Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam

Hasil Kali Dalam dan Norm

Wono Setya Budhi

KKAG FMIPA ITB

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor.

Misalkan kita mempunyai titik x = (x1, x2) dan y = (y1, y2)

A(x₁, x₂) B(y₁, y₂)

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor.

Misalkan kita mempunyai titik x = (x1, x2) dan y = (y1, y2)

A(x₁, x₂) B(y₁, y₂)

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor.

Misalkan kita mempunyai titik x = (x1, x2) dan y = (y1, y2)

A(x₁, x₂)

B(y₁, y₂)

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

A(x1, x2)

B(y₁, y₂)

v

Dengan menggunakan rumus kosinus

AB2=OA2+OB2−2OA·OB·cos∠ (AOB)

(x₁−y₁)2+ (x₂−y₂)2=x₁2+x₂2+y₁2+y₂2−2kxk · kykcos α

2kxk · kykcos α=x₁y₁+x₂y₂ = hx , yi

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

A(x1, x2) B(y₁, y₂)

v

Dengan menggunakan rumus kosinus

AB2=OA2+OB2−2OA·OB·cos∠ (AOB)

(x₁−y₁)2+ (x₂−y₂)2=x₁2+x₂2+y₁2+y₂2−2kxk · kykcos α

2kxk · kykcos α=x₁y₁+x₂y₂ = hx , yi

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

A(x1, x2) B(y₁, y₂)

v

Dengan menggunakan rumus kosinus

AB2=OA2+OB2−2OA·OB·cos∠ (AOB)

(x₁−y₁)2+ (x₂−y₂)2=x₁2+x₂2+y₁2+y₂2−2kxk · kykcos α

2kxk · kykcos α=x₁y₁+x₂y₂ = hx , yi

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

A(x1, x2) B(y₁, y₂)

v

Dengan menggunakan rumus kosinus

AB2=OA2+OB2−2OA·OB·cos∠ (AOB)

(x₁−y₁)2+ (x₂−y₂)2=x₁2+x₂2+y₁2+y₂2−2kxk · kykcos α

2kxk · kykcos α=x₁y₁+x₂y₂

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah

V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi

sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}h_{x+z, y}i = h_{x , y}i + h_{z, y}i_. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuh_{cx , y}i =_ch_{x , y}i_. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}h_{x , y}i = h_{y , x}i_.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , x}i >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . . UntukR, sifat (3) menjadi hx , yi = hy , xi.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}h_{x+z, y}i = h_{x , y}i + h_{z, y}i_.

2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuhcx , yi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}hx , yi = hy , xi.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}hx , xi >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . . UntukR, sifat (3) menjadi hx , yi = hy , xi.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}hx₊z, yi = hx , yi + hz, yi. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuh_{cx , y}i =_ch_{x , y}i_.

3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}hx , yi = hy , xi. 4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}hx , xi >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . . UntukR, sifat (3) menjadi hx , yi = hy , xi.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}hx₊z, yi = hx , yi + hz, yi. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuhcx , yi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}h_{x , y}i = h_{y , x}i_.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}hx , xi >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . . UntukR, sifat (3) menjadi hx , yi = hy , xi.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}hx₊z, yi = hx , yi + hz, yi. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuhcx , yi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}hx , yi = hy , xi.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , x}i >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . . UntukR, sifat (3) menjadi hx , yi = hy , xi.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}hx₊z, yi = hx , yi + hz, yi. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuhcx , yi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}hx , yi = hy , xi.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}hx , xi >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . .

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang vektor atasC. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V ×V →C

(x , y) 7→ hx , yi sehingga

1 _{Untuk setiap x , y , z}∈_{V berlaku}hx₊z, yi = hx , yi + hz, yi. 2 _{Untuk setiap x , y}∈_{V dan c}∈C berlakuhcx , yi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x , y}∈_{V berlaku}hx , yi = hy , xi.

4 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}hx , xi >_{0 untuk x}6=_0.

Perhatikan bahwah0, yi = h0+0, yi = h0, yi + h0, yi =2h0, yi. Jadi . . .

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Example

1 Misalkan x= (a₁,. . . , a_n)dan y = (b₁,. . . , b_n) ∈Fn, maka hx , yi =

n

∑

i=1

aibi

2 Misalkan V =C([0, 1])ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka

hf , gi = Z 1

0

f(t)g(t)dt

3 Misalkan V =M_n×n(F)dan definisikan

hA, Bi =trace(B∗A) dengan B∗transpose konjuget.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Example

1 Misalkan x= (a₁,. . . , an)dan y = (b₁,. . . , bn) ∈Fn, maka hx , yi =

n

∑

i=1 aibi

2 Misalkan V =C([0, 1])ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di

[0, 1], maka

hf , gi = Z 1

0

f(t)g(t)dt

3 Misalkan V =M_n×n(F)dan definisikan

hA, Bi =trace(B∗A) dengan B∗transpose konjuget.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Example

1 Misalkan x= (a₁,. . . , an)dan y = (b₁,. . . , bn) ∈Fn, maka hx , yi =

n

∑

i=1 aibi

2 Misalkan V =C([0, 1])ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka

hf , gi = Z 1

0

f(t)g(t)dt

3 Misalkan V =M_n×n(F)dan definisikan

hA, Bi =trace(B∗A)

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi.

2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z} ∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi.

2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi.

3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z} ∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi.

3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z} ∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0.

5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z} ∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0.

5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z}∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z}∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z}∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi

z =x , atau

hx , xi =0

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 _{Untuk setiap x}∈_{V berlaku}h_{x , 0}i = h_{0, x}i =_0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 _Jikah_{x , z}i =_{0 untuk setiap z}∈_{V , maka x}=_0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut

Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai

kxk =qhx , xi Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakuk_cxk = |_c| · k_xk_. 2 k_xk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakuk_cxk = |_c| · k_xk_.

2 kxk =_{0 jika hanya jika x}=_0. 3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 k_xk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk.

4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku} kx+yk ≤ kxk + kyk.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 _{Untuk setiap x}∈_{V dan c}∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =_{0 jika hanya jika x}=_0.

3 _{Pertaksamaan Cauchy-Schwarz}

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 _{Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y} ∈_{V berlaku}

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk.

Proof.

Misalkan x , y ∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk2 ≥0, maka

kx−αyk2 = hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|2hy , yi ≥0

untuk setiap α.

Khususnya jika α= hx,y i_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −|hx , yi| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk2 ≥0, maka

kx−αyk2 = hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|2hy , yi ≥0

untuk setiap α.

Khususnya jika α= hx,y i_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −|hx , yi| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk2 ≥0, maka

kx−αyk2= hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|2hy , yi ≥0

untuk setiap α.

Khususnya jika α= hx,y i_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −|hx , yi| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk2 ≥0, maka

kx−αyk2= hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|2hy , yi ≥0

untuk setiap α.

Khususnya jika α= hx,y i_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −|hx , yi| 2 hy , yi

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga

Proof. Misalkan x , y ∈V , maka kx+yk2= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk2=kxk2+2 Rehx , yi + kyk2 ≤ kxk2+2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 Jadi pertaksamaan segitiga berlaku.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x , y∈V , maka kx+yk2= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk2=kxk2+2 Rehx , yi + kyk2 ≤ kxk2+2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 Jadi pertaksamaan segitiga berlaku.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x , y∈V , maka kx+yk2= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk2=kxk2+2 Rehx , yi + kyk2 ≤ kxk2+2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x , y∈V , maka kx+yk2= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk2=kxk2+2 Rehx , yi + kyk2 ≤ kxk2+2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a1,. . . , an)dan y = (b1,. . . , bn)

Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk      n

∑

i=1 a_ib_i      ≤ " _n

∑

i=1 |a_i|2 #1/2" _n

∑

i=1 |b_i|2 #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk " _n

∑

i=1 |ai+bi|2 #1/2 ≤ " _n

∑

i=1 |ai|2 #1/2" _n

∑

i=1 |bi|2 #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a1,. . . , an)dan y = (b1,. . . , bn)

Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk

     n

∑

i=1 a_ib_i      ≤ " _n

∑

i=1 |a_i|2 #1/2" _n

∑

i=1 |b_i|2 #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk " _n

∑

i=1 |ai+bi|2 #1/2 ≤ " _n

∑

i=1 |ai|2 #1/2" _n

∑

i=1 |bi|2 #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a1,. . . , an)dan y = (b1,. . . , bn) Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk

     n

∑

i=1 a_ib_i      ≤ " _n

∑

i=1 |a_i|2 #1/2" _n

∑

i=1 |b_i|2 #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk

" _n

∑

i=1 |ai+bi|2 #1/2 ≤ " _n

∑

i=1 |ai|2 #1/2" _n

∑

i=1 |bi|2 #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua

vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S =  ₁ √ 2(1, 1, 0), 1 √ 3(1,−1, 1), 1 √ 6(−1, 1, 2) 

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x ∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0  1 2cos(mx−nx) − 1 2cos(mx+nx)  dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin2nxdx =π Himpunan S0=n√1 πsin nx: n∈N o

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S =  ₁ √ 2(1, 1, 0), 1 √ 3(1,−1, 1), 1 √ 6(−1, 1, 2) 

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa

{sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0  1 2cos(mx−nx) − 1 2cos(mx+nx)  dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin2nxdx =π Himpunan S0=n√1 πsin nx: n∈N o

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S =  ₁ √ 2(1, 1, 0), 1 √ 3(1,−1, 1), 1 √ 6(−1, 1, 2) 

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0  1 2cos(mx−nx) − 1 2cos(mx+nx)  dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin 2_{nxdx =} π Himpunan S0=n√1 πsin nx: n∈N o

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S =  ₁ √ 2(1, 1, 0), 1 √ 3(1,−1, 1), 1 √ 6(−1, 1, 2) 

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0  1 2cos(mx−nx) − 1 2cos(mx+nx)  dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin 2_{nxdx =} π Himpunan S0=n√1 πsin nx : n∈N o