Ruang Vektor
Field
Misalkan K merupakan suatu himpunan, didefinisikan 2 operasi yang disebut penjumlahan (+) dan perkalian (*). K merupakan field jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
1. Untuk setiap , K maka + K dan * K. K dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian,
2. Untuk setiap , , K maka ( + ) + = + ( + ),
3. Terdapat 0 K disebut elemen identitas terhadap penjumlahan, sedemikian sehingga 0 + = + 0 = , untuk setiap K,
4. Untuk masing-masing K, terdapat - K disebut elemen invers terhadap penjumlahan dari sedemikian sehingga (-) + = + (-) = 0,
5. Untuk setiap , K maka + = + ,
6. Untuk setiap , , K maka ( * ) * = * ( * ), 7. Untuk setiap , , K, maka
* ( + ) = * + * , ( + ) * = * + * ,
8. Untuk setiap , K maka * = * ,
9. Terdapat 1 K disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian, sedemikian sehingga 1 * = *1 = , untuk setiap K,
10. Untuk masing-masing 0 K, terdapat -1 K disebut elemen invers terhadap operasi perkalian dari sedemikian sehingga -1 * = * -1 = 1.
Elemen-elemen dari suatu field disebut skalar.
Contoh 1.
ℝ merupakan bilangan riil. Misalkan , , ℝ. ℝ merupakan field karena memenuhi 10 aksioma pada field.
Bukti:
1. Untuk setiap , ℝ berlaku + ℝ dan * ℝ. ℝ tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian,
2. Untuk setiap , , ℝ berlaku ( + ) + = + ( + ),
3. Terdapat 0 ℝ disebut elemen identitas terhadap penjumlahan, sedemikian sehingga berlaku 0 + = + 0 = , untuk setiap ℝ,
4. Untuk masing-masing ℝ, terdapat - ℝ disebut elemen invers terhadap penjumlahan dari sedemikian sehingga berlaku (-) + = + (-) = 0, 5. Untuk setiap , ℝ berlaku + = + ,
6. Untuk setiap , , ℝ berlaku (* ) * = * ( * ), 7. Untuk setiap , , ℝ, berlaku
* ( + ) = * + * , ( + ) * = * + * ,
8. Untuk setiap , ℝ maka * = * ,
9. Terdapat 1 ℝ disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian, sedemikian sehingga 1 * = * 1 = , untuk setiap ℝ,
10. Untuk masing-masing 0 ℝ, terdapat -1 ℝ disebut elemen invers terhadap operasi perkalian dari sedemikian sehingga -1 * = * -1 = 1. Contoh field yang lain adalah bilangan kompleks dan bilangan rasional.
Contoh 2.
W merupakan bilangan ganjil. W bukan merupakan field karena tidak memenuhi aksioma ke 3 yaitu tidak terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan (0 ∉ W).
Ruang Vektor Atas Suatu Field
Misalkan V merupakan suatu himpunan vektor, didefinisikan operasi penjumlahan (+) antar elemen elemen V dan perkalian (*) antara elemen V dengan field K. V disebut ruang vektor atas suatu field K jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
1. Untuk setiap u, v V dan K maka u + v V, * u V. V tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian,
2. Untuk setiap u, v, w V maka (u + v) + w = u + (v + w),
3. Untuk setiap u, v V dan K maka * (u + v) = * u + * v,
4. Terdapat 0 V disebut elemen identitas terhadap penjumlahan, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u , untuk setiap u V,
5. Untuk masing-masing u V, terdapat -u V disebut elemen invers terhadap perjumlahan, sedemikian sehingga (-u) + u = u + (-u) = 0,
6. Untuk setiap u, v V maka u + v = v + u,
7. Untuk setiap u V, , K berlaku ( + ) * u = ( * u) + ( * u), 8. Untuk setiap u V, , K berlaku ( * ) * u = * ( * u),
9. Untuk setiap u V berlaku 1 * u = u, dimana 1 adalah elemen identitas dari K.
Elemen-elemen dari ruang vektor disebut vektor.
Contoh 3.
1) Misalkan F adalah suatu field. Himpunan FF yaitu himpunan semua fungsi dari F ke F adalah ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada fungsi:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
dan
(af)(x) = a(f(x)).
2) Himpunan Mm,n(F) yaitu himpunan semua matriks m x n dengan
elemen-elemennya di field F, adalah ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar.
3) Himpunan Fn yaitu himpunan semua susunan n-tuples yang komponen-komponennya berada di field F, adalah ruang vektor atas F, dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan:
(a1, …, an)+(b1, …, bn) = (a1 + b1, …, an + bn)
dan
c(a1, …, an) = (ca1, …, can)
Elemen-elemen Fn dapat juga ditulis dalam bentuk kolom. Jika F adalah field hingga dengan q elemen, ditulis V(n, q) untuk Fqn.
Ruang Vektor Bagian (Subspace)
Misalkan V merupakan ruang vektor, W ∅ dan W merupakan subset dari V. W merupakan ruang vektor bagian dari V jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. Untuk setiap a, b W maka a + b W,
2. Untuk setiap a W dan K maka a W.
Contoh 4.
W adalah himpunan vektor-vektor pada bidang XOY yang merupakan subset dari
ℝ3. W merupakan ruang vektor bagian dari ℝ3 karena memenuhi 2 aksioma ruang vektor bagian.
Bukti:
W = {(x, y, 0) | x, y∈ℝ}
Misalkan a = (x1, y1, 0), b = (x2, y2, 0) W dengan x1, y1, x2, y2 ∈ℝ. 1. Untuk setiap a, b W, maka
a + b = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) W karena x1, y1, x2, y2 ∈ ℝ sehingga x1 + y1, x2 + y2 ∈ℝ.
2. Untuk setiap a W dan ℝ, maka
a = (x1, y1, 0) = (x1, y1, 0) W karena x1, y1, ∈ℝ sehingga x1, y1 ∈ ℝ.
Vektor yang Bebas dan Bergantung Linier Definisi
Himpunan m buah vektor {u1, u2, ..., um} disebut bergantung linier (linearly
dependent) jika terdapat skalar-skalar 1, 2, ..., m yang tidak semua nol
sedemikian sehingga 1u1 + 2u2 + ... + mum = 0. Himpunan {u1, u2, ..., um}
disebut bebas linier (linearly independent) jika 1u1 + 2u2 + ... + mum = 0 hanya
dipenuhi oleh 1= 2 = ….= m = 0.
Jika m = 1 maka bergantung linier karena u = 0 dapat dipenuhi dengan 0. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2, ..., 0, ..., um} maka
himpunan tersebut bergantung linier karena 1u1 + 2u2 + ... + iui + ... + mum =
0 dapat dipenuhi oleh i 0. Jika u dan v merupakan dua vektor yang
berkelipatan, u = v, maka kedua vektor tersebut bergantung linier.
Contoh 5.
Misalkan v1 = (1,–2, 4), v2 = (–2, 1,–3), dan v3 = (3, 5, 2). Apakah himpunan S = {v1, v2, v3} bebas linier atau tidak bebas linier?
Penyelesaian:
k1(1, –2, 4) + k2(–2, 1, –3) + k3 (3, 5, 2) = (0, 0, 0)
k1 – 2k2 + 3k3= 0 – 2k1 + k2 + 5k3= 0
k1 – 2k2 + 3k3= 0
Dengan melakukan eliminasi dan substitusi pada tiga persamaan tersebut maka diperoleh k1 = k2 = k3 = 0. Jadi, himpunan S = {v1, v2, v3} adalah himpunan yang bebas linier.
Contoh 6.
Misalkan v1 = (2, 3, 1, –2), v2 = (1, –4, 2, 2), dan v3 = (7, –6, 8, 4). Apakah himpunan S = {v1, v2, v3} bebas linier atau tidak bebas linier?
Penyelesaian: k1(2, 3, 1, –2) + k2(1, –4, 2, 2) + k3(7, –6, 8, 4) = (0, 0, 0, 0) 2k1 + k2 + 7k3= 0 3k1 – 4k2 – 6k3= 0 k1 + 2k2 + 8k3= 0 – 2k1 + 2k2 + 4k3= 0
Dengan melakukan eliminasi dan substitusi pada keempat persamaan tersebut maka diperoleh k1 = –4t, k2 = –3t, dan k3 = t. Jadi, himpunan S = {v1, v2, v3} adalah himpunan yang tidak bebas linier.
Jika sebagian (himpunan bagian) dari m vektor-vektor {u1, u2, ..., um}
bergantung linier maka keseluruhannya m vektor tersebut bergantung linier. Jika himpunan m vektor-vektor {u1, u2, ..., um} bebas linier maka himpunan
bagiannya juga bebas linier.
Kombinasi Linier Definisi
Suatu vektor w disebut sebagai kombinasi linier (linear combination) dari vektor-vektor v1, v2, ..., vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk,
w = k1v1 + k2v2 + ... + krvr
Skalar ki disebut koefisien dari kombinasi linier. Suatu kombinasi linier
dikatakan trivial jika setiap koefisien ki adalah nol, selain itu dikatakan nontrivial.
Contoh 7.
Nyatakan vektor v = (a, b, c) pada ℝ3 sebagai kombinasi linier vektor-vektor satuan standar i, j, dan k!
Penyelesaian:
v = (a, b, c), i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) maka v = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = ai + bj + ck.
Contoh 8.
Jika vektor u = (1, –3, 4) dan v = (2, 2, 3). Buktikan bahwa w = (3, 7, 2) adalah kombinasi linier dari u dan v, sedangkan x = (1, 5, –6) bukan kombinasi linier dari
u dan v. Penyelesaian:
w adalah kombinasi linier dari u dan v jika terdapat skalar k1 dan k2 yang memenuhi persamaan w = k1u + k2v.
(3, 7, 2) = k1(1, –3, 4) + k2(2, 2, 3) 3 = k1 + 2k2 (1)
7 = –3k1 + 2k2 (2) 2 = 4k1 + 3k2 (3)
Dengan eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh k1 = –1 dan k2 = 2. Selanjutnya, k1 = –1 dan k2 = 2 disubstitusikan ke persamaan 3 ternyata memenuhi pula. Oleh karena itu, w adalah kombinasi linier dari u dan v dengan w = –u + 2v.
x adalah kombinasi linier dari u dan v jika terdapat skalar k1 dan k2 yang memenuhi persamaan x = k1u + k2v.
(1, 5, –6) = k1(1, –3, 4) + k2(2, 2, 3) 1 = k1 + 2k2 (1)
5 = –3k1 + 2k2 (2) –6 = 4k1 + 3k2 (3)
Dengan eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh k1 = –1 dan k2 = 1. Selanjutnya, k1 = –1 dan k2 = 1 disubstitusikan ke persamaan 3 tenyata tidak memenuhi. Oleh karena itu, x bukan kombinasi linier dari u dan v.
Dimensi dan Basis
Definisi Sistem Pembentuk
Suatu himpunan vektor-vektor {u1, u2, ..., un} disebut sistem pembentuk dari
ruang vektor V, ditulis V = L{u1, u2, ..., un} jika setiap vektor v ∈ V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {u1, u2, ..., un}.
Contoh 9.
Vektor-vektor a = [2, 1, 0], b = [3, 2, 1], c = [5, 3, 1] adalah pembentuk ruang vektor L{a, b, c}.
Apakah vektor d = [1, 1, 1] ∈L?
Akan diperiksa apakah vektor d dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {a, b, c}. d = λ1a + λ2b + λ3c [1, 1, 1]= λ1[2, 1, 0]+ λ2[3, 2, 1] + λ3[5, 3, 1] diperoleh 2λ1+ 3λ2 + 5λ3 = 1 λ1+ 2λ2 + 3λ3 = 1 λ2 + λ3 = 1
Dengan menggunakan eliminasi pada ketiga persamaan tersebut diperoleh λ1= -1,
λ2 = 1, λ3 = 0. Jadi, d dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {a, b, c} sehingga d = [1, 1, 1] ∈L.
Definisi Dimensi
Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n jika dapat diperoleh suatu himpunan
n vektor-vektor ∈ V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n + 1) vektor-vektor ∈ V selalu bergantung linier, dengan perkataan lain, banyaknya maksimum vektor-vektor ∈ V yang bebas linier adalah n.
Teorema
Setiap n vektor-vektor {u1, u2, ..., un} yang bebas linier dari V, ruang vektor
berdimensi n, pasti merupakan sistem pembentuk dari V.
Contoh 10.
Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh: (i) p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]
(ii) u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8] Penyelesaian:
(i) Kedua vektor tidak berkelipatan sehingga sistem pembentuknya bebas linier. Jadi, dimensi dari L{p, q} adalah 2.
(ii) Vektor v = 2u, u ≠ 0 dan v ≠ 0 sehingga {u} atau {v} merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 1.
Definisi Basis
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut. Setiap himpunan n vektor-vektor yang bebas linier {u1, u2, ..., un} dari
ruang vektor berdimensi n, disebut basis dari ruang vektor.
Contoh 11.
Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh: (i) a = [1, 1, 2], b = [1, 2, 5], dan c = [5, 3, 4]
(ii) p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4], dan r = [1, 0, 1] (iii) u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3], dan w = [2, 0, 2] (iv) r = [1, 0, 0], s = [1, 1, 0], dan t = [1, 1, 1] Penyelesaian:
(i) Akan diperiksa apakah {a, b, c} bebas linier.
λ1a + λ2b + λ3c = 0
λ1[1, 1, 2]+ λ2[1, 2, 5] + λ3[5, 3, 4] = [0, 0, 0]
diperoleh λ1+ λ2 + 5λ3 = 0
λ1+ 2λ2 + 3λ3 = 0
Dengan menggunakan eliminasi diperoleh λ1 = -7λ3, λ2 = 2λ3. Misalkan λ3 = 1, maka λ1= -7, λ2 = 2. Jadi, {a, b, c} bergantung linier.
Selanjutnya, akan dicari banyak maksimum di antara {a, b, c} yang bebas linier. Vektor {a, b} atau {b, c} atau {a, c} bebas linier sehingga dimensinya adalah 2. Basisnya dapat dipilih di antara {a, b} atau {b, c} atau {a, c}.
(ii) Karena q = 2p maka {p, q, r} bergantung linier.
Vektor {p, r} atau {q, r} bebas linier sehingga dimensinya adalah 2. Basisnya dapat dipilih di antara {p, r} atau {q, r}.
(iii) Ketiga vektor saling berkelipatan, sehingga hanya satu vektor yang bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 1. Basisnya dapat dipilih {u} atau {v} atau {w}.
(iv) Akan diperiksa apakah {r, s, t} bebas linier.
λ1r + λ2s + λ3t = 0
λ1[1, 0, 0]+ λ2[1, 1, 0] + λ3[1, 1, 1] = [0, 0, 0]
diperoleh λ1= λ2 = λ3 = 0 sehingga {r, s, t} bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 3 dan basisnya adalah {r, s, t}.
Karena vektor-vektor ∈ V tak berhingga banyaknya, kecuali ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga = n, maka dapat dicari banyak sekali himpunan n vektor-vektor ∈ V yang bebas linier. Jadi dapat dipilih banyak basis untuk V.
Contoh 12.
Misalkan S = {a = [1, 1, 1], b = [2, 1, 1], c = [3, 2, 2]}.
S membentuk ruang vektor L(S) = L {a, b, c}.
S = {a, b, c} adalah sistem pembentuk dari L.
Terlihat bahwa c = a + b, jadi {a, b, c} bergantung linier. Sedangkan {a, b} bebas linier karena tidak berkelipatan.
Jadi, {a, b} adalah sistem pembentuk yang bebas linier berarti basis dari L, sehingga dimensi dari L adalah 2.
Basis lain dari L yaitu himpunan 2 vektor ∈L yang bebas linier, misalnya {a, c} atau {b, c} ataupun yang lain dari a, b atau c.
Misalnya: d = a + b + 0c = [3, 2, 2] ∈L, e = - a +3b + 2c = [11, 6, 6] ∈L
sehingga {d, e} bebas linier. Jadi, {d, e} juga basis dari L.
L{0}, ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol, hanya beranggotakan vektor nol saja, 0 bergantung linier, jadi vektor yang bebas linier ∈L{0} tidak ada, berarti dimensi L{0} = 0.
Dimensi dari ruang vektor ℝn adalah n. Hal ini karena dapat ditemukan n
vektor-vektor satuan : E = {e1, e2,..., en} dengan e1 = [1, 0, ..., 0], e2 = [0, 1, ..., 0], ..., en
=[0, 0, ..., 1].
Contoh 13.
Vektor a = [1, -1, 2, 3] ∈ℝ 4 dapat ditulis sebagai kombinasi linier basis E sebagai berikut:
a = [1, -1, 2, 3] = 1[1, 0, 0, 0] - 1[0, 1, 0, 0] + 2[0, 0, 1, 0] + 3[0, 0, 0, 1] = e1 - e2 + 2e3 + 3e4
Jika L ruang vektor bagian dari V maka dimensi L ≤ dimensi V. Jika dimensi
L = dimensi V, berarti L = V. Setiap satu vektor tidak sama dengan nol ∈ R3
merupakan sistem pembentuk ruang vektor bagian berdimensi 1. Jadi, jika a ≠ 0, maka L{a} adalah garis lurus dengan persamaan x = λa. Setiap dua vektor yang bebas linier (tidak berkelipatan/tidak segaris) akan membentuk ruang vektor bagian berdimensi 2, yang merupakan bidang rata L{a, b} yang persamaannya x =
λa + μb.
Contoh 14.
Akan diperiksa apakah titik-titik A(3, 1, 2), B(1, 2, 2), C(-1, 3, 2) segaris (kolinier).
Maka akan diperiksa apakah vektor AB dan AC berkelipatan.
AB = [-2, 1, 0] dan AC = [-4, 2, 0]. Jelas bahwa AC = 2AB. Jadi, A, B, C segaris.
Latihan Soal
1. Apakah 𝑉 = {( 𝑥 𝑦 𝑧
)| 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ϵ ℝ} merupakan ruang vektor atas
field ℝterhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa? Jelaskan!
2. Apakah 𝑉 = {(
𝑥 𝑦 𝑧
)| 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ϵ ℝ} merupakan ruang vektor bagian dari ℝ3 atas field ℝterhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa? Jelaskan!
3. V adalah himpunan vektor ℝ2. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor terhadap operasi operasi :
a. [a, b] + [c, d] = [a + d, b + c] [a, b] = [a, ab] b. [a, b] + [c, d] = [a+c, b+d] [a, b] = [a, b] c. [a, b] + [c, d] = [0,0] [a, b] = [a, ab]
4. Tentukan apakah W berikut merupakan ruang vektor bagian dari ℝ3! a. W = {(a, b, c) | a = 2b}
b. W= {(a, b, c) | a ≤ b ≤ c} c. W = {(a, b, c) | a = c2}
5. Tentukan himpunan-himpunan vektor berikut bebas linier atau bergantung linier! Jelaskan! a. {(2,9,0), (1,2,1),(3,3,4)} b. {(-2,1,0,2), (-6,-3,0,6), (2,-1,0,2), (4,2,0,-4)} c. {(1,1,-2,1), (1,0,0,1), (0,0,0,0), (1,2,4,3)} d. {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 3, 4)} e. {(1, 2, 3), (0, 0, 0), (1, 3, 4)}
