handout aljabar linear ii ruang vektor umum 2

Diktat Aljabar Linear II

) , , ( ) , ,

(x y z x y z

a    

   . Selanjutnya dibuktikan (x,y,z)S atau

dibuktikan xyz0. Berdasarkan sifat bilangan real diperoleh hubungan:

0 0 z y x z y

x  (   ). 



Jadi terbukti bahwa kedua operasi tersebut bersifat tertutup, sehingga tinggal

membuktikan bahwa seluruh aksioma untuk ruang vektor dipenuhi.

 Aksioma 1,2 dipenuhi , sebab untuk setiap elemen di S merupakan elemen di R3,

sehingga bersifat komutatif dan asosiatif

 Aksioma 3 dipenuhi, sebab 0(0,0,0)S yang sama dengan elemen nol di R3.

Dengan demikian senantiasa dipenuhi a0a, untuk setiap vektor aS.

 Aksioma 4 dipenuhi:

Ambil a(x,y,z)S, maka aS sebab (x)(y)(z)(xyz)0.

 Aksioma 5,6,7,8 dipenuhi, sebab untuk setiap elemen di S merupakan elemen di

3

R .

Contoh 1.1.4:

Diberikan himpunan P₃



abxcx2dx3a,b,c,dR



. Pada himpunan tersebut

didefinisikan penjumlahan sebagai berikut:

)

(abxcx2dx3 + (a'b'xc'x2d'x3)(aa')(bb')x(cc')x2(d d')x3

dan perkalian skalar sebagai berikut:

Diktat Aljabar Linear II

Himpunan P₃ terhadap operasi tersebut membentuk ruang vektor. Jelas bahwa kedua

operasi tersebut bersifat tertutup, sebab koefisien-koefisiennya merupakan anggota

bilangan real. Berdasarkan sifatnya, maka dia bersifat tertutup. Dengan demikian baik

jumlah maupunperkaliannya juga anggota bilangan real, sehingga membentuk elemen

di P₃.

Selanjutnya tinggal menunjukkan bahwa kedelapan aksioma dipenuhi:

Diktat Aljabar Linear II

 Aksioma 4:

Untuk sebarang abxcx2 dx3P₃, maka (a)(b)x(c)x2(d)x3P₃

sehingga:

)

(abxcx2dx3 + ((a)(b)x(c)x2(d)x3)

= (a(a))(b(b))x(c(c))x2 (d (d))x3

=00x0x20x30

 Aksioma 5:

Ambil (abxcx2dx3), (a'b'xc'x2 d'x3) P₃, sehingga:

 ((abxcx2dx3)+(a'b'xc'x2d'x3))

=  ((aa')(bb')x(cc')x2 (d d')x3)

=(aa')(bb')x(cc')x2(d d')x3

) '

( )

(abxcx2dx3  abxcx2dx3 



 (abxcx2dx3)+ (a'b'xc'x2d'x3)

 Aksioma 6:

Ambil (abxcx2dx3)P₃, sehingga:

)

( (abxcx2dx3) ()a( )bx()cx2()dx3

) (abxcx2dx3

 + (abxcx2dx3)

Diktat Aljabar Linear II

 Aksioma 7:

Ambil (abxcx2dx3)P₃, sehingga:

)

( (abxcx2dx3) ()a()bx()cx2()dx3

3

2 _{d x}

x c x

b

a) ( ) ( ) ( )

(      

   



) ) ( ) ( ) ( )

((a b x c x2 d x3

   



)) (

( abxcx2dx3  

 Aksioma 8:

Ambil (abxcx2dx3)P₃, sehingga:

1(abxcx2dx3)= 1a1bx1cx21dx3 = (abxcx2dx3)

Contoh 1.1.5

Himpunan semua fungsi bernilai real dengan satu peubah real,F



f f :RR



,

merupakan ruang vektor terhadap operasi:



f g



(x) f(x)g(x) dan

 

.f (x).f(x)

Kedua operasi bersifat tertutup, sebab keduanya menghasilkan fungsi bernilai real

dengan satu peubah real. Selanjutnya tinggal ditunjukkan bahwa kedelapan aksioma

ruang vektor dipenuhi kedua operasi tersebut.

 Aksioma 1:

Diktat Aljabar Linear II

 ( sifat komutatif bilangan real)