KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

(1)

KS091206 KS091206 KS091206 KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Value Eigen Vector Eigen Vector Eigen Vector Eigen Vector

TIM KALIN

(2)

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

– Dapat menghitung eigen value dan eigen vector suatu matriks

Page 2

Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR 2

vector suatu matriks

– Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen

value dan eigen vektor suatu matriks

(3)

eigenvalues eigenvectors

EIGEN VALEU DAN EIGEN

VEKTOR 3

eigenvectors

(4)

Definisi:

Matriks A (n×n); x ∈ Rⁿdan Ax = λx

maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ?

VEKTOR 4

eigenvalue(s) dari matriks A ?

1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n)

2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A

(5)

Jika diketahui matriks A (n

×

n), maka vektor tak nol x di dalam Rⁿdinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x

Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

EIGEN VALUE DAN EIGEN

VECTOR 5

Vekto x = 1 adalah vektor eigen dari A = 3 0

2 8 -1

Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena:

Ax = 3 0 1 = 3 = 3x

8 -1 2 6

(6)

Jika diketahui matriks A (n××××n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ? 1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 (akan terbentuk

persamaan derajat n)

2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar;

akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A

Contoh: A = 3 0 → ⁽λλλλI – A) = λλλλ–3 0–0 = λλλλ–3 0

VECTOR 6

8 –1 0–8 λλλλ+1 –8 λλλλ+1 Det ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 3 ) ( λλλλ + 1 ) + 0 = 0

maka λλλλ₁= 3 & λλλλ₂= –1

(7)

Contoh: A = 3 2 → ⁽λλλλI – A) = λλλλ–3 0–2 = λλλλ–3 -2

-1 0 0-(-1) λλλλ-0 1 λλλλ

det (λλλλI – A) = det λλλλ–3 -2 = 0 1 λλλλ

VECTOR 7

= λλλλ² – 3 λλλλ + 2 = 0 λλλλ = 1 dan λλλλ = 2

(8)

VEKTOR 8

(9)

Definisi:

Matriks A (n × n); x ∈ Rⁿ dan Ax = λλλλx

maka λλλλ disebut eigenvalueA, dan x disebut eigenvector dari A yang

“berpasangan” dengan λλλλ

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ?

VECTOR 9

eigenvector(s) dari matriks A ?

Setelah eigenvalue λλλλ_k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector(s) x_k yang “berpasangan” dengan λλλλ_k

ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) x_k = 0

(10)

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ? Setelah eigenvalue λλλλ_k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector x_k yang

“berpasangan” dengan λλλλ_k ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) x_k = 0

Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ₁= 3 & λλλλ₂= –1 8 –1

eigenvector x₁ : (λλλλ₁I – A ) x₁ = 0 → (3I – A ) x₁ = 0 Untuk λλλλ = 3

VECTOR 10

Untuk λλλλ₁= 3

3–3 0–0 x₁₁ = 0

0–8 3+1 x₁₂ 0

0 0 x₁₁ = 0 → x₁₂= 2x₁₁ –8 4 x₁₂ 0 → x₁₁= skalar s eigenspace = himpunan eigenvector x₁= { ( s , 2s ) }

(11)

Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ? Setelah eigenvalue λλλλ_k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector x_k yang

“berpasangan” dengan λλλλ_k ditentukan dari persamaan ( λλλλI – A ) x_k = 0

Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λλλλ₁= 3 & λλλλ₂= –1 8 –1

eigenvector x₂ : (λλλλ₂I – A ) x₂ = 0 → (–1 I – A ) x₂ = 0 Untuk λλλλ₁= -1

VECTOR 11

Untuk λλλλ₁= -1

–1 – 3 0 – 0 x₂₁ = 0 0 – 8 –1 + 1 x₂₂ 0

– 4 0 x₂₁ = 0 → x₂₁= 0

–8 0 x₂₂ 0 → x₂₂= skalar s eigenspace = himpunan eigenvector x₂= { ( 0 , s ) }

(12)

VEKTOR 12

(13)

VEKTOR 13

(14)

Contoh:

Carilah Eigen Value (λλλλ) dari:

1.

2.

VEKTOR 14

2.

3.

(15)

Diagonalisasi:

Matriks A (n ×××× n)

akan dicari matriks P yang invertibel

sedemikian sehingga P^–1AP = matriks diagonal

Matriks A disebut diagonalizable

VEKTOR 15

Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A

Teorema: Matriks A (n × n)

Matriks A disebut diagonalizable ↔ A memiliki n eigenvectors yang linearly independent

(16)

Algoritma untuk menentukan matriks P

Matriks A (n ×××× n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.:

1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ₁, λλλλ₂, λλλλ₃, …., λλλλ_n

VEKTOR 16

1 2 3 n

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ₁, λλλλ₂, λλλλ₃, …., λλλλ_n tersebut

4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas

5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom

(17)

Contoh:

VECTOR 17

(18)

Diagonalisasi

Akan dibuktikan bahwa

VECTOR 18

Eigen Vector

(19)

VEKTOR 19

(20)

VEKTOR 20

(21)

VEKTOR 21

Karena A adalah matrix 3x3 dan hanya ada 2 vektor basis, maka A tidak diagonalizable

(22)

Diagonalisasi Ortogonal:

Matriks A (n ×××× n)

akan dicari matriks P yang ortogonal (P^–1 = P^T)

sedemikian sehingga P^–1AP = P^TAP = matriks diagonal

VEKTOR 22

sedemikian sehingga P AP = P AP = matriks diagonal

Matriks A disebut orthogonally diagonalizable

Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A

(23)

Algoritma untuk menentukan matriks P

Matriks A (n ×××× n) orthogonally diagonalizable, maka langkah- langkah untuk menentukan P sbb.:

1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λλλλI – A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λλλλ₁, λλλλ₂, λλλλ₃, …., λλλλ_n

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan

VEKTOR 23

3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λλλλ₁, λλλλ₂, λλλλ₃, …., λλλλ_n tersebut

4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas

5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya

6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom

(24)

Teorema:

Jika matriks A (n××××n), maka yang berikut ini ekivalen a) Matriks A simetrik

b) Matriks A orthogonallly diagonalizable

c) Matriks A memiliki n eigenvectors yang ortonormal

VEKTOR 24

c) Matriks A memiliki n eigenvectors yang ortonormal

Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb

(25)

Contoh:

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

determinan ( λλλλI – A ) = 0 →→→→ ( λλλλ – 2 )² ( λλλλ – 8 ) = 0 eigenvector x₁ : (λλλλ₁I – A ) x₁ = 0 →→→→ ( 2I – A ) x₁ = 0

–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0

VEKTOR 25

–2 –2 –2 0 →→→→ 1 1 1 0

–2 –2 –2 0 0 0 0 0

eigenspace (λλλλ₁)

– x₁₂ – x13 = x₁₂ –1 + x13 –1

x₁₂ 1 0

x₁₃ 0 1

(26)

Contoh:

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

determinan ( λλλλI – A ) = 0 → ( λλλλ – 2 )² ( λλλλ – 8 ) = 0

eigenvector x₂ : (λλλλ₂I – A ) x₂ = 0 → ( 8I – A ) x₂ = 0

4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0

VEKTOR 26

4 –2 –2 0 → 2 –1 –1 0

–2 4 –2 0 0 1 –1 0

–2 –2 4 0 0 0 0 0

eigenspace (λλλλ₂)

x23 = x₂₃1

x₂₃ 1

(27)

Basis eigenspace (λλλλ₁)

–1 , -1 dengan Gram-Schmidt –1/√√√√2 , –1/√√√√6 1 0 & normalisasi 1/√√√√2 –1/√√√√6

0 1 0 2/√√√√6

Basis eigenspace (λλλλ₂)

1 dengan Gram-Schmidt 1/√√√√3

→

VEKTOR 27

1 & normalisasi 1/√√√√3

1 1/√√√√3

Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3 orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3 matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3

→

(28)

A = 4 2 2

2 4 2

2 2 4

Maka matriks P yang –1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3 orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3

VEKTOR 28

orthogonally diagonalizes 1/√√√√2 –1/√√√√6 1/√√√√3 matriks (A) adalah 0 2/√√√√6 1/√√√√3

(29)

CONTOH:

Sistem persamaan perpindahan penduduk, untuk n ≥ 0

Dalam hal ini :

1 1

0,85 0,10 0,15 0, 90

n n n

C C S

S C S

+ +

= +

n n

n

x C

S

 

=  

 

Page 29

Matriks transisinya :

^0,85 ^0,10

0,15 0, 90

A  

=  

 

Persamaan karakteristik dari A :

(30)

Persamaan karakteristik dari A :

( )( )

2

1 7 9 3 1

2 0 1 0 2 0 1 0 0;

1 7 2 0 9 1 0 3 0

2 0 0 3 5 0 1 5 0 0

λ λ

       

− − − =

       

       

− − − =

− + =

Page 30

( )( )

2 2

1 2

2 0 0 3 5 0 1 5 0 0

4 7 3 0

1 4 3 0 1, 0, 7 5

λ λ

λ λ λ λ

− + =

− − = → = =

(31)

*) Untuk λ1, pers. (A-λI)= 0

*) Untuk λ2 = 0,75, pers. (A-λI)=0

( )

1

0,15 0,10 0

2, 3 ,

0,15 0,10 0

x x S

y

−

     

= → =

     

−

     

Page 31

( )

2

0,10 0,10 0

1,1 ,

0,15 0,15 0

x x S

y

     

= → = −

     

     

(32)

1 1

1 0

2 1 1 1 1

, , 3 ,

3 1 0 5 3 2

4

A PDP⁻ P D P⁻

 

−

     

= =   =   = − 

 

3 0

4

 k

  ≈

 

untuk k >>

Page 32

1 0

2 1 1 1 1

3 1 0 3 5 3 2

4

k k

A

 

−

    

=        − 

2 1 1 0 1 1 2 2

1 1

3 1 0 0 3 2 3 3

5 5

−

       

=       −  =  

( )

0

0 0 0

0

2 2 0, 4

1

3 3 0, 6

5

k k

x A x C C S

S

 

   

= ≈    = +  

    

Dengan k yang cukup besar,

(33)

• Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector (0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi, yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di pinggiran

Page 33

(34)

LATIHAN:

1. a. A = 19 -9 -6

25 -11 -9

17 -9 -4

b. A = -1 4 -2

-3 4 0

-3 1 3

Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi.

Jika ya, maka carilah matriks P yang

mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Page 34

-3 1 3

2. a. A = 5 0 0

1 5 0

0 1 5

b. A = 0 0 0

0 0 0

3 0 1