BAB
BAB 7
7
RUANG
RUANG VEKTOR
VEKTOR DAN
DAN SUB
SUB RUANG
RUANG VEKTOR
VEKTOR
7.
7.1
1
DE
DEFI
FINI
NISI
SI RU
RUAN
ANG V
G VEK
EKTO
TOR &
R & SU
SUB R
B RUA
UANG
NG VE
VEKT
KTOR
OR
RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
DEFINISIDEFINISI
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan).
operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). •
• OpOpererasi asi PePenjunjumlmlahahan an ((additionaddition) ) dadapapat t didiarartitikakan n sesebabagagai i susuatatu u atatururan an yyanangg mengasosiasikan setiap pasang objek
mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v u dan v pada V pada V dengan suatu obdengan suatu objekjek u + vu + v, yang, yang disebut jumlah (
disebut jumlah ( sum sum) dari u dan v.) dari u dan v. •
• Operasi Perkalian kalar (Operasi Perkalian kalar ( scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar
yang mengasosiasikan setiap skalar k k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek dan setiap objek u pada V dengan suatu objek k
k u, yang disebutu, yang disebut kelipatan skalar kelipatan skalar dari u oleh dari u oleh k k .. !ika aksioma( "# aksiom
!ika aksioma( "# aksioma) berikut dipenuha) berikut dipenuhi oleh semua objeki oleh semua objek u, v, wu, v, w pada V dan semua pada V dan semua skalar
skalark k dan dan l l , maka kita menyebut V sebagai, maka kita menyebut V sebagai RUANG RUANG VEKTORVEKTOR ((vector spacevector space) dan kita) dan kita menyebut objek-objek pada V sebagai
menyebut objek-objek pada V sebagai VEKTORVEKTOR . . ")
") !ika u d!ika u dan v adan v adalah oalah objek-objek-objek pbjek pada Vada V, , makamaka u + vu + v berada pada V. berada pada V. $)
$) u u + + v v = = v v + + uu %)
%) u + u + (v + (v + w) = w) = (u + (u + v) + v) + ww &)
&) 'i dal'i dalam V tam V terdaerdapat supat suatu obatu objek #, yjek #, yang dang disebisebutut vektor nol vektor nol untuk V, sedemikian rupa untuk V, sedemikian rupa sehingga
sehingga 0 0 + + u u = = u u + + 0 0 = = 00 untuk semuauntuk semua uu pada pada VV.. )
) ntuk ntuk setiap u setiap u pada pada VV, , terdapterdapat suatat suatu objeu objek *u k *u pada pada VV, , yang yang disebdisebut sebaut sebagaigai ne!"#$ ne!"#$ dari
dari u, u, sedemikian sedemikian rupa rupa sehinggasehingga u + (%u) u + (%u) = (%u) = (%u) + u + u = 0= 0 +
+)) !!iikkaa k k adal adalah skah skalar sealar sebaranbarang g dandan uu adalah objek sebarang pada V, maka adalah objek sebarang pada V, maka k k u terdapatu terdapat pada V pada V.. ) ) k k (u v) (u v) k k u u k k vv /) /) ((k k l l ) ) u u k k u u l l uu 0) 0) k k ((l l u) (u) (kl kl ) (u)) (u) "# "#)) lu lu uu
RUANG VEKTOR BAGIAN (
Pandang V suatu 1uang Vektor. 2 himpunan bagian dari V,2 (misalnya dengan suatu Pandang V suatu 1uang Vektor. 2 himpunan bagian dari V,2 (misalnya dengan suatu sifat khusus) memenuhi semua aksioma 1uang Vektor, sehingga merupakan 1uang Vektor sifat khusus) memenuhi semua aksioma 1uang Vektor, sehingga merupakan 1uang Vektor tersendiri, maka
tersendiri, maka 2 kita sebut 1uang Ve2 kita sebut 1uang Vektor 3agian (ktor 3agian (SubspaceSubspace) dari V.) dari V.
4adang kadang dihilangkan kata 53agian6 dan menyebutnya dengan 5ruang vektor di 4adang kadang dihilangkan kata 53agian6 dan menyebutnya dengan 5ruang vektor di V6, atau pula 5ruang bagian dari V6
V6, atau pula 5ruang bagian dari V6 'n"' 1
'n"' 1 Pa
Pandndanangg R R
3 3
den
dengan gan sussusunaunan n 7ar7artesitesian an dimdimana ana 8, 8, 99, : , : adaadalah lah sumsumbu-bu-sumsumbubu koordinatnya. ;impunan vektor-vektor pada bidang 8O9 merupakan ruang vektor bagian koordinatnya. ;impunan vektor-vektor pada bidang 8O9 merupakan ruang vektor bagian dari
dari RR 3 3
. 'apat mudah dipahami bah<a komponen ketiga dari setiap vektor pada 8O9 . 'apat mudah dipahami bah<a komponen ketiga dari setiap vektor pada 8O9 adalah #. =tau> 8O9 ? (@,y,#A@
adalah #. =tau> 8O9 ? (@,y,#A@ ∈∈ 1, 1, yy ∈∈ 1 B 1 B 7ontoh anggota 8O9 adalah
7ontoh anggota 8O9 adalah !! C",",#D, C",",#D, ** C#,",#D, C#,",#D, == C$,%,#D, # C#,#,#D, danC$,%,#D, # C#,#,#D, dan lain
lain-lai-lain. !elas bah<a tidan. !elas bah<a tidak k semsemua vektoua vektor r EE R R 3 3
merupa
merupakan kan angganggota ota 8O98O9. 4emudian. 4emudian mudah ditunjukk
mudah ditunjukkan bahh<a an bahh<a 8O9 8O9 memenuhi memenuhi semua aksioma semua aksioma 1uang V1uang Vektorektor..
: : O O 99 8 8
ntuk
ntuk menentmenentukan apakah 2 meruukan apakah 2 merupakan ruang bagipakan ruang bagian, Fukup dengan meman, Fukup dengan memeriksa sebagaieriksa sebagai berikut
berikut GG
((77"")) 2 2 HH ∅∅ ( 2 tidak hampa), untuk itu ( 2 tidak hampa), untuk itu kita tunjukkan bah<a vektor #kita tunjukkan bah<a vektor # ∈∈ 2 2..
((77$$)) nnttuuk k ssetetiiap a, ap a, bb ∈∈ 2 2 maka maka = = 3 3 ∈∈ 22
((77%%)) nnttuuk k sseeiiaap ap a ∈∈ 2 dan 2 dan I I E E 4 4 (skalar) (skalar) maka maka IaIa ∈∈ 2. Maka 2 adalah ruang 2. Maka 2 adalah ruang vektor
vektor bagian bagian dari dari VV 4etiga
4etiga syarat syarat (7"), (7"), (7$) (7$) dan dan (7%) (7%) itu itu Fukup. Fukup. 4arena 4arena bila bila 22 ∁∁ V, aksioma ruang vektor V, aksioma ruang vektor keFual
keFuali (3"), (i (3"), (3&) 3&) dan (3dan (3) terpe) terpenuhi. nuhi. yarat yarat (7$) d(7$) dan (7%) an (7%) dapat mdapat menggaenggantikan ntikan (3").(3"). edang
edang (7") (7") yaitu yaitu 2 2 tidak tidak hampa, hampa, berarti terdapat berarti terdapat uu ∈∈ 2 dan karena (7%) terpenuhi #u 2 dan karena (7%) terpenuhi #u #
# ∈∈ 2 2, , (-")u -("u) (-")u -("u) -("u) -u-("u) -u ∈∈ 22. . 3erarti 3erarti (3&) (3&) dan dan (3) (3) terpenuhi.terpenuhi.
'n"' 'n"'
'enga
'engan mengn mengguakaguakan syarat (n syarat (7"), (7"), (7$) dan 7$) dan (7%) (7%) akan kakan kita tunita tunjukkan jukkan bah<a bah<a 8O9 8O9 padapada
'n"' 1
'n"' 1 merupakan 1uangmerupakan 1uang Vektor Vektor 3agian dari3agian dari R R 3 3
,
, sebagai sebagai berikut berikut GG
((77"")) 88OO9 9 HH ∅∅ karena C#,#,#D karena C#,#,#D ∈∈ 8O98O9
(7
(7$$)) MiMisasalklkan a Can a Ca"a",a,a$,$,##D D 8O8O99, b C, b Cb"b",b,b$,$,#D#D ∈∈ 88OO9 9 mmaakka a a a b b Ca"b",a$b$,#D juga
Ca"b",a$b$,#D juga ∈∈ 8O9 8O9 (karena komp(karena komponen konen ketiga etiga dari ab dari ab adalah adalah #)#) ('i
('i sini sini a", a", b", b", b$ b$ adalah adalah sebarang).sebarang). (7
(7%)%) nntutuk sek sebabararang sng skakalalar I dar I dan a Ca"n a Ca",a,a$,$,#D#D ∈∈ 8O9 maka Ia CIa",Ia$,#D juga 8O9 maka Ia CIa",Ia$,#D juga
∈
!adi terbukti 8O9 ruang vektor bagian dari 1%. !adi terbukti 8O9 ruang vektor bagian dari 1%.
7.
7.
ON
ONT
TO
O-
- O
ONT
NTO
O-
-
R
RUA
UANG V
NG VE
EKT
KTO
OR
R & O
& OER
ERAS
ASI /
I /A
AN
NG
G
TERIBAT
TERIBAT
7ontoh
7ontoh " " GG R R nn !!2! 3u!"u Ru!n Ve4"'5 !!2! 3u!"u Ru!n Ve4"'5
;im
;impunpunan an V V 1 1 nn dengan ope dengan operasi-oprasi-operasi standerasi standar penjumar penjumlahan lahan dan perkdan perkalianalian skalar yang telah
skalar yang telah didefinisikan sebelumnya adalah suatu didefinisikan sebelumnya adalah suatu ruang vektor.ruang vektor. Jig
Jiga ka kasus asus khusukhusus s palinpaling g pentipenting ng dari dari 1 1 nn adalah adalah 1 (bilangan 1eal), 1 1 (bilangan 1eal), 1 $$(vektor (vektor pada bidang ) dan 1
pada bidang ) dan 1 %% (vektor pada ruang dimensi %). (vektor pada ruang dimensi %). 7ontoh $ G
7ontoh $ G Ru!n VRu!n Ve4"'5 e4"'5 6!"5#43 6!"5#43
7
7oonnttooh h % % GG Ru!nVe4"'5 Ru!nVe4"'5 !5# !5# 6!"5#43 6!"5#43 8 8 nn
7
7oonnttooh h & & GG Ru!n Ve4"'5 !5# Fun3# Be5n#2!# Re!2Ru!n Ve4"'5 !5# Fun3# Be5n#2!# Re!2
7
7.; ONTO- ONTO-
SUB RUANG VEKTOR & BUKAN SUB
RUANG VEKTOR
7ontoh " G Pengujian ubruang
7ontoh $ G Karis-garis yang mele<ati titik asal adalah ubruang
7ontoh % G Vektor-vektor pada 1 % adalah 4ombinasi Linear dari i, j dan k
etiap vektor v (a, b, F) pada 1 % dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi
linear dari vektor basis standar
i (", #, #), j (#, ", #), k (#, #, ") karena
