Perkalian Titik dan Silang

(1)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny 24

PERKALIAN TITIK DAN SILANG

Perkalian Titik

Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca:

titik ).

Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang:

Secara geometri:

didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor dan dan cosinus sudut antara keduanya.

.... 2.1 Secara analitik:

Misalkan dan adalah dua vektor pada bidang dengan sistem koordinat x dan y, maka didefinisikan:

... 2.2

Sedangkan vektor pada bidang dengan sistem koordinat x, y, dan z, dimana dan , maka didefinisikan:

... 2.3 Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik

URAIAN MATERI

“Hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan

skalar”

(2)

Coba Anda perhatikan gambar berikut!

Apa yang Anda lihat pada gambar tersebut? Pada gambar tampak seorang anak sedang mendorong meja. Jika meja yang didorongnya bergerak, maka anak tersebut telah melakukan usaha.

Namun, bagaimana dengan gambar di samping? Tampak pada gambar tersebut, seseorang sedang mendorong tembok.

Apakah temboknya bergeser? Jika kita manusia biasa bukan superman, pastinya tembok tersebut tidak akan bergeser. Karena temboknya tidak bergeser, maka kita tidak melakukan usaha.

Jadi, usaha adalah energi yang disalurkan gaya ke sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

Apa yang dapat Anda lihat dari gambar tersebut?

Gambar tersebut menunjukkan sebuah objek yang diberi gaya . Objek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B . Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai berikut.

, : sudut antara gaya dan Dengan menggunakan definsi perkalian titik 2.1, maka diperoleh

A B

s

(3)

Jadi, usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya dengan perpindahan .

Perkalian Vektor-vektor Satuan

Dengan menggunakan definisi 2.1, didapatkan:

Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi di atas dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.

Tabel 1. Hasil perkalian titik dari vektor-vektor satuan.

.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Sifat-sifat Perkalian Titik Vektor

Berikut adalah sifat-sifat perkalian titik vektor.

z

y

x

(4)

Bukti:

 Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh

Karena adalah bilangan real, maka , , dan

Sehingga

 Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh

Sifat-sifat perkalian titik:

Misalkan , , dan adalah tiga buah vektor dan adalah bilangan real, maka berlaku:



 hukum komutatif

 hukum distributif



 Jika , dimana dan adalah vektor-vektor tak nol, maka

 (ketaksamaan Schwarz)

(5)

Berdasarkan definisi 2.2, maka

Pembuktian iv, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1

Buktikan bahwa i i = j j = k k = 1, i j = 0, j k =0, k i = 0. (Gunakan definisi perkalian titik)

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah . Sedangkan vektor yang berbeda membentuk sudut . Berdasarkan definisi vektor, maka

CONTOH SOAL

(6)

Contoh 2

Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = , maka tunjukkan bahwa

Penyelesaian

Karena dan semua hasil kali titik lainnya nol, maka

Contoh 3

Jika , tentukan a.

b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian

a.

b. Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Maka

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1

Jika dan , carilah:

a.

b.

c.

LATIHAN TERBIMBING

(7)

d.

e.

Penyelesaian

a.

b.

c.

d.

maka

e.

Latihan 2

Diketahui dan , carilah sudut yang dibentuk oleh A dan B

Penyelesaian

Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Maka

Latihan 3

Tentukan usaha yang dilakukan oleh seorang anak dengan untuk memindahkan benda dari titik P(-1, 2, 3) ke Q(5, 6, 7)

Penyelesaian

(8)

dari gambar diperoleh bentuk umum usaha

maka,

Latihan 4

Untuk harga a manakah dan saling tegak lurus?

Penyelesaian

Dua vektor saling tegak lurus jika ... . ... = 0 Sehinggga

... - ... - 4 = 0

(a + ...) (... - ...) = 0 a = ... dan a = ...

Latihan 5

Carilah proyeksi vektor pada vektor Penyelesaian

Proyeksi A pada B = GH = EF = , b adalah vektor satuan. Maka

P Q

r F

s

(9)

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1

Hitunglah (a) ,

(b) ,

(c) Penyelesaian

Latihan 2

Carilah sudut antara (a) dan , (b) dan

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

(10)

Latihan 3

Carilah sudut lancip yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik-titik (1, -3, 2) dan (3, -5, 1) dengan sumbu koordinat

Penyelesaian

Latihan 4

Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor dan . Tentukan sudut-sudut dari segitiga ini.

Penyelesaian

(11)

Latihan 5

Carilah proyeksi vektor pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,-1) dan (-2, -4, 3)

Penyelesaian

(12)

Kunci Jawaban

Latihan 1 : (a) 0, (b) -6, (c) 1

Latihan 2 : (a) , (b)

Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : 1

Kesimpulan

Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

(13)

Perkalian Silang

Perkalian silang dua vektor dan dituliskan dengan (dibaca silang ).

Coba lihat gambar di samping ini!

Coba tebak gambar apakah itu?

Ya, kincir air. Tahukah Anda, kecepatan linear dari kincir air tersebut sama dengan kecepatan sudut kali jari-jari kincir tersebut.

Perhatikan gambar berikut!

Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r.

Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu adalah dengan sudut yang dibentuk adalah (dalam radian). Hubungan dan diberikan oleh . Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh

Besaran

disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh

Materi pokok pertemuan ke 4:

2. Perkalian silang 3. Perkalian rangkap tiga

URAIAN MATERI

r s

Gambar . Kecepatan Kincir Air

(14)

Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran.

Berikut ini didefinisikan perkalian silang.

Secara geometri

Perkalian silang dari dua vektor dan adalah sebuah vektor (baca silang ), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya dan dan sinus sudut antara keduanya.

... 2.6 Dimana adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari Secara analisis

Misalkan dan , maka perkalian silang dari dua vektor dan didefinisikan dengan

... 2.7

Dengan menggunakan definisi 2.6, maka diperoleh:

Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.

s

z

y

x

(15)

Tabel 2. Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan

0

Sifat-sifat Perkalian Silang Vektor Berikut sifat-sifat perkalian silang:

Bukti:

Pertama, kita misalkan , , dan . Maka

ii.

Dengan menggunakan definisi 2.7, diperoleh

Sifat-sifat perkalian silang

Misalkan , , dan adalah vektor-vektor dan adalah bilangan real, maka berlaku:

a. tidak berlaku hukum komutatif b. hukum distributif

c. , m skalar d.

e. Hasil dari sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi dan

f. Jika dan dan bukan vektor nol, maka

(16)

iv.

Berdasarkan definisi perkalian silang 2.7, maka

Pembuktian i, iii, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.

Perkalian Rangkap Tiga

Perkalian titik dan perkalian silang pada tiga buah vektor dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut, yaitu , dan .

Berikut sifat-sifat perkalian tripel pada vektor.

(17)

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1

Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, buktikan bahwa

Penyelesaian

CONTOH SOAL

Sifat-sifat perkalian rangkap tiga

Misalkan , , dan adalah vektor-vektor, maka berlaku:

a.

b. Hasil dari merupakan volume sebuah paralelepipidum dengan , , dan sebagai rusuk-rusuknya atau negatif dari volume tersebut. Positif atau negatif dari volume tersebut sesuai dengan apakah , , dan membentuk sistem tangan kanan atau tidak.

Jika , , dan , maka

c. tidak berlaku hukum asosiatif d.

Hasil kali sering disebut hasil kali tripel skalar dan dapat dinyatakan dengan atau .

Hasil kali disebut hasil kali tripel vektor

(18)

Contoh 2

Jika dan . Tentukan (a) (b) Sudut yang dibentuk oleh a .

Penyelesaian

a

(b) s s

s s

s

Jadi sudut antara dan adalah . Contoh 3

Hitunglah luas jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah dan

Penyelesaian

Luas jajaran genjang s

(19)

=

Jadi luas jajar genjang adalah 35.

Contoh 4

Jika a . Buktikanlah bahwa

Penyelesaian

Contoh 5

Jika a . Tentukan

Penyelesaian

= 28 Contoh 6

Tentukanlah volume paralelepipidum dengan rusuk-rusuknya adalah vektor- vektor : a .

(20)

Penyelesaian

volume paralelepipidum= (tinggi )(luas jajaran genjang )

Kerjakan latihan berikut dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1

Jika dan . Carilah Penyelesaian

=

Latihan 2

Jika , , dan . Carilah Penyelesaian

=

LATIHAN TERBIMBING

(21)

Latihan 3

Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya (3,-1,2), (1,-1,-3), dan (4,-3,1) Penyelesaian

Gambar 12

AB x AC

Luas segitiga ABC = ½ (Luas jajaran genjang)

Latihan 4

Carilah volume paralelepipedum yang sis-sisinya dinyatakan oleh , , dan .

Penyelesaian

A

B

C

(22)

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1

Hitunglah masing-masing (a)

Penyelesaian

Latihan 2

Jika , , dan Carilah Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

(23)

Latihan 3

Carilah luas jajar genjang yang memiliki diagonal-diagonal dan

Penyelesaian

Latihan 4

Sederhanakanlah (A + B) (B + C) x (C + A) Penyelesaian

(24)

Latihan 5

Buktikan bahwa (A x B) (C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) Penyelesaian

(25)

Kunci Jawaban

Latihan 1 : (a) , (b) Latihan 2 :

Latihan 3 : Latihan 4 : 2A B x C

Kesimpulan

Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah