Pertemuan 9 & 10 - Repository UNIKOM

Pertemuan : 9,10,&11

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

1. Menghitung hasil kali dalam baku dan hasil kali silang.

2. Menggunakan aksioma hasil kali dalam untuk memeriksa ruang hasil kali dalam

3. Mengetahui sifat-sifat ruang hasil kali dalam

4. Menggunakan sifat-sifat basis ortogonal dan basis ortonormal 5. Menggunakan metode Gram-Schimdt untuk menentukan basis

ortogonal.

Materi :

4.1 Hasil Kali Titik/ Hasil Kali Skalar Definisi 4.1

Jika udan v R2maka dinotasikan u v _{sebagai hasil kali titik/hasil kali} skalar dengan u v u v.  1 1u v2 2

Jika udan v _R3

 maka hasil kali titik dari udan v didefinisikan dengan

u v u v  1 1u v2 2u v3 3 Definisi 4.2

Jika udan vR2atau R3, _{adalah sudut antara} u_dan v_{, maka hasil kali titik} atau hasil kali dalam Euclidean

cos , 0 0

3. Hitunglah u dan u u

4.2 Hasil Kali Silang

Apabila ada 2 vektor di dalam ruang berdimensi 3, kita dapat mencari sebuah vektor lain di R3 _{yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.} Untuk itu diperkenalkan sebuah perkalian vektor lain yang disebut dengan hasil kali silang. hasil kali silang u v _{adalah vektor yang didefinisikan sebagai}

2 3 1 3 1 2

d. Hitunglah nilai 2

4.3 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 4.5

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

1. Simetris : u v,  v u,

2. Aditivitas : u v w ,  u w,  v w,

3. Homogenitas : u v, . ,u v

4. Positifitas : u u, 0dan u u,  0 u0

Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.

Contoh 4.2

1. Ruang hasil kali dalam Euclides (Rn)

Misalkan u v R,  n maka u v, u v1 1u v2 2 ... u vn n .

Hasil kali titik untuk R R2, 3 juga merupakan suatu hasil kali dalam yang sering disebut dengan hasil kali dalam baku yang dituliskan dengan

notasi u v, u v.

2. Panjang vektor di Rndapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam yaitu dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam.

Ambil u v W,  ,_{skalar maka}

1 1 2 2 3 3

, 2 3

u v u v u v u v

     

1 1 2 2 3 3

(2u v u v 3u v ) u v,

 

   

d. Positifitas

Ambil u W _maka

2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3

, 2 3 2 3

u u  u u u u  u u  u u  u

Karena u u12, 22,u32 0maka

2 2 2 1 2 3

2u u 3u 0

dan

2 2 2

1 2 3

2u u 3u  0 u0

5. Tunjukkan bahwa u v, u v1 12u v2 23u v3 3_{bukan merupakan hasil kali dalam}

Perhatikan untuk

2 2 2

1 2 3

, 2 3

u u u  u  u

saat 3u32 u122u22maka u u, 0 Sehingga tidak memenuhi sifat positivitas.

 Latihan 4.3

a. Periksa apakah u v, 4u v1 15u v2 2_{adalah suatu hasil kali dalam pada R}2

b. Periksa apakah u v, u v1 1u v3 3_{adalah suatu hasil kali dalam pada R}3

Teorema 4.1

Berikut ini beberapa sifat dari vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam Jika u v w, , adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, dan  adalah skalar sembarang maka :

a. 0,v  v, 0

b. u v w,   u v,  u w,

c. u v, . ,u v

d. u v w ,  u w,  v w,

e. u v w,   u v,  u w,

 Latihan 4.4

1. Jika Jika ´p=a0+a1x+a2

2 _dan

´

q=b0+b1x+b2

2 _{adalah sembarang vektor pada P}

2 maka didefinisikan

⟨

´p ,q´

⟩

=a₀b₀+a₁b₁+a₂a₂ sebagai suatu hasil kali dalam maka tentukan

⟨

´p ,q´

⟩

jika diketahui

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS disebut himpunan ortogonal jika untuk setiap vektor dalam V saling tegak lurus berlaku v vi, j 0 i j dan i j, 1, 2,...,n

.

Definisi 4.8

Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v v1, , ,2  vnV . G



v v1, , ,2  vn



disebut himpunan ortonormal jika

- G adalah himpunan ortogonal

NB: Vektor v v v1, ,2 3disebut vektor satuan karena vektor ini mempunyai panjang 1.

4.5 Metode Gram-Schimdt

Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal dan basis yang berisi vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal.

Perhatikan gambar berikut

Misalkan W adalah subruang berdimensi tehingga dari suatu ruang hasil kali dalam V.

a. Jika



v v1, ,...,2 vr



_{adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan} u_adalah sebarang vektor dalam V maka

1 1 2 2

, , ... ,

W r r

proy u u v v  u v v   u v v

b. Jika



v v1, ,...,2 vr



_{adalah suatu basis ortogonal untuk W dan} u_adalah sebarang vektor dalam V maka

1 2

vektor-vektor ortonormal

1 (0,1,0)

a. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1)T_{pada W} b. Tentukan proyeksi ortogonal dari u=(1,1,1)T _{pada W┴}

Definsi 4.9

Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linear menjadi himpunan vektor ortogonal.

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

Setelah dihitung diperoleh norma dari masing-masing vektor

6 1

3

Sehingga diperoleh basis ortonormal

Salah satu kegunaan dalam menggunakan basis ortonormal adalah sebagai berikut: