BAB II
DASAR – DASAR TEORI
2.1. Ruang – ruang Vektor
2.1.1 Ruang Vektor Umum
Defenisi dan sifat – sifat sederhana
Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian dengan skalar ( bilangan riil ). Yang kita artikan dengan penambahan adalah sebuah kaidah untuk mengasosiasikan dengan setiap pasang benda u dan v di dalam V sebuah elemen u + v, yang dinamakan jumlah dari u dan v , dan yang diartikan dengan perkalian
skalar adalah sebuah kaidah untuk mengasosiasikan dengan setiap skalar k dan setiap benda u di dalam sebuah elemen k u yang dinamakan kelipatan skalar dari u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u,v,w di dalam
V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor, dan benda-benda di dalam V dinamakan vektor jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :
V1 : untuk setiap vektor x dan y di dalam v,x + y juga di dalam V (sifat tertutup untuk penjumlahan )
V2 : x + y = y + x untuk setiap vektor x dan y di dalam V V3 : x + ( y + z ) = (x + y ) + z untuk setiap vektor x,y,z.
V4 : ada vektor O dan V ,sehingga X+0 = 0+x = x untuk setiap x di dalam V.
V5 : untuk setiap x di dalam V dan sebarang bilangan riil alfa, maka alfa x di dalam V (sifat tertutup untuk perkalian).
V6 : untuk setiap x di dalam V adalah sebuah vektor – x di dalam V , sehingga x + (-x) = 0. –x dinamakan invers dari x.
V7 : untuk semua bilangan riil α dan β dan semua vektor x , (α β) x = α (β x).
V8 : untuk sebarang bilangan riil α dan semua vektor – vektor x dan y,α(x + y) = αx + αy
V9 : untuk sebarang bilangan riil α , β dan sebarang vektor x,( α + β)x = αx + βx.
V10: 1x = x
2.1.2. Sub Ruang
Defenisi
Sebuah sub himpunan dari S sebuah ruang vektor V dimana sebuah sub ruang dari V, jika S itu adalah sebuah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefenisikan dalam V.
Jika S adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka S adalah sebuah sub ruang dari V jika dan hanya jika kondisi – kondisi berikut terpenuhi, yaitu :
S1 : untuk sebarang x di dalam S, maka x + y di dalam S
S2 : untuk sembarang x dan sebarang bilangan riil di dalam S, maka αx di dalam S
2.1.3. Bebas Linier (Linier Depenmdence)
Himpunan { v1, v2, .... , vn} disebut dependen linier bila terdapat {α1, α2, .... , αn} dan sifat α1 = α2 = α3 = .... = αn sedemikian sehingga α1v1 + α2v2 +...+
αnvn = 0
Himpunan { v1, v2, .... , vn} disebut independen linier bila terdapat α1, α2, .... , αn dengan sifat tidak semuanya sama dengan nol (0), sedemikian sehingga α1v1 + α2v2 +...+ αnvn = 0 dan α1 = α2 = α3 = 0 , α4 = 1, α5 = α6 = .... = αn = o.
Himpunan K =
4 0
0 0 0 3
0 0 0 0
2 0 0 0
0 1
, , ,
Apakah K dependen linier atau independen linier?
Penyelesaian
=
+
+
+
0 0
0 0 4 0
0 0 0
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0
1 b c d
a
=
+
+
+
0 0
0 0 4
0 0 0 0 3
0 0 0 0
2 0 0 0
0
d c
b a
=
0 0
0 0 4
3 2
d c
b a
Jadi a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, sehingga K merupakan dependen linier.
Teori 2.1
Himpunan vektor V1, V2,…., Vn disebut dependen linier bila dan hanya bila terdapat Vp dapat sedemikian sehingga Vp dapat ditulis sebagai kombinasi linier dengan yang lain.
VP = α1v1 + α2v2 +...+ αnvn
2.2 Aplikasi Dependen Linier
Di dalam Bab II, Ruang Vektor Dikenalkan bersama dengan konsep penting dari dependen linier, sub ruang dan dimensi. Dalam bab ini akan dikenal dengan aplikasinya pada teori persamaan linier.
Suatu himpunan persamaan aljabar linier adalah suatu a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = c2
. . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = cm (2.1) Ini adalah suatu himpunan dari m persamaan untuk n; x1, x2, ... , xn yang tidak diketahui nilainya.
2.2.1 Teori Persamaan Linier
Himpunan persamaan (2.1) dapat diasosiasikan dengan matriks koefifien A m×n dan ditulis Ax = c, dengan vektor-vektor di dalam ruang vektor riil Rm.
Dari persamaan (2.1), dengan mudah kita memperoleh suatu vektor kolom di dalam Rm. kita juga mempunyai vektor-vektor kolom v1, v2, …. , vn yang masing-masing adalah koefisien-koefisien dari x1, x2, ….. , xn.
Sebagai matriks berikut:
V1 =
amn
a a
21 11
, vektor kolom pertama dari matriks koefisien
Di dalam vektor ini, persamaan (2.1) dapat ditulis lagi seperti berikut :
c = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn (2.2) Di dalam persamaan (2.2) semua vektor diketahui, tetapi koefisien – koefisien x1, x2, ... , xn telah ditentukan. Masalah yang diketahui sekarang adalah menyatakan vektor – vektor sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v1,v2, ….
, vn dengan interpretasi ini, sifat-sifat dari persamaan linier adalah tertutup terhadap ruang vektor riil Rn.
Teori 2.2
Himpunan dari persamaan-persamaan linier (2.1) Ax = c hanya dapat diselesaikan jika rank (A,c) = rank A.
Bukti :
Dari teori ini (A,c) ditulis sebagai materik m×(n + 1).
3 2 1
1 2 21
1 11
c c c
a a
a a
a a
mn m
n n
Partisi vertikal di dalam matriks ini digunakan untuk memisahkan koefisien – koefisien dari konstanta. Persamaan (2.2) dapat diselesaikan jika c dependen linier di atas vektor kolom v1, v2, …. , vn dari matriks A. Jika rank (A,c) = rank (A) terdapat vektor – vektor independen linier di dalam himpunan (v1, v2, … , vn) dan semua vektor di dalam (v1, v2, … , vn , c). Dari sini berarti c adalah dependen linier atau semua vektor v1, v2, … , vn memberikan penyelesaian. Sebaliknya, jika rank (A,c) > rank (A), Himpunan (v1,v2, … , vn, c) ini dapat berarti bahwa c tidak dependen dan atas v1, v2, … , vn dan di dalam kasus ini persamaan tidak dapat diselesaikan.
Kesimpulan
Jika rank (A,c) = rank A = n, penyelesaian dari A x = c adalah tunggal
Teori 2.3
Jika x dan y adalah penyelesaian dari persamaan homogen Ax = 0, kemudian untuk sebarang konstanta k, x = y + kz adalah penyelesaian dari Ax = c.
Teori 2.4
Himpunan Ax = 0 dari m persamaan homogen di dalam n, mempunyai penyeleaian non-trivial jika m < n.
Teori 2.5
Jika A adalah matriks n×n dari rank n, persamaan Ax = c dapat diselesaikan untuk semua konstatan c dan penyelesaian ini adalah tunggal. Jika rank A < n, penyelesaian hanya ada jika rank A = rank (A.c).
2.2.2. Penyelesaian Persamaan Linier 1. Metode Eliminasi Gaussian
Persamaan linier dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi Gaussian, yaitu dengan penyelesaian persamaan berikkut :
x1 + x2 – x3 = 0, 2x1 + x2 + 2x3 = 1, 3x1 + 2x2 + 3x3 = 3.
Penyelesaian :
2x1 + x2 + 2x3 = 1 2 x (1) 2x1 + 2 x2 – 2x3 = 0 –
-x2 + 4x3 = 1 3x1 + 2x2 + 3x3 = 3 3 x (1) 3x1 + 3x2 – 3x3 = 0 –
-x2 + 6x3 = 3 -x2 + 4x3 = 1 – 2x3 = 2
Kemudian ditulis :
x1 + x2 – x3 = 0 x1 + x2 – x3 = 0 x1 + x2 – x3 = 0 2x1 + x2 + 2x3 = 1 -x2 + 6x3 = 3 -x2 + 4x3 = 1 3x1 + 2x2 + 3x3 = 3 -x2 + 4x3 = 1 2x3 = 2 Dari persamaan 2x3 = 2 → x3 = 1
Dari persamaan -x2 + 4x3 = 1 →x2 = 3 Dari persamaan x1 + 3 – 1 = 0 → x1 = -2 Himpunan penyelesaian {-2, 3, 1}
2. Metode Matrik Lengkap
Persamaan linier dapat diselesaikan dengan metode Matrik lengkap, yaitu dengan penyelesaikan persamaan di bawah ini :
x1 + x2 – x3 = 0, 2x1 + x2 + 2x3 = 1, 3x1 + 2x2 + 3x3 = 3.
Penyelesaian :
Langkah pertama dalam menyelesaikan adalah menuliskan matriks (A,c) kebentuk echelon dengan operasi baris elementer.
=
−
=
3 1 0
3 2 3
2 1 2
1 1 1 ) ,
(A c
=
−
−
−
−
−
3 1 0
6 1 0
4 1 0
1 1 1
3 2
1 3
1 2
R R
R
R
−
−
=
−
−
−
−
−
3 1 0
6 1 0
4 1 0
1 1 1
) 1 (
) 1 (
3 2
R R
−
−
=
−
−
−
−
2 1 1
2 0 0
4 1 0
3 0 1
1 3
2 1
R R
R R
−
=
−
− 1
1 1 1
0 0
4 1 0
3 0 1
) (
2 1
R3
−
=
+
−
1 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1 4 3
3 2
2 1
R R
R R
Himpunan penyelesaian {-2, 3, 1}
Pada langkah ini jelas bahwa rank (A) = rank.(A,c), sesuai dengan teori 2.4, persamaan mempunyai penyelesaian tunggal. Jika kita sekarang menginterprestasikan kembali baris dari matriks ini sebagai persamaan, kita peroleh :
x1 + 3x2 =1 x2 – 4x3 = -1 x3 = 1
Penyelesaian persamaan ini dengan subtitusi diuberikan : x3 = 1 ; x2 = 3 ; x1 = -2.
Dari penyelesaian adalah (x1, x2, x3) = (-2, 3, 1) dan ini dapat dibuktikan dengan memasukkan penyelesaian ini persamaan semula.
