Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi.

3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0.

5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0.

5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0 Berdasarkan sifat (4), maka x=0.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi

z =x , atau

hx , xi =0

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Theorem

Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam.

1 Untuk setiap x , y , z ∈V berlaku hx , y+zi = hx , yi + hx , zi. 2 Untuk setiap x , y ∈V dan c∈F berlakuhx , cyi =chx , yi. 3 Untuk setiap x∈V berlakuhx , 0i = h0, xi =0.

4 Untuk setiap x∈V berlakuhx , xi =0 jika dan hanya jika x =0. 5 Jikahx , zi =0 untuk setiap z∈V , maka x=0.

Proof.

Kita hanya akan membuktikan no (5).

Karenahx , zi =0 untuk setiap z ∈V , maka khususnya jika berlaku bagi z =x , atau

hx , xi =0

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut

Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai

kxk =^qhx , xi Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk.

2 kxk =0 jika hanya jika x=0. 3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk.

4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku kx+yk ≤ kxk + kyk.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Karenahx , xi ≥0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Definition

Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x ∈V sebagai kxk =^qhx , xi

Theorem

Misalkan V ruang hkd

1 Untuk setiap x∈V dan c∈F, maka berlakukcxk = |c| · kxk. 2 kxk =0 jika hanya jika x=0.

3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz

|hx , yi| ≤ kxk · kyk. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x , y ∈V berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk.

Proof.

Misalkan x , y ∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk² ≥0, maka

kx−αyk² = hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|²hy , yi ≥0 untuk setiap α.

Khususnya jika α= ^{hx,y i}_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −^|h^{x , y}^i| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk² ≥0, maka

kx−αyk² = hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|²hy , yi ≥0 untuk setiap α.

Khususnya jika α= ^{hx,y i}_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −^|h^{x , y}^i| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk² ≥0, maka

kx−αyk²= hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|²hy , yi ≥0

untuk setiap α.

Khususnya jika α= ^{hx,y i}_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −^|h^{x , y}^i| 2 hy , yi dan CS berlaku

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz|hx , yi| ≤ kxk · kyk. Proof.

Misalkan x , y∈V dan α∈F definisika p(α) =kx−αyk² ≥0, maka

kx−αyk²= hx−αy , x−αyi

= hx , xi −¯αhx , yi −αhy , xi + |α|²hy , yi ≥0 untuk setiap α.

Khususnya jika α= ^{hx,y i}_{hx,x i}, maka

0≤ hx , xi −^|h^{x , y}^i| 2 hy , yi

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga

Proof. Misalkan x , y ∈V , maka kx+yk²= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk²=kxk²+2 Rehx , yi + kyk² ≤ kxk²+2kxk · kyk + kyk² = (kxk + kyk)² Jadi pertaksamaan segitiga berlaku.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Bukti Pertaksamaan segitiga Proof. Misalkan x , y∈V , maka kx+yk²= hx+y , x+yi = hx , xi + hy , xi + hx , yi + hy , yi Selanjutnya kx+yk²=kxk²+2 Rehx , yi + kyk² ≤ kxk²+2kxk · kyk + kyk² = (kxk + kyk)² Jadi pertaksamaan segitiga berlaku.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a₁,. . . , an)dan y = (b₁,. . . , bn)

Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk n

∑

i=1 a_ib_i ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk " n

∑

i=1 |a_i+b_i|² #1/2 ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a₁,. . . , an)dan y = (b₁,. . . , bn)

Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk

∑

i=1 a_ib_i ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk " n

∑

i=1 |a_i+b_i|² #1/2 ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

DiFn, untuk x= (a₁,. . . , an)dan y = (b₁,. . . , bn) Pertaksamaan CS|hx , yi| ≤ kxk · kykmempunyai bentuk

∑

i=1 a_ib_i ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Pertaksamaan segitigakx+yk ≤ kxk + kykmempunyai bentuk

" n

∑

i=1 |a_i+b_i|² #1/2 ≤ " n

∑

i=1 |a_i|² #1/2" n

∑

i=1 |b_i|² #1/2

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua

vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam.

Dua vektor x , y disebut orthogonal jikahx , yi =0.

Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x , y ∈S dengan x6=y dua vektor tersebut saling orthogonal.

Definition

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jikakxk =1

Definition

Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit.

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S = 1 √ 2(1, 1, 0),√¹ 3(1,−1, 1),√¹ 6(−1, 1, 2)

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x ∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0 1 2^cos(mx−nx) − ¹ 2^cos(mx+nx) dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin²nxdx =π Himpunan S⁰=ⁿ√¹

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S = 1 √ 2(1, 1, 0),√¹ 3(1,−1, 1),√¹ 6(−1, 1, 2)

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa

{sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0 1 2^cos(mx−nx) − ¹ 2^cos(mx+nx) dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin²nxdx =π Himpunan S⁰=ⁿ√¹

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S = 1 √ 2(1, 1, 0),√¹ 3(1,−1, 1),√¹ 6(−1, 1, 2)

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0 1 2^cos(mx−nx) − ¹ 2^cos(mx+nx) dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin²nxdx =π Himpunan S⁰=ⁿ√¹

Ruang Hasil Kali Dalam dan Norm

Himpunan S = 1 √ 2(1, 1, 0),√¹ 3(1,−1, 1),√¹ 6(−1, 1, 2)

merupakan himpunan orthonormal! Ujilah!

H kumpulan semua fungsi kontinu di[0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x∈ [0, 2π]}memenuhi Z 2π 0 sin nx sin mxdx = Z 2π 0 1 2^cos(mx−nx) − ¹ 2^cos(mx+nx) dx =0 jika m6=n dan Z 2π 0 sin²nxdx =π Himpunan S⁰=ⁿ√¹

Dalam dokumen Ruang Hasil Kali Dalam (Halaman 21-54)