KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN
REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
oleh
ANNISA RAHMAWATI
M0112010
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2017
ABSTRAK
Annisa Rahmawati, 2017. KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS, DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matemati-ka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan penjumlahan ⊗. Himpunan matriks ber-ukuran n×n atas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rn×n
max. Penelitian ini bertujuan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan re-gularitas serta menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux reguler. Matriks A∈Rn×n
max dikatakan reguler kuat jika dan ha-nya jika A permanen kuat. Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, suatu matriks dikatakan memiliki permanen kuat apabila hanya terdapat sa-tu permutasi yang memiliki bobot maksimum. Matriks A ∈ Rn×n
max dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(A) ⊆ P+
n atau ap(A) ⊆ P
−
n. Berdasarkan ha-sil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor S dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika S tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membentuk ruang linear.
Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear
Gondran-Minoux, reguler kuat, Gondran-Minoux reguler.
ABSTRACT
Annisa Rahmawati, 2017. GONDRAN-MINOUX LINEARLY INDEPENDENT AND REGULARITY IN MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is a setRmax =R∪ {−∞}equipped with maximum (⊕) and sum (⊕) operations. The set of matrices n×n over max-plus algebra de-noted by Rn×n
max. The aim of this research is to study Gondran-Minoux linearly independent and regularity and then to investigate a relation between strongly regular and Gondran-Minoux regular matrix. Let A ∈ Rn×n
max, matrix A be ca-lled strongly regular if and only if strong permanent. To determine a value of the permanent matrix, we must obtain the permutation matrix which has a ma-ximum weight. Furthermore, a matrix has strong permanent if the matrix has only one permutation which has a maximum weight. Matrix A ∈ Rn×n
max is sa-id to be Gondran-Minoux reguler if ap(A) ⊆ P+
n or ap(A) ⊆ P
−
n. Based on the result and discussion can be concluded that every strongly regular matrix is Gondran-Minoux regular and the set of vectors is called Gondran-Minoux linearly independent if it can not be partitioned into two disjoint subsets that make up the linear space.
Keywords : Max-plus algebra, matrix, permutation, Gondran-Minoux linearly
independent, strong regular, Gondran-Minoux regular.
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
semua orang yang saya sayangi.
MOTO
Hal terindah bukanlah saat saya memiliki semuanya, tetapi saat
saya puas dengan apa yang saya dapat dengan usaha dan kerja
keras
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat ridho-Nya
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis
mengucap-kan terimakasih kepada
1. Drs. Siswanto, M.Si. dan Drs. Muslich, M.Si. sebagai Pembimbing I dan
II yang telah memberikan bimbingan serta arahan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dan
2. yang telah memberikan motivasi dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, 2016
Penulis
DAFTAR ISI
2.2.2 Graf Berarah dan Matriks dalam Aljabar Maks-Plus . . . 7
2.2.3 Permutasi . . . 8
2.2.4 Permanen . . . 10
2.3 Kerangka Pemikiran . . . 10
III METODE PENELITIAN 12
IV PEMBAHASAN 14
4.1 Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus . . . 14
4.2 Kebebasan Linear Gondran-Minoux . . . 15
V PENUTUP 22
5.1 Kesimpulan . . . 22
5.2 Saran . . . 22
DAFTAR PUSTAKA 23
DAFTAR GAMBAR
2.1 Digraf D . . . 7
4.1 ZH′ . . . 18
4.2 ZB′ . . . 20
4.3 ZC′ . . . 21
DAFTAR NOTASI
maks : himpunan matriks aljabar maks-plus berukuran m×n
N : himpunan bilangan asli
π : permutasi
Pn : himpunan permutasi π
w(π, A) : bobot permutasi π dalam digraf berbobot A
D : digraf D
V : himpunan vertex
E : himpunan edge
ZA : digraf nol yang berhubungan dengan matriks A ∪ : operasi union
⊂ : himpunan bagian
∈ : anggota
maper(A) : permanen maks-aljabar dari A
ap(A) : himpunan permutasi maksimum dari A
σ : cycle
∼ : ekuivalen
(aij) : entri matriks A
