Penentuan nilai eigen suatu matriks atas aljabar max-plus interval.

(1)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

P e n e l i t i a n , P e n d i d i k a n , d a n P e n e r a p a n M I P A

Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

ISBN: 978

–

979 -96880

–

7 - 1

Bidang:



Matematika dan Pendidikan Matematika



Fisika dan Pendidikan Fisika



Kimia dan Pendidikan Kimia



Biologi dan Pendidikan Biologi



Ilmu Pengetahuan Alam

Tema:

MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

(2)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

P e n e l i t i a n , P e n d i d i k a n , d a n P e n e r a p a n M I P A

Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

ISBN: 978

–

979 -96880

–

7 - 1

Tim Editor:

1.

Nur Hadi Waryanto, M.Eng (Matematika)

2.

Denny Darmawan, M.Sc (Fisika)

3.

Erfan Priyambodo, M.Si (Kimia)

4.

Yuni Wibowo, M.Pd (Biologi)

5.

Sabar Nurohman, M.Pd (IPA)

Tim Reviewer:

1.

Dr. Agus Maman Abadi (Matematika)

2.

Wipsar Sunu Brams Dwandaru, M.Sc.,Ph.D (Fisika)

3.

Prof. Dr.Endang Wijayanti (Kimia)

4.

Dr. Heru Nurcahyo (Biologi)

Tema:

MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

(3)

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18Mei 2013

xiii

19

20

21

22

23

24

25

26

Pengambilan

Keputusan

Untuk

Penilaian

Kinerja

Menggunakan Analytic Hierarchy Process (Ahp)

Sinta Arifin

Penentuan Nilai Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus

Interval

Siswanto

Prediksi Produksi Gula Pada Pg. Madukismo Bantul Dengan

Menggunakan Adaptive Neuro Fuzzy Inference System

Sri Hanjati

Aplikasi Analisis Biplot Untuk Pemetaan Prestasi Dan

Karakteristik Mahasiswa Bidik Misi Antar Fakultas (Studi

Kasus Mahasiswa Bidik Misi Unsri Angkatan 2010)

Sri Indra Maiyanti

Perhitungan Reinbursement Optimal Perusahaan Asuransi

Dengan Menggunakan Fungsi Utilitas Eksponensial

Sukono

Estimasi Parameter Beta-Adjusted Dalam Capm Dengan

Volatilitas Tak Konstan

Sukono

Selang Bagi Fungsi Tahan Hidup Masa Tahanan Artis

Indonesia Yang Tersangkut Narkoba (Data Berdistribusi

Eksponensial Dua Parameter Tersensor Tipe-Ii)

Surya Prangga

Penerapan Metode Bootstrap Pada Uji Komparatif Non

Parametrik 2 Sampel

Yudi Agustius

M-135

M-141

M-147

M-153

M-159

M-167

M-173

(4)

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013

M-141

PENENTUAN NILAI EIGEN SUATU MATRIKS

ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito

Mahasiswa S3 Matematika FMIPA UGM dan Staff Pengajar FMIPA UNS Surakarta, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta

FKIP, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

Abstrak

Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ _��= ℜ −∞ dengan ℜ himpunan bilangan real, dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Himpunan ℜ ×_�� adalah himpunan matriks berukuran × yang elemen-elemennya merupakan anggota ℜ _��. Telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar Max-Plus. Dibentuk himpunan � ℜ _�� yaitu himpunan yang anggotanya merupakan interval-interval tertutup di dalam ℜ _��. Himpunan � ℜ _�� dilengkapi dengan operasi ⊕̅̅̅ dan ⊗̅̅̅ disebut aljabar Max-Plus interval. Selanjutnya, dapat dibentuk himpunan matriks berukuran × yang elemen-elemennya merupakan anggota himpunan � ℜ �� ditulis � ℜ ×��. Misalkan A � ℜ ×�� dan [ A , A ] � ℜ ×�� b, dengan

A ≈ [ A , A ], matriks interval A dikatakan tak terreduksi jika untuk setiap matriks [ A , A ] tak terreduksi. Jika tidak demikian, matriks interval A dikatakan terreduksi. Tujuan penelitian ini adalah bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar Max-Plus interval, untuk matriks tak terreduksi maupun matriks terreduksi.

Kata kunci : Aljabar Max-Plus interval, nilai eigen.

PENDAHULUAN

Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ _��= ℜ � , � = − ∞ dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗merupakan semifield idempoten. Aljabar Max-Plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas. (Baccelli,

et.al [2]). Dari himpunan ℜ _�� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran × yang elemen-elemennya merupakan elemen ℜ _�� dinotasikan dengan ℜ _��× , selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar Max-Plus. Khusus untuk m = n , himpunan ℜ ×_�� dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗ merupakan semiring yang idempoten (Akian, et. al, [1], Konigsberg [5]). Untuk n = 1, diperoleh himpunan vektor dalam aljabar Max-Plus ditulis ℜ _�� (Farlow [4]). Schutter [7] dan Subiono [9] telah membahas tentang masalah nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks atas aljabar Max-Plus. Selanjutnya, Butkovic [3] dan Tam K. P [10] telah menulis tentang ruang vektor eigen dan bagaimana menentukan nilai eigen matriks atas aljabar Max-Plus.

Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar Max-Plus telah digeneralisasi menjadi aljabar Max-Plus interval dan aljabar Max-Plus bilangan kabur. Aljabar Max-Plus interval yaitu himpunan

� ℜ �� dilengkapi dengan operasi ⊕̅̅̅ dan ⊗̅̅̅, sedangkan aljabar Max-Plus bilangan kabur

yaitu himpunan ℜ _�� dilengkapi dengan operasi ⊕̃ dan ⊗̃ (Rudhito [6]). Telah dibahas juga tentang matriks dalam aljabar Max-Plus interval, graf dalam aljabar Max-Plus interval serta nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar Max-Plus interval khusus untuk matriks tak terreduksi.

(5)

Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen ISBN. 978-979-96880-7-1

M-142

Disamping itu, Siswanto [8] telah membahas tentang ruang vektor eigen matriks dalam aljabar Max-Plus interval.

Dari uraian tersebut, menarik untuk diteliti tentang bagaimana menentukan nilai eigen matriks atas aljabar Max-Plus interval untuk matriks secara umum, sekaligus basis ruang eigennya. Sebelum dibahas hasil utama penelitian ini, terlebih dahulu akan ditinjau beberapa konsep dasar dan hasil-hasil yang mendukung pembahasan.

Berikut adalah beberapa konsep dalam menentukan nilai eigen suatu matriks dalam aljabar Max-Plus.

Definisi 1.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … , ⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤ , didefinisikan � adalah submatriks utama dari matriks = [� ] yaitu

(

� ⋯ �

⋯ ⋯ ⋯

� ⋯ �

dan � menyatakan subvektor ( , , … , �dari vektor , , … , � ℜ _��. Selanjutnya, jika = �, adalah graf berarah, � menyatakan subgraf berarah yang diinduksi dari yaitu � = (�, � × � , bahwa _{� �} = � .

Definisi 1.2. Misalkan , ℜ ×_��, maka simbol ∼ berarti bahwa dapat diperoleh dari dengan permutasi bersama dari semua kolom dan baris.

Lema 1.3. Jika ∼ maka Λ = Λ dan ada fungsi bijektif antara � dan � .

Lema 1.4. Misalkan ℜ ×_��, � � dan � , � . Jika �+ , � maka > ,

∼ ( � � = � dan matriks terreduksi.

Proposisi 1.5. Diberikan ℜ ×_��, � = �+ jika dan hanya jika matriks tak terreduksi.

Definisi 1.6. Misalkan merupakan FNF, graf berarah penyederhanaan (Condensation digraph) adalah graf berarah _� = ( � , … , �_� , {(� , � |∃ � , ∃ � sehingga � > �} .

Lema 1.7. Jika � , � → � dan [� ] ≠ � maka � berhingga. Secara khusus bahwa

[� ] berhingga.

Teorema 1.8. (Teorema Spektral) Diberikan ℜ ×_�� yang merupakan FNF, maka

� = {�( |�( = max_{� →�} � }.

Definisi 1.9. Diberikan ℜ ×_�� yang merupakan FNF. Jika �( = max_{� →�} � maka (dan juga � atau hanya ) disebut sebagai spektral (spectral).

Akibat 1.10. Semua klas awal dari _� merupakan spektral.

Akibat 1.11. ≤ |Λ | ≤ untuk setiap ℜ ×_��.

Akibat 1.12.� = �( , � jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen � yang sama.

Selanjutnya, dibicarakan konsep aljabar Plus interval dan matriks atas aljabar Max-Plus interval.

Interval tertutup x dalam ℜ _�� adalah suatu himpunan bagian dari ℜ _�� yang berbentuk

x = [ x, x ] = { ℜ ��| x ≼ ≼ x }. Interval x dalam ℜ �� disebut interval Max-Plus.

Suatu bilangan x ℜ _��dapat dinyatakan sebagai interval [x,x].

Definisi 1.13. Dibentuk � ℜ _��= {x = [ x, x ] |x, x ℜ, � ≺ x ≼_mx } ε , dengan ε = [�, � . Pada himpunan � ℜ _�� didefinisikan operasi " ⊕̅̅̅ " dan " ⊗̅̅̅ " dengan x ⊕̅̅̅ y = x ⊕

(6)

M-143

Definisi 1.14. Himpunan matriks berukuran × dengan elemen-elemen dalam � ℜ _�� dinotasikan dengan � ℜ _��× yaitu

� ℜ ��× = {A = [A ] |A � ℜ ��; = , , … , , = , , … , }. Matriks anggota � ℜ ��× disebut matriks interval Max-Plus. Selanjutnya matriks interval Max-Plus cukup disebut

dengan matriks interval.

Definisi 1.15. Untuk A � ℜ _��× didefinisikan matriks A = A ℜ × dan A = A

ℜ × _{masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.}

Definisi 1.16. Diberikan matriks interval A � ℜ _��× , dengan A dan A masing-masing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu [A, A] = { ℜ _��× | A ≼ ≼ A} dan � ℜ _��× _b= {[A, A]| A � ℜ _��× }.

Semimodul � ℜ ×_�� atas � ℜ _�� isomorfis dengan semimodul � ℜ ×_�� _b

atas

� ℜ ��, dengan pemetaan �: � ℜ ×�� → � ℜ ×�� b, � A = [A, A], ∀A � ℜ ×��. Interval

matriks [A, A] � ℜ ×_�� _b disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval

A � ℜ ×�� dan dilambangkan dengan A ≈ [A, A].

Definisi 1.17. Didefinisikan.

� ℜ ��= � = x , x , … , x �|xi � ℜ ��; = , , … . , . Himpunan � ℜ �� dapat

dipandang sebagai himpunan � ℜ ×_��. Anggota � ℜ _�� disebut vektor interval atas � ℜ _��. Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor [�, �] yaitu �≈ [�, �].

Berikut definisi tentang himpunan nilai eigen dan himpunan vektor eigen dalam aljabar Max-Plus interval.

Definisi 1.18. Diberikan A, B � ℜ ×_�� dan λ � ℜ _�� dengan A ≈ [A, A], B ≈ [B, B] dan

λ ≈ [λ, λ] , didefinisikan :

a. A, λ = {� � ℜ _�� | A ⊗̅̅̅ � = λ ⊗̅̅̅ �} dan

([A, A], λ, λ = {[�, �] � ℜ _{�� b} | A ⊗ � = λ ⊗ �; A ⊗ � = λ ⊗ �} ,

b. Λ A = λ � ℜ _��| A, λ ≠ , = ε, ε, … , ε � dan

Λ([A, A] = { [λ], [λ] � ℜ �� b| ([A, A], [λ, λ] ≠ {[ , ]}}, c. A = ⋃ A,λ dan ([A, A] = ⋃_{, . ([ , ]} ([A, A], λ, λ , d. + A, λ = A, λ � ℜ dan +([A, A], λ, λ = ([A, A], λ, λ � ℜ ,

e. + A = A � ℜ dan +([A, A] = ([A, A] � ℜ .

PEMBAHASAN

Pada bagian ini dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen dari suatu matriks interval.

Definisi 2.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … , ⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤ , didefinisikan A � ≈ A , A adalah submatriks interval utama dari matriks A = [A ]

� ℜ ×��, A ≈ [A, A] yaitu

A ⋯ A

⋯ ⋯ ⋯

A ⋯ A . x � ≈ x � , x � menyatakan subvektor (x , x , … , x � dari vektor x , x , … , x � � ℜ _��. Selanjutnya, jika D = �, E adalah graf berarah dan � ⊆ � maka D � menyatakan subgraf berarah yang diinduksi dari D; yaitu

D � = (�, E � × � , bahwa D_{� �} = D � .

(7)

M-144

dapat diperoleh dari B dengan permutasi secara simultan semua kolom dan baris.

Tampak bahwa, jika A ∼ B maka graf berarah yang diinduksi D dapat diperoleh dari D_B dengan cara menomori ulang titiknya. Oleh karena itu, jika A ∼ B maka A tak terreduksi jika dan hanya jika B tak terreduksi.

Lema 2.3. Jika A ∼ B maka Λ A = Λ B dan ada fungsi bijektif antara A dan B .

Bukti : Misalkan A, B � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b dan B ≈ [B, B] � ℜ ×_�� _b. Karena

A ∼ B, berarti A ∼ B dan A ∼ B. Menurut Lema 1.3, �(A = �(B dan ada fungsi bijektif antara

�(A dan �(B serta �(A = �(B dan dan ada fungsi bijektif antara �(A dan �(B . Karena

Λ A ≈ Λ([A, A] dan Λ B ≈ Λ([B, B] , sedangkan Λ([A, A] = Λ([B, B] maka Λ A = Λ B dan ada fungsi bijektif antara A dan B .

Lema berikut menunjukan bahwa di dalam aljabar max-plus interval bentuk normal Frobenius akan sangat digunakan untuk menggambarkan semua nilai eigen.

Lema 2.4. Misalkan A � ℜ ×_��, λ Λ A dan � A, λ . Jika � + A, λ maka > ,

A ∼ ( A A

ε A , λ = λ A dan A matriks terreduksi.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b, λ = λ, λ Λ A dan

� = x , x , … , x �_{= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ]} � _{A, λ} _{. Oleh karena itu,}_{λ �(A , λ} �(A , x = x , x , … , x �(A, λ dan x =[x , x , … , x �(A, λ . Karena � + A, λ maka

x �+_{(A, λ} _dan _{x �}+_{(A, λ} _{, menurut Lema 1.4 maka} _{> , A ∼}A A

� A , λ =

λ A , A matriks terreduksi demikian pula A ∼ A A

� A , λ = λ A dan A matriks

terreduksi. Oleh karena itu, > , A ∼ ( A A

� A , λ = λ A dan A matriks terreduksi.

Proposisi 2.5. Diberikan A � ℜ ×_��, maka A = + A jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b. Menurut Proposisi 1.5, �(A = �+(A jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi. Disamping itu, �(A = �+(A jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi. Oleh karena itu, maka A = + A jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi.

Setiap matriks A = [A ] � ℜ ×_�� dapat ditransformasikan dengan permutasi secara simultan baris dan kolom menjadi Frobenius normal Form (FNF), sedemikian sehingga

A A ⋯ A�

… A ⋯ A�

… … ⋯ ⋯

… … ⋯ A��

dimana A , … , A_�� adalah submatriks persegi yang tak terreduksi dari A.

Misalkan A adalah FNF dinotasikan himpunan-himpunan � , � , … , �_r sebagai partisi yang bersesuaian dengan node himpunan � dari D , disebut sebagai kelas-kelas (dari A) sehingga semua submatriks persegi A , … , A_�� adalah tak terreduksi, ini memenuhi bahwa setiap graf berarah yang diinduksi D � , = , , … , � terhubung kuat dan lintasan dari �ke � dalam D_� ada jika → . Selanjutnya, disebut secara sederhana bahwa λ( merupakan nilai eigen kelas �.

(8)

M-145

Jika ada lintasan berarah (directed path) dari suatu titik di dalam � ke titik di dalam � pada D , dinotasikan dengan simbol � → �. Jika tidak ada busur masuk atau keluar dari atau ke graf berarah yang diinduksi [{� , … , � }], ≤ < ⋯ < ≤ � dan tidak ada graf berarah sejati mempunyai sifat ini maka submatriks

A A ⋯ A _�

� A ⋯ A _�

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

� � ⋯ A_{� �}

disebut sebagai superblok terisolasi (isolated superblock) atau disebut superblok (superblock) saja. Graf berarah terinduksi (induced digraph) bersesuaian dengan superblok terisolasi yaitu pohon berarah (directed tree). adalah gabungan beberapa angka seperti pohon berarah(directed tree).

Titik-titik pada dimana tidak ada busur masuk disebut sebagai klas awal (initial classes) juga titik-titik pada dimana tidak ada busur keluar disebut sebagai klas akhir (final classes). Catatan bahwa pohon berarah bersesuaian dengan superblok terisolasi yang mempunyai beberapa klas awal dan akhir.

Lema 2.7. Jika � A , � → � dan �[� ] ≠ ℰ maka � � berhingga. Secara khusus �[� ] berhingga.

Bukti: Ambil � A , � = x , x , … , x �= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ] �. Berarti, � ≈

�, � dengan � = x , x , … , x � �(A dan � = x , x , … , x � �(A . Misalkan � → �, karena �[� ] ≠ ℰ maka �[� ] ≠ ε dan �[� ] ≠ ε, menurut Lema 1.7 maka � � dan � � berhingga. Secara khusus �[� ] dan �[� ] berhingga. Oleh karena itu, � � dan �[� ] berhingga.

Teorema 2.8. (Teorema Spektral) Diberikan A � ℜ ×_�� yang merupakan FNF, maka

Λ A = {λ(A |λ(A = max_{� →�} λ A }.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b. Karena A merupakan FNF maka A dan A merupakan FNF. Menurut Teorema 1.8, �(A = λ(A |λ(A = max_{� →�} λ(A dan

Λ(A = λ(A |λ(A = max� →� λ(A . Akibatnya,

Λ A = λ(A |λ(A = max� →� λ A , dengan λ(A = [λ(A , λ(A ].

Definisi 2.9. Diberikan A � ℜ ×_�� yang merupakan FNF. Jika λ(A = max_{� →�} λ A maka

A (dan juga � atau hanya j) disebut sebagai spektral (spectral).

Dengan demikian λ(A Λ A jika adalah spektral tetapi tidak perlu sebaliknya. Dari Teorema spektral, diperoleh beberapa akibat di bawah ini.

Akibat 2.10. Semua klas awal dari merupakan spektral.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b. Menurut Akibat 1.10 semua klas awal dari dan merupakan spektral. Karena = = , berarti semua klas awal dari merupakan spektral.

Akibat 2.11.

Misalkan

|Λ A |

banyaknya nilai eigen maka

≤ |Λ A | ≤ untuk setiap

A � ℜ ×��.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b. Menurut Akibat 1.11, ≤ |�(A | ≤ untuk setiap A ℜ ×_�� dan ≤ |�(A | ≤ untuk setiap A ℜ ×_��. Karena

Λ A

≈

Λ([

A, A

]

,

(9)

M-146

Akibat 2.12. Himpunan A = (A, � A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ A yang sama.

Bukti: Misalkan A � ℜ ×_��, A ≈ [A, A] � ℜ ×_�� _b. Menurut Akibat 1.12, �(A =

� A, λ(A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ(A yang sama. Demikian pula, �(A = � A, λ(A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen

λ(A yang sama. Karena A ≈ ([A, A] dan A,λ ≈ [A, A], λ(A ,λ A maka A =

(A, λ A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ A yang sama.

KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa

a. Diberikan A � ℜ ×_�� yang merupakan FNF, maka

Λ A = λ(A |λ(A = max_{� →�} λ A . b. Semua klas awal dari merupakan spectral.

c. Misalkan |Λ A | banyaknya nilai eigen maka ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap A � ℜ ×_��. d. Himpunan A = (Λ, λ A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen

λ A yang sama.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M. 1994. Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Zurich, Switzerland.

[2] Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., Quadrat, J. P. 2001. Synchronization and Linearity, New York : John Wiley & Sons.

[3] Butkovic, P., 2010. Max-linear Systems : Theory and Algorithms. Monographs in Mathematics. Springer.

[4] Farlow, K. G. 2009. Max-Plus Algebra. Master's Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Masters in Mathematics.

[5] Konigsberg Z. R. 2009. A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra. International Mathematical Forum, 4. 24. 1157

– 1171.

[6] Rudhito, Andy. 2011. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta.

[7] Schutter, B. D. 1996. Max Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Ph.D Thesis, Katholike Universiteit Leuven, Departement Elektrotechniek.

[8] Siswanto, Ari S, M. Andy R, 2013. Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks atas Aljabar

Max-Plus Interval. Diseminarkan dalam Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan

Pembelajarannya, 20 – 21 April 2013, Jurusan Matematika FMIPA UM, Malang.

[9] Subiono. 2000. On Classes of Min-Max-Plus Systems and Their Applications, Published by

Delf University Press.