MAKALAH DETERMINAN DAN PENYELESAIAN SPL DENGAN ATURAN CRAMER

MAKALAH

DETERMINAN DAN PENYELESAIAN SPL DENGAN ATURAN CRAMER

KELOMPOK 3

FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNSIQ TEKNIK INFORMATIKA-1 2015

Oleh :

1. Fatkhurrohman 2. Nala Fisnia

3. Hasogi Candra S.

4. Faisal Hafiz Varian

5. Fajar

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Kita sering mencari solusi dari 2 persamaan dan 2 bilangan tak diketahui atau dari 3 persamaan dan 3 bilangan tak diketahui. Misal kita punya persamaan x1 + 2x2

= 6 dan -3x1 +4x2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi kami akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan Determinan Matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut : 1. Bagaimana operasi penyelesaian determinan?

2. Bagaimana operasi penyelesaian SPL dengan aturan cramer?

1.3. Tujuan Pembahasan

Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:

1. Menjelaskan tentang bagaimana penyelesaian determinan

2. Menjelaskan tentang bagaimana penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan aturan cramer

PEMBAHASAN

Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Determinan matriks digunakan ketika mencari invers matriks dan ketika menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan aturan cramer. Bagaimanakah mencari determinan matriks berordo 2x2 dan matriks berordo 3x3? Mari kita simak pembahasannya berikut ini.

Notasi Determinan

Determinan dari matriks A dapat ditulis sebagai det(A) atau |A|. Jika diketahui komponen matriksnya, bisa juga ditulis dalam bentuk susunan persegi panjang komponen matriks tersebut tetapi tidak diapit oleh tanda kurung atau kurung siku, melainkan diapit oleh tanda |...|.

Perhatikan contoh penulisan notasi dari matriks A berikut ini:

A=

[

^{ac bd}

]

Determinan dari matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut:

det(A )=¿A∨¿

[

^{ac bd}

]

Determinan Matriks Berordo 2x2

Determinan dari matriks berordo 2x2 adalah sebagai berikut:

A=

[

^{ac bd}

]

^{⇒ det}(A )=ad – bc Contoh :

A=

[

^{14 23}

]

^{⇒ det}( A)=1.3 – 2.4

¿−5

Determinan Matriks Berordo 3x3

A=

[

^{adg hbe cfi}

]

^{⇒ det}( A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh Contoh :

A=

[

^{315 234 341}

]

^{⇒ det}(A )=3.3 .1+2.4 .5+3.1 .4−3.3.5−2.1.1−2.4 .4 det(A )=9+40+12−45−2−32

¿61−11

¿50

Sifat-Sifat Determinan

Untuk menyelesaikan masalah determinan tidak selalu harus diselesaikan dengan menggunakan rumus determinan di atas. Ada beberapa sifat yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan determinan agar penyelesaian permasalahan determinan matriks menjadi lebih mudah. Berikut ini adalah sifat-sifat dari determinan matriks.

1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.

Contoh :

misal matriks A =

dengan menggunakan Aturan Kofaktor, maka det(A) =

¿a₃₁M₃₁−a₃₂M₃₂+a₃₃M₃₃

¿0

[

^{20 31}

]

⁻⁰

[

^{11 31}

]

⁺⁰

[

^{11 20}

]

¿0(2.1−3.0)−0(1.1−1.3)+0 (1.0−1.2)

¿0

2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A )=a11a22… ann

Contoh :

det(A )=

[

^{200 130 313}

]

¿a₃₁M₃₁−a₃₂M₃₂+a₃₃M₃₃

¿0

[

^{13 31}

]

⁻⁰

[

^{20 31}

]

⁺³

[

^{20 13}

]

¿0(1.1−3.3)−0(2.1−0.3)+3 (2.3−0.1)

¿0−0+3.2.3

¿18

Hasil ini sama dengan perkalian entri pada diagonal utama yaitu 2 x 3 x 3 = 18 3. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh

konstanta k, maka det(A’) = k det(A) Contoh :

misal K=2 dan A=

[

^{200 130 313}

]

^{maka KA=}

[

^{400 230 613}

]

det(A )=

[

^{400 230 613}

]

Berdasarkan sifat 3 maka det(KA) = det(A’) = 4.3.3 = 36 Karena det(A) = 18 dan K = 2 maka K.det(A) = 2.18 = 36 Jadi, det(A’) = K.det(A)

4. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = -det(A)

Contoh :

misal K=2 dan A=

[

^{200 130 313}

]

^{maka KA=}

[

^{400 230 613}

]

dan baris 1 ditukar dengan baris dua sehingga diperoleh A '=

[

^{020 310 133}

]

det(A ')=

[

^{020 310 133}

]

¿a₃₁M₃₁−a₃₂M₃₂+a₃₃M₃₃

¿0

[

^{31 13}

]

⁻⁰

[

^{02 13}

]

⁺³

[

^{02 31}

]

¿0(3.3−1.1)−0(0.3−2.1)+3 (0.1−2.3)

¿0−0+3.(−2).3

¿−18

Jadi, det ( A ' )=−det ( A )

5. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)

Contoh :

misal A=

[

^{200 130 313}

]

kemudian bilakukan Operasi Baris Elementer

padabaris kedua yaitu B 2+2 B 1 sehingga diperoleh A ’=¿

[

^{240 150 373}

]

det(A ')=

|

^{240 150 733}

|

¿a₃₁M₃₁– a₃₂M₃₂+a₃₃M₃₃

¿0

|

^{15 73}

|

⁻⁰

|

^{24 37}

|

⁺³

|

^{24 15}

|

¿0(1.7 – 5.3) – 0 (2.7 – 3.4)+3(2.5 – 4.1)

¿0– 0+3.(6)

¿18

6. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At) Contoh:

Misal A=

[

^{200 130 313}

]

^{maka At=}

[

^{213 031 003}

]

det(A)=a31M31– a32M32+a33M33

¿0

|

^{13 31}

|

⁻⁰

|

^{23 01}

|

⁺³

|

^{21 03}

|

¿0(1.1 – 3.3)– 0(2.1 – 3.0)+3(2.3 – 1.0)

¿0– 0+3.2 .3

¿18

Jadi , det(A )=det ( A^t)

7. Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

Contoh:

A=

[

^{14 23}

]

^{maka det}(A )=(1.3−4.2)=−5

A '=

[

^{41 32}

]

^{maka det}( A ')=(4.2−1.3)=5

dan A ”= A+ A ’=

[

^{14 23}

]

⁺

[

^{41 32}

]

⁼

[

^{55 55}

]

maka det( A ' ')=(5.5 – 5.5)=0

jadi det( A ”)=det (A )+det (A ’)=−5+5=0

8. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B)

Contoh:

Dari contoh pada sifat 7 dengan det ( A )=−5dan det( A ' )=det (B)=5 maka det( AB )=(−5)(5)=−25

AB=

[

^{14 23}

][

^{41 32}

]

¿

[

1.4+2.1 1.3+2.2 4.4+3.1 4.3+3.2

]

¿

[

^{196 187}

]

det(AB)=6.18−19.7

¿108−133

¿−25

Jadi det(A . B)=det ( A). det(B)=(−5)(5)=−25

9. Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) ≠ 0 Contoh:

misal A=

[

^{14 23}

]

^{dengan det( A)=−5}

A⁻¹= 1

det(A )

[

^{−cd −ba}

]

¿ 1

−5

[

−4^{3 −2}1

]

¿

[

^{−3545 −1255}

]

Karena det( A)≠ 0, jadi matriks A memiliki invers yaitu

A⁻¹=

[

^{−3545 −1255}

]

10. Jika A dapat dibalik, maka det(A⁻¹)= 1 det( A)

Contoh: ^det(A

−1)=

[

^{−3554 −1255}

]

^maka

det(A⁻¹)=(−3 5 .−1

5)−(4 5.2

5)

¿25− 25

¿− 5 25

¿−1 5

karena det(A )=−5 makaberlaku det (A⁻¹)= 1

det( A)=−1 5

Aturan Cramer

Metode untuk memperoleh nilai variabel dari sebuah persamaan dengan menggunakan determinan dari sebuah matriks.

Ax=B=

[

^{aaan 11121 aaan 21222 ………aaa12nnnn}

][

^xxx12n

][

^bbb12n

]

Dengan |A| ≠ 0 x₁=det( A1)

det(A ), x₂=det(A2)

det( A) , x_n=det( An) det(A )

A1, A2, ... An diperoleh dengan mengganti entitas pada kolom ke j matriks A dengan matriks B.

Contoh :

{

−x +4 y−z=6^{2x+3 y −z=5x+2 z=−4}

A=

[

^{−1 4 −121 30 −12}

]

^{, A1=}

[

^{−4 056 34 −1−12}

]

^{, A2=}

[

^{−112 −456 −1−12}

]

^{, A3=}

[

^{−1 421 30 −456}

]

X B A

det(A )=2.0 .−1+3.2 .−1+(−1).1.4 – (−1).0 .−1−3.1.−1−2.2 .4

¿0−6−4−0+3−16

¿−23

det(A1)=5.0 .−1+3.2 .6+(−1).−4.4 – (−1).0 .6−3.−4.−1−5.2 .4

¿0+36−16−0−12−40

¿−32

det(A2)=2.−4.−1+5 .2 .−1+(−1).1 .6 – (−1).−4 .−1−5 .1 .−1−2.2. 6

¿8−10−6+4+5−24

¿−23

det(A3)=2.0 .6+3.−4.−1+5.1 .4 – 5.0 .−1−3.1 .6−2.−4.4

¿0+12+20−0−18+32

¿46

x=det( A1)

det( A)⇒−32

−23=32 23 y=det( A2)

det( A) ⇒−23

−23=23 23=0 z=det( A3)

det( A) ⇒ 46

−23=−2

BAB III Penutup

Demikianlah yang dapat kami sampaikan mengenai materi yang menjadi bahasan dalam makalah ini, tentunya banyak kekurangan dan kelemahan karena terbatasnya pengetahuan, kurangnya rujukan atau referensi yang kami peroleh hubungannya dengan makalah ini.

Kami berharap kepada para pembaca yang memberikan kritik dan saran yang membangun kepada kami demi sempurnyanya makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami dan para pembaca. Amin..