Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

(1)

M a te m a tik a L a n ju t 1

V ek to r R u an g V ek to r M at rik s D et er m in an

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 1

D et er m in an M at rik s I n ve rs S ist em P er sa m aa n L in ie r T ra n sf o rm as i L in ie r

Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.

R ef er en si R ef er en si

[1 ]. Y u su f Y ah ya , D . S u ry ad i. H .S ., A gu s S ., M ate m ati k a u nt uk P er gu ru an T in gg i, G h ali a- In d o n es ia , J ak ar ta , 1 99 5. [2 ]. Su ry ad i H .S ., P en ga nt ar A lja ba r L in ier d an

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011)

[2 ]. Su ry ad i H .S ., P en ga nt ar A lja ba r L in ier d an G eo m etr i A na lit ik , P en er b it G u n ad ar m a, Ja ka rta , 1 99 1. [3 ]. Se ym o u r L ip sc h u tz , T he or y a nd p ro ble m s o f L in ea r A lge br a, M cG ra w -H ill, 1 96 8.

2

(2)

V E K T O R V E K T O R

1.

D ef in isi V ek to r

2.

N o ta si

3.

O p er as i p ad a V ek to r

4.

In te rp re ta si V ek to r S ec ar a G eo m et ris

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 5.

K o m p o n en V ek to r

6.

D ali l p ad a O p er as i V ek to r

7.

V ek to r S at u an

8.

P an ja n g V ek to r

9.

P er ka lia n V ek to r

V ek to r V ek to r

Vektormemiliki besaran dan arah.Besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor: perpindahan, kecepatandan percepatan.A B

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) dan percepatan.

Skalarhanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi,massa dan waktu. A

(3)

V ek to r V ek to r

P en ya jia n V ek to r

◦Geometri: Tanda Panah

B

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) ◦Notasi: Patau P

5 A

P en ju m la h an V ek to r P en ju m la h an V ek to r

R = A + B

(4)

C ar a P o lig o n P en ju m la h an V ek to r P en ju m la h an V ek to r

A BA

R = A + B

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) A

RB

C ar a J aja ra n G en ja n g P en ju m la h an V ek to r P en ju m la h an V ek to r

A

R = A + B

A

R

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) B θB R

(5)

D u a b u ah v ek to r d ik at ak an s am a b ila m em ilik i b es ar an (p an ja n g) d an a ra h y an g sa m a.

V ek to r - A ad ala h v ek to r y an g m em ilik i b es ar an y an g sa m a d en ga n v ek to r A , te ta p i b er la w an an a ra h , d an b ila d iju m la h ka n a ka n m en gh as ilk an

d an b ila d iju m la h ka n a ka n m en gh as ilk an ve kt o r 0 . A + ( -A ) = 0

9 A-A

R = A – B R = A + (- B ) Se lis ih V ek to r Se lis ih V ek to r

A-B

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) B A R

10

(6)

P er ka lia n V ek to r de n ga n S ka la r P er ka lia n V ek to r de n ga n S ka la r

P er ka lia n v ek to r A d en ga n s ka la r m m en gh as ilk an v ek to r m A .

A

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) A

2A

In te rp re ta si V ek to r In te rp re ta si V ek to r S ec ar a G eo m et ris S ec ar a G eo m et ris

x2

65

4 2U U= [3 2]

2U= 2 . [3 2] = [6 4]

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) x1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 321-2 U

-U -U = -1 . [3 2]= [-3 -2]

(7)

In te rp re ta si V ek to r In te rp re ta si V ek to r S ec ar a G eo m et ris S ec ar a G eo m et ris

x

2

54 U = [3 2]

V = [2 3]

W = U + V

= [3 2] + [2 3]

x

1 321

1 2 3 4 5 W

U V = [3 2] + [2 3]

= [5 5]

T = U –V = …. ?

13

K o m p o n en V ek to r K o m p o n en V ek to r

θ AAy Y

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) Komponen Vektor A: vektor Ax dan vektor AyKomponen-komponen sebuah vektor selalu saling tegaklurus.Komponen skalarnya:Ax = A cos θAy = A sin θ X θ

Ax

14

(8)

Ada 2 cara menyatakan vektorA1. A = Ax + Ay

2.+=yx AAA 22Y

K o m p o n en V ek to r K o m p o n en V ek to r (la n ju ta n ) (la n ju ta n )

 

 

 

 = −

x yA A1tanθ

X θ AAy

Ax

K o m p o n en V ek to r K o m p o n en V ek to r (la n ju ta n ) (la n ju ta n )

Arah komponen vektor tergantung pada arahsumbu-sumbu yang digunakan sebagai acuan.AAy Y

A = A

x

+ A

yatau

A = A

x’

+ A

y’ X θ

Ax

(9)

K o m p o n en V ek to r K o m p o n en V ek to r (la n ju ta n ) (la n ju ta n )

Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki komponen yang sama.u[u1 u2 u3 ] = v[v1 v2 v3 ], jika u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3 .

Contoh:1. u=[1 2 3] dan v=[2 3 1], u≠v.

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 1. u=[1 2 3] dan v=[2 3 1], u≠v.2.Misalkan [ x-y x+y z-1] = [4 2 3].Kedua vektor tersebut memenuhi kesamaan bila nilai x =3, y = -1, z = 4.

17 D. L. Crispina ardede (Oktober 2011)

P en ju m la h an V ek to r B er da sa rk an K o m p o n en n ya

C = A + B C

x

= A

x

+ B

x

C

y

= A

y

+ B

y)(tan 1 22

x y yx

C C dan CCC

−= +=

θ

(10)

P en ju m la h an V ek to r … C o n to h C o n to h

M isa lk an v ek to r

U = [3 2 ] d an V = [2 3 ] U

x

= 3 d an U

y

= 2 V

x

= 2 d an V

y

= 3 Jik a W = U + V , m ak a W d ap at d ic ar i

Jik a W = U + V , m ak a W d ap at d ic ar i d en ga n c ar a W

x

= U

x

+ V

x

= 3 + 2 = 5 W

y

= U

y

+ V

y

= 2 + 3 = 5 ∴ V ek to r W = [W

x

W

y

] = [ 5 5 ].

D ali l P ada O p er as i V ek to r D ali l P ada O p er as i V ek to r

U n tu k s et ia p v ek to r A = [a

1

, a

2

, …, a

n

], B = [b

1

, b

2

, …, b

n

], C = [c

1

, c

2

, …, c

n

] ∈ R

n

d an b es ar an s ka la r k , m ∈ R (R : h im p u n an b ila n ga n ri il) , b er la ku

1.

A + B = B + A ko m u ta tif A + (B + C )= (A + B ) + C as o sia tif

A + (B + C )= (A + B ) + C as o sia tif

3.

k (A + B ) = k A + k B d ist rib u tif

4.

A + 0 = A

5.

A + - A = 0

6.

(k + m )A = k A + m A

7.

(k m )A = k (m A ) = m (k A )

8.

1 A = A

(11)

V ek to r S at u an V ek to r S at u an •

Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan.

•

Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran/panjang yang besarnya sama dengan satu (1).

•

Vektor satuan dalam sistem koordinat R2 (R3 ) dinyatakan dengan i danj(i, jdan k)yang saling tegaklurus. y y

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) jiAyx AA+= x y

i j A

R

2

kjizyx BBBB++= xi j B

R

3

kz

21

P an ja n g V ek to r P an ja n g V ek to r

Besar dan arahvektor diukurlangsung.

Misalkan, Vektor Adi Rdinyatakan sebagai A= Ai+ Aj

( ) ( ) ( )

z 2

y 2

x 2BBB++=B Misalkan, Vektor Adi R2 dinyatakan sebagai A= Ax i+ Ay jPanjang Vektor Adihitung dengan cara:

Misalkan, Vektor Bdi R3 dinyatakan sebagai B= Bx i+ By j+ Bz k ,Panjang Vektor Bdihitung dengancara:

( ) ( )

y 2

x 2AA+=A

22

(12)

P er ka lia n T iti k P er ka lia n T iti k

isalkan A dan Bvektor di dalam R n. Hasil kali titik dari an BadalahA.B =A1 B1 + A2 B2 +...+ An Bn.ana A= [A1 A2 ... An ], B= [B1 B2 ... Bn ].a vektor A dan Bdikatakan tegak lurus satu sama lain, jika =0.

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) =0.ntoh:etahui u= [1 -2 3 -4], v= [6 7 1 -2], w= [5 -4 5 7].u.v =1.6 + (-2).7 + 3.1 + (-4).(-2) = 3u.w = ... ...v.w = ... ...tor ... dan ... saling tegak lurus.

P er ka lia n T iti k P er ka lia n T iti k (L an ju ta n ) (L an ju ta n ) at p er ka lia n ti tik (d ot pr od uc t) d ala m R

n

. eo re m a tu k s em b ar an g v ek to r u , v, w ∈ R

n

d an b ar an g s ka la r k ∈ R b er la ku 1. (u + v ) . w = u .w + v .w

1. (u + v ) . w = u .w + v .w 2. (k u ) . v = k (u .v ) 3. u .v = v .u . 4. u .u ≥ 0 d an u .u = 0 ji ka d an h an ya jik a u = 0 .

(13)

P er ka lia n T iti k P er ka lia n T iti k …… L at ih an L at ih an

1. Jika u= [2 -7 1], v= [-3 0 4], danw = [0 5 -8], tentukana). 3u–4vb). 2u–3v–5w.2.Tentukan x dan y jika [4 y] = x[2 3].3.Tentukan x, y, z jika[2 3 4] = x[1 1 1] + y[1 1 0] + z[1 0 0]

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 4.Dari soal no. 1, tentukana). u.vb). u.w3. u.(v+w)

25

P an ja n g V ek to r di R P an ja n g V ek to r di R

nn

P an ja n g v ek to r u = [u

1

u

2

… u

n

] d in ya ta ka n d en ga n | u|

2n 22 21

u ... u u u . u + + + = = u

C o n to h : u = [1 - 2 3 ]

26 14941 3)2(1 322=++=+−+=u

(14)

Ja ra k p ada R Ja ra k p ada R

nn

M isa lk an d u a v ek to r p ad a R

n

, u = [u

1

u

2

… u

n

] d an v = [v

1

v

2

… v

n

]. Ja ra k (d ist an ce) a n ta ra u d an v ad ala h

2nn 222 211

) v (u ... ) v (u ) v (u ) , ( d − + + − + − = v u

C o n to h : u = [1 - 2 4 ] , v = [3 1 - 5]

9 4 ) 9( ) 3 ( ) 2( )) 5 ( 4( )1 (- 2 ) 3 (1 ) , ( d

222 222

= + − + = − − + − + − = v u

an ja n g V ek to r d an Ja ra k p ada R an ja n g V ek to r d an Ja ra k p ada R

nn

… … L at ih an L at ih an

1. Tentukan panjang vektor |u|jika diketahuia). u= [2 -7]b). u= [3 -12 4]2.Tentukan k sedemikian hingga |u|= √39dimana u= [1 k -2 5].3.Hitung jarak antara vektor udan v, jika

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 3.Hitung jarak antara vektor udan v, jikaa). u= [1 7], v= [6 -5]b). u= [3 -5 4], v= [6 2 -1]4.Tentukan harga k sedemikian hingga d(u,v) = 6dimana u= [2 k 1 -4], v= [3 -1 6 -3]

(15)

R U A N G V E K T O R R U A N G V E K T O R

1.

F ie ld

2.

R u an g V ek to r d i a ta s S u at u F ie ld

3.

R u an g V ek to r B ag ia n

4.

K et er ga n tu n ga n L in ie r

5.

K o m b in as i L in ie r

6.

D im en si d an B as is

29

F ie ld F ie ld

Misalkan K sebuah himpunan. Pada K didefinisikan 2 (dua) operasi yang disebut penjumlahan (+) dan perkalian ( . ).K merupakan fieldbila aksioma-aksioma berikut dipenuhi:1.K tertutupterhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian ( . )2.Operasi penjumlahan bersifat asosiatifpada K3.Terdapat identitaspenjumlahanyang juga merupakan anggota K4.Setiap anggota K memiliki inverspenjumlahanyang juga anggotaK

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 30D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) K5.Operasi penjumlahan bersifat komutatifpada K6.Operasi perkalian bersifat asosiatifpada K7.Operasi perkalian bersifat distributifterhadap operasi penjumlahan8.Operasi perkalian bersifat komutatifpada K9.Terdapat identitasperkalianyang juga merupakan anggota K10.Setiap anggota K memiliki inversperkalianyang juga merupakananggota K

(16)

F ie ld F ie ld

, +, . ) adalah Field, jika ∀α, β, γ∈K dipenuhi:α+ β∈K dan α. β∈K(tertutup)(α+ β) + γ= α+ (β+ γ)(asosiatif)∃0∈∈∈∈K

∋

α+0 = 0+α= α(0 identitas penjumlahan)∀α∈K ∃-α∈α∈α∈α∈K

∋

α+-α= -α+α= 0 (-αinvers penjumlahan dari α)αββα

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) (-invers penjumlahan dari )α+ β= β+ α(komutatif)(α.β).γ= α.(β.γ) (asosiatif)α.(β+ γ) = α.β+ α.γ; (β+ γ).α= β.α+ β.γ(distributif)α. β= β. α(komutatif)∃1 ∈∈∈∈K ∋α.1 = 1.α= α(1 identitas perkalian). ∀α≠0 ∈K ∃αααα -1∈∈∈∈K

∋

α.α -1= α -1.α= 1 (α -1invers perkalian dari α) isalkan (K, +, . ) adalah Fielddan V himpunan tidak kosong ana, jika ∀u, v ∈V, u + v ∈V dan ∀u ∈V, k ∈Klaku ku ∈V. Himpunan V disebut Ruang Vektor jika laku:1. ∀u, v, w ∈V, (u + v) + w = u + (v + w)2. ∀u ∈V, ∃0 ∈V

∋

u+0 = u(0: vektor nol)

R u an g V ek to r di A ta s S u at u F ie ld R u an g V ek to r di A ta s S u at u F ie ld

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 2. ∀u ∈V, ∃0 ∈V

∋

u+0 = u(0: vektor nol)3. ∀u ∈V, ∃-u ∈V

∋

u+-u = 0 4. ∀u, v ∈V, u + v = v + u1. ∀k ∈K, ∀u, v ∈V, k(u + v) = ku + kv2. ∀k, l ∈K, ∀u ∈V, (k + l) u = ku + lu3. ∀k, l ∈K, ∀u ∈V, (k l) u = k (l u)4. ∀u ∈V , ∃1 ∈K ∋1.u = u

(17)

R u an g V ek to r R u an g V ek to r … … C o n to h C o n to h 1. H im p u n an s em u a n -tu p le da ri ele m en -e le m en fi eld K , di m an a p en ju m la h an v ek to r da n p er ka lia n s ka la r y an g di de fin isi ka n s eb ag ai (a

1

, a

2

,…, a

n

) + (b

1

, b

2

,…, b

n

) = (a

1

+ b

1

, a

2

+ b

2

,…, a

n

+ b

n

) k (a

1

, a

2

,…, a

n

) = (k a

1

, k a

2

,…, k a

n

) di m an a a

i

, b

i ∈

K ,

k (a

1

, a

2

,…, a

n

) = (k a

1

, k a

2

,…, k a

n

) di m an a a

i

, b

i

K , ada la h r u an g v ek to r a ta s f ie ld K . 2. M isa lk an V h im p u n an s em u a m at rik s (m xn ) di m an a se tia p s el b er isi a n g go ta K . V m er u p ak an r u an g v ek to r a ta s K de n ga n o p er as i p en ju m la h an m at rik s da n p er ka lia n s ka la r.

33

R u an g V ek to r R u an g V ek to r … … L at ih an L at ih an 1. T u n ju kk an b ah w a u n tu k s em b ar an g s ka la r k d an se m b ar an g v ek to r U d an V , b er la ku k (U – V ) = k U – kV 2. D ik et ah u i h im p u n an p as an ga n te ru ru t d ar i b ila n ga n ri il V = { (a , b )| a, b ∈ R }. T u n ju kk an

b ila n ga n ri il V = { (a , b )| a, b ∈ R }. T u n ju kk an b ah w a V b u ka n r u an g v ek to r a ta s R d i b aw ah o p er as i p en ju m la h an d an p er ka lia n s ka la r p ad a V ya n g d id ef in isi ka n s eb ag ai (a , b ) + (c , d ) = (( a + c ), (b + d )) d an k( a,b ) = (k a, b )

34

(18)

R u an g V ek to r R u an g V ek to r … … L at ih an L at ih an

ik et ah u i h im p u n an p as an ga n te ru ru t d ar i ila n ga n ri il V = { (a , b )| a, b ∈ R }. T u n ju kk an ah w a V b u ka n r u an g v ek to r a ta s R d i b aw ah p er as i p en ju m la h an d an p er ka lia n s ka la r p ad a V

p er as i p en ju m la h an d an p er ka lia n s ka la r p ad a V ya n g d id ef in isi ka n s eb ag ai a) . ( a, b ) + (c , d ) = (a , b ) d an k( a,b ) = (k a, kb ) ). (a , b ) + (c , d ) = (( a+ c) , ( b + d )) d an k( a,b ) = (k

2

a, k

2

b )

R u an g V ek to r B ag ia n R u an g V ek to r B ag ia n isa lk an W h im p u n an b ag ia n d ar i r u an g v ek to r as fi eld K . d ise b u t R u a n g V e k to r B a g ia n d ar i V , jik a W ala h r u an g v ek to r a ta s f ie ld K , d en ga n o p er as i en ju m la h an v ek to r d an p er ka lia n s ka la r p ad a V .

en ju m la h an v ek to r d an p er ka lia n s ka la r p ad a V .

o n to h : = r u an g v ek to r d ar i s em u a m at rik s ( m xn ) = h im p u n an s em u a m at rik s A (a ) d im an a a = a . m er u p ak an r u an g v ek to r b ag ia n d ar i V .

(19)

K et er ga n tu n ga n L in ie r K et er ga n tu n ga n L in ie r

M isa lk an V r u an g v ek to r a ta s f ie ld K .

V ek to r-v ek to r v

1

, v

2

,…, v

m

∈ V d ik at ak an B e rg a n tu n g L in ie r, jik a t er d ap at λ

1

, λ

2

,…, λ

m

∈ K y an g t id ak s em u a n o l, se d em ik ia n h in g ga

se d em ik ia n h in g ga λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ … + λ

m

v

m

= 0

Jik a λ

1

= λ

2

= … = λ

m

= 0 , m ak a v

1

, v

2

,…, v

m

d ik at ak an B eb a s L in ie r.

37

K et er ga n tu n ga n L in ie r K et er ga n tu n ga n L in ie r … … C o n to h C o n to h 1. V ek to r u = [1 1 0 ], v = [1 3 - 1] , w = [5 3 - 2] b er ga n tu n g l in ie r, ka re n a 3 u + 2 v – w = 0 .

2. T u n ju kk an b ah w a v ek to r-v ek to r b er ik u t b eb as lin ie r.

lin ie r.

u = [6 2 3 4 ],

v = [0 5 - 3 1 ],

w = [0 0 7 - 2] .

38

(20)

K et er ga n tu n ga n L in ie r K et er ga n tu n ga n L in ie r … … L at ih an L at ih an

Selidiki apakah vektor-vektor udan vberikut bebas linier atau bergantung linier.a). u= [3 4], v= [1 -3]b). u= [2 -3], v= [6 -9]c). u= [4 3 -2], v= [2 -6 7]d). u= [-4 6 -2], v= [2 -3 1]

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) d). u= [-4 6 -2], v= [2 -3 1]

Selidiki apakah matriks-matriks berikut bebas linier.

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 =00 11C ,10 01B ,11 11A ).a

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 =04- 5-1C ,22 1-3B ,13 21A ).b

K et er ga n tu n ga n L in ie r K et er ga n tu n ga n L in ie r … … L at ih an L at ih an

3. Misalkan V ruang vektor dari polinomial berderajat ≤ 3atas R. (R: himpunan bilangan riil) selidiki apakahu= t 3-3t 2+ 5t + 1v= t 3-t 2+ 8t + 2w= 2t 3-4t 2+ 9t + 5

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) w= 2t-4t+ 9t + 5bebas linier.

(21)

K o m b in as i L in ie r K o m b in as i L in ie r

M isa lk an V s eb u ah r u an g v ek to r a ta s f ie ld K da n v

1

, v

2

,…, v

m

∈ V . S em b ar an g v ek to r da la m V y an g b er b en tu k λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ … + λ

m

v

m

di se b u t K o m b in a si L in ie r da ri ve kt o r-v ek to r v

1

, v

2

,…, v

m

.

D en ga n ka ta la in ,

V ek to r v di ka ta ka n k o m b in a si lin ie r da ri ve kt o r-v ek to r v

1

, v

2

,…, v

m

b ila te rda p at sk ala r-s ka la r λ

1

, λ

2

, …, λ

m

se de m ik ia n h in g ga v = λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ … + λ

m

v

m

41

K o m b in as i L in ie r K o m b in as i L in ie r … … C o n to h C o n to h

1. Vektor e1 = [1 0 0], e2 = [0 1 0], e3 = [0 0 1], membangkitkan ruang vektor R 3.∀[a b c ]∈R 3, [a b c ] = a [1 0 0] + b [0 1 0] + c [0 0 1]= ae1 + b e2 + ce3 .∴∀[a b c ]∈R 3merupakan kombinasi linier dari e

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) ∴∀[a b c ]∈R 3merupakan kombinasi linier dari ei2. Selidiki apakah vektor v= [3 9 -4 4] merupakankombinasi linier dari vektor-vektor

u= [1 -2 0 3]

v= [2 3 0 1]

w= [2 -1 2 1]

42

(22)

K o m b in as i L in ie r K o m b in as i L in ie r … … L at ih an L at ih an

Nyatakan vektor v= [1 -2 5] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor u1 = [1 1 1], u2 = [1 2 3], u3 = [2 -1 1] Nyatakan vektor w= [2 -5 3] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor e1 = [1 -3 2], e2 = [2 -4 -1], e3 = [1 -5 7].Hitung k sedemikian hingga vektor t= [1 -2 k] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektorv= [3 0 -2] , w= [2 -1 -5]

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) v= [3 0 -2] , w= [2 -1 -5]

Nyatakan matriks sebagai kombinasi linier dari matriks-matriks

 

 

 

 − =11 13P

 

 

 

 − =

 

 

 

 =

 

 

 

 =10 20 C , 11 00 B ,01 11A

D im en si da n B as is D im en si da n B as is im e n si im e n si

uatu ruang vektor V dikatakan Berdimensi n, jika dapatitemukan sebuah himpunan nvektor anggota V yang ebas linier, sedangkan setiap himpunan (n + 1) vektor anggota V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, dalamruang vektor berdimensi n, jumlah maksimum vektor

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) ruang vektor berdimensi n, jumlah maksimum vektor anggota V yang bebas linier adalah n.

si s si s

etiap himpunan n buah vektor yang bebas linier dari suaturuang vektor berdimensi n disebut Basisdari ruang vektor

(23)

D im en si da n B as is D im en si da n B as is … … C o n to h C o n to h

1. Misalkan ruang vektor V dibentuk oleh vektor-vektor p= [1 -2 3 1] dan q= [2 -4 5 2].Kedua vektor tersebut tidak berkelipatan, berarti keduanyabebas linier. Dengan demikian, dimensi ruang vektor yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut adalah 2.2. Vektor e1 = [1 0 0], e2 = [0 1 0], e3 = [0 0 1], merupakan

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) 2. Vektor e1 = [1 0 0], e2 = [0 1 0], e3 = [0 0 1], merupakanbasis dari ruang vektor R 3.λ1 [1 0 0] + λ2 [0 1 0]+ λ3 [0 0 1] = [0 0 0]λ1 + λ2 + λ3 = 0λ2 + λ3 = 0λ1 = λ2 = λ3 = 0λ3 = 0Jelas bahwa e1 , e2 , e3 bebas linier, dan merupakan basis R 3.

45

D im en si da n B as is D im en si da n B as is … … L at ih an L at ih an

1. Selidiki apakah vektor -vektor e1 = [1 0 0], e2 = [1 1 0], dan e3 = [1 1 1], merupakan basis dari ruang vektor R 3.2. Selidiki apakah vektor -vektor u= [1 1 2], v= [1 2 5], dan w= [5 3 4], merupakan basis dari ruang vektor R 3.3.Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh

D. L. Crispina Pardede (Oktober 2011) oleha). a= [1 1 2], b= [1 2 5], c= [5 3 4]. b). a= [1 2 2], b= [2 4 4], c= [1 0 1]. c). a= [1 0 1], b= [3 0 3], c= [2 0 2].

46