commit to user
PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS
DALAM ALJABAR
MAX-PLUS
oleh
ADIMAS BANJAR M0107019
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
commit to user
ABSTRAK
Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabarmax-plus dibentuk dari himpunan Rmax ={−∞} ∪R yang
dileng-kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus
merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru-pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen-tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu
λ⊗n⊕M
k∈ℓ
dk⊗λ⊗n−k=
M
k∈
dk⊗λ⊗n−k,
dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗
n−k
.
Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik
commit to user
Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R∪ {−∞} endowed with
maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is
λ⊗n⊕M
k∈ℓ
dk⊗λ⊗n−k=
M
k∈
dk⊗λ⊗n−k,
where dk are the highest coefficient from λ⊗
n−k
Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial
commit to user
PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS
DALAM ALJABAR
MAX-PLUS
oleh
ADIMAS BANJAR M0107019
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
commit to user
ALJABAR MAX-PLUS
yang disiapkan dan disusun oleh ADIMAS BANJAR
M0107019
dibimbing oleh
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Siswanto, M.Si Dra. Respatiwulan, M.Si NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19680611 199302 2 001
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Rabu, 8 Februari 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Drs. Pangadi, M.Si 1. ... NIP. 19571012 199103 1 001
2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si 2. ... NIP. 19661007 199302 1 001
Surakarta, 10 Februari 2012
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan, Ketua Jurusan Matematika
Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) Ph.D Irwan Susanto, S.Si, DEA NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001
commit to user
MOTO
Tidak ada mimpi yang dapat dicapai tanpa pengorbanan.
Setiap pengorbanan tidak ada yang sia-sia.
commit to user
ABSTRAK
Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabarmax-plus dibentuk dari himpunan Rmax ={−∞} ∪R yang
dileng-kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus
merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru-pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen-tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu
λ⊗n⊕M
k∈ℓ
dk⊗λ⊗n−k=
M
k∈
dk⊗λ⊗n−k,
dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗
n−k
.
Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik
commit to user
ABSTRACT
Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R∪ {−∞} endowed with
maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is
λ⊗n⊕M
k∈ℓ
dk⊗λ⊗n−k=
M
k∈
dk⊗λ⊗n−k,
where dk are the highest coefficient from λ⊗
n−k
Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial
commit to user
PERSEMBAHAN
Tulisanku ini kupersembahkan untuk
kedua orang tuaku Bapak Haryono dan Ibu Indrasti Nur Rahayu atas pengorbanan, do’a, bimbingan, dan dukungannya kepadaku
Mbak Enya dan Mas Omman yang selalu menyemangati dan memberikanku motivasi,
adik-adikku Zulva, Aziza, Ayyub, Wi’am, Kun-Kun, Wicak, dan Wibi yang telah memberikanku semangat.
commit to user
KATA PENGANTAR
Aljabarmax-plus adalah salah satu dari idempotent semi-field yang memi-liki banyak kegunaan di berbagai bidang matematika. Aljabar max-plus mulai dikenal karena strukturnya yang mirip dengan aljabar konvensional. Banyak penelitian yang menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di aljabar max-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Schutter dan Moor yang membahas tentang persamaan karakteristik su-atu matriks dalam aljabar max-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk mengkaji ulang hasil penelitian tersebut.
Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 di-paparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penun-jang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5 berisikan ten-tang kesimpulan dan saran.
Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si. dan Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nugroho, Gery, Adi, Agus, Ika, dan Hokki yang senanti-asa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Januari 2012
Penulis
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . i
HALAMAN PENGESAHAN . . . ii
MOTO . . . iii
ABSTRAK . . . iv
ABSTRACT . . . v
PERSEMBAHAN . . . vi
KATA PENGANTAR . . . vii
DAFTAR ISI . . . ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . x
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 2
1.3 Tujuan . . . 2
1.4 Manfaat . . . 2
II LANDASAN TEORI 3 2.1 Tinjauan Pustaka . . . 3
2.2 Teori-Teori Penunjang . . . 5
2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks . . . 5
2.2.2 Determinan Matriks . . . 6
2.2.3 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks . . . 7
2.2.4 AljabarMax-Plus . . . 8
2.2.5 Matriks dalam Aljabarmax-plus . . . 11
commit to user
2.3 Kerangka Pemikiran . . . 12
III METODE PENELITIAN 13
IV PEMBAHASAN 14
4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus . 14 4.2 Contoh Kasus . . . 16
V PENUTUP 21
5.1 Kesimpulan . . . 21 5.2 Saran . . . 21
DAFTAR PUSTAKA 22
commit to user
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
S ⊂T : S adalah himpunan bagian dari T R : himpunan bilangan real
Rm×n : matriks berukuran m×n dengan elemen R
In : matriks identitas berukuran n×n
Aαβ : submatriks dari A dengan elemen baris dinyatakan oleh α dan elemen
kolom yang dinyatakan olehβ Ck
n : himpunan seluruh subhimpunan dengan kerdinalitas k dari himpunan
{1,2, . . . , n}
Pn : himpunan seluruh permutasi dari himpunan {1,2, . . . , n}
f :D→T : fungsi dengan domain D dan kodomain T
≍ : ekuivalensi asimtotik
λ : nilai eigen dari suatu matriks A
⊕ : operasi penjumlahan aljabar max-plus ⊗ : operasi pergandaaan aljabar max-plus
ε : elemen identitas untuk ⊕;ε =−∞
x⊗r
: pangkat ke-r dari x dalam aljabar max-plus
En : matriks identitas berukuran n×n dalam aljabar max-plus
Rmax : R∪ {−∞}
Rm×n
max : matriks berukuran m×n dengan elemen Rmax
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Sistem kejadian diskrit (skd) adalah nama klasifikasi masalah sistem den-gan sumber daya terbatas yang digunakan oleh beberapa pengguna demi men-capai tujuan bersama. Contoh-contoh masalah skd antara lain adalah jaringan transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, sistem produksi, dan berbagai masalah dengan sumber daya yang terbatas [10]. Dari masalah skd dapat dibentuk model matematika yang biasanya berbentuk sistem persamaan non-linear. Mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode penyelesaian sistem dinamik tidaklah mudah. Dalam perkemban-gannya, menurut Schutter dan Boom [12] jika digunakan aljabarmax-plus untuk mempelajari sifat skd, maka diperoleh suatu model berbentuk sistem persamaan linear. Masalah skd akan lebih mudah diselesiakan jika model berbentuk sistem yang linear.
Skd merupakan sistem yang komponennya bekerja dalam suatu siklus, kare-na tiap komponen harus menunggu hasil dari komponen lain yang berada dalam sistem tersebut untuk bekerja. Muncul masalah bagaimana cara mengatur sis-tem agar seluruh komponennya dapat memulai siklus bersamaan. Nilai eigen mendeskripsikan waktu maksimal yang diperlukan satu komponen dalam sistem untuk menyelesaikan kerjanya [5]. Mencari nilai eigen dalam aljabar max-plus
yang diperoleh dari model adalah cara menyelesaikan permasalahan tersebut [3]. Menurut Anton [1] jika A adalah suatu matriks berukuran n × n, maka nilai eigenλdapat diperoleh dengan mencari akar-akar yang tidak nol dari persamaan det(λI −A) = 0. Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari A.
commit to user
Menurut Bacelli [2], aljabarmax-plus adalah himpunan R∪ {−∞}bersama dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗) yang menggantikan op-erasi penjumlahan dan perkalian pada aljabar konvensional. Aljabar konvensional merupakanfield, sedangkan aljabarmax-plus (Rmax,⊕,⊗) merupakanidempotent
semi-field. Karena kemiripan strukturnya, berbagai sifat dan konsep pada aljabar linear, seperti aturan Crammer, teorema Cayley-Hamilton, masalah nilai eigen, dan persamaan karakteristik memiliki ekuivalensi secara aljabar max-plus[7].
Penelitian yang telah dilaksanakan Schutter dan Boom menjelaskan men-genai sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus [10]. Kemudian, Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] menunjukkan bagaimana menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabarmax-plus. Sejalan den-gan kedua penelitian tersebut, penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengkaji ulang tulisan Schutter dan Moor dan Farlow tentang persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus dengan memberikan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan masalah yaitu bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar
max-plus?
1.3
Tujuan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menentuan persamaan karakteris-tik suatu matriks dalam aljabarmax-plus.
1.4
Manfaat
Manfaat penulisan skripsi ini adalah pengayaan di bidang aljabar, khusus-nya aljabar max-plus, yaitu dapat menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus.
commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
Bab kedua skripsi ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama dije-laskan mengenai tinjauan pustaka penelitian-penelitian yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini. Pada bagian kedua jelaskan mengenai teori-teori penunjang yang meliputi definisi-definisi yang di-gunakan dalam pembahasan selanjutnya. Setelah dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, pada bagian terakhir bab ini dibangun alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini yang dijelaskan dalam kerangka pemikiran.
2.1
Tinjauan Pustaka
Aljabar max-plus adalah salah satu jenis dariidempotent semi-field. Jenis
idempotent semi-field yang lain adalah aljabar min-plus. Operasi penjumlah-an dalam himpunpenjumlah-an tersebut adalah operasi minimum dengpenjumlah-an elemen identitas
∞ [7]. Aljabar max-plus diperkenalkan oleh Klene pada papernya yang memba-has tentang jaringan syaraf dan automata di tahun 1956 [8]. Dalam perkemban-gannya, diketahui bahwa aljabar max-plus juga dapat digunakan untuk memo-delkan, menganalisis, dan mengontrol beberapa subkelas sistem kejadian diskrit (skd) [12]. Beberapa contoh skd tersebut adalah jaringan telekomunikasi, sistem kontrol lalu lintas, sistem logistik, sistem transportasi, jaringan komputer, dan sebagainya.
Karakteristik yang paling menonjol dari skd adalah dinamisasi sistem yang berdasarkan atas kejadian. Kejadian adalah keadaan dari dimulainya hingga berakhirnya suatu aktivitas. Misalkan dalam suatu proses produksi, kejadian yang dapat terjadi antara lain adalah input, proses, dan output. Diasumsikan bahwa jika satu kejadian selesai, maka kejadian selanjutnya akan langsung terjadi
commit to user
dan interval tiap-tiap kejadian tidak harus sama.
Pada umumnya model matematika dari skd menghasilkan model yang non-linear jika dideskripsikan menggunakan aljabar konvensional. Akan tetapi terda-pat beberapa subkelas dari skd yang daterda-pat dideskripsikan menggunakan aljabar
max-plus [2] yang dilengkapi dengan operasi maksimisasi dan penjumlahan se-bagai operasi dasarnya, sehingga diperoleh model yang linear. Adapun subke-las tersebut adalah skd dengan sinkronisasi tanpa adanya kejadian yang berca-bang. Operasi hitung maksimisasi menggambarkan sinkronisasi komponen skd yang akan langsung melaksanakan operasi setelah seluruh operasi komponen se-belumnya selesai. Sedangkan operasi hitung penjumlahan menggambarkan durasi dari seluruh aktivitas. Waktu penyelesaian operasi diperoleh dari penjumlahan dari waktu dimulainya operasi dengan durasi aktivitas. Deskripsi tersebut menye-babkan aljabar max-plus dapat menghasilkan model yang linear [12]. Hal inilah yang menyebabkan aljabar max-plus mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang.
Pada awal tahun enam puluhan fakta kegunaan aljabarmax-plusditemukan secara independen oleh beberapa peneliti, antara lain adalah Cunningham-Green dan Giffler. Hal tersebut menyebabkan banyak peneliti mulai tertarik untuk meneliti aljabar max-plus, adapun beberapa perintisnya adalah Cunningham-Green, Gaubert, Gondran, dan Minoux. Mereka menemukan bahwa berbagai teorema dan teknik yang digunakan dalam aljabar linear klasik mempunyai analo-gi pada aljabarmax-plus [6]. Bacelli [2] telah menjelaskan bagaimana pentingnya nilai eigen suatu matriks pada aljabar max-plus. Dalam jurnalnya Bapat [3], Chung [5], dan Butkovic [4] telah menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah nilai eigen tersebut. Akan tetapi nilai eigen suatu matriks dapat pula diperoleh dari persamaan karakteristik matriks tersebut [1]. Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] telah menunjukkan analogi dari persamaan karakteristik pa-da aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan bertujuan untuk mengkaji ulang kedua penelitian tersebut disertai dengan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.
commit to user
2.2
Teori-Teori Penunjang
Untuk dapat mencapat tujuan penelitian, perlu diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah pengertian aljabarmax-plus, struktur aljabarmax-plus, pengertian sistem persamaan linear dan matriks dalam aljabar konvensional, matriks dalam aljabar
max-plus, dan terakhir adalah beberapa sifat dan konsep aljabar linear dalam aljabar konvensional.
2.2.1
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
Dua definisi yang berhubungan dengan sistem persamaan linear berikut diambil dari Lipschutz [9].
Definisi 2.2.1(Definisi Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu persamaan
linear dengan variabel bebas x1, x2, . . . , xn adalah
a1x1+a2x2+· · ·+anxn =b,
dengan a1, a2, . . . , an, b adalah suatu konstanta. Konstanta ak disebut koefisien
dari xk untuk k = 1,2, . . . , n. Sedangkan b disebut sebagai konstanta dari
per-samaan.
Definisi 2.2.2 (Definisi Sistem Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu
sistem persamaan linear dengan variabel bebas x1, x2, . . . , xn adalah
a11x1 +a12x2+· · ·+a1nxn =b1
a21x1 +a22x2+· · ·+a2nxn =b2
.. .
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn =bm
, (2.1)
dengan aij, bi adalah konstanta.
Sistem (2.1) dapat dibentuk menjadi suatu bentuk barisan angka yang
commit to user
but matriks perbesaran. Berikut adalah bentuk matriks perbesaran tersebut.
M =
Dapat dilihat bahwa setiap baris dari M berkorespodensi dengan setiap per-samaan dari sistem. Sedangkan, setiap kolom dalam sistem berkorespodensi gan setiap variabel dari sistem, kecuali kolom terakhir yang berkorespodensi den-gan konstanta dari sistem. Barisan angka tersebut biasa disebut sebagai matriks dan berikut adalah definisi matriks.
Definisi 2.2.3 (Lipschutz [9]). Jika A adalah suatu barisan angka berbentuk
persegi empat sebagai berikut
A =
maka barisan A disebut sebagai matriks. Matriks tersebut dapat dituliskan se-bagai A= (aij) dengan i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Ukuran dari suatu matriks ditentukan dari jumlah baris dan kolomnya. Se-bagai contoh jika suatu matriks memiliki tiga baris dan dua kolom, maka ukuran dari matriks tersebut adalah 3×2. Matriks dengan ukuranm×ndisebut sebagai matriks m×n.
2.2.2
Determinan Matriks
Menurut Anton [1], determinan adalah suatu fungsi yang bernilai real dari suatu matriks persegi berukurannmisalA= (aij) dan dinotasikan sebagai det(A) atau
commit to user dari A. Dari masing-masing kolom dari matriks A diambil satu elemen. Selain berasal dari kolom yang berbeda, elemen tersebut harus berasala dari baris yang berbeda pula, sehingga hasil perkaliannelemen tersebut dapat dituliskan sebagai
a1j1a2j2. . . anjn.
Indeks angka pertama diperoleh dari baris, sehingga urutannya adalah 1,2, . . . , n. Sedangkan untuk indeks angka kedua diperoleh dari kolom yang berbeda, sehing-ga diperoleh dari permutasi σ =j1, j2, . . . , jn∈Sn.
Definisi 2.2.4. Determinan dariA= (aij) yang dinotasikan sebagaidet(A) atau
|A| adalah suatu jumlahan seluruh hasil permutasi dariSn dan dikalikan dengan
sgn σ, yaitu
|A|= X
σ∈Sn
(sgn σ)a1σ(1)a2σ(2)· · ·anσ(n).
Dengan sgn σ adalah
sgn σ =
1, jika σ permutasi genap;
−1, jika σ permutasi ganjil.
2.2.3
Persamaan Karakteristik Suatu Matriks
Jika dimisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran n×n, maka matriks karakteristik dari A adalah matriks λIn−A denganIn adalah matriks identitas
berukuran n dan λ adalah variabel bebas. Matriks karateristik dari A dapat
commit to user
Dengan mencari determinan dari matriks karakteristik dari A, diperoleh suatu polinomial, yaitu
∆A(λ) = det(λIn−A).
Polinomial ∆A(λ) adalah polinomial yang disebut sebagai polinomial
karak-teristik dari A. Kemudian, persamaan karakteristik dariA adalah
∆A(λ) = det(λIn−A) = 0.
2.2.4
Aljabar
Max-Plus
Pada bagian ini dijelaskan lebih lanjut mengenai struktur, sifat-sifat, dan beber-apa operasi dasar dalam aljabar max-plus. Dalam penelitiannya, Bacelli [2] dan Siswanto [13] telah membahas beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur aljabar max-plus.
Definisi 2.2.5 (Definisi Monoid). Monoid (K,∗) adalah himpunan K bersama
dengan operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif dan elemen identitas.
Definisi 2.2.6 (Definisi Grup). Grup(G,∗)adalah himpunanGbersama dengan
operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif, elemen identitas, dan elemen
invers.
Definisi 2.2.7(DefinisiSemi-ring). Semi-ring (S,⊕,⊗) adalah himpunanS
ber-sama dengan operasi biner ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi biner
⊗ membentuk monoid, bersifat distributif pada ⊗terhadap ⊕.
Definisi 2.2.8 (Definisi Dioid). Dioid (D,⊕,⊗) adalah semi-ring yang
idempo-tent, yaitu a⊕a untuk setiapa∈D.
commit to user
Definisi 2.2.9 (Definisi Semi-field). Semi-field (S,⊕,⊗) adalah himpunan S
bersama dengan operasi penjumlahan ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi pergandaan ⊗membentuk grup, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕.
Aljabarmax-plus atau (Rmax,⊕,⊗) adalah suatu semi-field yang dibentuk
oleh himpunan Rmax =R∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi max sebagai
operasi penjumlahan ⊕ dan operasi plus sebagai operasi pergandaan ⊗ yang dituliskan sebagai berikut
a⊕b= max(a, b) a⊗b=a+b.
Berikut adalah contoh penggunaan operasi hitung tersebut.
3⊕2 = max(3,2) = 3 = max(2,3) = 2⊕3,
4⊗5 = 4 + 5 = 9 = 5 + 4 = 5⊗4.
Elemen identitas terhadap operasi pergandaan ⊗ adalah e = 0. Sedangkan ele-men identitas terhadap operasi penjumlahan ⊕ adalah ε = −∞. Selanjutnya, sifat-sifat dasar dari aljabar max-plus dijelaskan pada Lema 2.2.1. Karena pem-buktian bersifat dasar sehingga tidak disertakan.
Lema 2.2.1. Untuk setiap x, y, z ∈Rmax berlaku sifat
1. assosiatif x⊕(y⊕z) = (x⊕y)⊕z dan x⊗(y⊗z) = (x⊗y)⊗z,
2. komutatif x⊕y=y⊕x dan x⊗y =y⊗x,
3. distributif x⊗(y⊕z) = (x⊗y)⊕(x⊗z)dan(x⊕y)⊗z= (x⊗z)⊕(y⊗z)
4. elemen nol x⊕ε=ε⊕x=x
5. elemen unit x⊗e=e⊗x=x
6. invers terhadap pergandaan adalah jika x6=e maka akan terdapat elemen
y yang tunggal dengan x⊗y =e
7. elemen penyerap x⊗ε=ε⊗x=ε
8. idempotent terhadap penjumlahan x⊕x=x.
commit to user
Aljabar max-plus juga dikenal sebagai aljabar dari fungsi dengan pertum-buhan asiptotik dalam aljabar konvensional. Untuk memperjelas hal tersebut, diberikan definisi dan lema berikut.
Definisi 2.2.10. Jikap: (0,∞)→(0,∞)danu∈(−∞,∞), maka didefinisikan
p≍esu yang berarti lim
s→∞s−1ln(p) =u.
Lema 2.2.2. Jika f ≍esa dan g ≍esb dengan a, b∈[−∞,∞), maka
f +g ≍es(a⊕b) dan f g ≍es(a⊗b)
Bukti. Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada f g maka diperoleh
lim
yang berarti terbukti bahwa f g ≍ es(a⊗b). Kemudian, dapat diketahui bahwa
max(f, g) ≤ f +g ≤ 2 max(f, g). Jadi, jika digunakan kembali Definisi 2.2.10
Jika Definisi 2.2.10 dan Lema 2.2.2 digunakan pada fungsi eksponensial esa
dan esb akan diperoleh operasi ⊕ dan ⊗ sebagai berikut
esaesb≍ es(a⊗b) esa+esb ≍es(a⊕b).
Hubungan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional tersebut sering digu-nakan untuk membuktikan sifat-sifat dalam aljabar max-plus.
commit to user
2.2.5
Matriks dalam Aljabar
max-plus
Berikut adalah definisi matriks dalam aljabarmax-plus sebagaimana telah dijelaskan oleh Farlow dalam [7].
Definisi 2.2.11 (Definisi Matriks dalam AljabarMax-Plus). Himpunan matriks
berukuran m×n dengan elemen-elemen Rmax dinotasikan dengan Rmmax×n.
Him-punan tersebut dapat dituliskan sebagai
Rmmax×n =
Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ∈ Rmmax×n dinyatakan oleh
aij atau dapat ditulis sebagai [A]ij.
Selanjutnya dijelaskan mengenai operasi matriks dalam aljabar max-plus. Definisi-definisi berikut diacu dari Farlow [7] dan Siswanto [13].
Definisi 2.2.12 (Operasi Hitung dari Matriks dalam Aljabar Max-Plus).
1. Untuk setiap A, B ∈Rmmax×n, definisi penjumlahan A⊕B adalah
3. Transpose dari matriks dituliskan sebagaiAT dan didefinisikan seperti dalam aljabar konvensional, yaitu
[AT]ij = [A]ji.
commit to user
4. Untuk matriks berukuran n×n dalam aljabarmax-plus memiliki identitas
En yang didefinisikan sebagai
[En]ij =
e, jika i=j;
ε, jika i6=j,
denganε adalah elemen identitas dari operasi max yaitu −∞ sedangkane
adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan yaitu 0.
5. Untuk suatu matriks A∈Rn×n
max dan bilangan bulat positifk, pangkatkdari
A dituliskan sebagai A⊗k dan didefinisikan dengan
A⊗k = A| ⊗A⊗{z. . .⊗A} k kali
.
Untuk k = 0, berlakuA⊗0 =En.
6. Untuk sebarang matriksA ∈Rnmax×ndanα∈Rmax, operasiα⊗Adidefinisikan
dengan
[α⊗A]ij =α⊗[A]ij.
2.3
Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran langkah-langkah penyelesaian masalah dalam penulisan skripsi ini. Pertama, akan dipahami terlebih dahulu mengenai struktur aljabar max-plus. Kedua, di-lanjutkan dengan memahami tentang sistem persamaan linear aljabar max-plus
dan bagaimana membuat suatu matriks dari sistem tersebut. Ketiga, memaha-mi konsep-konsep aljabar linear dalam aljabar max-plus, khususnya determinan matriks dalam aljabar max-plus. Setelah memahami determinan matriks dalam aljabar max-plus barulah dapat ditentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Kemudian, untuk memperjelas pembahasan, akan diberikan contoh ka-sus mengenai penentuan persamaan karakteristik dari suatu matriks.
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah ka-jian pustaka, yaitu dengan mengumpulkan berbagai referensi buku, skripsi, jur-nal, maupun informasi dari halaman websites mengenai struktur aljabar, aljabar
max-plus, sifat-sifat aljabar linear, dan sistem persamaan linear aljabarmax-plus. Dari metode tersebut, diharapkan dapat dikaji ulang bagaimana penentuan per-samaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus dan kemudian memberikan contoh penerapannya dalam contoh kasus.
Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini.
1. Menerapkan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konven-sional,
2. menerapkan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks pada aljabar
max-plus,
3. menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabarmax-plus, dan
4. memberikan contoh kasus berupa model dari jalur kereta api sederhana yang diambil dari Vries [14].
commit to user
Bab IV
PEMBAHASAN
Pada bab ini diberikan hasil studi dan pembahasan. Bab ini terdiri dari dua bagian. Pada bagian pertama akan dijelaskan tentang bagaimana cara mengkons-truksikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabarmax-plus. Kemu-dian, akan diberikan contoh kasus tentang jaringan kereta api sederhana pada bagian yang kedua.
4.1
Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam
Aljabar
max-plus
Sebelum membahas persamaan karakteristik dalam aljabarmax-plus, ter-lebih dahulu didefinisikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional. Jika Aadalah suatu matriks berukurann×n danϕ⊂ {1,2, . . . n}, maka Aϕϕ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus seluruh baris
dan kolom dari A kecuali elemen dari baris dan kolom yang dinyatakan oleh ϕ. Kemudian, persamaan karakteristik suatu matriks adalah
det(λI −A) =λn+c1λn−1+. . .+cn−1λ+cn= 0 (4.1)
untukck = (−1)k
P
σ∈Ck
ndet(Aσσ) dengan C
k
n adalah himpunan dari seluruh
sub-himpunank elemen dari himpunan{1,2, . . . , n}. Karena dalam aljabar max-plus
tidak didefinisikan operasi pengurangan, koefisien ckλn−k dari persamaan (4.1)
yang bertanda negatif dipindahkan ke ruas kanan. Sifat-sifat dari permutasi di-gunakan untuk memisahkan antara koefisien ckλn−k yang bernilai positif.
Digunakan pendekatan melalui fungsi eksponensial, yaitu matriksesA
untuk menentukan analogi persamaan karakteristik dalam aljabarmax-plus. Jika
commit to user
matriks esA disubstitusikan pada persamaan (4.1), maka diperoleh
det(λI−esA) =λn+γ1λn−1+. . .+γn−1λ+γn= 0, (4.2)
dengan γk(s) = (−1)k
P
σ∈Ck ndet(e
sAσσ).
Didefinisikan Γk ={ζ :∃{i1, i2, . . . , ik} ∈ Cnk,∃ρ∈Pk sedemikian
se-hinggaζ =Pkr=1airiρ(r)}untukk = 1,2, . . . , ndenganPnadalah himpunan selu-ruh permutasi σ : {1,2, . . . , n} → {1,2, . . . , n}. Nilai Γk merupakan himpunan
pangkat dariesζ yang terjadi pada γk(s). Jika didefinisikan Ik(ζ) adalah koefisien
dari esζ untuk setiap ζ ∈ Γ
k dengan k ∈1,2, . . . , n, maka Ik(ζ) = Ike(ζ)−Iko(ζ)
dengan
1. Ie
k(ζ) adalah nilai dariρ∈Pke sedemikian sehingga{i1, i2, . . . , in} ∈Cnk dan
ζ =Pkrairiρ(r), 2. Io
k(ζ) adalah nilai dariρ∈Pko sedemikian sehingga{i1, i2, . . . , in} ∈Cnkdan
ζ =Pkrairiρ(r), untuk Pe
n sebagai permutasi genap danPno sebagai permutasi ganjil.
NilaiIk(ζ) disubstitusikan pada γk(s) dan diperoleh
γk(s) = (−1)k
X
ζ∈Γk
Ik(s)esζ. (4.3)
Didefinisikan dominan dari γk(s) adalah
dk = max{ζ ∈Γk:Ik(ζ)6= 0}.
Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan (4.3), maka diperoleh
|γk(s)| ≍esdk.
Kemudian didefinisikan nilai koefisien dari γk(s) sebagai ¯γk(s) = (−1)kIk(dk)
untuk k = 1,2, . . . , n. Misal ℓ = {k : ¯γk(s) > 0} dan = {k : ¯γk(s) < 0}, agar
dapat memisahkan koefisien yang positif dengan negatif. Sebagai contoh untuk setiap ζ ∈ Γ1 ={aii :i = 1,2, . . . , n} diketahui bahwa I1o(ζ) = 0 dan I1e(ζ)> 0.
Hal ini menyebabkan I1(d1) > 0 sehingga ¯γ1 < 0 yang berarti 1 ∈ . Sejalan
commit to user
dengan Γ1 seluruh γk(s) dengan ¯γk(s) < 0 atau k ∈ dipindah ke ruas kanan
agar tanda negatif dapat dihilangkan. Seluruh γk(s) dengan k ∈ dipindahkan
ke ruas kanan dan diperoleh
λn+X
Kemudian, agar Lema 2.2.2 dapat digunakan, variabel λ pada persamaan (4.4) diganti dengan variabel esλ dan diperoleh
esλn+X
Jika digunakan Definisi 2.2.10, maka diperoleh
lim
Kemudian, digunakan Lema 2.2.2 pada persamaan (4.5) dan diperoleh
max
dapat diabaikan, persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah
Kasus berikut diambil dari penelitian yang telah dilaksanakan oleh Vrieset. al [14]. Misalkan diketahui suatu jaringan rel kereta api sederhana seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada jaringan tersebut, terdapat rute kereta dari
P menuju keS dan sebaliknya yang melewati stasiunQ. Selain itu terdapat rute dari stasiun Q ke R dan sebaliknya. Pada stasiun Q kereta dari P dan S harus mendahulukan kereta yang berjalan pada rute Q ke R dan sebaliknya.
Waktu keberangkatan dari kereta ke-kpada ruteidinotasikan sebagaixi(k),
untuk i = 1,2, . . . , n dengan n adalah jumlah rute yang berbeda pada jaringan.
commit to user
Gambar 4.1. Jaringan rel kereta api sederhana.
Kereta ke-(k+ 1) harus memenuhi beberapa kondisi untuk dapat berjalan pada rute i. Kondisi pertama adalah kereta harus telah tiba di stasiun. Dianggap bahwa kereta dari rute j akan melanjutkan perjalanan melewati rutei, sehingga diperoleh kondisi berikut.
xi(k+ 1)≥aij ⊗xj(k), (4.7)
dengan xi(k + 1) adalah waktu keberangkatan ke-(k + 1) pada rute i dan aij
adalah waktu tempuh yang diperlukan untuk melewati rute j ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta.
Kondisi kedua adalah setiap kereta dapat menunggu kereta lain yang berhu-bungan. Hal tersebut menyebabkan munculnya kondisi berikut.
xi(k+ 1)≥ail⊗xl(k), (4.8)
untukladalah himpunan seluruh rute sebelumidenganailadalah waktu tempuh
pada rutelkeiditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta.
Diasumsikan bahwa kereta langsung berangkat jika seluruh kondisi telah dipenuhi. Waktu keberangkatan kereta ke-(k + 1) pada rute i yang dituliskan dalam aljabar max-plus adalah
xi(k+ 1) =aij(k)⊗xj(k)⊕
M
l
ail(k)xl(k).
Sehingga, model dari jaringan pada Gambar 4.1 dengan memperhatikan kondisi
commit to user
(4.7) dan (4.8) adalah sebagai berikut
x1(k+ 1) =a2(k)⊗x2(k)
, maka model dapat dit-uliskan menjadi x(k+ 1) =A(k)⊗x(k) denganA(k) adalah suatu matriks, yaitu
Jika waktu tempuhai(k) deterministik dengan satuan waktu, maka perilaku
sistem x(k + 1) = A(k)⊗x(k) ditentukan oleh nilai eigen dalam aljabar max-plus dari matriks A(k). Menurut Chung [5], nilai eigen adalah nilai besarnya waktu maksimal yang diperlukan kereta untuk dapat melewati rute manapun yang ada dalam jaringan tersebut. Dalam artikel ini hanya dibahas bagaimana cara mencari persamaan karakteristik dari matriks A tersebut.
Jika dimisalkan a1 = 14, a2 = 17, a3 = 11, a4 = 9, maka nilai a1, a2, a3, a4
disubstitusikan pada matriks (4.9) dan diperoleh matriks A berikut
A=
Kemudian, akan dicari persamaan karakteristik dari matriks A. Persamaan karakteristik dari matriks A akan dicari dengan dua cara. Cara pertama adalah memperoleh persamaan karakteristik dengan menggunakan matriks esA.
Sedan-gkan cara kedua adalah dengan menggunakan persamaan (4.6).
commit to user
Pertama akan digunakan matriksesA untuk memperoleh persamaan
karak-teristik dari matriks A. Berikut adalah matriks esA.
esA =
Kemudian, jika matriks esA disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), maka
diperoleh
det(λI−esA) =λ4 −e11sλ3−e20sλ2+−(e42s+e40s)λ−e51s= 0 (4.10) Koefisien dengan pangkat tertinggi dari seluruh γk mempunyai tanda negatif.
Oleh karena itu, seluruh γk dipindahkan ke ruas kanan. Jika hanya diambil
pangkat terbesar dari γk, maka diperoleh persamaan (4.11), yaitu
λ4 =e11sλ3+e31sλ2+e42sλ+e51s. (4.11) Jika nilai λ diganti dengan esλ dan digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan
(4.12), maka diperoleh Kemudian, jika digunakan Lema 2.2.2, maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks A adalah
commit to user
Kemudian dicari dk untuk k = 1,2,3,4. Karena max{Γ1} = 11 dan I1(11) 6= 0,
diperoleh d1 = 11. Dengan cara yang sama, diperoleh d2 = 20, d3 = 42, dan
d4 = 51. Hal tersebut menyebabkan ¯γ1 = −1, ¯γ2 = −1, ¯γ3 =−1, dan ¯γ4 = −1.
Diperoleh ℓ = {} dan = {1,2,3,4}. Persamaan karakteristik dari matriks A
dengan memperhatikan persamaan (4.6) adalah
λ⊗4 = 11⊗λ⊗3 ⊕31⊗λ⊗2 ⊕42⊗λ⊕51. (4.14)
Tampak bahwa persamaan (4.13) dan (4.14) sama. Sehingga terbukti bah-wa dengan menggunakan det(λI−esA) ataupun persamaan (4.6) diperoleh hasil
sama. Mencari persamaan karakteristik menggunakan det(λI−esA) masih
mem-butuhkan penggunaan operasi (+) dan (×) pada aljabar konvensional, sehingga tidak efektif. Sedangkan, pada persamaan (4.6) hanya menggunakan operasi dalam aljabar max-plus.
Kemudian, nilai eigen dari matriks A dapat diperoleh dengan memfak-torkan persamaan karakteristik tersebut. Dari nilai eigen yang diperoleh terse-but, misalkan λ dapat diartikan bahwa kereta dalam jaringan tersebut dapat diberangkatkan tiap λ satuan waktu.
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Sesuai dengan masalah yang telah dirumuskan, diperoleh kesimpulan per-samaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah
λ⊗n⊕M
k∈ℓ
dk⊗λ⊗n−k=
M
k∈
dk⊗λ⊗n−k,
dengan
dk = max{ζ ∈Γk:Ik(ζ)6= 0}.
Nilai Γkadalah himpunan pangkat yang mungkin terjadi untuk setiapλdanIk(ζ)
adalah koefisien dari ζ ∈Γk.
5.2
Saran
Penelitian ini hanya membahas tentang bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Jika pembaca tertarik da-pat melakukan penelitian tentang bagaimana cara memperoleh algoritma untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen dari persamaan karakteristik.