Metode Eliminasi Gauss dan Aturan Cramer

(1)

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

MINGGU

01

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SIMULTAN

DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS DAN ATURAN CRAMER

Pada bagian ini akan dijelaskan cara menyelesaikan persamaan aljabar linear simultan

misalnya mencari arus loop dan tegangan simpul dengan menggunakan metode eliminasi

Gauss dan aturan Cramer. Pada metode pertama ada dua tahap yang dilakukan yaitu

eliminasi maju dan subtitusi balik, sedangkan pada metode kedua melibatkan perhitungan

determinan matriks. Pada bab ini juga diberikan contoh membuat subprogram dengan

bantuan algoritma.

ELIMINASI GAUSS

Persamaan arus loop dan tegangan simpul yang diuraikan pada bagian terdahulu pada

dasarnya adalah persamaan aljabar linear simultan. Persoalan pada persamaan [Z ] [I ] =

[V ] dan juga pada persamaan [Ysimpul ] [ Vsimpul ] = [ I], adalah menentukan matriks [I ]

jika [ Z ] dan [ V] diketahui demikian juga menentukan [ Vsimpul] jika [ Ysimpul ] dan [ I ]

diketahui. Secara umum persamaan aljabar linear simultan dapat dituliskan sebagai

berikut :

n n mn m

m

n n

c x a x

a x a

c x a x

a x a

c x a x

a x a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

...

... ... ... ... ...

... ...

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(M.01)

Untuk mencari solusi persamaan (M.01) dapat digunakan beberapa metode antara lain : • Secara grafis (cocok untuk persamaan yang jumlahnya sedikit )

• Eliminasi Gauss

(2)

Pada metode eliminasi Gauss dilakukan dua tahap untuk mendapatkan solusi seperti yang

diperlihatkan pada persamaan M.02. Tahap pertama dari metode ini disebut sebagai

eliminasi maju sedangkan tahap kedua disebut proses subtitusi balik. Misal untuk kasus

m = n =3

Tentukan nilai x pada persamaan [ A ] [X ] = [c] berikut ini dengan eliminasi Gauss

(3)

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017 Langkah eliminasi maju :

• Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R2-2R1), baris 3 dengan baris 1 (R3 – R1 ), baris 4 tambah baris 1 (R4 + R1

) sehingga didapat matriks berikut :

5

Persamaan AX = c sekarang menjadi :

Untuk menentukan nilai x dilakukan langkah subtitusi balik, yaitu mula-mula didapat

(4)

Jebakan pada eliminasi Gauss

Terdapat beberapa jebakan yang harus diselidiki sebelum mengimplementasikan metode

ini pada program komputer ( guna menghindari memperoleh solusi yang tidak tepat ).

Jebakan yang mungkin pada metode ini adalah : terdapat pembagian dengan nol, error

karena pembulatan. Definisi error adalah :

et

atau

= (Nilai sesungguhnya – Nilai pendekatan )/(Nilai sesungguhnya) x 100 %

ea

sekarang ) x 100 %

= (Nilai pendekatan sekarang – Nilai pendekatan sebelumnya )/(Nilaipendekatan

Jebakan yang lain pada metode ini adalah sistem kondisi buruk ( ill condition ). Untuk

memperbaiki metode Eliminasi Gauss ( pada komputer) dilakukan beberapa cara, antara

lain : menggunakan angka penting yang lebih banyak, pivoting dan penskalaan ( scaling).

ATURAN CRAMER

Persamaan linear berbentuk [A ] [ X ] = [c] juga dapat diselesaikan dengan aturan

Cramer. Pada aturan ini diharuskan terlebih dahulu mencari determinan matriks. Misal

untuk kasus m = n = 3

A =

a

a a

a

a a

a a a

33 32 31

23 22 21

13 12 11

c =

c

3 2 1

• Tentukan determinan matriks A, misal D = determinan matriks A

• Gantikan elemen matriks A pada kolom 1 dengan matriks c dan tentukan nilai

determinannya

A1

a a c

33 32 3

23 22 2

13 12 1

= , D1= determinan ( A1

• Gantikan elemen matriks A pada kolom 2 dengan matriks c dan tentukan nilai determinannya

(5)

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017 A2

a c a

33 3 31

23 2 21

13 1 11

= , D2 = determinan (A2

• Gantikan elemen matriks A pada kolom 3 dengan matriks c dan tentukan nilai

determinannya

)

A3

c a a

3 32 31

2 22 21

1 12 11

= , D3 = determinan ( A3)

• Tentukan nilai x

D D x D D

x₁ = 1, ₂ = 2, dan

D D

(6)

Determinan

Jika A adalah suatu matriks berukuran m x n, maka determinan A

didefinisikan sebagai berikut :

Det A =

j j

Maka determinan A adalah

(7)

Persamaan untuk menetukan determinan juga dapat dituliskan sebagai

(8)

(9)

Contoh 3

Selesaikan contoh 1 dan contoh 2 dengan bantuan program computer

Jawab

Pakai program Matlab ( Install di PC/Laptop atau di HP dengan OS Android)

Program contoh 1

% coba eliminasi Gauss clc

clear

disp ('======================================================') % Matriks [AA] [XX]=[cc]

AA=[ 1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1]

cc=[ 0 7 14 5]

% Gabung AA dengan cc A_C = [AA cc]

% cari matriks baris

(10)

baris_2 = A_C(2,:); baris_3 = A_C(3,:); baris_4 = A_C(4,:);

% Eliminasi Gauss proses 1

% Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R2-2R1), % baris 3 dengan baris 1 (R3 – R1 ),

% baris 4 tambah baris 1 (R4 + R1) sehingga didapat matriks berikut :

R1 = baris_1; R2= baris_2; R3 =baris_3; R4 =baris_4;

A1= R2-2*R1; A2 = R3-R1; A3 = R4+R1;

disp (' ========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========') AA1= [R1

A1 A2 A3]; A_C_1= AA1

%======================Proses 2====================== % Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R3-R2), % baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R4 + 3 R2 ), % diperoleh

R1 = AA1(1,:); R2 = AA1(2,:); R3 = AA1(3,:); R4 = AA1(4,:);

B3 =R3-R2; B4 =R4+ 3*R2;

disp (' ==========Eliminasi Proses 2=============') BB =[R1

R2 B3 B4]; A_C_2=BB

%======================Proses 3======================

% Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R4 – 10 R3 ), diperoleh

(11)

C4 = R4 - 10* R3;

disp (' ==========Eliminasi Proses 3=============') CC= [R1; R2; R3; C4] ;

A_C_3 =CC

% ==================================================== disp (' subtitusi balik')

disp (' pakai format aX = c')

disp ('=================================================') a= CC(:,1:4)

c= CC (:,5)

disp (' =================================================') disp (' Hasil ') x4=c(4)/a(4,4)

x3= (c(3)-a(3,4)*x4)/a(3,3)

x2= (c(2)-a(2,3)*x3-a(2,4)*x4)/a(2,2)

x1= (c(1)-a(1,2)* x2-a(1,3)*x3 -a(1,4)* x4)/a(1,1)

Hasil Program

======================================================

AA =

1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1

cc =

0 7 14 5

A_C =

(12)

========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========

A_C_1 =

1 2 -1 1 0 0 -1 3 0 7 0 -1 4 -2 14 0 3 1 2 5

==========Eliminasi Proses 2=============

A_C_2 =

1 2 -1 1 0 0 -1 3 0 7 0 0 1 -2 7 0 0 10 2 26

==========Eliminasi Proses 3=============

A_C_3 =

1 2 -1 1 0 0 -1 3 0 7 0 0 1 -2 7 0 0 0 22 -44

subtitusi balik pakai format aX = c

=================================================

a =

1 2 -1 1 0 -1 3 0 0 0 1 -2 0 0 0 22

c =

(13)

================================================= Hasil

x4 =

-2

x3 =

3

x2 =

2

x1 =

1

>>

Program contoh 2

% coba Cramer rule clc

clear

disp ('======================================================') % Matriks [AA] [XX]=[cc]

AA=[ 1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1]

cc=[ 0 7 14 5]

%---Determinan

AA---det_AA= det (AA)

K1 = AA(:,1); % semua kolom bari 1 K2 = AA(:,2);

(14)

D1= [cc K2 K3 K4]

det_D1= det (D1)

D2= [K1 cc K3 K4]

det_D2= det (D2)

D3= [K1 K2 cc K4] det_D3= det (D3)

D4= [K1 K2 K3 cc] det_D4= det (D4)

disp ('===========================================') disp (' Harga x')

x4= det_D4/det_AA x3= det_D3/det_AA x2= det_D2/det_AA x1= det_D1/det_AA

Hasil Program

======================================================

AA =

1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1

cc =

0 7 14 5

det_AA =

-22

(15)

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017 0 2 -1 1

7 3 1 2 14 1 3 -1 5 1 2 1

det_D1 =

-22.0000

D2 =

1 0 -1 1 2 7 1 2 1 14 3 -1 -1 5 2 1

det_D2 =

-44.0000

D3 =

1 2 0 1 2 3 7 2 1 1 14 -1 -1 1 5 1

det_D3 =

-66

D4 =

1 2 -1 0 2 3 1 7 1 1 3 14 -1 1 2 5

(16)

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017 44.0000

=========================================== Harga x

x4 =

-2.0000

x3 =

3

x2 =

2.0000

x1 =

1.0000