DIMENSI RUANG VEKTOR
MAKALAH
UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Aljabar Linier Lanjut
Yang dibina oleh Hery Susanto
oleh
Muhsang Sudadama Lieko Liedokto 100312400848
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor
Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S.
Teorema 1.10
Misalkan V adalah suatu ruang vektor. Jika vektor-vektor v1 ,… , vn adalah bebas linier dan vektor-vektor s1 ,… , sm merentang V, maka �≤�.
Buktinya:
Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
s1 ,… , sm ; v1 ,… , vn
pindahkan vektor pertama v1 ke urutan paling pertama dari daftar: v1 , s2, … , sm ; v2 ,… , vn
Karena s1 ,… , sm merentang V, lalu v1 merupakan suatu kombinasi linier dari si maka salah satu dari si dapat dihilangkan, dengan cara mengindeks ulang dengan mengambil s1 dari daftar pertama dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu
v1 , s1, … , sm ; v2 ,… , vn .
Ingat bahwa himpunan yang pertama pasti tetap merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier.
Sekarang ulangi proses ini, pindahkan v2 dari daftar kedua ke daftar pertama v1 , v2 , s3, … , sm ; v3 ,… , vn
Seperti pada proses sebelumnya, vektor-vektor pada daftar pertama pasti bebas linier, karena mereka merentang V sebelum dicampur dengan v2 . Bagaimanapun juga, karena vi bebas linier, maka kombinasi yang nontrivial dari vektor-vektor pada daftar pertama yang sama dengan 0 harus melibatkan paling sedikit satu dari si . Sehingga vektor tersebut dapat dipindahkan, lalu kembali diindeks ulang dengan mengambil s1 dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu
v1 , v2 , s3, … , sm ; v3 ,… , vn
Sekali lagi, himpunan vektor yang pertama merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier.
v1 , v2 ,… , vm ; vm+1 ,… , vn
dimana v1 , v2 ,… , vm merentang V dan ini tidak mungkin terjadi karena vn tidak berada di dalam rentangan dari v1 , v2 ,… , vm . Kesimpulannya �≤�.
Akibat 1.11
Jika V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama.
Teorema 1.12
Jika V suatu ruang vektor, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama.
Buktinya:
Diasumsikan bahwa semua basis untuk V adalah himpunan tak-hingga, jika sembarang basisnya berhingga, maka V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga dan akibat 1.11 akan berlaku.
Misalkan = ℬ
{
bi|i∈I} adalah suatu basis untuk V, dan misalkan � adalah basis lain untuk V. Sembarang vektor �∈� dapat ditulis sebagai suatu kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di , dimana semua koefisiennya tidak nol, misalkan ℬc=
∑
i∈Ucribi
Namun karena � merupakan suatu basis, maka juga berlaku
¿c∈C Uc=I
Untuk vektor-vektor di � dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di suatu subset sejati ′ dari , maka ′ merentang V, dan kenyataannya bukan ℬ ℬ ℬ seperti ini. Karena |��| <ℵ0 untuk setiap �∈�, Teorema 0.17 mengakibatkan
| | =|ℬ �| ≤ ℵ0|�| =|�|
Namun karena berlaku juga untuk kebalikannya dan mengakibatkan | | ℬ ≤ |�| dan sehingga | | =|ℬ �|.
Definisi
Catatan:
Jika S adalah suatu subruang dari V, maka dim(S) ≤ dim(V). Dan dim(S) = dim(V) < ∞, maka S = V.
Misalkan S dan T adalah subruang dari suatu ruang vektor V. Maka
dim(�) + dim(�) = dim(�+�) + dim(�∩�)
Khususnya, jika T adalah sembarang komplemen dari S pada V, maka
dim(�) + dim(�) = dim(�)
dimana vi ∈�∪ℬ∪� dan αi ≠0 untuk setiap �. Maka vektor-vektor vi di dalam �
dan �, karena �∪ℬ dan ℬ∪� bebas linier. Memisahkan suku-suku yang melibatkan vektor-vektor dari � pada salah satu ruas persamaan menujukkan bahwa terdapat vektor taknol
∈
� <�>∩<ℬ∪�> . Tetapi �∈�∩� dan �∈<�>∩< > , mengakibatkan ℬ �=0. Terjadi suatu kontradiksi. Sehingga disimpulkan bahwa �∪ℬ∪� adalah bebas linier lalu menjadi suatu basis untuk �+�.
Sehingga,
dim(�) + dim(�) = |�∪ℬ| + |ℬ∪�|
= |�| + | | + | | + |ℬ ℬ �|
= |�| + | | + |ℬ �| + dim(S ∩ T) = dim(S+T) + dim(S ∩ T)
