Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

5

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

Siswanto

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sebelas Maret Surakarta

e-mail: sis.mipauns@yahoo.co.id

Diterima 3 Februari 2015, disetujui untuk dipublikasikan 7 April 2015

Abstract

Let  be the set of real numbers and   { }, with  . Max-plus algebra is the set  that is equipped 

with operations  (maximum) and  (plus). From the set  we can form the set ( ) I  , the set of all are closed 

intervals in  . Olsder-Roos and Farlow has developed a version of Cramer’s rule max-plus algebra. The set _ ( )

I  equipped with operations  (maximum) and  (plus) is called interval max-plus algebra. We are able to 

extend Cramer’s rule version for max-plus algebra to a version for interval max-plus algebra. Keywords : Cramer's rule, Interval max-plus algebra.

Abstrak

Misalkan  himpunan semua bilangan real dan   { }, dengan   . Aljabar maks-plus adalah

himpunan  dilengkapi dengan operasi   (maksimum) dan  (plus). Olsder-Roos dan Farlow sudah

mengembangkan Aturan Cramer untuk aljabar maks-plus. Dari himpunan  dapat dibentuk himpunan ( )_ I  _ yaitu himpunan dari interval-interval tertutup dalam  . Himpunan ( ) I  yang dilengkapi dengan operasi  

(maksimum) dan  (plus) disebut aljabar maks-plus interval. Pada makalah ini diberikan perluasan Aturan Cramer dalam aljabar maks-plus ke dalam aljabar maks-plus interval.

Kata kunci : Aturan Cramer, Aljabar maks-plus interval.

1. Pendahuluan

Misalkan  himpunan semua bilangan real, aljabar maks-plus adalah himpunan   { }, dengan   , dilengkapi dengan operasi  (maksimum) dan  (plus). Aljabar maks-plus merupakan dioid yaitu semiring yang idempoten (Akian dkk., 1994; Sergeev, 2006). Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas. (Baccelli dkk., 2001). Telah dibahas tentang matriks atas aljabar maks-plus dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus, khususnya mengenai aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Pada pembahasan mengenai aturan Cramer dalam aljabar maks-plus diperlukan pengertian dominan dari suatu matriks atas aljabar maks-plus (Farlow, 2009).

Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar maks-plus telah digeneralisasi menjadi aljabar

max-plus interval. Aljabar max-max-plus interval yaitu ( )I  _ dilengkapi dengan operasi  (maksimum) dan  (plus). Dibahas pula matriks atas aljabar maks-plus interval dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, 2011).

Siswanto (2012), telah membahas tentang pengertian dominan dari suatu matriks atas aljabar maks-plus interval. Oleh karena itu, dalam paper ini akan dibahas tentang aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval.

2. Kajian Pustaka

Di dalam bagian ini disajikan definisi tentang aljabar maks-plus dan matriks atas aljabar maks-plus beserta operasinya, dominan suatu matriks, sistem persamaan linear dan aturan Cramer dalam aljabar maks-plus (Bacelli dkk., 2001; Butkovic, 2000; Butkovic, 2003; Cuninghame-Green, 2004; Farlow, 2009; Konigsberg, 2009; Olsder-Roos, 1998).

Definisi 1. Misalkan  himpunan bilangan real,

  . Struktur aljabar dari  yang dilengkapi

dengan operasi  (maksimum) dan  (plus) merupakan semifield idempoten yang komutatif, selanjutnya disebut aljabar maks-plus dan dinotasikan dengan maks(; , )  .

Misalkan n



1, 2, ...,n



. Himpunan semua matriks berukuran m n yang entri-entrinya merupakan elemen  disebut matriks atas aljabar _

maks-plus dinotasikan dengan m n

  yaitu

 



| , ,



m n ij ij A A i m j n  _{   }     .

Definisi 2. Berikut beberapa operasi matriks atas

aljabar maks-plus: a. Untuk matriks , m n A B _ , didefinisikan m n A  B _ dengan (AB)ij AijBij ( ij, ij) maks A B  b. Untuk m k, k n A B didefinisikan    m n A B  dengan (AB)ij  kl1(AilBli) ( )  maksl k Ail Blj .

c. Transpose dari matriks A ditulis T

A , bahwa

( )

T ji

A  A .

d. Matriks identitas maks-plus ditulis E , dengan n n n n E  _ dan didefinisikan: 0, ( ) ,      _  n ij jika i j E jika i j.

Untuk suatu matriks n n

A _ dan bilangan bulat positif k , pangkat k dari A ditulis k

A didefinisikan oleh  _{   }...  k k faktor A A A A. Untuk k = 0, 0  def n A E .

e. Untuk sebarang matriks n n A _ dan ,   _ _{ } n n A   didefinisikan oleh (A_ij)  (A_ij).

Teorema 1. Struktur aljabar dari n n



 yang

dilengkapi dengan operasi  dan  masing-masing maksimum dan plus merupakan dioid (semiring yang idempoten). dengan elemen netral dan elemen identitas masing-masing adalah  dan n En.

Selanjutnya, perhatikan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus yang berbentuk

,

A  x b n n

A  , b n. Kesulitan dalam

menyelesaikan sistem persamaan linear A x b, disebabkan tidak adanya invers terhadap operasi  (maksimum).

Seperti dalam aljabar konvensional, dalam aljabar maks-plus penyelesaian sistem persamaan linear A  x = b tidak selalu ada dan jika ada tidak selalu tunggal.

Misalkan bahwa m n

A  . Untuk setiap

matriks A selalu dapat ditentukan subpenyelesaian dasar atau subpenyelesaian terbesar dari A  x = b.

Definisi 3. Subpenyelesaian terbesar dari A  x = b

adalah vektor x yang memenuhi A x b. Subpenyelesaian ini dinotasikan oleh *_{( , )}

A A b . Subpenyelesaian terbesar tidak selalu merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear A  x = b.

Teorema 2. Misalkan n n

A  suatu matriks tak

terreduksi dan n b  . Maka [ ( , )]x* A b j min{ |  biAij in danAij } atau * [ ( , )]x A b j  maks{Aijb ii| n} dengan jn.

Lemma 1. Jika suatu penyelesaian dari A  x = b

ada maka subpenyelesaian terbesarnya adalah suatu penyelesaian.

Definisi 4. Diberikan matriks ( ) n n,

ij A A  _ misalkan P n himpunan semua permutasi  :nn

dan misalkan t1, , ...,t2 tL semua nilai-nilai yang

mungkin sehingga tj  ni₁Ai_{( )}i untuk suatu  P n

didefinisikan,

 

( ) det( ), det( ) 0 dom , det( ) , 0        _  sA sA j sA

maks t pada e jika e A

jika e dengan eSA matriks sehingga sA ( sAij)

e  e .

Selanjutnya disajikan aturan Cramer dalam aljabar maks-plus. Dalam aljabar konvensional, penyelesaian sistem persamaan linear Ax = b,

n n A  dapat ditulis, *1 *2 * 1 * 1 * det ( , , , , , , , ) ; det ( )      i i n  i A A A b A A x i n A dan

det( ) 0A  . Dengan A* j adalah kolom ke –j dari A

dan jn. Sejalan dengan aturan Cramer dalam aljabar konvensional, aturan Cramer dalam aljabar maks–plus menghasilkan,

 

*1 *2 * 1 * 1 * dom dom ( , , , , , , , ) i i i n x  A  A A  A _ b A _  A  dom

 

Ai , bahwa



A A_{*1 *2}, , A_{* 1}i, ,b A_{* 1}i, ,A_*n



Ai adalah matriks A dimana kolom ke i diganti vektor b. Dalam aljabar konvensional, det( ) 0A  cukup untuk menunjukkan adanya suatu penyelesaian, sedangkan dalam aljabar maks-plus, dom( )A  tidak cukup  untuk menunjukkan adanya suatu penyelesaian. Namun, diperlukan syarat tambahan, yaitu



*1, *2, , * 1, , * 1, *



 

sign A A  Ai b Ai ,An sign Ai sign ( )A

1 atau 1 sesuai tanda dari koefisien dalam

det( sA)

e yang menentukan nilai dom (A). Jika tanda dari koefisien dalam det( sA)

e yang menentukan nilai dom (A) positif maka sign (A) = 1 dan jika sebaliknya maka sign (A) = 1.

Definisi 5. Misalkan { 1( _{ })

n

j n j i i i

S  P t _ A_ untuk suatu  Pn} himpunan permutasi genap dan

o n

P permutasi ganjil dari n . { | e}

je j n S  S P , | { o} jo j n S  S P , kje|Sje| dan kjo |Sjo|.

Nilai sign (A) = 1 jika kjekjo 0 dan sign (A) = –1

jika kiekio , untuk 0 tj dom ( ), A jL. Jika dom (A) =  maka sign (A) =



.

Dengan menggunakan Definisi 5 dapat ditulis,

( ) 1 det( SA) L ( ) sti ie io i e 



_ k k e . Jika sign ( )A   maka sign ( ) det( sA) 0

A e  untuk semua s yang cukup besar.

Teorema 3. Jika sign (A A*1, *2, , A* 1i,b A, * 1i,,A*n)

sign ( ) sign ( )Ai A

  untuk semua 1 i n  dan dom ( )A  maka  xidom ( ) dom (A  A*1,

*2, , * 1i , , * 1i , , *n)

A  A b A   A menghasilkan penyele-saian untuk A x b.

Selanjutnya, dibicarakan konsep aljabar maks-plus interval, matriks dan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval (Rudhito, 2011).

Interval tertutup x dalam  . adalah suatu _ himpunan bagian dari  yang berbentuk _

[ , ] { }

x x x  x x x x . Interval dalam



 disebut interval maks-plus. Suatu bilangan x  dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. _

Definisi 6. Dibentuk ( )I _ {x[ , ] | , x x x x , } { }

x x

  

  dengan  [ , ]  . Pada himpunan ( )

I  didefinisikan operasi  dan  dengan _ [ , ]

x y xy x dan y x y [ xy x , y] untuk setiap x y,   . Himpunan I( )_ I( ) _ dilengkapi dengan operasi  dan  merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral

[ , ]

   dan elemen satuan 0 [0, 0] . Selanjutnya disebut aljabar maks-plus interval dan dinotasikan dengan I( )maks ( ( ) ; , )I    .

Definisi 7. Untuk x[ , ],x x y[ , ]y y  I( )

didefinisikan x      dan y x y y x y x . y

Definisi 8. Himpunan matriks berukuran m n

dengan elemen-elemen dalam I( ) dinotasikan _ dengan ( )m n

I   yaitu

( )m n { ( ) |ij ij ( ) ,  ,  }

I  A A A I  i m j n . Matriks anggota ( )m n

I   disebut matriks interval maks-plus.

Selanjutnya matriks interval maks-plus cukup disebut dengan matriks interval.

Definisi 9. Struktur aljabar dari ( )n n

I   yang

dilengkapi dengan operasi  (maksimum) dan  (plus) dinotasikan dengan ( )n n ( ( )n n; , )

maks

I    I  _   merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan ( )n n

I   merupakan semimodul atas

( ) I  .  Definisi 10. Untuk ( )m n A I  didefinisikan matriks ( )    m n ij A A  dan A(Aij)m n

masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.

Definisi 11. Diberikan matriks interval ( )m n

A I _ dengan A dan A masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu

[ , ] {A A  Cm n |AC A}

dan

( m n )b {[ , ] |  ( )m n }

I  A A A I  .

Interval matriks [ , ]A A I ( m n )b disebut interval

matriks yang bersesuaian dengan matriks interval

( )m n

A I _ dan dilambangkan dengan A[ , ]A A . Definisi 12. 1. Untuk ( ) ,[ , ],[ , ] ( m n) b I  A A B B I  _{   }  dide-finisikan i. [ , ] [A A  A,A], ii. [ , ] [ , ] [A A  B B  AA B, B]. 2. Untuk [ , ] ( m k) ,[ , ] ( k n) b b A A I _ B B I _ didefinisikan [ , ] [ , ] [A A  B B  AA B, B].

Teorema 4. (Rudhito, 2011) Struktur aljabar dari

( m n)

b

I  yang dilengkapi dengan operasi

 (maksimum) dan  (plus) dinotasikan dengan

( m n) ( ( m n) ; , )

maks b b

I    I    merupakan dioid

(semiring yang idempoten), sedangkan ( m n)

b I 

merupakan semimodul atas ( )I  ._

Definisi 13. Didefinisikan

1 2

( )n{ [ , ,..., n] |T i ( ) ;  }

I  x x x x x I  i n .

Himpunan ( )n

I   dapat dipandang sebagai

him-punan _{( )}n1

I   . Unsur-unsur dalam I( ) n disebut

vektor interval dalam ( )n

bersesuaian dengan interval vektor [ , ]x x ditulis [ , ]

x x x .

Definisi 14. Diberikan ( )n n

A I  dan b I( )n.

Suatu vektor interval * ( )n

x  I  disebut

penyelesaian persamaan linear maks-plus interval A  jika berlaku x b A  . x* b

Definisi 15. Diberikan ( )n n

A I _ dan ( )n b I _. Suatu vektor interval ( )n

x  I _ disebut subpenyelesaian persamaan linear maks-plus interval

A  jika berlaku A xx b   .  b

Definisi 16. Diberikan ( )n n

A I  dan b I( )n.

Suatu vektor interval ˆ ( )n

x I  disebut

subpenyelesaian terbesar persamaan linear maks-plus interval A  jika x b x xˆ untuk setiap subpenyelesaian x dari sistem persamaan linear maks-plus interval A  . x b

Teorema 5. Jika ( )n n

A I  dengan elemen-elemen

setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan [ , ]  dan ( )n

b I _, dengan A[ , ]A A dan b[ , ]b b maka vektor interval xˆ[ , ]x xˆ ˆ dengan













ˆ min  T ( ) , T ( ) ,  i _i i x A b A b i n dan





ˆ T ( ) x  A  b merupakan subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear maks-plus interval

A  . x b

Berikut pengertian tentang dominan dalam aljabar maks-plus interval (Siswanto, 2012).

Definisi 17. Dominan matriks ( )n n

A I  dengan [ , ]

A A A , didefinisikan





dom ( )A  min dom ( ),dom ( ) , dom ( )A A A_{ .}

3. Hasil dan Pembahasan

Berikut akan dibahas aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval yang berbentuk A x b  . Hasil-hasil disini merupakan perluasan Aturan Cramer untuk aljabar maks-plus (Olsder-Roos (1998), Farlow (2009)) pada aljabar maks-plus interval. Misalkan bahwa ( )n n

A I  . Untuk setiap matriks A selalu

dapat ditentukan subpenyelesaian terbesar untuk A  . x b

Berdasarkan Definisi 12, misalkanA[ , ],A A [ , ] x x x dan b[ , ]_{b b} dengan [ , ]_ ( _n n ) b A A I  , [ , ], [ , ]x x b b I ( n)b, misalkan 1 2 ( , ,..., )  T n

x x x x penyelesaian sistem persamaan

A  dan x b x( , ,...,x x1 xn)T penyelesaian sistem persamaan A  x b dengan

1 1, 2  2,..., n  n x x x x x x maka 1 1 2 2 ([ , ],[ , ],...,[ , ])  T n n x x x x x x x merupakan

penyelesaian sistem persamaan A x b  .

Subpenyelesaian terbesar tidak selalu merupakan penyelesaian suatu sistem persamaan linear. Perhatikan sistem persamaan linear

1 1 2 2 [ , ] [3,4] [5,6] [8,11] [ , ] [2,3] [4,5] [9.12]    _{ }              x x x x ,

subpenyelesaian terbesarnya adalah ˆ [5,7] [3,5]

 

  

 

x

bukan merupakan penyelesaian

sebab [3,4] [5,6] [5,7] [8,11] [8,11] [2,3] [4,5] [3,5] [7.10] [9.12]

  _  _  _ 

       

       .

Penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval disajikan dalam lemma berikut.

Lemma 2. MisalkanA[ , ],A A x[ , ]x x dan

[ , ] 

b b b . Jika sistem persamaan linear A x b dan A x b masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal ˆ ( T ( ))

x  A  b dan

ˆ ( T ( ))

x  A  b dengan ˆxx maka sistem ˆ persamaan linear A  mempunyai x b penyelesaian tunggal xˆ[ , ]x xˆ ˆ .

Bukti :

MisalkanA[ , ],A A x[ , ]x x dan b[ , ]b b _. Menurut Definisi 12, bahwa A x [ , ] [ , ]A A  x x

[ , ]

 Ax Ax . Berarti A  x b [Ax A, x] [ , ]

 b b atau A x _{b dan  }A x b. Karena sistem persamaan A x b dan A x b masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal

ˆ ( T ( ))

x  A  b dan xˆ (AT  ( b)) dengan ˆxx maka sistem persamaan Aˆ   juga x b mempunyai penyelesaian tunggal yaitu xˆ[ , ]x xˆ ˆ . ■

Perhatikan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval A x b  , dengan

( )n n, , ( )n

AI _ x b _. Berdasarkan aturan Cramer dalam aljabar maks-plus, aturan Cramer dalam aljabar maks–plus interval adalah

xidom ( )A dom ( )Ai dimana A adalah matriks i

A dimana kolom ke-i diganti dengan b. Misalkan

    *1 *2 * 1 * 1 * ( , , , , , , , ) i i i n A  A A  A _ b A _  A , *i [ *i, *i] A  A A dan Ai[ , ]A Ai i maka

    *1 *2 * 1 * 1 * ( , , , , , , , ) i i i n A  A A  A _ b A _  A dan     *1 *2 * 1 * 1 * ( , , , , , , , ) i i i n A  A A  A _ b A _  A .

Selanjutnya, jika dom ( ) [dom ( ),A  A

dom ( )]A dan dom ( ) [dom (Ai  Ai), dom ( )]Ai berarti [ , ]

i i i

x  x x dengan kata lain xi maka berlaku xi

xi dom ( ) dom ( ) A  Ai (xidom ( ) dom ( )A  Ai dan xidom ( ) dom (A ))A  i .

Adapun syarat tambahan yang diperlukan agar sistem persamaan A  x b mempunyai penyelesaian adalah     *1 *2 * 1 * 1 * sign (A ,A , , A i , ,b A i , ,  An) sign ( Ai) sign ( )A  dan sign ( ,A A*1 *2, ,A*_{ }i1,b A, *_{ }i1, ,A*n) )

sign ( Ai  sign ( )A untuk semua in.

Teorema 6. Jika     *1 *2 * 1 * 1 * sign ( , , , , , , , sign ( sign ( ) ) ) n i i i A A A b A A A A       dan     *1 *2 * 1 * 1 * sign ( , , , , , , , sign ( ) sign ) ( )       n i i i A A A b A A A A untuk semuain,

dom ( ) [dom ( ),dom ( )] [ , ]A  A A    ,

dom ( ) [dom ( ),dom ( )]A_i  A_i A_i maka x[ , ]x x merupakan penyelesaian sistem persamaan linear

A  x b dengan xi dom ( ) dom( )A  A , i

dom ( ) dom ( )   i i x A A , x_idom ( ) dom ( )A  A_i . Bukti : Diketahui bahwa     *1 *2 * 1 * 1 * sign ( , , , , , , , sign ( ) sign ( ) ) n i i i A A A b A A A A       dan     *1 *2 * 1 * 1 * sign ( , , , , , , , sign ( ) sign ( ) ) n i i i A A A b A A A A      

untuk semua in dan dom ( ) [ , ]A    . Selanjutnya, karena dom( ) [dom( ), dom( )]A  A A maka dom( )A  dan  dom( )A . Menurut Teorema 2 maka     *1 *2 * 1 * 1 * dom ( ) dom ( , , , , , , , ) i i i n x A  A A  A _ b A _ A dan     *1 *2 * 1 * 1 * dom( ) dom ( , , , , , , , ) i i i n x  A  A A  A _ b A _  A masing-masing menghasilkan penyelesaian untuk

A  dan x b A  . Jika dipenuhi x xx b  maka [ , ]

x x x merupakan penyelesaian sistem persamaan linear A x b  . ■

Contoh :

Diberikan sistem persamaan linear

[1, 2] [2, 4] [3,5] [4, 6] [ 1,0] [4,5] [3, 4] [5, 6] [6,8] [1,3] [3, 6] [6,9] x      _ _{ }              .

Dari sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval tersebut, dapat diperoleh sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus,

1 2 3 4 1 4 3 5 6 1 3 6 x     _ _{ }              dan 2 4 5 6 0 5 4 6 8 3 6 9 x      _{ }             

Dengan menggunakan Lemma 2 diperoleh bahwa,

 





ˆ 1 1 6 4 2 4 1 5 3 3 3 6 T x A b               _{  }  _     _{   }   0 1 1           ,

 





ˆ 2 0 8 6 4 5 3 6 5 4 6 9 T x A b              _{  }  _     _{   }   1 1 . 1       _{ }  

Oleh karena itu, penyelesaian sistem persamaan linear [1, 2] [2, 4] [3,5] [4, 6] [ 1, 0] [4,5] [3, 4] [5, 6] [6,8] [1,3] [3,6] [6,9] x      _ _{ }              adalah [0,1] [1,1] [1,1]           .

Dengan menggunakan Teorema 6 (aturan Cramer), diperoleh hasil yang sama sebagai berikut :

Untuk sistem persamaan

1 2 3 4 1 4 3 5 6 1 3 6 x     _ _{ }              , berarti, 1 2 3 1 4 3 6 1 3 A      _{ }     dan 4 5 6 b            . (1 4 3) ( 2 3 6) (3 ( 1) 1) det ( s A) s s s e e   e   e    s3 4 6 s1 3 1 s(2 ( 1) 3) e   e   e       8s 11s 3s 13s 5s 4s e e e e e e      

maka nilai dom( ) 13A  dan sgn( )A   . Dengan 1 cara yang sama dapat diperoleh sgn( )A dan i

dom( )A untuk i i1, 2,3. Karena,

1 4 2 3 5 4 3 6 1 3 A            , ₂ 1 4 3 1 5 3 6 6 3 A      _{ }     dan 3 1 2 4 1 4 5 6 1 6 A      _{ }     maka

    1 (4 4 3) (2 3 6) (3 5 1) 3 4 6 4 3 1 (2 5 3) 11 11 9 13 8 10 11 9 13 8 10 det( ) 2 s A s s s s s s s s s s s s s s s s s e e e e e e e e e e e e e e e e e e                              det( e A2) s(1 5 3) s(4 3 6) s(3 ( 1) 6) e e   e   e    . s3 5 6 s1 3 6 s( 4 ( 1) 3) e   e   e       e9se13se8se14se10se6s. det (ee A3)es(1 4 6)  es(2 5 6)  es(4 ( 1) 1)   es4 4 6 es1 5 1 es(2   1 6) 11 13 4 14 7 2 s s s s s e e e e e      .

Nilai dom ( ) 13A1  , dom (A2) 14 , dan 3

dom ( ) 14A  , sedangkan sgn( )A1   , sgn 1 2

sgn(A )  dan 1 sgn( )A₃   . Vektor yang 1 memenuhi persamaan *1 *2 * 1 * 1 * dom ( ) dom ( , , , , , , ) i n n n x  A  A A A  b A   A adalah 0 1 1 x            .

Selanjutnya, untuk sistem persamaan

2 4 5 6 0 5 4 6 8 3 6 9 x      _{ }              , berarti 2 4 5 0 5 4 8 3 6 A            dan 6 6 9 b            . (2 5 6) (4 4 8) (5 0 3) det ( sA) s s s e e   e   e   es5 5 8 es2 4 3 es( 4 0 6)  e13se16se8se18se9se10s.

maka nilai dom ( ) 18A  . Ini menunjukkan bahwa 18 adalah eksponen terbesar dalam det( sA)

e dan

sgn( )A  1. Catat juga bahwa es(8 5 5)  e18s yaitu mempunyai koefisien negatif dalam det( sA)

e . Dengan cara yang sama dapat diperoleh sgn( )Ai dan

dom ( )A_i untuk i1, 2,3. Karena, ₁

6 4 5 6 5 4 9 3 6 A            , 2 2 6 5 0 6 4 8 9 6 A            dan ₃ 2 4 6 0 5 6 8 3 9 A            maka 1 (6 5 6) (4 4 9) (5 6 3) det ( sA) s s s e e   e   e   s5 5 9 s6 4 8 s( 4 6 6) e   e   e      2e17se14se19se18se16s 2 (2 6 6) (6 4 8) (5 0 9) det ( s A ) s s s e e   e   e   es5 6 8 es2 4 9 es(6 0 6)  2e14se18se19se15se12s 3 (2 5 9) (4 6 8) (6 0 3) det ( s A ) s s s e e   e   e   es6 5 8 es2 6 3 es( 4 0 9)  e16se18se9se19se11se13s.

Nilai dom ( ) 19A1  , dom ( ) 19A2  , dan 3

dom ( ) 19A  , sgn( )A₁  1, sgn sgn( )A₂  1 sgn

3

sgn( )A  1. Vektor yang memenuhi persamaan

*1 *2 * 1 * 1 * dom ( ) dom ( , , , , , , ) i n n n x  A  A A A  b A  A adalah 1 1 1       _{ }   x .

Oleh karena itu, penyelesaian sistem persamaan linear [1, 2] [2, 4] [3,5] [4, 6] [ 1, 0] [4,5] [3, 4] [5, 6] [6,8] [1,3] [3,6] [6,9] x      _ _{ }              adalah [0,1] [1,1] [1,1] x           . Kesimpulan

Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa,.

1. Sistem persamaan linear A x b  mempunyai penyelesaian tunggal jika subpenyelesaian terbesarnya yaitu xˆ[ , ]x xˆ ˆ dengan

ˆ ( T ( ))

x  A  b dan ˆ ( T ( )) x  A  b . 2. Jika sistem persamaan linear A x b 

mempunyai penyelesaian tunggal maka penyelesaian tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Cramer yang disajikan pada Teorema 6.

Daftar Pustaka

Akian, M., G. Cohen, S. Gaubert, J. P Quadrat, and M. Viot, 1994, Max- Plus Algebra and Appli-cations to System Theory and Optimal Con-trol, Proc. of the International Congress of Mathematicians, Zurich, Switzerland.

Bacelli, F., G. Cohen, G. J. Olsder, and J. P. Quadrat, 2001. Synchronization and Linearity : An Al-gebra for Discrete Event System, Web Edition, https ://www.rocq.Inria.fr/metalau/co- hen/documents/BCOQ-book.pdf. 17-5- 2015. Butkovic, P., 2000, Simple Image Set of (max,+)

linear mapping, Discrete Applied Mathemat-ics, 105, 73 – 86.

Butkovic, P., 2003, Max-Algebra: The Linear Algebra of Combinatorics? Linear Algebra and Application, 367, 313 – 335.

Cuninghame-Green, R.A. and P. Butkovic, 2004, Basis in Max-Algebra, Linear Algebra and Application, 389, 107 – 120.

Farlow, K. G., 2009, Max-Plus Algebra, Master's Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Masters in Mathematics.

Konigsberg Z. R., 2009, A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra, International Mathematical Forum 4, 24, 1157 – 1171. Olsder, G. J., and C. Roos, 1998, Cramer and

Cayley-Hamilton in the max-algebra, Linear Algebra and its Applications, 101, 87-108.

Rudhito, A., 2011, Aljabar Maks-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian, Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta.

Sergeev, S., 2006, Max-Plus Definite Matrix Closures and Their Eigenspaces. arXiv:math.MG/0506177 v2.

Siswanto, 2012, Permanen dan Dominan suatu Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval, Jurnal Phythagoras, 7, 45-54.