Τ 2 1 1 Jawab : a. Didefinisikan :

[

]

[ ]

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1 x_B ;p₂ _B ;p₃ x _B p Karena

Α

v

_i

=

p

_i

,

∀

_i

=

1 ,

2 ,

3

Maka _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − Α 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = Α

Perhatikan bahwa (kita akan mencari invers matriks diatas dengan OBE ) :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1 ~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

0

1

0

1

0

1

0

1 ~

Sehingga

(8)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Α

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

0

1

0

1

Jadi matriks transformasi bagi T adalah

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

2

0

1

0

b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Α = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Τ 2 1 1 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0 ingat bahwa ₁ 2 1 1 x B + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− jadi : =

(

− +x

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Τ 1 2 1 1

Kita pun dapat menyelesaikan persoalan seperti diatas dengan menggunakan definisi basis (membangun) yang telah dipelajari pada bab sebelumnya.

Contoh 7.4 :

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

{

₁₊_x_, ₋_x₊_x2_, ₁₊_x₋_x2

}

(9)

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 105

[

]

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 0 1 x T ,

[

]

, dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + − 0 2 1 2 x x T

[

]

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 0 1 2 1 x x2 T Tentukan

[

₁ 2

]

x x T − + . Jawab :

Karena himpunan 3 buah polinom tersebut merupakan basis bagi polinom orde 2 maka dapat ditulis hubungan polinom tersebut dalam kombinasi linear berikut :

(

)

(

) (

2

)

3 2 2 1 2 1 1 1−x+x =k +x +k −x+x +k +x−x

Dengan menyamakan suku-suku sejenis dari kedua ruas pada persamaan di atas, maka diperoleh SPL

1

3 2 3 2 1 3 1

=

−

=

+

−

=

+

k

Solusi SPL tersebut adalah k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.

Dengan demikian kombinasi linear diatas berbentuk :

(

)

(

2

) (

2

)

2

1

2

1

0

1 −

x

+

x

=

+

x

+

−

x

+

x

+

x

−

x

Setiap ruas dikenakan transformasi T sehingga :

(

2

)

(

)

(

2

) (

2

)

1 1 2 1 0 1 x x T x x x x x T − + = + + − + + + −

Karena transformasi T bersifat linear maka

(

2

)

(

)

(

2

) (

2

)

1 2 1 0 1 x x T x T x x T x x T − + = + + − + + + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 0 2 1 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

0

5

4

(10)

Berikut ini merupakan contoh lain dalam menentukan matriks trnasformasi.

Contoh 7.5 :

suatu transformasi linier T : R2 _{Î R}3 _{, didefinisikan oleh :}

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 -3 T dan 2 1 1 5 2 T

Tentukan A sebagai matrik transformasi ! Jawab :

Tulis T ( u ) = A u , untuk setiap u ∈ R2

maka pernyataan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 3 dan 2 1 1 2 5 -A A

Dapat ditulis juga menjadi

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 1 1 1 1 1 2 3 5 A Sehingga 1 1 2 -3 5 -1 2 1 1 1 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A

karena invers dari

_⎟⎟

adalah

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

2

3

5 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

5

2

3

1

maka matriks transformasi dari T adalah :

(11)

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 107 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 2 3 1 1 2 1 1 1 1 A Sehingga ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 8 3 8 3 A

7.2 KERNEL DAN JANGKAUAN

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear, maka semua vektor di V yang dipetakan ke vektor nol di W

dinamakan kernel T. Notasi kernel dari suatu transformasi linear T adalah ker(T).

( )

{

|

0 }

)

(

T

=

u

∈

V

T

u

=

Ker

Kernel merupakan subruang dari ruang vektor V dimana bila ditransformasikan menghasilkan

0

.

Contoh 7.6 :

Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) Æ R2, dimana

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

c

a

b

a

cx

bx

a

T

(

2

)

karena

T

(

1 +

x

+

x

2

)

=

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

0

1

maka

1 +

x

+

x

2

∈

Ker

(

T

)

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi tak semua transformasi linear mempunyai unsur kernel yang tak nol. Sebelum membahas tentang unsur kernel yang berupa vektor tak nol, kita akan membahas mengenai

(12)

kernel T sebagai subruang dari ruang vekto r daerah asal transformasi

Berikut akan kita lihat pembuktian bahwa Ker(T) merupakan subruang adalah sebagai berikut :

Ambil a, b∈ Ker(T) sembarang dan α

∈

R 1) Karena setiap

a

∈

Ker

(T

)

artinya

setiap

a

∈

V

sehingga

T

( )

a

=

0

maka Ker(T)

⊆

V

2) 0 ∈ Ker (T), karena T

( )

0 = A0=0 Ker(T)

≠

φ

Karena

a

,

b

∈

Ker

(

T

)

dan ker(T)

⊆

V maka a, b

∈

V, ingat

bahwa V adalah ruang vektor maka

a

+

b

∈

V

sehingga berlaku T

(

a+b

)

=Ta+Tb =0+0= 0

Dengan demikian, a+b∈ker

( )

T . Karena

a

∈

ker(T) maka

a

∈

V

karena V adalah ruang vektor sehingga jika

α

∈

V berlaku T(

α

a

) =

α

.T(

a

)

=

α

.

0

=

0

Dengan demikian

α

a

∈

ker(T)

Jadi Ker(T) merupakan sub ruang dari ruang vektor V. Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear, maka jangkauan dari T dinotasikan oleh R(T).

R(T) = { b

∈

W | ada u

∈

V sehingga T(u ) = b } Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa R(T) merupakan subruang dari ruang vektor W. Karena Ker(T) dan R(T) merupakan subruang maka Ker(T) dan R(T) masing-masing memiliki basis.

(13)

Ker(T) = {

u

∈

V | T(

u

) = A

u

=

0

}

Dengan demikian, basis Ker(T) berkorespondensi dengan basis ruang solusi (ingat SPL homogen), sedangkan basis R(T) merupakan basis bagi ruang kolom dari A.

• Jumlah vektor pada basis ker(T) dinamakan nullitas • Jumlah vektor pada basis R(T) dinamakan Rank Contoh 7.6 :

Diketahui Transformasi linear T : R3 →_P₂_dengan

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

c

b

a

T

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T) Jawab : Perhatikan bahwa :

(

+

) (

+

2 −

) (

+

2 +

+

)

2

=

0 =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

x

c

b

a

x

c

a

b

a

c

b

a

T

Ini memberikan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + 0 0 0 2 2 c b a c b b a sehingga =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

c

b

a

T

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + c b a c b b a 2 2

(14)

110 Bab 7 ● Transformasi Linear = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 2 1 2 0 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c b a

Jadi matriks transformasinya untuk T adalah

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 2 1 2 0 0 1 1 A

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0

1

2

1

2

0

1

~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0

1

0

1

2

0

1

~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0

2 /

1

0

2 /

1

0

2 /

1

0

1

~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

1

0

1

0

1

Dengan demikian, Basis ker(T) = {} dan nulitasnya adalah nol.

Sementara itu, dengan memperhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1

0 ,

1

2

1 ,

2

0

1

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah

{

₁₊₂_x2 _, ₁₊₂_x₊_x2 _, ₋_x₊_x2

}

(15)

Contoh 7.7 :

Diketahui T : R4_{Æ R}3 _{merupakan transformasi linear yang}

didefinisikan oleh : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ d c b a d c b a d c b a T 2 2

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya Jawab : Transformasi Linear T : R4 → R3 Dengan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ d c b a d c b a d c b a T 2 2 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = d c b a 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 Jadi ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya? Ker(T) adalah ruang solusi dari

(16)

( )

4

,

0 R

d

c

b

a

v

A

v

T

∈

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

∀

=

Dengan kata lain, ker(T) adalah ruang solusi dari SPL

( )

v =0

A

Dengan Eliminasi Gauss Jordan

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 ~ 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 s a b a b a = − = = + 0 t c d c d c = = = − 2 0 2

Ker(T) = ruang solusi dari A

( )

v adalah

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

0 ,

,

2

1

0

1

1 t

s

t

s

d

c

b

a

d

c

b

a

Jadi Basis Ker(T) =

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

2

1

0

0 ,

0

1

(17)

Latihan Bab 7

1. Suatu transformasi T : ℜ3_{Î ℜ}2_{yang didefinisikan oleh}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c a b a c b a T 2

Periksa apakah T merupakan transformasi linear 2. Jika suatu transformansi T : P1 Æ P2 diberikan oleh :

[

₂ _x

]

₄ _x _x2 T + = − + dan

[

₁ ₃_x

]

₇ ₂_x ₂_x2 T + = + − Tentukan T

[

3−x

]

(Untuk no. 3 – 5) Suatu transformasi linear, T : Æ , diilustrasikan sebagai berikut :

2

ℜ

_ℜ3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 3 2 1 T dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 1 5 3 T

3. Tentukan matriks transformasi dari T

4. Tentukan hasil transformasi, _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 1 T

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T

6. Tentukan rank dan nulitas dari matriks Transformasi : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1

(18)

7. Misal suatu transformasi T : ℜ3_{Î ℜ}2_{yang didefinisikan oleh}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c a b a c b a T 2