Ruang Metrik dan Ruang Bernorma

BAB II DASAR TEORI

II.7 Ruang Metrik dan Ruang Bernorma

Dalam sub bab ini akan dibicarakan pengertian ruang metrik, ruang bernorma, barisan Cauchy kemudian didefinisikan ruang Banach untuk digunakan pada pembicaraan berikunya.

Definisi 2.7.1

Diketahui himpunan kosong X.

Fungsi d X: × →X yang memenuhi i ^{d x y}

(

^,

)

^{≥0 ∀x y, ∈ . X}

ii ^{d x y}

(

^,

)

^{= ⇔ =0 x y ∀x y, ∈ . X} iii ^{d x y}

(

^,

)

^{=d y x}

(

^,

)

^{∀x y, ∈ . X}

iv ^{d x y}

(

^,

)

^{≤d x z}

( )

^{, +d z y}

( )

^{, ∀x y z, , ∈ . X}

disebut fungsi jarak atau metrik. Himpunan X yang diperlengkapi dengan metrik d ditulis

(

^{X d,}

)

^.

Definisi 2.7.2

Diberikan X ruang linear atas lapangan bilangan real atau bilangan kompkles. Norma dalam X merupakan fungsi bernilai real . dalam X dengan sifat-sifat sebagai berikut:

N1. x ≥0

dan x = ⇔ =0 x 0 ∀ ∈x X

N2. x+y ≤ x + y ∀x y, ∈ X N3. ax = a x ∀ ∈x X dan a skalar

Definisi 2.7.3

Ruang linear X yang dilengkapi dengan norma . dinamakan ruang linear bernorma atau disingkat ruang bernorma.

Ruang bernorma yang didefinisikan di atas dinotasikan dengan

(

^X,

)

yang sering ditulis dengan X saja.

Contoh 2.7.4

Diketahui ^{X =}

[ ]

^{a b,} himpunan semua fungsi pada

[ ]

^{a b, .}

Dengan norma ^{f =sup}

{

^{f x}

( )

^:x∈

[ ]

^{a b,}

}

^{∀ ∈f}

[ ]

^{a b, .}

Maka

(

^X,

)

merupakan ruang bernorma.

Bukti

Karena ^{X =}

[ ]

^{a b,} ruang linear maka cukup ditunjukkan bahwa . suatu norma.

1. Jika ^{f ∈}

[ ]

^{a b, maka f =sup}

{

^{f x}

( )

^:x∈

[ ]

^{a b,}

}

^{≥ dan 0}

( ) [ ]

{ } ^{( ) [ ]}

sup : , 0 0 ,

f = f x x∈ a b = ⇔ f x = ∀ ∈x a b 0

⇔ = f

N1 dipenuhi

Bukti

Diambil sebarang , ,x y z∈ sehingga berlaku X 1) ^{d x y}

(

^,

)

^{= −x y ≥0}

( )

^{, 0 0}

d x y = −x y = ⇔ − = ⇔ =x y x y

2) ^{d x y}

( )

^{, = −x y = −}

( )(

^{1 y−x}

)

1 y x

= − −

y x

= −

(

^,

)

d y x

=

3) ^{d x y}

( )

^{, = −x y =}

(

^{x− + −z}

) (

^{z y}

)

x z z y

≤ − + −

( )

^,

( )

^,

d x z d z y

= +

Terbukti d merupakan metrik terhadap X. ■

Dengan demikian, terbukti bahwa

(

^X,

)

merupakan ruang metrik terhadap d yang didedfinisikan dengan ^{d x y}

(

^,

)

^{= −x y ∀x y, ∈ . X}

Definisi 2.7.6

Barisan

{ }

xn didalam ruang bernorma X dikatakan konvergen ke x∈X , jika diberikan ε >0, terdapat bilangan asli N sehingga berlaku

xn− <x ε untuk setiap n≥N Dalam hal ini ditulis x_n → atau limx _n

n x x

→∞ = .

Definisi 2.7.7

Barisan

{ }

xn didalam ruang bernorma X disebut barisan Cauchy jika diberikan ε >0, terdapat bilangan asli N sehingga berlaku

n m

x −x <ε untuk setiap n m, ≥N

Definisi 2.7.8

Suatu ruang bernorma dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy yang terdapat didalamnya konvergen, jelasnya untuk setiap barisan Cauchy

{ }

xn

dalam X, terdapat elemen x dalam X sehingga x_n → . x

Definisi 2.7.9

Ruang bernorma yang lengkap disebut ruang Banach.

Contoh 2.7.10

Ruang dan ruang (himpunan semua bilangan real dan bilangan kompleks) merupakan ruang Banach dengan norma . didefinisikan sebagai

x = x , x∈ ( atau ).

Definisi 2.7.11

Barisan

{ }

xn dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah (summable) ke suatu jumlahan s jika

{ }

sn yaitu jumlahan parsial dari deret

1

Barisan

{ }

xn dalam ruang bernorma X dikatakan terjumlah absolute (absolutely summable) jika

1

Teorema 2.7.13

Ruang bernorma X lengkap jika dan hanya jika setiap barisan yang terjumlah absolute (absolutely summable) dalam X juga terjumlah (summable).

Bukti

⇒ Diketahui ruang bernorma X lengkap.

Diberikan

{ }

xn barisan yang terjumlah absolute dalam X maka

1

=

∑

x_k merupakan jumlahan parsial dari

1

Jadi barisan

{ }

sn merupakan barisan Cauchy dalam X, karena X lengkap maka

{ }

sn pasti akan konvergen ke suatu s∈X . Karena itu

{ }

xn terjumlah dalam X.

⇐ Diketahui setiap barisan terjumlah absolute dalam X memiliki sifat terjumlah.

Diberikan

{ }

xn barisan Cauchy dalam X maka untuk setiap k, diberikan

1 0

Karena

{ }

xn berisan Cuchy, diberikan ε >0 terdapat N sehingga

x konvergen ke x, terdapat K sehingga

2

Berikut ini akan diberikan definisi fungsional linear dan fungsional linear terbatas.

Definisi 2.7.14

Diberikan X ruang bernorma atas lapangan (atau ). Pemetaan (atau ) disebut fungsional linear pada X jika

: f X →

( ) ( ) ( )

f αx+βy =α f x +β f y , untuk setiap ,x y∈ dan ,X α β∈ (atau ).

Definisi 2.7.15

Suatu fungsional linear f pada ruang bernorma X dikatakan terbatas jika terdapat K >0 sehingga

( )

f x ≤K x . ∀ ∈x X (1)

Nilai terkecil K sehingga pernyataan (1) berlaku disebut norma f, ditulis dengan f . Selanjutnya, diperoleh

sup f x

( )

: 0 dan

f x x

x

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ≠ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ∈X⎭

atau

{ ( ) }

sup : dan 1

f = f x x∈X x =

dan juga

( )

f x ≤ f x ∀ ∈x X .

BAB III HIMPUNAN TERUKUR, FUNGSI TERUKUR

DAN INTEGRAL LEBESGUE

Pada bab ini diberikan definisi himpunan terukur, fungsi terukur dan integral Lebesgue, yang digunakan sebagai pendukung dalam pembahasan skripsi ini.

III.1 Himpunan Terukur

Pada bagian ini dibicarakan himpunan terukur dan beberapa sifat-sifatnya.

Definisi 3.1.1

Diketahui X ≠ ∅

Koleksi A ={ :A A⊆ }X disebut aljabar himpunan jika

i. ∀A B, ∈A ⇒ ∪ ∈A B A ii. ∀ ∈A A ⇒A^c∈A

Dengan menggunakan hukum De Morgan jika X ≠ ∅ dan aljabar himpunan diperoleh

A

,

A B∈A ⇒ ∩ ∈A B A

Definisi 3.1.2

Diberikan X ≠ ∅ dan koleksi A ={ :A A⊆ }X disebut aljabar_σ jika

i.

1

i i

i

A ^∞ A

=

∀ ∈^A ⇒

∪

∈^A

ii. ∀ ∈A A ⇒A^c∈A

Pengertian tentang ukuran luar suatu himpunan, diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 3.1.3

Diberikan interval terbatas , dengan titik-titik ujungnya a dan b, katakana . Panjang interval I, ditulis l(I) dengan

I ⊆ Ukuran luar Lebesgue atau ukuran luar E didefinisikan sebagai

( ) ( )

Berdasarkan pengertian di atas, dapat ditunjukkan beberapa sifat yang berkaitan dengan ukuran luar, yang dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 3.1.5 (Gupta 1976, hal 56) Diberikan himpunan A B, ⊂

a) ^{m A*}

( )

^≥0, untuk semua himpunan A.

b) ^m*

( )

^{∅ =0}

c) Jika diberikan himpunan A dan B dengan A⊂ maka B ^{m A*}

( )

^{≤m B*}

( )

. d) ^{m A*}

( )

⁼⁰ untuk setiap himpunan A singleton.

e) Fungsi m* bersifat translasi invariant artinya ^{m A x*}

(

⁺

)

^{=m A*}

( )

^untuk

setiap himpunan A dan x∈ .

Teorema 3.1.6 (Gupta 1976, hal 57)

Ukuran luar dari suatu interval adalah panjang dari interval tersebut.

Dalam teorema berikut, diperlihatkan bahwa bersifat countable subadditivity.

m*

Teorema 3.1.7 (Gupta 1976, hal 58)

Diberikan koleksi terhitung himpunan-himpunan

{ }

En maka berlaku

( )

* *

1 1

n n

n n

m ^∞ E ^∞ m E

=

=

⎛ ⎞≤

⎜ ⎟

⎝

∪

⎠

∑

Akibat 3.1.8

Jika E himpunan terhitung (countable), maka ^{m E*}

( )

^.

Bukti

Karena himpunan E terhitung, maka dapat dinyatakan dengan

{

1, , , ,2 _n

}

Berdasarkan pengertian ukuran luar di atas diperoleh pengertian ukuran Lebesgue dan pada bagian berikut akan dibicarakan beberapa sifat himpunan terukur.

Definisi 3.1.9

Himpunan dikatakan terukur Lebesgue selanjutnya dikatakan terukur jika untuk setiap himpunan

E⊂

Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan E terukur hanya perlu dibuktikan bahwa berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A ≥m A E∩ +m A E∩

Pada teorema-teorema berikut diberikan beberapa sifat himpunan terukur.

Teorema 3.1.10

b) Terlebih dahulu akan dibuktikan ∅ terukur Ambil sebarang A⊂

Karena

(

^{A∩ ∅ ⊂ ∅}

)

^{maka m A*}

(

^{∩ ∅ ≤}

)

^m*

( )

^{∅ =0}

Karena

(

^A∩∅ ⊂ maka ^c

)

^{A m A*}

(

^{∩∅ ≤c}

)

^{m A*}

^{( )}

Diperoleh ^m*

( )

^{∅ ≥m A*}

(

^{∩∅ +}

)

^{m A*}

(

^{∩∅ c}

)

∅ terukur

Menggunakan sifat a) diperoleh terukur. ■

Teorema 3.1.11

Jika ^{m E*}

( )

⁼⁰, maka E terukur.

Selanjutnya setiap subset E terukur.

Bukti

Diberikan A sebarang himpunan,

Karena A E∩ ⊂ diperoleh E ^{m A E*}

(

^∩

)

^{≤m E*}

( )

⁼⁰

Kemudian akan dibuktikan setiap subset E juga terukur.

Diambil sebarang B⊂E Maka m B^*( )≤m E^*( )

Akibatnya m* (B) ≤ 0, jadi m* (B) = 0 Menurut bukti sebelumnya, B terukur. ■

Teoreme 3.1.12 (gupta 1976. hal 66)

Jika dan E E₂ himpunan terukur maka E₁∪E₂ terukur.

Bukti

Diambil sebarang himpunan A⊂

Akan ditunjukkan ^{m A*}

( )

^{≥m A*}

(

^∩

[

^E1∪E2

] )

^{+m A*}

(

^∩

[

^E1∪E2

]

^c

)

Dari (1) dan (2) diperoleh

[ ]

( )

m A*

=

Terbukti E₁∪E₂ terukur. ■

Teorema 3.1.13

Jika himpunan-himpunan terukur Lebesgue yang saling asing, maka untuk setiap

1, 2, , _n

Bukti (dengan induksi matematika) Untuk n = 1 teorema jelas berlaku karena

( ) ( )

* *

1 1

m A E∩ =m A E∩ Diandaikan benar untuk n – 1 maka berlaku

( )

selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n.

Karena E E₁, ₂, ,… E_n saling asing maka

* * 1 *

Jika koleksi semua himpunan terukur dalam dinamakan _M, maka _M merupakan Aljabar_σ.

Definisi 3.1.15

Diketahui fungsi^m:M→ ^.+ =

[ ]

⁰.∞ Untuk setiap E∈M, ^{m E}

( )

^{=m E*}

( )

m disebut ukuran Lebesgue.

Teorema 3.1.16

Jika {E} merupakan barisan himpunan terukur, maka

( )

Lebih lanjut lagi jika {E} saling asing, maka

( )

Dengan mengambil A= menurut Teorema 3.1.7 diperoleh

( )

Jika

{ }

Ei barisan berhingga himpunan terukur saling asing dengan mengambil A= di dalam Teorema 3.1.13 diperoleh

( )

Jika barisan

{ }

Ei infinite dari himpunan terukur saling asing maka

1 1 Karena ruas kiri (i) tidak tergantung pada n, maka

( )

Menurut Teorema 3.1.7 diperoleh

( )

Dari (ii) dan (iii) diperoleh

( )

Teorema 3.1.17 (Gupta 1976, hal 75)

Jika

{ }

Ei barisan himpunan terukur turun monoton yaitu E_i+1⊆E_i ;

Akibat 3.1.18 (Gupta 1976, hal 76)

Jika

{ }

Ei barisan himpunan terukur turun monoton dan ,

Diberikan E himpunan terukur, maka untuk suatu translasi E + y juga terukur dan

m (E + y) = m (E).

Bukti

Diberikan sebarang himpunan A. karena E terukur maka berlaku

( ) ( ) ( )

* * * c

m A =m A E∩ +m A E∩ . Diketahui bahwa m^* bersifat translasi invariant maka diperoleh

( ) ( [ ] ) ( )

Karena A sebarang maka A dapat diganti dengan A – y maka diperoleh

( ) ( ) ( )

* * * c

m A =m A E y∩ + +m A E∩ +y karena ^{Ec+ =y}

(

^{E y+}

)

^c

jadi E + y terukur. Karena m^*bersifat translasi invarian maka benar bahwa m (E+ y) = m (E). ■

Definisi 3.1.20

Himpunan terukur E dikatakan berukuran nol jika m (E) = 0. Suatu sifat dikatakan berlaku hampir di mana-mana (almost everywhere) jika sifat tersebut berlaku pada E kecuali pada himpunan bagian E yang berukuran nol.

III.2 Fungsi Terukur

Pada bagian ini dibicarakan pengertian fungsi terukur, yang mempunyai peranan yang sangat penting untuk mendefinisikan integral Lebesgue.

Definisi 3.2.1

Fungsi bernilai real yang diperluas f yang didefinisikan pada E dikatakan terukur Lebesgue atau terukur pada E, jika himpunan

( ) {

^:

( ) }

E f >a = x E f x∈ >a terukur, untuk setiap a∈ .

Berikut ini akan diberikan beberapa operasi dan sifat yang berlaku pada fungsi terukur.

Teorema 3.2.2 (Gupta 1976, hal 89)

Diberikan fungsi bernilai real yang diperluas f yang didefinisikan pada E, maka pernyataan-pernyataan di bawah ini equivalent:

a. Untuk setiap a∈ , E (f > a) terukur.

b. Untuk setiap a∈ , E (f ≥ a) terukur.

c. Untuk setiapa∈ , E (f < a) terukur.

d. Untuk setiap a∈ , E (f ≤ a) terukur.

Teorema 3.2.3 (Gupta 1976, hal 95)

Diberikan f dan g fungsi-fungsi terukur pada E, dan konstanta c. maka setiap fungsi di bawah ini terukur

a. f ± c b. cf

c. f + g d. f – g e. f f. f ² g. fg

h. f / g dengan g (x) ≠ 0, ∀ ∈x E.

Teorema 3.2.4 (Gupta 1976, hal 103)

Fungsi kontinu yang didefinisikan pada himpunan terukur merupakan fungsi terukur.

Teorema 3.2.5 (Gupta 1976, hal 103)

Jika g fungsi terukur pada himpunan terukur E dan didefinisikan fungsi f kontinu pada range g maka f g merupakan fungsi terukur pada E.

Definisi 3.2.6

Diberikan f fungsi bernilai real. f⁺ bagian positif f dan f⁻ bagian negatif f. Keduanya didefinisikan sebagai fungsi non-negatif

dengan

f⁺ = max (f, 0), dan f⁻= max (-f, 0).

Diperoleh

f = f⁺+ f⁻ Atau dapat dinyatakan dengan

lim sup_{n n} inf sup _k

maka lim sup_{n n} inf sup _k

Teorema 3.2.9 (Gupta 1976, hal 104)

Jika f fungsi terukur pada E, maka f , ^{f p}

(

^p>0

)

^{, e( )cf , f+ dan f−}

merupakan fungsi terukur pada E.

Teorema 3.3.3 (Gupta 1976, hal 106) Æga keliru ta?bukan Teorema 3.2.10?

Diketahui f dan g fungsi-fungsi yang didefinisikan pada himpunan terukur e sehingga f = hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E. Jika g g terukur maka f terukur.

Teorema 3.2.11 (Gupta 1976, hal 107)

Jika fungsi f didefinisikan pada himpunan terukur E dan kontinu hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E, maka f terukur pada E.

Definisi 3.2.12

Barisan fungsi

{ }

fn yang didefinisikan pada E dikatakan konvergen hamper di mana-mana ke fungsi f jika

( ) ( )

lim _n

n f x f x

→∞ = ,

Untuk setiap x E E∈ − dengan ₁ E₁⊂E dan m E

(

1 =0

)

.

Teorema 3.2.13 (Gupta 1976, hal 107)

Jika barisan fungsi terukur

{ }

fn konvergen hampir di mana-mana (almost everywhere) ke fungsi f, maka f terukur.

Berikut ini akan diberikan definisi fungsi tangga. Fungsi tangga akan sangat berguna dalam pengintegralan.

Definisi 3.2.14

Fungsi ^{ρ: ,}

[ ]

^{a b →} disebut fungsi tangga jika terdapat partisi

{

a x= 0 <x1<x2 < <x_n =b

}

⊆

[ ]

a b,

sehingga untuk setiap subinterval

(

x_i−1,x_i

)

, fungsi ρ bernilai konstan

( )

x ci

Jika α dan β konstan, maka fungsi f merupakan fungsi tangga.

Fungsi karakteristik yang akan didefinisikan berikut ini, merupakan bagian yang sangat penting dalam mendefinisikan integral Lebesgue.

Definisi 3.2.16

Diberikan himpunan E ≠ ∅ dan E⊆ X. Fungsi karakteristik χ_E untuk E adalah fungsi bernilai real pada X dengan

( )

1 jika

Beberapa sifat sederhana fungsi karakteristik akan diberikan pada teorema berikut.

Teorema 3.2.17 (Gupta 1976, hal 100) Diberikan ,A B⊂ berlaku E

(a) χ_∅ = dan 0 χ_E = . 1

(b) Jika A⊂ maka B χ_A ≤χ_B..

(c) χ_{A B∪} =χ_A+χ_B−χ_{A B∩} . (d) χ_{A B∩} =χ χ_A. _B

(e) Jika

{ }

Ei merupakan koleksi himpunan bagian E yang saling asing maka

Selanjutnya akan diberikan definisi fungsi sederhana. Teori ini sangat berguna dalam membahas masalah fungsi terukur dan juga integral Lebesgue.

Definisi 3.2.18

Fungsi disebut fungsi sederhana, jika terdapat

dan dan dengan sifat

=

∑

dikatakan berbentuk kanonik.

Teorema 3.2.19 (Gupta 1976, hal 114)

Diketahui f fungsi terukur pada E maka terdapat barisan fungsi sederhana

{ }

fn

yang konvergen ke f ∈ . Untuk f ≥ 0, barisan E

{ }

fn dapat dipilih sehingga 0≤ f_n ≤ f_n+1, ∀ ∈n .

III.3 Integral Lebesgue

Dalam sub bab ini akan dibahas Integral Lebesgue dan beberapa sifatnya, serta teorema yang lain yang mendukung dan akan digunakan pada bagian berikutnya. Dimulai dengan definisi integral Reimann.

Definisi 3.3.1

Diketahui ^{f : ,}

[ ]

^{a b →} suatu fungsi bernilai real pada interval [a,b].

Himpunan bagian P=

{

x x0, , ,1… x_n

}

di dalam interval [a,b] dengan sifat :

0 1 2 n

x = < <a x x < <x = b

disebut partisi pada [a,b]. Untuk setiap partisi P pada [a,b], dibentuk jumlahan

( ) (

1

)

1 n

i i

i

S P x x₋ M

=

=

∑

− ⁱ

dan

( ) (

1

)

Integral Reimann atas fungsi f pada [a,b] didefinisikan dengan

( )

^inf

( )

b

a f x dx S P

ℜ

∫

=

dan integral bawah fungsi f pada [a,b] didefinisikan dengan

( )

^sup

( )

b

a f x dx s P

ℜ

∫

=

Fungsi f dikatakan terintegral Reimann pada [a,b], jika

( ) ( )

Diberikan fungsi sederhana ϑ:E→ dengan reprensetasi kanonikϑ:E→ dan

∑

= ϑ dikatakan terintegral, yang ditulis

Eϑ

( )

x dx

Teorema 3.3.3 (Wheeden 1977, hal 65)

Diberikan f fungsi non-negatif yang didefinisikan pada himpunan terukur E.

E f

∫

ada jika dan hanya jika f terukur.

Teorema 3.3.4 (Gupta 1976, hal 136)

Diketahui ^{f : ,}

[ ]

^{a b →} suatu fungsi bernilai real pada interval [a,b].

Jika f terintegral Reimann pada [a,b] maka f terintegral Lebesgue pada [a,b]

dengan

( )

_{[ ],}

( )

b

a f x dx a b f x dx

ℜ

∫ ∫

Kebalikan dari Teorema 3.3.3 belum tentu berlaku.

Contoh 3.3.5

Diberikan fungsi ^{f : 0,1}

[ ]

^{→ ,dengan}

( )

1 untuk rasional

0 untuk irasional f x x

x

= ⎨⎧

⎩

Jelas bahwa fungsi f terbatas dan terukur pada [0, 1]. Menurut Teorema 3.3.4 f terintegral Lebesgue pada [0, 1]. Fungsi f tidak terintegral Reimann pada [0, 1] karena ^ℜ

∫

₀^{1 f x dx}

( )

^{=1 dan} ℜ

∫

0¹f x dx

^{( )}

=0

Dalam teorema berikut diberikan beberapa operasi dan sifat yang berlaku pada integral Lebesgue.

Teorema 3.3.6 (Gupta 1976, hal 138)

Diberikan f dan g fungsi terukur terbatas yang terdefinisi pada himpunan E dengan m (E) < ∞, maka

(i) untuk semua

Eaf =a f

∫ ∫

^{E a∈ .}

(ii)

∫

_E

(

^{f +g}

)

⁼

∫

_E ^{f +}

∫

_E^g

(iii) Jika f = hampir di mana-mana (almost everywhere) maka g

E f = Eg

∫ ∫

(iv) Jika f ≤ hampir di mana-mana (almost everywhere) maka g

E f ≤ Eg

Teorema 3.3.7 (Gupta 1976, hal 142)

Diberikan E himpunan dengan ukuran berhingga dan

{ }

fn barisan fungsi terukur yang didefinisikan pada E. Diketahui terdapat M sehingga f xn

( )

≤M untuk semua x dan n. Jika f x

( )

^limn fn

( )

Teorema 3.3.8 (Wheeden 1977, hal 69)

Teorema 3.3.9 (Lemma Fatou’s) (Gupta 1976, hal 146)

Diberikan barisan fungsi terukur non-negatif

{ }

fn dan f konvergen ke f _n hampir di mana-mana pada E maka

lim inf _n

E f n E f

≤ →∞

∫ ∫

Teorema 3.3.10 (Gupta 1976, hal 147)

Diberikan barisan fungsi terukur non-negatif yang naik monoton

{ }

fn

dan lim _n

Teorema 3.3.11 (Wheeden 1977, hal 72)

Diberikan f fungsi terukur pada E. f terintegral pada E jika dan hanya jika f terintegral pada E.

Teorema 3.3.12 (Gupta 1976, hal 160)

(Lebesgue Dominated Convergence Theorem)

Diberikan g fungsi terintegral pada E dan

{ }

fn barisan fungsi terukur pada E dengan f_n ≤g dan lim _n

Teorema 3.3.13 (Gupta 1976, hal 192)

Fungsi dikatakan kontinu mutlak (absolutely continuous) jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap koleksi berhingga interval terbuka yang saling asing

Fungsi f terintegral pada [a,b] dan f juga terintegral pada setiap interval[ ,a x] [ , ]⊂ a b . Didefinisikan fungsi F dengan

( )

_a^x

( )

F x =

∫

f t dt c+ ^{, c konstan} F dikatakan indefinite integral (integral tak tentu) f.

Teorema 3.3.15 (Gupta 1976, hal 197)

Jika F fungsi kontinu absolute pada [a,b], maka berlaku

( )

_a^x

( )

F x =

∫

f t dt+^c dengan f = F’ dan c konstan.

Atau dapat dikatakan bahwa

Jika f fungsi kontinu absolute pada [a,b], maka F’ terintegral pada [a,b]

dan ^x

( ) ( ) ( )

.

a

F t dt F x′ = −F a

∫

BAB IV

RUANG LEBESGUE L^p

IV.1 Kelas-kelas L^p

Berikut ini akan dibicarakan kelas-kelas yang terbagi berdasarkan p.

Definisi 4.1.1

Kelas dari semua fungsi terintegral-p pada E ditulis ^{L Ep}

( )

^,

dengan

0 p< < ∞

( ) {

^{: p}

}

L Ep = f f < ∞ .

Contoh 4.12

1. Diberikan ^E=

[

^0,16

]

^dan f E: → fungsi yang didefinsikan dengan

( )

^{1/ 4}

f x =x⁻ , kemudian ^{f ∈L E1}

( )

^{tapi f ∉L E4}

( )

^.

2. Diberikan 1 0,2 E ⎡= ⎢⎣ ⎦

⎤⎥ dan f E: → dengan

( )

^{log2 1 1}

f x x 2

⎡ ⎛ ⎞⎤−

=⎢⎣ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎥⎦ ,

maka ^{f ∈L E1}

( )

^.

3. Diberikan ^{E =}

(

^0,∞

)

dan ^{f E: →} dengan ^{f x}

( ) (

^{= +1 x}

)

^{−1/ 2}, maka

( )

f ∈L Ep untuk semua p, 2< < ∞ . p

Dapat ditunjukkan bahwa ^{L Ep}

( )

merupakan ruang linear pada ,

1. f g L E, ( ) ∈ ^p ⇒ f + ∈ ( )g L E^p

Lebih lanjut, jika f (E), mengingat pertidaksamaan berikut 0 terukur pada E dengan m(E) > 0, bilangan real M dikatakan batas esensial untuk fungsi f jika

( )

f x ≤M ,

hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E.

Fungsi f dikatakan terbatas esensial jika mempunyai batas esensial, dengan kata lain, fungsi f terbatas esensial pada E jika f terbatas kecuali pada himpunan dengan ukuran sama dengan nol. Supremum esensial f pada E dedifinisikan sebagai berikut

( )

sup ( ) inf{ : , }

ess f x = M f x ≤M ∀ ∈x E .

Jika f tidak mempunyai batas esensial maka supremum esensialnya sama dengan

∞.

Kelas untuk semua fungsi terukur yang terbatas esensial pada E dinotasikan sebagai ^{L E∞}

( )

, dengan

( ) { }

L E^∞ = f ess: sup f < ∞ .

Dapat ditunjukkan bahwa ^{L E∞}

( )

merupakan ruang linear pada .

Contoh 4.1.3

1. Semua fungsi terbatas pada E anggota ^{L E∞}

( )

^.

2. Fungsi f a b:[ , ]→ dengan

1 jika irasional ( )

jika rasional f x x

x

= ⎨⎧⎩∞

f anggota^{L E∞}

( )

^.

Definisi 4.1.4

Didefinisikan fungsi ^⋅ _p^{:L Ep}

( )

^{→ 0 p}< ≤ ∞ sebagai berikut

(

^p

)

^{1/ p}

p E

f =

∫

f untuk 0 < p < ∞ sup

f _∞ =ess f .

Lemma 4.1.5

Diberikan ^{f ∈L E∞}

( )

^{, maka :}

(a) ^{f x}

( )

^{≤ f} _∞, hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E.

Karena gabungan dari koleksi terhitung himpunan ukuran nol mempunyai ukuran nol, diperoleh

{ ( ) }

(

^:

)

⁰

m x E f x∈ ≥ f _∞ =

Ini berakibat untuk himpunan yang tidak berukuran nol berlaku

( )

Bukti

Pertidaksamaan (i) mengakibatkan

( ∫

E f x

( )

^p

)

^1/p ≤

⁽

η^p⋅m E

^{( ) )}

^1/p

( )

^{1/ p}

f p ≤ ⎡η⎣m E ⎤⎦

Untuk p → ∞ maka [m(E)]→ 1, sehingga diperoleh lim sup _p

( )

^1/p

f p ≥ ⎡α⎣m F ⎤⎦

Dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada himpunan E lim inf _p

IV.2 Pertidaksamaan Holder dan Minkowski

Dalam mempelajari ruang , juga diperlukan definisi ruang , dengan q diperoleh dari

Lp L^q

1 1

p q+ = , dengan p dan q bilangan real non-negatif. 1

Sebelumnya telah didefinisikan bahwa ⋅ adalah norma pada _p , akan dibuktikan pertidaksamaan yang akan digunakan pada pembicaraan selanjutnya.

Lp

Berlaku untuk setiap pasangan bilangan real non-negatif α & β jika dan hanya jika α = β.

Bukti

Jika α =0 atau β=0, maka pertidaksamaan jelas berlaku, karena itu diasumsikan α > 0 dan β > 0. Didefinisikan fungsi non-negatif dengan p

( ) (

^{= −1 λ}

)

^{+λt t− λ}

p t

Maka dan hanya t=1 yang merupakan titik ekstrim untuk ini membuktikan mencapai maksimum pada t =1

( )

^λ

(

^{1 tλ−1}

Dengan mengambil t α

= β , diperoleh persamaan 1− +λ λt t≥ ^λ

Persamaan berlaku hanya jika t = 1, diperoleh α = β. ■

Teorema 4.2.2 (Pertidaksamaan Riesz-Holder)

Diberikan p dan q bilangan real non-negatif dengan 1 1

p q+ = . Jika 1

f ∈ dan Lp f ∈ maka L^q f g L⋅ ∈ dan ¹

p q

fg ≤ f g

∫

Pertidaksamaan berlaku jika dan hanya jika untuk bilangan konstan tidak nol A dan B, diperoleh A f ^p =B g^q.

Bukti

Jika 1p= , maka q= ∞.

Misalkan g _∞ =M , maka g ≤M hampir di mana-mana dan juga fg ≤M f ∀ ∈x E.

Dapat dibentuk

∫

fg <

∫

M f ^. Karena f ∈ , berarti L¹

∫

f ^p < ∞, akibatnya

fg < ∞

∫

^.

Jadi f g L⋅ ∈ ¹

kemudian dengan integral, diperoleh

fg ≤M f ≤ f 1 g _∞

∫ ∫

^.

Sekarang diasumsikan 1< < ∞p berakibat 1< < ∞ . Pertidaksamaan berlaku jika q hampir di mana-mana (atau

0

f = g= hampir di mana-mana). Karena itu 0

diasumsikan hampir di mana-mana dan f ≠0 g≠ hampir di mana-mana, 0 diperoleh f _p > dan 0 g _q > . Dengan menggunakan Lemma 4.2.1 dengan 0 mengambil

( )

Pertidaksamaan (2) dapat diubah menjadi

( ) ( ) ( )

Jadi didapatkan f g L⋅ ∈ . Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas ¹ diperoleh

p q

fg ≤ f g

∫

^{. (3)}

Pertidaksamaan (2) akan berlaku jika α β= dan akibatnya jika α β= pertidaksamaan (3) berlaku hampir di mana-mana. Dengan lain kata jika mengambil A= g ^q_q dan B= f ^p_p diperoleh

( )

^p

( )

^q

q p

q p

g f t = f g t . ■

Teorema 4.2.3 (Pertidaksamaan Riesz-Minkowski)

Jika 1≤ ≤ ∞p , maka untuk setiap pasangan f g L, ∈ , berlaku ^p

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh + g

+ g

f + ≤g f ≤ f _∞+ g a_∞ ⋅e

Dan f + ≤g f +g _∞.

Selanjutnya, dibuktikan untuk 1 p< < ∞ .

Karena L^p ruang linear maka f + ∈ , akibatnya g L^p dan sesuai dengan pertidaksamaan Riesz-Holder diperoleh

( )

atau

( )( )

^{p q}

p p p p

f +g ≤ f + g f +g .

jika 0< f +g _p < ∞ , hasil akan berdasarkan f +g ^{p q}_p .

Dalam kasus f +g _p = , sangat jelas. 0

Jika f +g _p = ∞ , maka f = ∞ atau g _p = ∞ dilihat dari relasi f + ≤g f + g . ■

Untuk , Teorema 4.2.2 dan Teorema 4.2.3 belum tentu berlaku, maka diperlukan teorema yang lain yaitu:

0 p< <1

Teorema 4.2.4 (Pertidaksamaan Riesz-Holder untuk 0< < ) p 1 Diberikan 0 p< <1 dan q diperoleh dari 1 1

p q+ = . Jika 1 f ∈ dan L^p

f ∈ , maka Lq

( ) ( )

^{p 1p q 1q}

f + ≥g f g

∫ ∫ ∫

^.

Asalkan

q 0 g ≠

∫

^.

Bukti

Lebih lanjut lagi, dibentuk

fg =F^P dan g^q =G^Q

karena itu f ^p =FG, diperoleh bahwa F L∈ dan ^P G L∈ , Teorema 4.2.2 dapat ^Q digunakan pada F dan G sehingga diperoleh

P Q

Teorema 4.2.5 (Pertidaksamaan Riesz-Minkowski untuk 0< < ) p 1 Diberikan 0< <p 1 dan f g L, ∈ dengan ^p f ≥0 dan g≥0 maka

p p p

f +g ≥ f + g .

Bukti akibatnya sesuai dengan Reisz-Holder untuk

L1

Jika 0< f +g _p < ∞ , hasil akan berdasarkan f +g ^{p q}_p . Dalam kasus f +g _p = , sangat jelas 0

Jika f +g _p = ∞ , maka f = ∞ atau g _p = ∞

p p p

f +g ≥ f + g

∞ ≥ ∞ + ∞

∞ ≥ ∞ . ■

IV.3 Ruang Banach L^p

Dalam sub bab berikut ini akan diperlihatkan bahwa merupakan ruang Banach, dengan kata lain merupakan ruang bernorma yang lengkap.

Lp

Lp

Pertama, untuk 1≤ ≤ ∞p , fungsi . :_p L^p → , memenuhi kondisi-kondisi berikut ini:

1. f _p ≥ . 0

2. f _p = jika dan hanya jika 0 f = hampir di mana-mana. 0 3. af _p = a f _p, a∈

4. f +g _p ≤ f _p+ g _p

Syarat (1) dan (3) jelas dipenuhi berdasarkan definisi ._p. Untuk syarat (2)

dipenuhi dengan tidak membedakan antara fungsi-fungsi dalam yang sama hampir di mana-mana. Jadi, elemen nol dalam adalah fungsi-fungsi yang sama dengan nol hampir di mana-mana. Untuk syarat (4) dipenuhi menurut

Lp

Lp

pertidaksamaan Reisz-Minkowski yang dijelaskan dalam Teorema 4.2.3. Berarti ._p adalah norma dalam L^p dan L^p adalah ruang bernorma.

Teorema 4.3.1 (Teorema Reisz-Fischer)

Ruang bernorma L^p lengkap ; untuk 1≤ ≤ ∞ . p

Bukti

Untuk p= ∞ . Diketahui bahwa suatu fungsi lebih besar dari esensial supremumnya berlaku hanya pada himpunan dengan ukuran nol. Katakan

( ) ( )

Cauchy dalam L^∞. Akibatnya jika diberikan ε >0, terdapat N sehingga berlaku

n m

Dengan kata lain f x

( )

− fm

( )

x _∞ < . ε

Sekarang diasumsikan 1 p≤ < ∞ . Untuk menunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam konvergen, cukup dengan menunjukkan bahwa setiap barisan terjumlah absolute dalam terjumlah ke suatu elemen dalam .

Lp

Kemudian didefinisikan barisan fungsi

{ }

gn dengan

( ) ( )

Karena fungsi g_n terukur maka fungsi g juga terukur.

Menurut Teorema 4.2.3 diperoleh

( )

( )

Ini menandakan bahwa g^p terintegral dan ^{g x}

( )

berhingga hampir di mana-mana pada

[ ]

^{a b,} . Akibatnya barisan

{

f xn

( ) }

terjumlah absolute dan pasti terjumlah ke suatu bilangan real ^{s x}

( )

. Misalkan

( )

⁰

s x =

untuk x dengan . Didefinisikan fungsi s sebagai limit dari setiap jumlahan parsial Menurut Lebesgue Dominated convergence Theorem, diperoleh

p 0 sn−s →

∫

n p 0

s −s →

Karena barisan

{ }

fn terjumlah ke s dalam ^Lp akibatnya barisan

{

fn

}

konvergen ke s dalam L^p dengan 1≤ < ∞p .

Lp

∴ lengkap. ■

Akibat 4.3.2

Jika 0 , maka adalah ruang metric lengkap dengan metrik p didefinisikan dengan

1

< <p L^p

(

^,

)

^p_p

p f g = f −g , ∀f g L, ∈ . ^p

IV.4 Kekonvergenan Rata-rata (Convergence in the Mean)

Pada bab II telah dibahas pengertian kekonvergenan pada barisan fungsi bernilai real: konvergen, konvergen titik demi titik, konvergen seragam, konvergen hampir di mana-mana. Akan didefinisikan kekonvergenan dalam ruang

, 1 , yang sesuai dengan konsep norma.

Lp ≤ ≤ ∞p

Definisi 4.4.1

Barisan fungsi

{ }

fn dalam L ,^p 1≤ ≤ ∞ dikatakan konvergen ke p f ∈ , L^p jika untuk setiap ε >0, terdapat bilangan bulat positif N sehingga f_n − f _p → . 0 Kekonvergenan ini sering disebut sebagai konveregn rata-rata order p (convergence in the mean) jika 1 p≤ < ∞ dan konvergen hampir seragam jika

p= ∞ .

Teorema 4.4.2

Diberikan barisan

{ }

fn dalam yang konvergen rata-rata order p (convergence in the mean) ke f dalam , maka:

Lp

Lp

a) Jika barisan

{ }

fn dalam L^p yang konvergen rata-rata ke g, maka f = hampir di mana-mana (almost everywhere) dalam g L .^p

b) Barisan

{ }

fn merupakan barisan Cauchy rata-rata p (p-mean Cauchy sequence).

c) lim _{n p}

p f f p

→∞ = , khususnya dengan barisan

{ }

fn terbatas terhadap norma ⋅ . _p

Kebalikan dari

( )

^c belum tentu berlaku.

Contoh 4.4.3

Untuk setiap n∈ , didefinisikan fn^{: 0,1}

( )

→

( )

Dengan tidak mengurangi keumuman, setiap hampir di mana-mana maka , diperoleh hasil secara umum karena mengingat

n 0 f ≥ 0

f ≥ f = f⁺− f⁻.

Untuk setiap pasangan non negatif a dan b, berlaku

( )

Menggunakan lemma Fatou dan hipotesis-hipotesis dari lemma tersebut, diperoleh

( )

Karena f_n → hampir di mana-mana (almost everywhere) maka berlaku f lim sup _n ^p lim inf _n ^p 0

IV.5 Sifat-sifat Ruang L^p

Dalam sub bab ini akan dibicarakan sifat-sifat yang menyertai ruang L^p.

Teorema 4.5.1

Jika diberikan , maka terdapat konstanta sehingga dan berlaku

Dengan tidak mengurangi keumuman, diberikan E himpunan terukur dengan . Misalkan Menurut Teorema 3.3.6 diperoleh

( )

b q b q 1

a f = a f ⋅

∫ ∫

(

a^b f ^qλ

) ( )

^1λ a^{b1 1q}

≤

∫

⋅

∫

( )

^{ab f p qp}

⁽

^{b a}

⁾

^1/q

=

∫

− ^.

Akibatnya f ∈ , ini berarti L^q . Selanjutnya, jika dibentuk maka

Lp ⊂L^q K^q = −b a

q p

f ≤K f , ∀ ∈ . f L^p ■

Contoh 4.5.2

Diberikan ^E=

(

^1,∞

)

, kemudian didefinisikan fungsi f E: → dengan

( )

^{1/ q}

f x =x⁻ , 1 q≤ < ∞ . Jika p q> , jelas bahwa ^{f ∈L Ep}

( )

Teorema 4.5.3

Jika 0 q< < < ∞ dan p f ∈L^p∩ , maka L^q f ∈ untuk semua qL^r < <r p.

Bukti

Untuk r, dengan q r< < p dapat ditemukan 0< <t 1, sehingga

(

¹

)

r tq= + −t p. Perhatikan bahwa

dan

Selanjutnya, diketahui 1/ dan pasangan eksponen 1/ dan saling konjugasi. Oleh karena itu menurut pertdaksamaan Reisz-Holder, diperoleh

1

t> t ^{1/ 1}

(

^−t

)

( )¹

r tq t p t

f = f f ⁻ ∈L. ■

IV.6 Fungsional Linear Terbatas Dalam Ruang L^p

Diberikan p dan q konjugasi eksponen. Jika g L∈ , dengan 1^q , menurut pertidaksamaan Reisz-Holder maka

≤ ≤ ∞q f g L⋅ ∈ untuk setiap 1 f ∈ . L^p Karena itu elemen tertentu g L∈ , dapat didefinisikan ^q F L_g : ^p → dengan

g

( )

F f =

∫

fg^.

Jelas bahwa F adalah fungsional linear dalam ruang Banach _g L^p.

Teorema 4.6.1

Diberikan p dan q

(

^{1≤ p q, ≤ ∞}

)

konjugasi eksponen dan maka fungsional linear yang didefinisikan berikut

g L∈ q

( )

F fg =

∫

fg

merupakan fungsional linear terbatas dalam L^p, akibatnya F_g = g _q.

Bukti

(i) Anggap p= ∞ dan q= , perhatikan pertidaksamaan Reisz-Holder bahwa 1

( )

₁

F fg ≤ g f _∞ ∀ ∈ . f L^p

Karena itu F_g fungsional linear terbatas dalam L^p, akibatnya

g 1

F ≤ g . (1)

Untuk membuktikan kebalikannya diberikan f =sgng,dengan

( ) ( )

Dari (1) dan (2) diperoleh

g q

F = g

(ii) Sekarang perhatikan 1< < ∞p , menurut pertidaksamaan Reisz-Holder

( )

Selanjutnya, untuk membuktikan kebalikannya, diberikan

1sgn f = gq⁻ g

Jelas, f fungsi terukur dalam L^p dan f ^p = g ^{p q( −1)} = g^q. Ini memperlihatkan

bahwa f ∈ , juga karena L^{p f g⋅ =}

(

^{gq−1sgng g}

)

^{⋅ = gq}

diperoleh

( )

^q

F fg =

∫

fg=

∫

g

( ) ( )

^{gq 1/p gq 1/q}

=

∫ ∫

( ) ( )

^{f p 1/p gq 1/q}

=

∫ ∫

p q

f g

= yang berakibat

g q

F ≥ g . ■

Lemma 4.6.2

Jika g fungsi terintegral dalam [a,b] dan K konstan sehingga

fg ≤K f p

∫

untuk setiap fungsi terukur terbatas f, maka g L∈ dan ^q g _q ≤ . K

Bukti

Asumsikan 1 p< < ∞ . Didefinisikan barisan fungsi terukur terbatas

{ }

gn , dengan

( )

( )

^{q p/}

n p n q

f = g dan g_n ^q = f g_n⋅ _n = f g_n⋅ Karena itu

( )

^{gn q q =}

∫

^{f g K fn ≤ n p =K g}

( )

^{n q q/p}

dengan membagi kedua ruas dengan

( )

gn q ^{q p/} , diperoleh

( )

^{gn q q q p− / ≤K}

Karena q-q/p=1, didapatkan

( )

^{gn q ≤K,}

Kemudian kedua ruas diintegralkan dan dipangkatkan dengan q, diperoleh

q q

gn ≤K

∫

Mengingat g_n ^q → g^q hampir di mana-mana dan lemma Fatou, diperoleh lim inf

q q q

n n

g g

≤ →∞ ≤

∫ ∫

^K

Akibatnya g L∈ dan ^q g _q ≤ . K ■

Teorema 4.6.3

Jika F fungsional linear terbatas dalam L^p dengan 1≤ < ∞ , maka p terdapat fungsi g dalam L^q, sehingga berlaku

( )

F f =

∫

fg ^{dan F = g q.}

Bukti

Pembuktian akan dibagi dalam empat langkah.

Langkah 1

Anggap f = , χ_t ^t∈

[ ]

^{a b, dengan} χt merupakan fungsi karateristik dari interval [a,t]. Dibentuk ρ

( )

t =F

( )

χtt . Jelas bahwa ρ merupakan fungsi bernilai real pada [a,b]. Pertama diperlihatkan bahwa ρ fungsi kontinu absolute pada [a,b].

Diberikan koleksi berhingga

{

^⎡⎣^{x xt, t′⎤}⎦

}

dengan ^⎡_⎣^{x x}t^, t^{′ ⊆⎤}_⎦

[

^a,b yang saling asing,

]

Kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

[ ], [ ],

(

t ^t

)

[ ], [ ],

( ) ^{( )}

Menurut definisi nilai , yaitu jika E interval, maka nilai m(E) sama dengan panjangnya, akibatnya diperoleh

( )

Akibatnya dengan mengambil nilai

p

Menurut Teorema 3.3.15, terdapat g fungsi terintegral pada [a,b], sehingga

Fungsi f yang telah dibentuk sebelumnya merupakan fungsi tangga.

Karena setiap fungsi tangga pada [a,b] dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dan F fungsional linear, diperoleh

i ti

∑

c x

( )

F f =

∫

gf ^.

Langkah 3

Anggap f merupakan fungsi terukur terbatas pada [a,b] menurut Teorema 3.2.13, terdapat barisan

{ }

ϕn dari fungsi tangga sehingga ϕ_n → , karena barisan f

lim _n

n gϕ

= →∞

∫

Menurut Teorema 3.3.12 (Lebesgue Dominated Convergence Theorem), diperoleh

Diambil f ∈ fungsi sebarang. DiberikanL^p ε >0, maka terdapat fungsi tanggaϕ sehingga f −ϕ <ε, karena ϕ terbatas akibatnya

( )

F f =

∫

fg

Menurut Teorema 4.6.1 diperoleh F_g = g _q. ■

BAB V KESIMPULAN

Setelah pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

1. Kelas-kelas L^p dalam terdiri dari

( ) {

^{: p}

}

Lp E = f f < ∞ untuk 0< < ∞ p dan

( ) { }

L^∞ E = f ess: sup f < ∞

L merupakan ruang bernorma lengkap dengan norma p ^⋅ _p^:Lp

( )

^{E → \}

dengan

(

^p

)

^{1/ p}

p E

f =

∫

f , 0 < p < ∞ dan f ∈ L^p dan

sup

f _∞ =ess f untuk f ∈L^∞

2. Untuk sebarang fungsi f E: → \ berlaku ^{f x}

( )

^{≤ f} _∞, hampir di mana-mana (almost everywhere) pada E.

3. Hubungan antara f _p(0< < ∞ dan p ) f _∞ terlihat dengan lim _p f _∞ p f

= →∞ . 4. Untuk 0< < ≤ ∞q p , berlaku f _q ≤K f _p, ∀ ∈ . f L^p

5. Jika 0< < < ∞q p dan f ∈L^p∩ , maka L^q f ∈ untuk semua q r pL^r < < .

6. Jika didefinisikan , maka F fungsional linear terbatas dalam dan

6. Jika didefinisikan , maka F fungsional linear terbatas dalam dan