Lanjutan Ruang Hasil Kali Dalam
Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor dan Dinamakan ortogonal jika .
Selanjutnya, jika ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa ortogonal terhadap W.
Definis ortogonal
• Ruang Hasil Kali Dalam
u v
0 , v u
u
u
• Tentukanlah apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut ortogonal terhadap hasil kali dalam.
Contoh
• Ruang Hasil Kali Dalam
9 2 1 2 ,
1 5 3
2 .
3
1 1 1 ,
1 1 1 .
2
1 3 2 ,
4 2 1 .
1
v u
v u
v u
• Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan ortogonal jika semua pasang vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.
Basis Ortonormal
• Ruang Hasil Kali Dalam
Tentukan himpunan vektor dibawah ini yang merupakan himpungan ortonormal.
Contoh
• Ruang Hasil Kali Dalam
3 23 23 1
,
3 32 13 2
,
3 13 32 2
. 2
12 1 , 2 21 1 .
2 102
1 ,
3 31 13 1
, 2 102 1 2 .
, 0 0 . 1
d b
c a
• Jika
Teorema
• Ruang Hasil Kali Dalam
v v vn
S
1,
2,...,
Adalah basis ortonormal untuk ruang hasil Kali dalam V, dan adalah sebarang vektor dalam V, makau
n n
v v u v
v u v
v u
u ,
1 1 ,
2 2 ... ,
• Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V
a. Jika adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan adadlah sebarang vektor dalam V maka
b. Jika adalah suatu basis ortogonal untuk W dan adalah sebarang vektor dalam V maka
Teorema
• Ruang Hasil Kali Dalam
v1,v2,...,vn
un n n
W
u u v v u v v u v v
proy
1,
1 1
2,
2 2 ... ,
n n
n n
W
v
v v v u
v v v u
v v u u
proy
2 2 22 2 2 2 1
1 1
1
,
, ...
,
v1,v2,...,vn
u• Jika
Komponen u yang ortogonal terhadap W
• Ruang Hasil Kali Dalam
w
1u proy
u
w
u proy
u
w
1
Wmaka
dimana w1Adalah komponen u yang ortogonal terhadap W
• W adalah subruang yang dibangun oleh Contoh
• Ruang Hasil Kali Dalam
v1,v2 Vektor-vektor ortonormal, misal
0 1 0 v1
5 135
4
v2
a. Tentukan proyeksi ortogonal dari pada W
1 1 1 u
b. Tentukan komponen yang ortogonal terhadap W
1 1 1 u
• Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan vektor ortogonal.
Proses Gram Schimdt
• Ruang Hasil Kali Dalam
• Misalkan diketahui adalah himpunan vektor yang bebas linier, maka U dapat diubah menjasi himpunan
yang ortogonal dengan cara:
u u un
U 1, 2,...,
s s s
n
S
1,
2,...,
2 1 1
1 2 2
2 2 2 1
1 1
2 2 2
2 3 2 1
1 1 3 3 3 3
3
2 1 1
1 2 2 2 2
2 1
... , ,
. , 5
. 4
, . ,
3 . , 2
. 1
1 2
1 1
n
n n n n
n n n W n
n
W W
s s
s s u
s s s u
s s u u
u proy u
s
s s
s s u
s s u u
u proy u
s
s s
s u u
u proy u
s u s
n
Proses Gram-Schimdt
• Ruang Hasil Kali Dalam
• Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis ke dalam basis ortonormal.
• Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis kedalam basis ortonormal
Contoh
• Ruang Hasil Kali Dalam
u1,u2
5 , 3
0 . 1
2 , 2
3
.u1 1 u2 b u1 u2
a
u1,u2,u3
1 4 0 ,
2 7 3 ,
0 0 1 .
1 2 1 ,
0 1 1 ,
1 1 1
. 1 3 1 3
2
2 u bu u u
u u
a
