SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

(1)

commit to user

oleh

ANITA NUR MUSLIMAH M01009009

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2013

(2)

(3)

commit to user

ABSTRAK

Anita Nur Muslimah. 2013. SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ¯R dengan ¯R = R∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan “⊗” yang menyatakan plus. Sistem linear dalam aljabar maks-plus terdiri atas sistem persamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear. Penelitian ini ber-tujuan mengkaji ulang penyelesaian dari sistem linear dalam aljabar maks-plus dan kaitannya dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Jika matriks A ada-lah matriks reguler kuat maka banyaknya penyelesaian sistem A⊗x=b adalah 0,1, atau ∞. Jika suatu sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal maka himpunan bayangan dari matriksAadalah himpunan bayangan sederhana.

Kata kunci: sistem linear aljabar maks-plus, himpunan bayangan, matriks reguler kuat

(4)

commit to user

ABSTRACT

Anita Nur Muslimah. 2013. LINEAR SYSTEM IN MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Max-plus algebra is the linear algebra over the semiring ¯R where ¯R =

R∪ {−∞}, with the operations “⊕” which is maximum and “⊗” which is plus. There are two linear systems in the max-plus algebra. These are system of linear equations and system of linear inequalities. The purpose of this research is to review the solution of linear system in max-plus algebra and its relation with the image set and the strongly regular matrices. This essay method is study of literature. IfA is a strongly regular matrix then the solution of systemA⊗x=b

is 0,1 or∞. If a system of linear equations has a unique solution then the image of matrix A is a simple image set.

(5)

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapat bimbingan, du-kungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah membimbing dalam penelitian ini dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. se-laku Pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan skripsi ini, dan

2. semua pihak yang telah membantu.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Surakarta, Desember 2013 Penulis

(6)

commit to user

MOTO

Lakukan yang terbaik.

(7)

commit to user

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada Bapak, Ibu dan kakakku.

(8)

commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . ii

ABSTRAK . . . iii

ABSTRACT . . . iv

KATA PENGANTAR . . . v

MOTO . . . vi

PERSEMBAHAN . . . vii

DAFTAR ISI . . . viii

I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 3

1.3 Tujuan . . . 3

1.4 Manfaat . . . 3

II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . 4

2.2 Teori Penunjang . . . 5

2.2.1 Aljabar Maks-Plus . . . 5

2.2.2 Aljabar Min-Plus . . . 8

2.3 Kerangka Berpikir . . . 10

III METODE PENELITIAN 11

(9)

commit to user

4.1 Sistem Persamaan Linear . . . 13 4.2 Sistem Pertidaksamaan Linear . . . 23 4.3 Himpunan Bayangan dan Matriks Reguler Kuat . . . 25

V PENUTUP 38

5.1 Kesimpulan . . . 38 5.2 Saran . . . 38

DAFTAR PUSTAKA 39

LAMPIRAN 41

(10)

commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Tam [13] menyebutkan bahwa banyak teknologi pada bidang produksi yang dikembangkan dalam periode 1970-an dan 1980-an. Di bidang produksi terdapat penjadwalan mesin, antrian dan proses jaringan. Tiga hal tersebut adalah contoh

discrete event system (DES). Menurut Schutter dan Boom [11], DES adalah nonlinear dalam (R,+,×). Namun, DES dapat diubah menjadi sistem linear dalam aljabar maks-plus. Tam [13] menyebutkan bahwa aljabar maks-plus adalah aljabar linear atas semiring ¯R dengan ¯R = R∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi “⊕” yang menyatakan maksimum dan “⊗” yang menyatakan plus.

Penjadwalan mesin di pabrik adalah contohDES yang linear dalam aljabar maks-plus. Misalkan aij adalah lamanya mesin Mj memproduksi komponen Pi

yang dibutuhkan mesin M_i untuk tahap selanjutnya, x_j(k) adalah waktu mu-lai mesin Mj untuk tahap ke-k, dengan i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n. Jadi,

waktu selesai setiap mesin memproduksi komponen P_i untuk tahap ke-k ada-lah aij +xj(k −1). Oleh karena itu, waktu mulai mesin Mi untuk tahap ke-k

adalah maksimum dari waktu selesai setiap mesin M_j memproduksi komponen

Pi (maks{ai1 +x1(k −1), . . . , ain +xn(k− 1)}, dengan k = 2,3, . . .). Dengan

demikian, waktu mulai setiap mesin M_i untuk tahap ke-k+ 1 adalah

xi(k+ 1) = maks{ai1+x1(k), . . . , ain+xn(k)}. (1.1)

Di dalam (R,+,×), persamaan (1.1) adalah nonlinear. Namun, di dalam maks-plus persamaan (1.1) dapat disajikan sebagai

(11)

commit to user

yang linear. Jadi, sistem yang memuat waktu mulai setiap mesinMi untuk tahap

ke-k+ 1 dapat ditulis sebagai

 vektor yang memuat waktu mulai setiap mesin Mj untuk tahap ke-k.

Menurut Tam [13], ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada ta-hun 1950-an. Pada tata-hun 1960, Cuninghame-Green mempublikasikan metode kolom maksimum untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Setelah itu, Cuninghame-Green [8] mempublikasikan buku yang salah satu bahasannya adalah metode residu untuk menyelesaikan suatu sistem linear pada tahun 1979. Kemudian, publikasi tentang sistem linear dilakukan lagi pada tahun 2000 dan 2003 oleh Butkoviˇc [4, 5]. Pada artikelnya tersebut dibahas himpunan bayangan sederhana pada pemetaan linear (maks,+) dan hubungan antara aljabar maks-plus dengan kombinatorik. Lalu pada tahun 2010, Tam [13] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan serta matriks reguler kuat.

Sebagaimana yang ditulis oleh Tam [13], himpunan bayangan dinotasikan dengan Im(A), yaitu Im(A) = {A ⊗x|x ∈ R¯n_}_{. Kemudian, untuk}

vektor-vektor A₁, A₂, . . . , An ∈ R¯m yang bebas linear kuat, jika m = n maka matriks A = (A₁, A₂, . . . , A_n) disebut matriks reguler kuat. Tam [13] dan Butkoviˇc [4] menyebutkan bahwa penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus memiliki kaitan dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Oleh karena itu, dalam skripsi ini dikaji ulang sistem linear dalam aljabar maks-plus, termasuk himpunan bayangan dan matriks reguler kuat dari sistem persamaan linear aljabar maks-plus yang telah dibahas dalam Tam [13] dan Butkoviˇc[4]. Se-lain itu, penulis juga memberikan pembuktian yang belum dijelaskan dan contoh-contoh dari teorema.

(12)

commit to user

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan tiga masalah yaitu 1. bagaimana menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus

dan penyelesaiannya?

2. bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus dan penyelesaiannya?

3. bagaimana kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear aljabar maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat?

1.3 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menentukan sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus dan penye-lesaiannya,

2. menentukan sistem pertidaksamaan linear dalam aljabar maks-plus dan pe-nyelesaiannya, dan

3. menjelaskan kaitan antara penyelesaian dari sistem persamaan linear alja-bar maks-plus dengan himpunan bayangan dan matriks reguler kuat.