KEGIATAN II VEKTOR
Bagian ini tentang vektor yang meliputi penjumlahan vector, pembelajaran untuk penjumlahan vektor dengan menjumlahkan dua buah vector atau lebih dengan cara analisis dan menjumlahkan dua buah vector atau lebih dengan cara grafis. Perkalian vector, pembelajaran untuk perkalian vektor dengan mengalikan dua buah vector atau lebih secara dot product dan mengalikan dua buah vector atau lebih secara cross product.
Setelah pembelajaran bagian ini, guru dapat menerapkan konsep vektor dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan penggunaan vector dalam kehidupan sehari-hari, sedangkan prasyarat dalam mempelajari bagian ini adalah telah mempelajari dan menguasai tentang besaran, satuan, dan dimensi.
Spesifikasi kinerja yang diharapkan adalah dapat menjumlahkan dua buah vektor atau lebih dengan cara analisis, menjumlahkan dua buah vektor atau lebih dengan cara grafis, mengalikan dua buah vector atau lebih secara dot product, dan mengalikan dua buah vector atau lebih secara cross product Berdasarkan spesifikasi kinerja memungkinkan penerapan konsep vector secara mendalam di dunia kerja diantaranya untuk menyelesaikan persoalan di bidang produktif.
a. Tujuan
Setelah membaca uraian kegiatan bagian ini diharapkan dapat : - Memiliki pemahaman tentang vektor.
- Memberikan notasi vektor.
- Menentukan hasil penjumlahan vektor. - Menghitung besar penjumlahan vektor. - Menuliskan rumus besar pengurangan vektor. - Melukiskan penjumlahan vektor segaris - Melukiskan penjumlahan dua vektor.
- Melukiskan penjumlahan vektor secara poligon - Menguraikan vektor
- Menghitung nilai perkalian antara dua vektor dengan hasil scalar - Menghitung perkalian antara dua vektor dengan hasil vektor lain. - Menghitung besar perkalian antara dua vektor dengan hasil vektor lain
b. Uraian materi dan contoh
1. Penjumlahan dan Penguraian vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitudo) dan arah, serta
memenuhi aturan-aturan penjumlahan tertentu. Besaran yang dapat dinyatakan secara tepat hanya oleh sebuah bilangan dan satuannya saja disebut skalar.
Sebuah vector dinyatakan oleh tanda panah di atas huruf atau huruf dicetak tebal. Untuk menyatakan vector dengan diagram digunakan gambar anak-panah. Panjang anak panah dipilih sebanding dengan besar vector dan arah anak panah, yang ditunjukkan oleh arah ujungnya menyatakan arah vector. Notasi vektor mempunyai kegunaan besar dalam bidang fisika dan matematika. Diantaranya keuntungan menggunakan vektor adalah memungkinkan penelitian masalah dalam ruang tanpa memakai sumbu-sumbu koordinat.
Besar atau panjang dari sebuah vektor a dinyatakan dengan a atau a. Bilangan ini memenuhi hukum-hukum :
a > 0; a = 0 jika dan hanya jika a = 0
a + b < a + b
Jika bilangan-blangan real dapat ditampilkan sebagai titik-titik pada garis lurus, demikian hingga setiap bilangan x berkaitan dengan suatu titik P, maka setiap bilangan x akan berkaitan dengan sebuah vektor OP.
Contoh 2–1 Besar vector
Untuk menghitung besar penjumlahan dua vektor, misalnya A + B
A + B = A 2B 22 A B Cos
Adapun rumus untuk menghitung besar dari pengurangan vektor : A - B = A - B = A 2B 2 2 A B Cos
Contoh 2-2: Vektor A = 2i + 4j + 4k dan B = 4i + 2j + 4 k, besar sudut yang terbentuk antara kedua vector tersebut adalah 600. Hitung besar A + B dan A - B
Penyelesaian : A + B = A 2B 22 A B Cos
Gambar 2.1. Vector searah dan segaris
Gambar 2.2. Vektor segaris dan berlawanan arah
Gambar 2.3. Vektor Searah dan Sejajar
Diberikan dua vector a, b. Vektor ketiga c = a + b diperoleh dengan melukisnya sebagai berikut :
P4 P3
b c = a + b
P1 a P2
Gambar 2.4. Perpaduan Dua vektor dengan cara Jajaran Genjang
Dipilih titik mula P1, kemudian lukiskan P1P2 = a, P2P3 = b, maka vektor c
adalah P1P3 sehingga P1P2 + P2P3 = P1P3. Jika P4 dipilih sehingga P1P4 = P2P3 = b,
maka c dapat diartikan sebagai diagonal dari jajaran genjang P1P2P3P4
Penjumlahan vector dapat dianggap sebagai pemindahan. Jika sebuah benda bergerak dari P1 ke P2 maka benda telah menjalan pemindahan sebesar vektor a =
P1 P2. Jumlah a + b merupakan hasil pemindahan gabungan dari P1 ke P2 dan P2 ke P3 .
Hal ini jelas sama dengan perpindahan dari P1 ke P3 ialah perpindahan c.
Diberikan a dan c, maka selalu terdapat vector b sehingga a + b = c. Dapat pula ditulis b = c – a, maka hal ini didefinisikan sebagai pengurangan.
( a + b ) + c = a + ( b + c )
a + b b + c
b c a c
a b
Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokan vector dalam penjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini penjumlahan vector dan penjumlahan scalar memenuhi aturan yang sama.
Operasi pengurangan vector dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan mendefinisikan negatif suatu vector sebagai sebuah vector lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga
a – b = a + ( - b )
seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.6
- b
b - b
a a - b
Gambar 2.6. Selisih Dua Vektor, a – b = a + ( - b )
Hukum asosiatif dapat diperluas sehingga pernyataan a1 + a2 + a3 + … + an
mempunyai arti sama walaupun digabungkan dengan cara yang berlainan. Jumlah ini selalu bisa diartikan sepenggal garis dari titik ujung dari sebuah garis patah. Maka
P4
P3 P1P2 + P2P3 + P3P4 +P4P5 = P5P1
P5 Jika arah P1P2 dibalik (lihat gambar di sebelah)
maka diperoleh pernyataan :
P2 P1P2 + P2P3 + P3P4 +P4P5 + P5P1 = 0
P1
Gambar 2.7. Perpaduan Vector Berdasarkan Poligon
Ini menggambarkan suatu peraturan umum bahwa jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah poligon tertutup senantiasa sama dengan 0 jika arah sisi-sisi tersebut berurutan. sumbu x dan y dalam gambar dirotasikan 100 berlawanan dengan arah jarum jam,
maka komponen a akan berbeda. Lebih dari itu, dapat pula digunakan sistem koordinat yang tidak siku-siku, yaitu sudut antara kedua sumbunya tidak harus 900. jadi
komponen vector hanya tertentu secara unik jika telah ditetapkan dahulu sistem koordinatnya. Untuk mencari komponenya, tidak perlu pangkal vector terletak titik asal sistem koodinat.
ay
a
0 ax
Gambar 2.9. Penguraian Vektor
dengan adalah sudut yang dibentuk oleh vector a dandengan sumbu x positif yang diukur berlawanan arah dengan jarum jam dari sumbu ini. Harga ax dan ay dapat
positif dan negatif
Sekali suatu vektor diuraikan atas komponennya, maka komponen-komponen itu dapat digunakan untuk menentukan vektornya. Untuk memperoleh a dan
dari ax dan ay,
a =
a
x2a
y2 dan tan = ay/axContoh 2.4 : Sebuah benda ditarik dengan gaya 50 Newton. Gaya tersebut
membentuk sudut 300 terhadap bidang horizontal. Hitung gaya tersebut
terhadap bidang datar dan bidang vertical dan lukiskan gaya tersebut.
Penyelesaian :
Fy F
300
Fx Fx = F cos 300
Fx = 50 N . 0,867
Vektor dapat dipindahkan ke mana saja dalam ruang koordinat, asal sudutnya terhadap sumbu koordinat dijaga tetap, komponennya pun tidak akan berubah.
Fx = 43,35 Newton
Fy = F sin 30 Fy = 50 N . 05 Fy = 25 Newton
2. Perkalian Vektor
seperti juga skalar, vektor dengan macam yang berlainan dapat dikalikan satu dengan lainnya, menghasilkan besaran fisis baru dengan dimensi yang baru pula. Karena di samping besar vektor juga memiliki arah, maka aturan perkalian antar vector tidak tepat sama seperti perkalian aljabar antar skalar, harus dibentuk aturan baru untuk memp erkalikan vektor.
Ada tiga macam operasi perkalian dengan vektor, yaitu (1) perkalian antara vektor dengan skalar, (2) perkalian anatara dua vektor dengan hasil skalar, dan (3) perkalian anatara dua vector dengan hasil dengan hasil vector lain.
Perkalian antara vektor dan skalar memiliki arti yang sederhana, yaitu hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor a, dituliskan sebagai ka, didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar a. Arah vektor yang baru ini sama dengan arah vector a jika k positif dan berlawanan arah jika k negatif, maka diperoleh :
ka = h .a
Jika semua vector dikalikan dengan bilangan yang sama, k, pengaruhnya adalah perubahan “skala”. Maka lazimnya bilangan-bilangan dalam analisa vector dianggap scalar, dan ka disebut hasil perkalian dari k dengan vector a. Dari definisi di atas diperoleh
1. a = a (k1k2 ) a = k1 (k2 a)
(k1k2 ) a = k1 a +k2 a
k1 ( a + b ) = k1 a + k1 b
Dua vektor a, b disebut segaris (bergantungan linear) jika terdapat scalar k1, k2
tidak nol kedua-duanya, sehingga k1 a + k2 b = 0
Ini sama dengan menyatakan bahwa a dan b ditampilkan oleh oleh segmen-segmen garis sejajar.
Tiga vector a, b, c dalam hal ini dapat dinyatakan oleh segmen-segmen di bidang yang sama. Ambillah a dan b tidak segaris. Maka setiap vector c yang sebidang dengan a dan b dapat dinyatakan dalam bentuk
C = k1 a + k2 b
Untuk satu dan hanya satu pilihan dari k1 dan k2 Sesuai dengan itu jika a, b, c tidak
sebidang, maka setiap vector d dalam ruang dapat dinyatakan dalam bentuk d = k1 a + k2 b + k3 c
Untuk satu dan hanya satu pilihan dari k1, k2, k3.
Perkalian vector dengan hasil scalar. Sudut antara dua vector bukan nol, a dan b : = (a, b) = AOB
Dengan O sebarang titik di ruang dan A, B dipulih sehingga OA = a, OB = b
Hasil kali scalar a dan b adalah bilangan yang dinyatakan oleh a.b dan diberi nilai oleh rumus :
a. b = ab cos , dengan = (a, b) a = a , b = b
Jika a atau b adalah 0, maka a atau b sama dengan nol dan a.b didefinisikan 0. Besaran b cos dapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a : Kompa = b cos ,
B
b b
a
Gambar 2.10. vektor dan Komponennya
Komponen adalah skalar yang sama panjang dengan proyektor b pada garis sejajar dengan vector a, dengan tanda + atau – sesuai a dan b membentuk sudut lancip atau sudut tumpul.
Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk a . b = a kompa b atau a . b = b kompb a
Jika gaya tetap F mempengaruhi sebuah benda bergerak dari A ke B sepanjang segmen AB, maka hanya komponen dari F pada AB yang bekerja. Maka kerja yang dilakukan sama dengan hasil perkalian komponen dan jarak yang dilalui. Maka : Kerja = (komponen gaya dalam arah gerak ). (Jarak)
Kerja = (F cos ) AB = F . AB
Kerja yang dilakukan sama dengan hasil kali scalar dari gaya dan pemindahan. Hasil scalar memenuhi hukum :
a . b = b . a hukum komutatif a . ( b + c) = (a . b) + (a . c) hukum distributif a . (hb) = (ha) . b = h ( a . b ) h skalar
a . a = a2
Hukum distribusi di atas dapat dengan mudah ditunjukkan kebenarannya. Dari Gambar 2.11 proyeksi ini dapat ditulis kompa ( b + c ) = kompa b + a kompa c
a . (b + c) = a . b + a . c
c b
b + c
∟ ∟ ∟ a
Gambar 2.11. Proyeksi
maka hasil dari perkalian scalar antara dua vector adalah skalar. Perkalian skalar dua vektor dapat dipandang sebagai perkalian antara besar salah satu vektor dengan komponen vektor lain dalam arah vektor pertama tadi. Karena cara penulisannya demikian, maka a. b disebut juga sebagai perkalian titik (dot product) antara a dan b dan dibaca sebagai “a dot b”.
i . i = 1, j . j = 1, k . k = 1 i . j = 0, j . k = 0, k . i = 0
dan i, j, k tidak sebidang. Tripel i, j, k disebut kumpulan vektor basis Dengan definisi perkalian skalar yang diberikan di atas, maka banyak besaran-besaran fisis penting yang dapat dinyatakan sebagai perkalian skalar antara dua vektor, beberapa diantaranya adalah usaha mekanis, tenaga potensial gravitasi, daya elektrik dan rapat tenaga elektromaknetik.
Perkalian vektor antara dua vektor a dan b dituliskan sebagai a x b dan hasilnya adalah sebuah vektor lain c, dengan c = a x b. Besar vektor c didefinikan sebagai c = ab sin . Dengan adalah sudut di atara a dan b.
Arah dari c, sebagai hasil perkalian vektor a dan b, didefinisikan tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh a dan b. untuk menentukan arah vektor c, bayangkan sebuah sekrup-kanan yang sumbunya tegak lurus kepada bidang yang dibentuk oleh a dan b. Bila sekrup ini diputar dari a ke b melalui sudut yang diapitnya maka majunya sekrup didefinisikan sebagai arah dari perkalian vektor ax b (lihat Gambar 2.12).
Cara lain untuk memperoleh arah dari perkalian vektor adalah bayangkanlah sebuah sumbu yang tegak lurus bidang a dan b dan melalui titik asal. Sekarang kepalkan jari-jari tangan kanan melingkupi sumbu ini sambil mendorong vektor a ke arah vektor b oleh ujung-ujung jari melalui sudut apit terkecil, sementara itu ibu jari tetap tegak berdiri; maka arah dari perkalian vektor a x b ditunjukan oleh arah ibu jari yang tegak tersebut. Karena cara penulisannya demikian, maka a x bdisebut juga perkalian silang (cross product) dan dibaca “a cross b”.
dengan arah b x a. hal ini memang demikian karena jika sekrup kanan dari a ke b melalui akan bergerak ke arah yang berlawanan.
Jika = 900, maka a, b dan c (= a x b) saling tegak lurus dan menyatakan
arah-arah yang sama seperti dalam sistem koordinat kanan berdimensi tiga.
c = a x b
b
b a
a c’ = b x a Gambar 2.12. Arah Putar dan Arah Gerak Vektor
Alasan pendefinisikan perkalian vektor seperti ini adalah karena hal ini ternyata sangat bermanfaat dalam fisika. Beberapa contoh besaran yang merupakan perkalian vektor adalah momen gaya, momentum sudut, gaya yang bekrja pada muatan yang bergerak dalam medan magnet, dan aliran tenaga elektromagnetik. Urutan perkalian vektor (cross) menentukan hasilnaya, tetapi hanya berbeda minus satu, yang berarti arahnya berbalik.
Perkalian vektor memenuhi hukum-hukum :
a x b = - ( b x a ) anti - komutatif a x ( b + c ) = a x b + a x c distributive a x ( hb ) = ( h a ) x b = ( a x b ) h, h skalar a x a = 0
i x j = k, j x k = i, k x i = j i x i = 0, j x j = 0, k x k = 0,
Hasil kali a dan b dapat ditulis dengan bentuk lain :
ay az az ax ax ay
a x b = i + j + k by bz bz bx bx by
Bentuk ini dapat dipandang sebagai pengembangan determinan : i j k
a x b = ax ay az
bx by bz
Besarnya perkalian vector a x b sama dengan scalar ab sin , yang dapat diterangkan sebagai luas jajaran genjang dengan sisi vector a dan b.
Maka dapat ditulis :
a x b = luas jajaran genjang bersisi a dan b Contoh 2.5. A = 3i + 4 j + 5 k dan B = 5i + 6 j + 7 k,
Hitung A . B , A x B dan B x A Penyelesaian :
A . B = ( 3 i + 4 j + 5 k) . (5 i + 6 j + 7 k) A . B = 15 + 24 + 35
A . B = 64
A x B = ( 3 i + 4 j + 5 k) x (5 i + 6 j + 7 k)
A x B = 0 + 18 k - 21 j - 20 k + 0 + 28 i + 25 j – 30 i + 0 A x B = - 2 i + 4 j - 2 k
B x A = (5 i + 6 j + 7 k) x ( 3 i + 4 j + 5 k) B x A = i j k
5 6 7 3 4 5
B x A = 2 i - 4 j + 2 k
A x B = - 2 i + 4 j - 2 k
- Jelaskan pengertian dari vektor
- Tuliskan notasi vektor dengan huruf dan garis
- Tiga buah vektor, yaitu : a = 4i + 3 j – 6k, b = - 5i + 4j + 2 k, dan - c = 2i + 2j + 2k. Tentukan hasil a). a + b b). a + c
- Diberikan dua buah vektor a = 3i + 3 j +3k, b = 5i + 4j + 4 k, - Hitung (a) besar vektor a (b) besar vektor b dan (c) besar vektor a + b - Diberikan tiga buah vector a = 2i + 3 j – 8k, b = -2i + 4j + 2 k, dan - c = 3i + 2j + 4k. Tentukan hasil a). a - b b). a – c
- Tuliskan rumus dari besar penjumlahan vektor : a + b - Tuliskan rumus dari besar pengurangan vektor : a - b
- lukiskan penjumlahan vektor segaris. vektor a = 2i, vektor b = 4i - Lukiskan penjumlahan dua vektor a = 2i + 3 j – 8k, b = -2i + 4j + 2 k - Lukiskan penjumlahan vektor secara poligon vektor a = 2i + 3 j, b = -2i + 4j dan c = 3i + 2j.
- Sebuah benda ditarik dengan gaya yang besarnya 100 Newton. Gaya tersebut membentuk sudut 300 terhadap lantai. Uraikan vector gaya tersebut terhadap
bidang horizontal dan terhadap vertical.
- Jelaskan operasi-operasi yang digunakan dalam perkalian dengan vektor. - Sebuah benda massanya 5 kg, besar percepatan gravitasi bumi ditempat
tersebut adalah 10 m/det2 .(a)Hitung berat benda tersebut, (b) kemana arah
gaya berat tersebut, (c) apakah percepatan gravitasi bumi termasuk vector. - Diberikan tiga buah vektor a = 4i + 3 j – 6k, b = - 5i + 4j + 2 k, dan - c = 2i + 2j + 2k. Hitunglah a). a . b b). a . c
- Diberikan tiga buah vector a = 3i + 3 j – 2k, b = - i – 4j + 2 k, dan
c = 2i + 2j + 2k. Hitunglah a). a x b x c b). a x (b + c)
- Diberikan dua buah vektor a = i + 2 j + 2k, b = - 2i – 4j + 4 k dan sudut yang terbentuk antara kedua vektor tersebut 300. Hitunglah besar a x b
Kunci Jawaban
- Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah - A, a, a ,
- (a) – i + 7j – 4k (b) 6 i + 5 j – 4 k - (a) 27 (b) 57 (c) 162
- (a) a + b = 4i – j – 10 k (b) - i + j - 12 k
- R = 2 2 2 cos
b a b
a
- R = 2 2 2 cos
b a b
a
- a = 2i b = 4i c = a + b
- b j
i R = a + b k
a
- c
a j R = a + b + c
b a c I 2i
- 2i
Fy = 50 N F = 100 N
300 F
x = 86,7 N
- Perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product)
- (a) W = 50 N (b) Menuju pusat bumi (c) Ya, karena punya arah dan nilai - (a) -20 (b) 2
- (a) 10 i – 14 j + 4 k (b) 8 i + 14 j – 9 k
