SKRIPSI L LEBESGUE RUANG ISMAIL 02/154094/PA/08715

SKRIPSI

RUANG L

^P

LEBESGUE

ISMAIL

02/154094/PA/08715

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA

2007

SKRIPSI

RUANG L

^P

LEBESGUE

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana S1 Program Studi Matematika pada Jurusan Matematika

ISMAIL

02/154094/PA/08715

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA

2007

Takut akan TUHAN adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan.

(Amsal 1:7)

Serahkanlah perbuatanmu kepada TUHAN, maka terlaksanalah segala rencanamu

TUHAN membuat segala sesuatu untuk tujuannya masing-masing.

(Amsal 16: 3-4a) Dan ajarlah mereka melakukan segala sesuatu yang Kuperintahkan kepadamu.

Dan ketahuilah Aku menyertai kamu sampai kepada akhir zaman.

(matius 28: 20)

Persembahan Terindah Untuk : Bapak dan mama tercinta, Kak Nina, kak Jusy, kak Eda, adikku Ade, serta Yuni, Askar dan Hans.

Yang selalu memberi kepercayaan, kesempatan, dukungan, doa serta cinta.

Hadiah terindah dari Allah buatku adalah keluarga ini.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah yang Maha kuasa, atas berkat serta penyertaan- Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi dengan judul “ Ruang Lebesgue” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata 1 di Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada.

Lp

Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini:

1. Bapak Yusuf M.A Math sebagai dosen pembimbing yang telah bersedia meluangkan waktu dan pikiran dengan penuh kesabaran hingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Mochammad Tari, M.si selaku dosen wali akademik atas segala pengarahan selama penulis belajar di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada.

3. Dosen pengajar di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada yang telah membimbing penulis dalam proses belajar.

4. Bapak dan Mama tercinta.

5. Kakak-kakakku: Kak Nina dan keluarga, Kak Jusy, Kak Eda dan keluarga dan dukungan yang sangat berarti dari adikku Ade Amran Lolo serta ponakan-ponakanku: Yuni, Askar dan Hans.

6. Mbak Nalvin dan Wenda.

7. Om dan tante serta sepupu-sepupu di kampung.

8. Teteh, Mpoq, Nuri, Mas Udhin dan semua mahasiswa matematika angkatan 2002.

9. Anak kost Pangkur dan Blimbing Sari.

10. (Alm.) Nancy, Astry, Lidia, Wika, Iis dan Sesilia terima kasih telah berbagi banyak hal tentang kehidupan dan memberi semangat saat pengerjaan skripsi ini.

11. Semua teman-teman KKN, terutama Sub-Unit Jatiroto: Maber, Paber, tante Tuty, Brtot, sesilia.

12. Semua teman-teman relawan Gerakan Kemanusiaan Indonesia, salut buat kalian . Tuhan memberkati.

Penulis menyadari penulisan Skripsi ini masih jauh dari sempurna.

Karenanya penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun sehingga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Yogyakarta, Juni 2007

penulis

INTISARI

RUANG L^p LEBESGUE Oleh:

ISMAIL 02/154094/PA/08715

Dalam skripsi ini dipelajari mengenai ruang Lebesgue, dimulai dengan mendefinisikan kelas-kelas dalam ruang Lebesgue, yang dibentuk berdasarkan fungsi terintegral Lebesgue dan essensial supremum suatu fungsi dalam . Kemudian mendefinisikan norma dalam , ruang tersebut merupakan ruang Banach menurut norma yang telah didefinisikan sebelumnya.

Lp

Lp

Lp

Lp

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………..i

LEMBAR PENGESAHAN……….ii

LEMBAR PERSEMBAHAN……….iii

KATA PENGANTAR………iv

INTISARI………vi

DAFTAR ISI………..…vii

DAFTAR SIMBOL………..x

BAB I PENDAHULUAN………1

II.1 Latar Belakang ………...………..1

II.2 Maksud dan Tujuan………2

II.3 Batasan Masalah……….2

II.4 Tinjauan Pustaka………2

II.5 Metode Penulisan………...2

II.6 Sistematika Penulisan……….2

BAB II DASAR TEORI………...4

II.1 Himpunan………..………4

II.2 Beberapa Konsep Dalam \……….6

II.3 Supremum dan Infimum………...9

II.4 Barisan Dalam \ dan Kekonvergenannya..………...10

II.5 Kekontinuan Fungsi ………...14

II.6 Ruang Linear………...17

II.7 Ruang Metrik dan Ruang Bernorma………...21

BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR DAN INTEGRAL LEBESGUE………30

III.1 Himpunan Terukur………..30

III.2 Fungsi Terukur………...42

III.3 Integral Lebesgue………...49

BAB IV RUANG L^p LEBESGUE………56

IV.1 Kelas-kelas L^p………56

IV.2 Pertidaksamaan Holder dan Minkowski……….61

IV.3 Ruang Banach L^p………...70

IV.4 Kekonvergenan Rata-rata………74

IV.5 Sifat-sifat Ruang L^p………77

IV.6 Fungsional Linear Terbatas dalam L^p………80

BAB V KESIMPULAN………...90

DAFTAR PUSTAKA………92

DAFTAR SIMBOL

∈ : elemen/anggota

∉ : bukan anggota

∅ : himpunan kosong

⊆ : himpunan bagian

∪ : gabungan atau union

∩ : irisan atau intersection

∃ : terdapat

∀ : untuk semua

: himpunan semua bilangan real : himpunan semuan bilangan asli : himpunan semua bilangan kompleks

■ : bukti selesai :

f A→B : fungsi atau pemetaan dengan domain A dan range B f ∼g : f ekuivalen g

( )

N_δ a : persekitaran a dengan jari-jariδ A : komplemen dari A c

A : aljabar himpunan

( )

l I : panjang interval I

( )

m E * : ukuran luar Lebesgue E

( )

m E : ukuran Lebesgue E

χE : fungsi karakteristik

E f

∫

: integral Lebesgue fungsi f pada E

. : norma

(

^{X, .}

)

: ruang bernorma

⇒ : implikasi

⇐ : biinplikasi

( )

Lp E : kelas fungsi yang terintegral (p-integrable) terhadap E

. _p : norma pada L^p

( )

b

a f x dx

ℜ

∫

: integral Reimann fungsi f pada

[ ]

^{a b ,}

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Masalah

Analisis merupakan salah satu bagian dari matematika, disamping aljabar kombinatorika, teori himpunan, geometri, topologi dan matematika terapan.

Hal-hal yang dibahas dalam analisis adalah bagian-bagian yang terkait dengan objek-objek abstrak, seperti: himpunan-himpunan bilangan, titik-titik geometri atau himpunan fungsi-fungsi yang memetakan bilangan ke bilangan atau titik ke titik.

Dalam analisis telah banyak dibahas mengenai ruang dan sifat-sifatnya, misalnya ruang fungsi-fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral.

Ruang Lebesgue termasuk salah satu ruang yang dibangun dari fungsi- fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral. Kegunaan ruang yang dibangun dari fungsi terukur dalam bidang statistik dan beberapa bidang lainnya mengakibatkan ruang Lebesgue sangat penting untuk dipelajari dan dibahas.

Lp

Lp

I.2 Maksud dan Tujuan

Selain untuk memenuhi syarat kelulusan program strata -1 (s1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan

untuk mempelajari masalah ruang Lebesgue, sifat kelengkapan serta sifat-sifat yang lainnya.

Lp

I.3 Batasan Masalah

Pada penyusunan skripsi ini yang dipelajari adalah kelas-kelas ruang Lebesgue, sifat-sifat ruang Lebesgue dan fungsional linear terbatas dalam ruang Lebesgue.

Lp

Lp

Lp

I.4 Tinjauan Pustaka

Himpunan dan beberapa sifatnya serta beberapa konsep dalam himpunan semua bilangan real sudah banyak dibahas oleh Robert G. Bartle dan Donald R. Shebert (1982). Selain itu masalah Ruang Linear, sub ruang dibahas oleh Howart Anton (1992).

\

Selanjutnya, pengertian tentang ukuran, himpunan terukur, fungsi terukur dan Integral Lebesgue serta masalah lainnya dibahas oleh P.K. Jain dan V.P.

Gupta (1976) serta Whedee (1977).

I.5 Metode Penulisan

Metode penulisan adalah studi literature. Penulis mempelajari referensi- referensi yang berkaitan dengan ruang Lebesgue, serta bahan-bahan pendukung lain yang mendukung penyusunan skripsi ini.

Lp

I.6 Sistematika Penulisan

Penulisan skripsi ini akan dibagi dalam beberapa bab. Susunan pembagian bab-bab tersebut adalah:

Bab I: Pendahuluan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang, maksud dan tujuan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penulisan dan sistematika penulisan.

Bab II: Dasar teori. Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan digunakan pada bab-bab selanjutnya seperti ruang linear, ruang metrik, kekonvergenan pada fungsi bernilai real, serta teori-teori lainnya yang membantu.

Bab III: Himpunan terukur, Fungsi Terukur dan Intergral Lebesgue. Pada bab ini akan dibahas mengenai ukuran Lebesgue, fungsi terukur Lebesgue dan integral Lebesgue.

Bab IV: Ruang Lebesgue. Pada bab ini akan mengenai kelas-kelas yang ada dalam ruang Lebesgue, pertidaksamaan Holder dan Minkowski, ruang Banach , sifat-sifat ruang Lebesgue dan fungsional linear terbatas dalam ruang Lebesgue.

Lp

Lp

Lp L^p

Lp

Bab V: Kesimpulan. Bab ini berisi kesimpulan dari materi-materi yang telah dibahas pada bab sebelumnya.

BAB II DASAR TEORI

Pada bab ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang digunakan sebagai pendukung di dalam penyusunan skripsi ini.

II.1 Himpunan

Dalam sub bab ini dibicarakan pengertian himpunan, operasi dan sifat yang berlaku pada himpunan, serta pengertian tentang relasi dan fungsi.

Definisi 2.1.1

Himpunan adalah sekumpulan elemen-elemen atau unsur yang memenuhi suatu aturan keanggotaan tertentu.

Jika x anggota himpunan H, dinotasikan dengan x∈H.

Definisi 2.1.2

Himpunan K disebut himpunan bagian H, ditulis dengan notasi , jika setiap anggota K menjadi anggota H.

K⊂H

Definisi 2.1.3

Irisan (intersection) dua himpunan H dan himpunan K didefinisikan sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yang sekaligus berada di dalam himpunan H dan di dalam himpunan K.

Irisan himpunan H dan himpunan K dinotasikan dengan H∩K.

Definisi 2.1.4

Gabungan (Union) dua himpunan H dan himpunan K didefinisikan sebagai himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota yang berada di dalam himpunan H atau didalam himpunan K.

Gabungan himpunan H dan himpunan K dinotasikan dengan H∪K.

Definisi 2.1.5

Diberikan sebarang himpunan A dan Himpunan B.

(i) Relasi dari A ke B adalah perkawanan anggota-anggota himpunan A dan anggota himpunan B.

(ii) Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memenuhi syarat setiap anggota himpunan mempunyai tepat satu kawan di himpunan B.

Fungsi f dari A ke B dinotasikan dengan f A: → . B

Definisi 2.1.6

Diberikan sebarang dua himpunan A dan himpunan B serta fungsi :

f A→ . Fungsi f dikatakan bijektif jika memenuhi syarat sebagai berikut: B (i) Jika f x

( )

1 = f x

( )

2 maka x₁= , untuk setiap x₂ x x₁, ₂∈ A dan (ii) Untuk setiap y∈ terdapat B x∈A sehingga ^{y= f x}

( )

Dari Definisi 2.1.6 akan diberikan definisi dua himpunan yang ekuivalen.

Definisi 2.1.7

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika terdapat fungsi bijektif :

f A→ . B

Definisi 2.1.8

Suatu himpunan A dikatakan berhingga (finite) jika A ekuivalen dengan

{

^{1, 2, 3,…n}

}

untuk suatu n∈ , jika tidak demikian disebut tak berhingga (infinite).

Definisi 2.1.9

Himpuanan A dikatakan terhitung (countable) jika A ekuivalen dengan , dan jika tidak demikian disebut tak terhitung (uncountable).

II.2 Beberapa Konsep Dalam

Dalam sub bab berikut ini akan dipelihatkan beberapa konsep dalam seperti: persekitaran, titik limit, kekonvergenan dan konsep-konsep lain yang berkaitan.

Definisi 2.2.1

Diberikan a∈ dan δ >0, persekitaran titik a dengan jari-jari δ didefinisikan sebagai

( ) {

^:

}

N_δ a = x∈ x a− <δ .

Definisi 2.2.2

Diberikan himpunan A⊂ .

Titik c∈ disebut titik limit A jika setiap ^Nδ

( )

^c memuat suatu dengan atau

a∈ a≠c

c titik limit A jika (hanya jika)

(

∀^Nδ

( )

^c

) (

^Nδ

( ) { }

^{c \ c} ∩ ≠ ∅^A

)

.

Contoh 2.2.3

Diberikan ^A=

(

^0,1

]

^.

Titik 1

c= , dengan 2 δ >0 maka 1 1 1

2 : 2 2

N_δ x x x 1

δ δ 2 δ

⎧ ⎫

⎛ ⎞ = ∈⎨ − < ⎬= − < < +

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

dan diantara 1

2 dan 1

2+ selalu ada minimal 1 bilangan rasional dan bilangan δ irasional, jadi titik 1

c= titik limit A. 2

Selanjutnya, berdasarkan definisi titik limit tersebut, akan diberikan definisi-definisi yang terkait dengan titik limit.

Definisi 2.2.4

Titik-titik anggota A⊂ yang bukan titik limit disebut titik terasing.

Definisi 2.2.5

Titik a∈ disebut titik dalam (interior point) himpunan A⊂ jika terdapat δ >0 sehingga ^Nδ

( )

^a ⊂^A.

Setelah diberikan definisi titik dalam, akan diberikan definisi himpunan terbuka, himpunan tertutup dan liput terbuka.

Definisi 2.2.6

Himpunan A⊂ disebut himpunan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam (interior point).

Definisi 2.2.7

Himpunan A⊂ disebut himpunan tertutup jika A^c = − terbuka. A

Definisi 2.2.8

Diberikan sebarang himpunan E⊂ dan keluarga himpunan terbuka dalam . Keluarga himpunan disebut liput terbuka (open cover) jika

H H

1 i i

E G

∞

=

⊂

∪

^{dengan Gi∈ H ,∀i}. Selanjutnya, jika serta liput terbuka E maka _B disebut liput bagian (sub cover) dari untuk E.

⊂

B H B

H

II.3 Supremum dan Infimum

Berikut ini diberikan definisi batas atas, batas bawah, supremum dan infimum suatu himpunan.

Definisi 2.3.1

Diberikan himpunan S⊂ ,S≠ ∅.

a) Bilangan real u disebut batas atas himpunan S jika x≤ untuk setiap u x∈S. Jika S mempunyai batas atas maka A dikatakan terbatas ke atas.

b) Bilangan real v disebut batas bawah himpunan S jika x≥ untuk setiap v x∈S.

Jika S mempunyai batas bawah maka A dikatakan terbatas ke bawah.

c) S dikatakan terbatas jika S mempunyai batas atas dan batas bawah.

Definisi 2.3.2

Diberikan himpunan S⊂ ,S≠ ∅.

1) Bilangan real M disebut batas atas terkecil (supremum) dari S, ditulis

( )

sup

M = S , jika (i) x≤M , ∀ ∈x S.

(ii) M ≤u, ∀u batas atas S.

2) Bilangan real m disebut batas bawah terbesar (infimum) dari S, ditulis , jika

( )

inf m= S

(i) x≥ , m ∀ ∈x S.

(ii) M ≥v, ∀v batas bawah S.

Setelah diberikan definisi tersebut, maka sifat-sifatnya akan diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 2.3.3

Diberikan himpunan S⊂ ,S≠ ∅ berlaku.

(i) Jika S terbatas ke atas, maka S mempunyai supremum.

(ii) Jika S terbatas ke bawah, maka S mempunyai infimum

(iii)Jika ^{M =sup}

( )

^S , maka untuk setiap ε >0 x₀∈ sehingga S M − < ε x₀ (iv) Jika ^m=inf

( )

^S , maka untuk setiap ^{ε >0} x1∈ sehingga S M + < ε x₁ (v) Jika A⊆B, maka supA≤supB dan inf A≥infB.

(vi) Jika x≤ , a ∀ ∈x S, maka ^{sup S}

( )

^≤a

(vii) Jika x≤ , a ∀ ∈x S, maka ^{sup S}

( )

^≤a

II.4 Barisan Dalam dan Kekonvergenannya

Dalam sub bab berikut akan dibicarakan barisan di dalam serta kekonvergenannya.

Definisi 2.4.1

Barisan bilangan real (singkatnya disebut barisan) adalah fungsi dari ke , barisan ditulis

{ }

xn dengan x_n∈ , untuk setiap n∈ .

Definisi 2.4.2

Titik x∈ disebut titik limit barisan

{ }

xn jika untuk setiap ε >0terdapat bilangan asli n₀ sehingga untuk setiap n≥n₀ berlaku x_n− <x ε. Dalam hal ini, dikatakan barisan

{ }

xn konvergen ke x, ditulis lim _n

n x x

→∞ = .

Definisi 2.4.3

Barisan

{ }

xn dikatakan terbatas jika terdapat bilangan M ≥0 sehingga xn ≤M, untuk setiap n∈ .

Teorema 2.4.4

Jika barisan

{ }

xn dengan x_n∈ konvergen maka

{ }

xn terbatas.

Bukti

Dimisalkan

{ }

xn konvergen ke x, diambil ε =1, maka terdapat sehingga untuk berlaku

n0∈

n≥n0 x_n− <x 1 atau dengan kata lain − <1 x₀− < atau x 1

1 0 1

x− <x < + x . Karena x≤ x maka untuk n≥n₀ berlaku x_n < +1 x .

Pandang himpunan

{

x1 , x2 ,…, x_n0₋1 ,1+ x .

}

Dipilih ^{M =max}

{

^{x1 , x2 ,…,xn0−1 ,1+ x}

}

^maka x_n ≤M untuk setiap n∈ . ■

Definisi 2.4.5

Diberikan barisan fungsi

{ }

fn , , dengan . Barisan fungsi

n:

f A⊆ → n∈

{ }

fn dikatakan konvergen demi titik pada A₀ ⊆ A ke fungsi f jika∀ ∈x A₀ berlaku ^lim n

( ) ( )

n f x f x

→∞ = . Dengan kata lain, barisan

{

fn

( )

x

}

konvergen ke

( )

f x .

Contoh 2.4.6

Barisan fungsi

{ }

fn dengan f_n: →

( )

f1 x =x

( )

2 / 2

f x =x

( )

3 / 3

f x =x

( )

^/

fn x =x n

( )

¹

lim _n lim lim 0 0

n n n

f x x x x

n n

→∞ = →∞ = →∞ = ⋅ =

Jadi

{

n

( ) }

f x x

n

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ konvergen titik demi titik ke fungsi f : → dengan

( )

⁰

f x = ∀ ∈x .

Definisi 2.4.7

Barisan fungsi

{ }

fn , dikatakan konvergen seragam (uniformly convergent) ke fungsi pada . Jika untuk setiap

n:

f A⊆ →

: 0

f A ⊆ →A A₀

ε >0 terdapat k∈ , sehingga untuk setiap n≥kdan untuk setiap x∈ A₀ berlaku fn

( )

x − f x

( )

< . ε

Contoh 2.4.8

Diberikan barisan fungsi

{ }

fn , dengan f_n: → dan n

( )

f x x

= n Untuk x= ∈1 , maka barisan bilangan real

{

^fn

( )

¹

}

¹

n

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ konvergen ke 0.

Untuk x=10∈ , maka barisan bilangan real

{

^fn

( )

¹⁰

}

¹⁰

n

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ konvergen ke 0.

Jadi, barisan fungsi

{ }

fn konvergen titik demi titik pada ke fungsi dengan

:

f → ^{f x}

( )

^{=0 ∀ ∈x .}

Barisan fungsi

{ }

fn tidak konvergen seragam pada sebab untuk ε₀ = untuk 1 setiap n_k∈ terdapat x_i∈ dengan n_k = dan k

nk

x = dengan sifat k

( ) ( ) ^{( ) ( )}

k k k k

n n n n

f x − f x = f k − f k

1 0 1 ε0

= − = ≥

II.5 Kekontinuan Fungsi

Pada bagian fungsi ini dibicarakan pengertian fungsi kontinu dan sifat-sifat fungsi kontinu.

Definisi 2.5.1

Suatu fungsi yang didefinisikan pada A dikatakan terbatas jika terdapat sehingga untuk setiap

0

M ≥ x∈A berlaku ^{f x}

( )

^{≤M .}

Definisi 2.5.2

Diberikan A⊂ dan a∈A.

Fungsi f A: → dikatakan Kontinu di a jika untuk setiap ε >0 terdapat δ >0sehingga untuk setiapx∈A dengan x− <a δ berlaku ^{f x}

( )

^{− f a}

( )

^{< . ε}

Setelah diberikan pengertian tentang fungsi kontinu, maka akan diberikan sifat-sifat fungsi kontinu dalam teorema berikut.

Teorema 2.5.3

Jika f kontinu di c, maka terdapat ^Nδ

( )

^c dan M >0 sehingga untuk

( )

x∈N_δ c berlaku ^{f x}

( )

^≤M

atau dengan kata lain, jika f kontinu di c, maka f terbatas pada suatu ^Nδ

( )

^c

Bukti

Ambil ε =1, terdapat δ >0 sehingga untuk x∈A dengan x− <c δ berlaku

( ) ( )

¹

f x − f c < .

Karena ^{f x}

( )

^{− f c}

( )

^{≤ f x}

( )

^{− f c}

( )

^{≤ f x}

( )

^{− f c}

( )

< , maka ¹

( )

¹

( )

f x < + f c , untuk ^x∈ ∩^{A N}δ

( )

^c . ■

Teorema 2.5.4

Jika fungsi-fungsi f g A, : → kontinu di c∈A, maka fungsi-fungsi , ,

f +g fg kf kontinu di c.

Bukti

(i) Ambil sebarang ε >0. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ₁ > sehingga 0 untuk x∈A dan x c− <δ₁ berlaku ^{f x}

( )

^{− f c}

( )

^{< . ε}

Karena g kontinu di c, maka terdapat δ₂ > sehingga untuk 0 x∈A dan x c− <δ₂ berlaku ^{g x}

( ) ( )

^{−g c < . ε}

Untuk x− <c δ dengan δ =min

{

δ δ1, 2

}

.

(

^{f +g}

)( ) (

^{x − f +g}

)( )

^{c = f x}

( ) ( )

^{+g x − f c}

( ) ( )

^{−g c}

^{≤ f x}

( )

^{− f c}

( )

^{+ g x}

( ) ( )

^{−g c}

< + =ε ε 2ε . Karena ε sebarang, maka berlaku

(

^{f +g}

)( ) (

^{x − f +g}

)( )

^{c < . ε}

Jadi f + kontinu di c. g (ii) Ambil sebarang ε >0.

Karena f terbatas, maka terdapat ^Nδ₁

( )

^c dan terdapat M >0 sehingga untuk

( )

f x ≤M , ∀ ∈^{x N}δ

( )

^c .

Karena f kontinu di c, maka terdapat δ₂ > sehingga untuk 0 x∈A dan x c− <δ₂ berlaku ^{f x}

( )

^{− f c}

( )

^{<ε/ 2M .}

Karena g kontinu di c, maka terdapat δ₃ > sehingga untuk 0 x∈A dan x c− <δ₃ berlaku ^{g x}

( ) ( )

^{−g c <ε/ 2g c}

( )

^.

Pilih δ =min

{

δ δ δ1, 2, 3

}

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

fg x − fg c = f x g x − f c g c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g c f x g c f c g c

= − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g c f x g c f c g c

≤ − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x g c f x f c g c

= − + −

( )

Mε ε g c

< +

(

^{M g c}

( ) )

ε

= +

ε

= Jadi fg kontinu di c.

(iii) Ambil ε >0 sebarang. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ >0 sehingga untuk untuk x∈A dan x− <c δ berlaku ^{f x}

( )

^{− f c}

( )

^{<ε k+ 1}

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

kf x −kf c = k f x − f c

( ) ( )

k f x f c

= −

1 k ε k

< +

Jadi kf kontinu di c. ■

II.6 Ruang Linear

Pada sub bab ini diberikan pengertian tentang ruang linear.

Definisi 2.6.1

Himpunan X disebut ruang linear atas lapangan , jika X dilengkapi dengan operasi jumlahan dan operasi perkalian skalar dan memenuhi aksioma- aksioma berikut.

1. Jika ,x y∈ maka x y XX + ∈ . 2. x+ = +y y x∀x y, ∈ . X

3. ^x+

(

^y+z

) (

^{= x+y}

)

^{+z ∀x y z, , ∈ . X}

4. terdapat 0∈X sehingga 0+ = + =u u 0 uuntuk setiap u∈X . 5. untuk u∈X terdapat − ∈u X yang disebut negative u, sehingga

( ) ( )

⁰. u+ − = − + =u u u

6. jika k adalah sebarang sklar dan u∈X maka ku∈X . 7. ^{k u}

(

^+v

)

^=ku+kv, ^{∀u v, ∈X} .

8.

(

^{k+l u}

)

^{=ku+lu∀ ∈u X} . 9. ^{k lu}

( )

^{=kl u}

( )

,^{∀ ∈u X}. 10. 1u=u,∀ ∈u X .

Teorema 2.6.2

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u adalah sebuah vektor pada V dan k sebuah skalar, maka berlaku

a) 0 u⋅ =u b) k0=0 c)

( )

^{−1 u= −u}

d) Jika ku=0 maka k=0 atau u=0

Selanjutnya pengertian tentang ruang bagian dinyatakan dalam definisi berikut.

Teorema 2.6.3

Himpunan bagian W dari sebuah ruang vektor V disebut ruang bagian (subspace) V jika W merupakan ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 2.6.4

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V maka W adalah ruang bagian V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

a) Jika u dan v adalah vektor pada W maka u+ terletak di W. v b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada

W maka ku berada di W.

II.7 Ruang Metrik dan Ruang Bernorma

Dalam sub bab ini akan dibicarakan pengertian ruang metrik, ruang bernorma, barisan Cauchy kemudian didefinisikan ruang Banach untuk digunakan pada pembicaraan berikunya.

Definisi 2.7.1

Diketahui himpunan kosong X.

Fungsi d X: × →X yang memenuhi i ^{d x y}

(

^,

)

^{≥0 ∀x y, ∈ . X}

ii ^{d x y}

(

^,

)

^{= ⇔ =0 x y ∀x y, ∈ . X} iii ^{d x y}

(

^,

)

^{=d y x}

(

^,

)

^{∀x y, ∈ . X}

iv ^{d x y}

(

^,

)

^{≤d x z}

( )

^{, +d z y}

( )

^{, ∀x y z, , ∈ . X}

disebut fungsi jarak atau metrik. Himpunan X yang diperlengkapi dengan metrik d ditulis

(

^{X d,}

)

^.

Definisi 2.7.2

Diberikan X ruang linear atas lapangan bilangan real atau bilangan kompkles. Norma dalam X merupakan fungsi bernilai real . dalam X dengan sifat-sifat sebagai berikut:

N1. x ≥0

dan x = ⇔ =0 x 0 ∀ ∈x X

N2. x+y ≤ x + y ∀x y, ∈ X N3. ax = a x ∀ ∈x X dan a skalar

Definisi 2.7.3

Ruang linear X yang dilengkapi dengan norma . dinamakan ruang linear bernorma atau disingkat ruang bernorma.

Ruang bernorma yang didefinisikan di atas dinotasikan dengan

(

^X,

)

yang sering ditulis dengan X saja.

Contoh 2.7.4

Diketahui ^{X =}

[ ]

^{a b,} himpunan semua fungsi pada

[ ]

^{a b, .}

Dengan norma ^{f =sup}

{

^{f x}

( )

^:x∈

[ ]

^{a b,}

}

^{∀ ∈f}

[ ]

^{a b, .}

Maka

(

^X,

)

merupakan ruang bernorma.

Bukti

Karena ^{X =}

[ ]

^{a b,} ruang linear maka cukup ditunjukkan bahwa . suatu norma.

1. Jika ^{f ∈}

[ ]

^{a b, maka f =sup}

{

^{f x}

( )

^:x∈

[ ]

^{a b,}

}

^{≥ dan 0}

( ) [ ]

{ } ^{( ) [ ]}

sup : , 0 0 ,

f = f x x∈ a b = ⇔ f x = ∀ ∈x a b 0

⇔ = f

N1 dipenuhi

2. ^{∀ ∈f}

[ ]

^{a b,} dan skalar a , akan berlaku

( ) [ ]

{ }

sup : ,

af = af x x∈ a b

( ) [ ]

{ }

sup a f x :x a b,

= ∈

( ) [ ]

{ }

sup : ,

a f x x a b

= ∈

= a f

N2 dipenuhi.

3. ^{∀f g, ∈}

[ ]

^{a,b berlaku f +g =sup}

{

^{f x}

( )

^{+g x}

( )

^:x∈

[ ]

^a,b

}

( ) ( ) [ ]

{ }

sup f x g x :x a b,

≤ + ∈

( ) [ ]

{ } { ^{( ) [ ]} }

sup f x :x a b, sup g x :x a b,

≤ ∈ + ∈

f g

= +

N3 dipenuhi.

Jadi, . merupakan norma pada X, dan

(

^X,

)

merupakan ruang bernorma. ■

Teorema 2.7.5

Jika

(

^X,

)

ruang bernorma maka X merupakan metrik terhadap d dengan ^{d x y}

(

^,

)

^{= −x y ∀x y, ∈ . X}

Bukti

Diambil sebarang , ,x y z∈ sehingga berlaku X 1) ^{d x y}

(

^,

)

^{= −x y ≥0}

( )

^{, 0 0}

d x y = −x y = ⇔ − = ⇔ =x y x y

2) ^{d x y}

( )

^{, = −x y = −}

( )(

^{1 y−x}

)

1 y x

= − −

y x

= −

(

^,

)

d y x

=

3) ^{d x y}

( )

^{, = −x y =}

(

^{x− + −z}

) (

^{z y}

)

x z z y

≤ − + −

( )

^,

( )

^,

d x z d z y

= +

Terbukti d merupakan metrik terhadap X. ■

Dengan demikian, terbukti bahwa

(

^X,

)

merupakan ruang metrik terhadap d yang didedfinisikan dengan ^{d x y}

(

^,

)

^{= −x y ∀x y, ∈ . X}

Definisi 2.7.6

Barisan

{ }

xn didalam ruang bernorma X dikatakan konvergen ke x∈X , jika diberikan ε >0, terdapat bilangan asli N sehingga berlaku

xn− <x ε untuk setiap n≥N Dalam hal ini ditulis x_n → atau limx _n

n x x

→∞ = .

Definisi 2.7.7

Barisan

{ }

xn didalam ruang bernorma X disebut barisan Cauchy jika diberikan ε >0, terdapat bilangan asli N sehingga berlaku

n m

x −x <ε untuk setiap n m, ≥N

Definisi 2.7.8

Suatu ruang bernorma dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy yang terdapat didalamnya konvergen, jelasnya untuk setiap barisan Cauchy

{ }

xn

dalam X, terdapat elemen x dalam X sehingga x_n → . x

Definisi 2.7.9

Ruang bernorma yang lengkap disebut ruang Banach.

Contoh 2.7.10

Ruang dan ruang (himpunan semua bilangan real dan bilangan kompleks) merupakan ruang Banach dengan norma . didefinisikan sebagai

x = x , x∈ ( atau ).

Definisi 2.7.11

Barisan

{ }

xn dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah (summable) ke suatu jumlahan s jika

{ }

sn yaitu jumlahan parsial dari deret

1 k k

x

∞

∑

= konvergen ke s∈X .

Atau

n 0

s − →s jika n→ ∞

1

0

n k k

x s

=

∑

− → ^{jika n→ ∞}

Definisi 2.7.12

Barisan

{ }

xn dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah absolute (absolutely summable) jika

1 k k

x

∞

=

< ∞

∑

^.

Teorema 2.7.13

Ruang bernorma X lengkap jika dan hanya jika setiap barisan yang terjumlah absolute (absolutely summable) dalam X juga terjumlah (summable).

Bukti

⇒ Diketahui ruang bernorma X lengkap.

Diberikan

{ }

xn barisan yang terjumlah absolute dalam X maka

1 n n

x M

∞

=

= < ∞

∑

Karena itu, untuk setiap ε >0, terdapat N sehingga

1 n n

x ε

∞

=

∑

< ^.

Katakan

1 n n

k

s

=

=

∑

x_k merupakan jumlahan parsial dari

1 n n

x

∞

∑

= ^{. Untuk}

diperoleh

n≥ >m N

1 n

n m k

k m

s s x

= +

− =

∑

1 n

k k

k m k N

x ^∞ x ε

= + =

≤

∑

≤

∑

< ^.

Jadi barisan

{ }

sn merupakan barisan Cauchy dalam X, karena X lengkap maka

{ }

sn pasti akan konvergen ke suatu s∈X . Karena itu

{ }

xn terjumlah dalam X.

⇐ Diketahui setiap barisan terjumlah absolute dalam X memiliki sifat terjumlah.

Diberikan

{ }

xn barisan Cauchy dalam X maka untuk setiap k, diberikan

1 0

2^k

ε = > , terdapat sehingga n_k

1

n m 2k

x −x < ∀n m, > . n_k

Dipilih n_k dengan n_k+1 >n_k, maka

{ }

xnk merupakan sub barisan dari

{ }

xn , di bentuk

1 n1

y =x

2 1

2 n n

y =x −x

1

k k

k n n

y =x −x ₋

Diperoleh

1. ,

1 k

t n

t

y x

=

∑

=

2. 1

t 2k

y < , k >1,

berakibat

1

1 1

1 2

2 ^k 1

k

k k

y y y

∞ ∞

−

= =

< + = + <

∑ ∑

^∞

Jadi, barisan

{ }

xn terjumlah absolute dan karena itu terjumlah ke suatu x∈X .

Karena

{ }

xn berisan Cuchy, diberikan ε >0 terdapat N sehingga

n m 2

x x ε

− < ∀n m, > N

Lebih lanjut, karena

nk

x konvergen ke x, terdapat K sehingga

2

nk

x x ε

− < ∀ >k K

Dipilih k sangat besar k>N dan n_k >N. Karena itu

k k

n n n n

x − ≤x x −x + x − x

2 2 ε ε ε

< + < ∀ >n K . ■

Berikut ini akan diberikan definisi fungsional linear dan fungsional linear terbatas.

Definisi 2.7.14

Diberikan X ruang bernorma atas lapangan (atau ). Pemetaan (atau ) disebut fungsional linear pada X jika

: f X →

( ) ( ) ( )

f αx+βy =α f x +β f y , untuk setiap ,x y∈ dan ,X α β∈ (atau ).

Definisi 2.7.15

Suatu fungsional linear f pada ruang bernorma X dikatakan terbatas jika terdapat K >0 sehingga

( )

f x ≤K x . ∀ ∈x X (1)

Nilai terkecil K sehingga pernyataan (1) berlaku disebut norma f, ditulis dengan f . Selanjutnya, diperoleh

sup f x

( )

: 0 dan

f x x

x

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ≠ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ∈X⎭

atau

{ ( ) }

sup : dan 1

f = f x x∈X x =

dan juga

( )

f x ≤ f x ∀ ∈x X .

BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR

DAN INTEGRAL LEBESGUE

Pada bab ini diberikan definisi himpunan terukur, fungsi terukur dan integral Lebesgue, yang digunakan sebagai pendukung dalam pembahasan skripsi ini.

III.1 Himpunan Terukur

Pada bagian ini dibicarakan himpunan terukur dan beberapa sifat-sifatnya.

Definisi 3.1.1

Diketahui X ≠ ∅

Koleksi A ={ :A A⊆ }X disebut aljabar himpunan jika

i. ∀A B, ∈A ⇒ ∪ ∈A B A ii. ∀ ∈A A ⇒A^c∈A

Dengan menggunakan hukum De Morgan jika X ≠ ∅ dan aljabar himpunan diperoleh

A

,

A B∈A ⇒ ∩ ∈A B A

Definisi 3.1.2

Diberikan X ≠ ∅ dan koleksi A ={ :A A⊆ }X disebut aljabar_σ jika

i.

1

i i

i

A ^∞ A

=

∀ ∈^A ⇒

∪

∈^A

ii. ∀ ∈A A ⇒A^c∈A

Pengertian tentang ukuran luar suatu himpunan, diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 3.1.3

Diberikan interval terbatas , dengan titik-titik ujungnya a dan b, katakana . Panjang interval I, ditulis l(I) dengan

I ⊆

≤b

( ) l I = − b a

Definisi 3.1.4

Diberikan himpunan J ^{= /}

{

^{I I interval terbuka}

}

dan himpunan E⊂ Ukuran luar Lebesgue atau ukuran luar E didefinisikan sebagai

( ) ( )

*

1 1

inf _i / _i , _i

i i

m E ^∞ l I I E ^∞ I

= =

⎧ ⎫

= ⎨ ∈ ⊂ ⎬

⎩

∑

^J

∪

⎭

Berdasarkan pengertian di atas, dapat ditunjukkan beberapa sifat yang berkaitan dengan ukuran luar, yang dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 3.1.5 (Gupta 1976, hal 56) Diberikan himpunan A B, ⊂

a) ^{m A*}

( )

^≥0, untuk semua himpunan A.

b) ^m*

( )

^{∅ =0}

c) Jika diberikan himpunan A dan B dengan A⊂ maka B ^{m A*}

( )

^{≤m B*}

( )

. d) ^{m A*}

( )

⁼⁰ untuk setiap himpunan A singleton.

e) Fungsi m* bersifat translasi invariant artinya ^{m A x*}

(

⁺

)

^{=m A*}

( )

^untuk

setiap himpunan A dan x∈ .

Teorema 3.1.6 (Gupta 1976, hal 57)

Ukuran luar dari suatu interval adalah panjang dari interval tersebut.

Dalam teorema berikut, diperlihatkan bahwa bersifat countable subadditivity.

m*

Teorema 3.1.7 (Gupta 1976, hal 58)

Diberikan koleksi terhitung himpunan-himpunan

{ }

En maka berlaku

( )

* *

1 1

n n

n n

m ^∞ E ^∞ m E

=

=

⎛ ⎞≤

⎜ ⎟

⎝

∪

⎠

∑

Akibat 3.1.8

Jika E himpunan terhitung (countable), maka ^{m E*}

( )

^.

Bukti

Karena himpunan E terhitung, maka dapat dinyatakan dengan

{

1, , , ,2 _n

}

E= a a … a …

Diberikan ε > 0, untuk setiap a _i terliput dalam I dengan _i l I( ) 2= ⁻¹ε ( i = 1, 2, )…

diperoleh

( ) ( )

* 1

1 1

i 2

i i

m E ^∞ l I ^{∞ −} ε ε

= =

≤

∑

=

∑

=

Jadi,^{m E*}

( )

⁼⁰. ^■

Berdasarkan pengertian ukuran luar di atas diperoleh pengertian ukuran Lebesgue dan pada bagian berikut akan dibicarakan beberapa sifat himpunan terukur.

Definisi 3.1.9

Himpunan dikatakan terukur Lebesgue selanjutnya dikatakan terukur jika untuk setiap himpunan

E⊂

A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A =m A E∩ +m A E∩

Karena ^A=

(

^{A E∩}

)

^∪

(

^{A E∩ c}

)

^dan bersifat countable subadditivity, maka jelas berlaku

m*

( ) ( ) ( )

* * * c

m A ≤m A E∩ +m A E∩

Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan E terukur hanya perlu dibuktikan bahwa berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A ≥m A E∩ +m A E∩

Pada teorema-teorema berikut diberikan beberapa sifat himpunan terukur.

Teorema 3.1.10

a) Jika E terukur maka E^c juga terukur.

b) ∅dan merupakan himpunan terukur.

Bukti

a) Diketahui E terukur berarti untuk A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A =m A E∩ +m A E∩

( ( ) ) ^{( )}

* c c * c

m A E m A E

= ∩ + ∩

( ) ( ( ) )

* c * c c

m A E m A E

= ∩ + ∩

Jadi E^c terukur.

b) Terlebih dahulu akan dibuktikan ∅ terukur Ambil sebarang A⊂

Karena

(

^{A∩ ∅ ⊂ ∅}

)

^{maka m A*}

(

^{∩ ∅ ≤}

)

^m*

( )

^{∅ =0}

Karena

(

^A∩∅ ⊂ maka ^c

)

^{A m A*}

(

^{∩∅ ≤c}

)

^{m A*}

^{( )}

Diperoleh ^m*

( )

^{∅ ≥m A*}

(

^{∩∅ +}

)

^{m A*}

(

^{∩∅ c}

)

∅ terukur

Menggunakan sifat a) diperoleh terukur. ■

Teorema 3.1.11

Jika ^{m E*}

( )

⁼⁰, maka E terukur.

Selanjutnya setiap subset E terukur.

Bukti

Diberikan A sebarang himpunan,

Karena A E∩ ⊂ diperoleh E ^{m A E*}

(

^∩

)

^{≤m E*}

( )

⁼⁰

dan

(

^{A E∩ c}

)

⊂ A diperoleh ^{m A E*}

(

^{∩ c}

)

^{≤m A*}

^{( )}

dan berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A ≥m A E∩ +m A E∩

( ) ( ) ( )

* * *

m A ≥m E +m A

( ) ( )

* 0 *

m A ≥ +m A

( ) ( )

* *

m A ≥ +m A Terbukti E terukur.

Kemudian akan dibuktikan setiap subset E juga terukur.

Diambil sebarang B⊂E Maka m B^*( )≤m E^*( )

Akibatnya m* (B) ≤ 0, jadi m* (B) = 0 Menurut bukti sebelumnya, B terukur. ■

Teoreme 3.1.12 (gupta 1976. hal 66)

Jika dan E E₂ himpunan terukur maka E₁∪E₂ terukur.

Bukti

Diambil sebarang himpunan A⊂

Akan ditunjukkan ^{m A*}

( )

^{≥m A*}

(

^∩

[

^E1∪E2

] )

^{+m A*}

(

^∩

[

^E1∪E2

]

^c

)

Diketahui E₂ himpunan terukur, maka untuk setiap A⊂ berlaku

( ) ( ) ( )

* * *

2 2

m A =m A E∩ +m A E∩ c

Akibatnya untuk A E∩ ₁^c diperoleh

( ) ( ) ^{( [ ] )}

* * *

1 1 2 1

c c

m A E∩ =m ⎡⎣A E∩ ⎤⎦∩E +m A E∩ ∩E^2c (1) Karena A∩

(

E1∪E2

) (

= A E∩ 1

) (

∪ A E∩ 2

)

(

^{⎡A E1c⎤ E2}

) ^{( [}

^{A E1}

^]

^E

⁾

= ⎣ ∩ ⎦∩ ∪ ∩ ∩ ²

(

^{A E1}

) (

^{⎡A E1c⎤ E}2

)

= ∩ ∪ ⎣ ∩ ⎦∩

maka diperoleh

[ ]

( ) ( ) ( )

* * *

1 2 1 1 2

m A∩ E ∪E ≤m A E∩ +m ⎡⎣A E∩ c⎤⎦∩E (2) Dari (1) dan (2) diperoleh

[ ]

( ) ( [ ] )

* *

1 2 1 2

m A∩ E ∪E +m A∩ E ∪E c

( ) ( ) ( ^{[ ]} )

* * *

1 1 2 1

c c

m A E m ⎡A E ⎤ E m A E E

≤ ∩ + ⎣ ∩ ⎦∩ + ∩ ∪ ²

( ) ( ) ^{( )}

* * *

1 1 2 1

c c

m A E m ⎡A E ⎤ E m A E E

= ∩ + ⎣ ∩ ⎦∩ + ∩ ∩ ^2c

( ) ( ) ( )

* * *

1 1 2 1

c c

m A E m ⎡A E ⎤ E m ⎡A E ⎤ E

= ∩ + ⎣ ∩ ⎦∩ + ⎣ ∩ ⎦∩ ^2c

( ) ( )

* *

1 1

m A E m A Ec

= ∩ + ∩

( )

m A*

=

Terbukti E₁∪E₂ terukur. ■

Teorema 3.1.13

Jika himpunan-himpunan terukur Lebesgue yang saling asing, maka untuk setiap

1, 2, , _n E E … E ⊂

A⊂ berlaku

( )

* *

1 1

n n

i i

i i

m A E m A E

=

=

⎛ ∩⎡ ⎤⎞= ∩

⎜ ⎢ ⎥⎟

⎣ ⎦

⎝

∪

⎠

∑

Bukti (dengan induksi matematika) Untuk n = 1 teorema jelas berlaku karena

( ) ( )

* *

1 1

m A E∩ =m A E∩ Diandaikan benar untuk n – 1 maka berlaku

( )

1 1

* *

1 1 1

n n

i i i

m A E m A E

− −

=

=

⎛ ∩⎡ ⎤⎞= ∩

⎜ ⎢ ⎥⎟

⎣ ⎦

⎝

∪

⎠

∑

selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n.

Karena E E₁, ₂, ,… E_n saling asing maka

( )

1 1

* 1 1

n n

i n

i i

A ⁻ E E ⁻ m A Ei

=

=

⎛ ∩⎡ ⎤∩ ⎞= ∩

⎜ ⎢ ⎥ ⎟

⎣ ⎦

⎝

∪

⎠

∑

dan

1

1 1

n n

c

i n

i i

A E E A ⁻ Ei

= =

⎛ ⎡ ⎤ ⎞

∩ ∩ = ∩

⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎟

⎝

∪

⎠

∪

Oleh karena itu