DISUSUN OLEH: : ANA SARI YANI

DISUSUN OLEH:

NAMA : ANA SARI YANI KELAS : III.B

MATA KULIAH : ALJABAR LINIER

DOSEN PEMBIMBING : Nyayu Fahriza.F, S,Si. M,Pd

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillah, Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT.

Karena berkat rahmat karuniaNya lah kami dapat menyelesaikan Artikel Ruang Vektor Umum ini.

Dalam menyelesaikan tugas ini kami mendapat banyak sekali bantuan dari berbagai pihak dan media, untuk bantuan tersebut kami megucapkan banyak terima kasih. Dan tidak lupa kami menyampaikan ucapan terima kasih kepada Ibu Nyayu Fahriza,F.S,Si, mpd yang telah banyak memberi bimbingan serta petunjuk kepada kami.

Kami telah berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian makalah ini, Kami pun menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu kami mohon maaf apabila masih terdapat kesalahan kekurangan. dan kami mengharapkan saran dan kritik yang membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah yang kami buat ini dapat berguna bagi penulis maupun pembaca, dan dapat dimanfaatkan sebagaimana mestinya.

Wassalmu’alaikum Wr. Wb.

Palembang, Desenber 2012

Penulis.

BAB V

RUANG VEKTOR UMUM 5. 1. Ruang Vektor Real

Dalam bagian ini kita akan mengatakan sekumpulan aksioma yang jika dipenuhi oleh sekelompok himpunan, maka himpunan tersebut dapat dikatakan vektor.

Aksioma Ruang Vektor. Definisi berikut terdiri dari sepuluh aksioma.

Definisi :

Misalkan V adalah sembarang himpunan dengan elemen yang didalamnya diberikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika sepuluh aksioma ini dipenuhi oleh , , di V dan skalar k,l yang sembarang, maka kita dapat menyebut V sebagai ruang vektor dan elemen-elemen di dalam V disebut vektor.

Aksioma tersebut adalah:

1) Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V 2) u + v = v + u

3) u + (v + w ) = ( u + v) + w

4) Di dalam V terdapat suatu objek 0, yang disebut vektor nol untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V.

5) Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negative dari u, sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka

ku terdapat pada V.

7) k (u + v) = ku + kv 8) (k + l)u = ku + lu 9) k (lu) = (kl) (u) 10) l u = u

CATATAN: Skalar dapat berupa real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya. Ruang vektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut ruang vektor kompleks, dan ruang vektor dimana skalar-skalarnya merupakan bilangan real disebut ruang vektor real.

Perhatikan ruang vektor R² dan R³ yang telah dibahas pada bagian lain. Komponen- komponen yang terlibat dalam ruang vektor tersebut ialah:

1. Himpunan pasangan berurutan (2 bilangan real untuk R² dan 3 bilangan real untuk R³)

2. Himpunan skalar (untuk mendefinisikan perkalian vektor dan skalar) 3. Operasi vektor (yaitu operasi tambah) yang memenuhi sifat-sifat tertentu 4. Operasi perkalian vektor dengan skalar yang memenuhi sifat-sifat tertentu

Contoh : Himpunan yang bukan merupakan Ruang Vektor.

Misalkan V = R² dan didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut:

Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) maka didefinisikan u + v = ( u1 + v1 , u2 + v2 ) dan jika k adalah bilangan real sebarang, maka definisikan

ku = ( ku1 , 0 )

Sebagai contoh, jika u = (2,4), v = (-3,5), dan k = 7, maka u + v = ( 2 + (-3), 4 +5) = (-1, 9)

ku = 7u = ( 7 .2 , 0 ) = (14, 0)

Operasi penjumlahan merupakan operasi penjumlahan standar pada R², tetapi operasi perkalian skalar bukan merupakan perkalian skalar standar. Pada bagian latihan, kami akan meminta anda untuk menunjukkan bahwa kesembilan aksioma ruang vektor pertama terpenuhi; namun demikian, terdapat nilai-nilai u yang menyebabkan Aksioma 10 tidak berlaku, sebagai contoh , jika u = (u1, u2) sedemikian rupa sehingga u2 0, maka

lu = l (u1, u2) = ( l . u1 , 0 ) = (u1 , 0) u

jadi, V bukan merupakan ruang vektor untuk operasi-operasi tersebut.

Contoh : Ruang Vektor Nol

Misalkan V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0, dan didefinisikan

0 + 0 = 0 dan k0 =0

Untuk semua skalar k. Pemeriksaan untuk mengetahui apakah semua aksioma ruang vektor telah terpenuhi dapat dilakukan dengan mudah. Kita menyebut ruang vektor ini sebagai ruang vektor nol.

Kita pelajari dari R² dan R³ sifat-sifat berikut ini.

Jika A, B, C vektor di R² atau R³ maka (A + B) + C = A + (B + C)

Ada suatu vektor yang disebut Vektor nol dan dilambangkan dengan O, yaitu (0,0) untuk R² dan (0,0,0) untuk R³

Untuk setiap vektor A di R² atau R³ ada vektor –A sehingga A + (-A) = O Untuk A dan B vektor di R² atau R³ berlaku A + B = B + A

Untuk setiap skalar c dan vektor A dan B di R² atau R³ berlaku c(A+B)=cA + cB Untuk skalar c₁ dan c₂ dan vektor A di R² atau R³ berlaku (c₁+c₂)A = c₁A + c₂A Untuk skalar c1 dan c2 dan vektor A, B di R² atau R³ berlaku (c1c2)A = c1(c2A) Untuk skalar satuan 1 berlaku 1A = A untuk setiap A vektor di R² ata R³

Sifat- sifat vektor

Kita akan membuktikan bagian (a) dan (c) dan meninggalkan bukti-bukti bagian yang lainnya sebagai latihan.

Bukti (a). kita dapat menulis 0u + 0u = ( 0 + 0 ) u [ aksioma 8 ]

= 0u [ sifat dari bilangan 0 ] Teorema

Misalkan V adalah suatu ruang vektor, u adalah suatu vektor pada V, dan k adalah suatu skalar, maka:

a. 0u = 0 b. k0 = 0 c. (-1)u = -u

d. Jika ku = 0 , maka k = 0 atau u = 0

Berdasarkan aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negative, -0u. dengan menambahkan negatifnya ini pada kedua ruas diatas dan menghasilkan

[0u + 0u ] + (- 0u ) = 0u + ( -0u )

Atau

0u + [0u + (-0u ) ] = 0u + ( -0u ) [ aksioma 3]

0u +0 = 0 [ aksioma 5 ] 0u = 0 [ aksioma 4 ]

Bukti (c). untuk menunjukkan (-1)u = -u, kami harus memperlihatkan bahwa u + (-1)u =0. Untuk melihat ini amati bahwa

u + (-1)u = Iu + (-1)u [ aksioma 10 ] = (1 + (-1)) u [ aksioma 8 ] = 0u [ sifat dari bilangan ]

= 0 [ bagian (a) diatas ]

5.2 SubRuang ( Ruang Bagian)

Definisi:

Suatu sub himpunan W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V jika W itu juga merupakan sebuah ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku

1) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W

2) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, ku berada di W

Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian skalar.

Bukti : jika W adalah subruang dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah subruang yang kita namakan subruang nol (zero subspace).

Contoh:

Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R³.

Contoh

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2 yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M₂₂ dari semua matriks 2 x 2 Pemecahan.

12 12

21 21

0 a 0 b

A B

a 0 b 0

= =

Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah sebarang skalar. Maka

12 12 12

21 21 21

0 ka 0 a b

kA dan A B

ka 0 a b 0

= + = +

+

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W adalah subruang dari M22.

Contoh:

Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) merentang R³ karena setiap vektor (a, b, c) pada R³ dapat kita tuliskan sebagai :

(a, b, c) = ai + bj + ck

Teorema : jika Ax = 0 adalah suatu sistem linier homogen yang terdiri dari m persamaan dengan n factor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusinya adalah suatu subruang dari Rⁿ.

Contoh: ruang solusi yang merupakan subruang R³

Perhatikan sistem-sistem linier berikut:

a) =

Penyelesaian:

Solusinya adalah x = 2s – 3t , y = s , z = t

Dimana selanjutnya x = 2y – 3z , atau x – 2y + 3z =0

Ini merupakan persamaan bidang yang melewati titik asal dengan n = (1, -2, 3) sebagai vektor normal.

Definisi:

Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linier dari vektor – vektor v1, v2, …….vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk w = k1v1 + k2 v2 …. + kr.vr

Dimana k1, k2,…..,, kr adalah skalar.

Teorema Merentang (spanning) : Jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang vektor V, maka:

1) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr adalah subruang V

2) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W

Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}

Bukti :

a. Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka

u = c1v1 + c2v2 + ……… + crvr

dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka, u + v = (c₁k₁)v₁ + (c₂ + k₂)v₂ + ……… + (c_r+k_r)v_r

dan, untuk sebarang skalar k,

ku = (kc1) v1 + (kc2) v2 + ………..+ (kcr) vr

jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v1, v2, ……… vr, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar.

b. Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr, karenanya dapat kita tulis

vi = 0v1+0v2 + ………..+ 1vi + …………..0vr

oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2, …….vr misalkan W¹ adalah sebarang subruang lain yang mengandung v1, v2, …….vr. karena W^-1 tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar, maka W^-1 harus mengundang semua kombinasi linear.

c1v1 + c2v2 dari v1,v2……,vr

jadi, W¹ mengandung setiap vektor W.

contoh:

Diketahui vektor-vektor = ( 1, 1, 0, 1) , = (2, 1, 1,1 ), dan = (1, 1, 1, -1 ) dalam R⁴. Tunjukkan bahwa vektor = (4, 3, 2, 1 ) merupakan kombinasi linier dari , , dan .

Penyelesaian:

Supaya menjadi kombinasi linier dari , , dan , maka harus ada skalar k1, , k₂, k₃ sehingga:

= k₁ , k₂ , k₃ , atau dengan kata lain

(4, 3, 2, 1 ) = k1 ( 1, 1, 0, 1) + k2 (2, 1, 1,1 ) + k3 (1, 1, 1, -1 ) Didapat tiga persamaan, yaitu:;

4 = k1 + 2 k2 + k3 3 = k1 + k2 + k3 2 = k2 + k3

1 = k1 + k2 - k3

Untuk k1 = k2 = k3 = 1, maka = 1 + , ini artinya dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari , , dan .

5.3 Kebebasan Linear

Ketahui bahwa ruang vektor V direntang oleh himpunan vektor S = [v1, v2……..vr] jika setiap vektor pada V adalah kombinasi linear, v1, v2……..vr. dengan merentang himpunan tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena mungkin kita sering menelaah ruang vektor V dengan menelaah terlebih dahulu vektor-vektor dengan merentang himpunan S. dan kemudian dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian selebihnya dari V. maka, kita perlu mempertahankan perentangan himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk mendapatkan peretangan himpunan terkecil untuk ruang vektor bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linear.

Definisi. Jika S = {v1, v2……..vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor.

k1v1 + k2v2 + …………..krvr = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni k1 = 0, k2 = 0, ………….kr = 0