ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS

(1)

M17-1

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS

Maria Ulfa¹, Subiono², dan Mahmud Yunus³ Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya^1,2,3

e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com¹, subiono2008@matematika.its.ac.id², yunusm@matematika.its.ac.id³

ABSTRAK

Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus telah banyak diteliti. Dalam penelitian ini akan dikaji tentang vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus. Matriks berukuran merupakan matriks sirkulan jika dan hanya jika dimana . Dalam penelitian ini diberikan rumusan langkah-langkah untuk menentukan vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus dan juga membahas mengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan, posisi nilai maksimal dan dimensi dari ruang eigen matriks sirkulan.

Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Eigenproblem, Matriks Sirkulan, Vektor Eigen

.

1. PENDAHULUAN

Aljabar max-plus telah banyak digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan.

Penerapan aljabar max-plus untuk memodelkan suatu permasalahan diantaranya pada penjadwalan, transportasi, manufakturing dan sistem antrian.

Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang kedinamikan sistem seperti pada penjadwalan sistem jaringan kereta, penjadwalan sistem produksi, penjadwalan jalur bus dalam kota dan penjadwalan kegiatan pembelajaran sekolah pada kelas moving. Pada penelitian-penelitian tersebut nilai eigen dan vektor eigen dari matriks yang dibentuk dari model yang telah dikontruksi digunakan untuk mengetahui kedinamikan sistem.

Matriks sirkulan adalah salah satu matriks khusus yang baris (atau kolomnya) merupakan pergeseran sirkular dari baris (atau kolom) sebelumnya. Seperti halnya matriks biasa, matriks sirkulan juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa penelitian berkaitan dengan matriks sirkulan diantaranya telah dilakukan oleh Gavalec (2010) yang membahas tentang karakteristik struktur ruang eigen matriks sirkulan pada aljabar max-min.

Kalman (2001) telah melakukan penelitian tentang persamaan polynomial dan matriks sirkulan.

Dalam penelitiannya dibahas tentang konsep dasar matriks sirkulan dan penggunaan matriks sirkulan untuk menyelesaikan persamaan polinomial kuadratik, kubik dan kuartik. Selain itu juga dibahas tentang penggunaan matriks sirkulan untuk menganalisis akar-akar polinomial.

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai vektor eigen matriks sirkulan dalam aljabar max- plus.

2. ALJABAR MAX-PLUS

Aljabar max-plus ( , , ) dengan elemen netral dan elemen satuan selanjutnya cukup ditulis , dimana R adalah himpunan semua bilangan real.

(2)

M17-2 Definisi 1. Struktur aljabar [2]

Simbol menyatakan himpunan dengan operasi biner yaitu maksimum yang dinotasikan dan penjumlahan yang dinotasikan .

Operasi biner dan pada didefinisikan dan ,

untuk setiap a,b .

Sifat-sifat dalam aljabar max-plus adalah sebagai berikut:

a. Assosiatif : dan

b. Komutatif : dan c. Distributif terhadap : d. Eksistensi elemen nol, yaitu : e. Eksistensi elemen satuan, yaitu :

f. Elemen nol adalah absorbing untuk operasi : g. Idempoten dari operasi :

Operasi pangkat dalam aljabar max-plus untuk setiap adalah

, untuk semua dan untuk didefinisikan . Karena sehingga , untuk setiap dalam aljabar biasa dapat ditulis .

Himpunan matriks dalam aljabar max-plus dinyatakan dimana . Notasi atau menyatakan elemen dari matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, untuk n dan m, dengan n . Sebagaimana biasa, matriks dapat ditulis dengan



 









 







=

nm n

n

m m

a a

a

a a

a

a a

a A











2 1

2 22

21

1 12

11

Operasi penjumlahan matriks A, B , dinotasikan dengan didefinisikan

dengan rumus untuk n dan m. Operasi

perkalian dengan skalar didefinisikan oleh ,

dengan n dan m. Sedangkan operasi perkalian matriks dan dinotasikan dengan didefinisikan dengan rumus

untuk n dan m.

Penjumlahan matriks dalam mempunyai sifat assosiatif, komutatif dan mempunyai elemen nol yaitu . Matriks adalah matriks berukuran dengan semua elemennya sama dengan . Sedangkan matriks berukuran yang semua elemennya sama dengan , kecuali elemen yang terletak pada baris dan kolom yang sama nilainya sama dengan dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan

Perkalian matriks dalam mempunyai sifat assoasiatif, distributif terhadap , mempunyai elemen satuan , serta elemen penyerap untuk operasi .

Transpose matriks dinotasikan dengan dan didefinisikan oleh , untuk n dan m.

Pangkat ke-k dari matriks A dinotasikan dengan dan didefinisikan

, untuk dan . Matriks untuk juga

dapat dinyatakan dengan .

(3)

M17-3 Suatu graph dapat diubah menjadi bentuk matriks dan begitu pula sebaliknya. Dari suatu matriks A berukuran dapat dibuat suatu digraph dengan verteks , yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2. Precedence Graph [2]

Precedence graph dari matriks bujur sangkar A dengan elemennya adalah sebuah digraph berbobot dengan n verteks dan sebuah arc (j, i) ada jika , dimana bobot pada arc adalah nilai dari . Precedence graph dinotasikan .

Suatu path adalah barisan verteks sedemikian hingga ada arc dari ke untuk . verteks adalah verteks awal dan adalah verteks akhir dari path.

Path elementer adalah path yang tidak ada verteks muncul (dilalui) lebih dari sekali. Graph disebut strongly connected jika ada suatu path dari setiap verteks ke verteks yang lain. Jika strongly connected maka dikatakan bahwa matriks A irreducible.

Path dengan verteks awal dan akhirnya adalah verteks yang sama disebut circuit ( ). Circuit elementer adalah circuit dengan path elementer. Suatu loop adalah circuit ( ) yaitu circuit yang hanya terdiri dari satu verteks, jadi pada loop hanya ada satu arc dari ke . Panjang dari path adalah jumlah arc pada path tersebut yang dinotasikan dengan , dengan demikian maka panjang dari loop adalah 1. Bobot path adalah jumlah dari bobot arc yang membentuk path tersebut yang dinotasikan dengan . Bobot rata-rata path adalah . Hal ini juga berlaku jika path merupakan suatu circuit. Circuit dengan bobot circuit dan panjang circuit maka bobot rata-rata circuit (circuit mean) adalah . Untuk suatu matriks A dengan circuit yang berbeda , circuit mean maksimum didefinisikan

dengan .

Adapun definisi nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus diberikan sebagai berikut:

Definisi 3. [6]

Misalkan matriks A . Jika adalah sebuah skalar dan adalah sebuah vektor yang memuat minimal satu elemen yang berhingga sehingga memenuhi , maka λ disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen.

Dari suatu vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dapat diperoleh vektor eigen yang lain dari mariks tersebut yang juga bersesuaian dengan nilai eigen .

Lemma 4. [1]

Misalkan adalah matriks berukuran dengan eigenpair dan . Maka juga merupakan eigenpair dari .

3. MATRIKS SIRKULAN

Matriks sirkulan adalah matriks dengan elemen baris pertama dan baris berikutnya merupakan pergeseran kekanan sekali (satu elemen) dari elemen-lemen baris sebelumnya. Jadi elemen matriks sirkulan tergantung pada input baris pertamanya. Berikut adalah bentuk umum matriks sirkulan berukuran

 





 





−

0 3

2 1

3 0

1 2

2 1

0 1

1 2

1 0

a a

n n

n

n n

n











(4)

M17-4 Definisi 5. [4]

Misalkan matriks berukuran . adalah matriks sirkulan jika dan hanya jika dimana .

Definisi 6. [4]

i. Diberikan maka matriks sirkulan dimana

dinotasikan oleh .

ii. Vektor (baris pertama dari matriks sirkulan) disebut vektor sirkulan.

Pada penjumlahan matriks sirkulan juga menghasilkan matriks sirkulan yang diberikan oleh teorema berikut:

Teorema 7. [7]

Jika , adalah matriks sirkulan maka , adalah matriks sirkulan.

Contoh 1

Diberikan matriks dan maka

Terlihat bahwa , merupakan matriks sirkulan.

4. EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN

Nilai eigen pada matriks sirkulan, yang merupakan bentuk matriks khusus, dapat diperoleh dengan mudah seperti yang diberikan oleh teorema berikut:

Teorema 8. [7]

Jika adalah matriks sirkulan maka .

Sedangkan vektor eigen matriks sirkulan dapat diperoleh dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Hitung b. Hitung

c. Hitung , dengan d. Hitung

Vektor-vektor kolom pada ruang eigen merupakan vektor eigen matriks sirkulan dan vektor eigen tersebut merupakan vektor basis. Dari Lemma 4, vektor-vektor eigen yang lain dapat dicari dengan mengalikan vektor basis dengan suatu skalar.

Contoh 2.

Diberikan matriks sirkulan , akan ditentukan vektor eigen dari . Dengan mengikuti langkah di atas, penyelesaian sebagai berikut:

(5)

M17-5 Matriks

 







 







5 4 4 5 4 4

4 5 4 4 5 4

4 4 5 4 4 5

5 4 4 5 4 4

4 5 4 4 5 4

4 4 5 4 4 5

. Berdasarkan Teorema 8. maka

, selanjut diperoleh

 







 







−

0 1 1 0 1 2

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

Untuk memperoleh ruang eigen dicari terlebih dahulu , dengan . Karena merupakan matriks sirkulan, berdasarkan Teorema 7. maka juga merupakan matriks sirkulan. Oleh karena itu, untuk memperoleh elemen-elemen cukup menghitung elemen pada baris pertama saja, dari baris pertama dapat ditentukan elemen-elemen baris berikutnya.

Selanjutnya dapat diperoleh sebagai berikut:

 







 







−

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

Penghitungan memperoleh ruang eigen dengan cepat dapat menggunakan toolbox aljabar max-plus ver. 1.0.1 scilab 5.2.2 dengan mengetikkan = maxplusaplus( ). Vektor-vektor kolom pada merupakan vektor eigen dari . Vektor kolom pertama ekivalen dengan vektor kolom ke-4, vektor kolom ke-2 ekivalen dengan vektor kolom ke-5 dan vektor kolom ke-3 ekivalen dengan vektor kolom ke-6 berarti ada 3 kelas ekivalen yang terdiri dari vektor-vektor

basis.Vektor basisnya adalah

 







 







−

1 1 0

,

 







 







−

1 0

1 1 0

1

dan

 







 







−

0 1 1 0

1 1

. Jadi dimensi dari ruang eigen adalah 3.

Teorema 9. [9]

Dimensi ruang eigen dari matriks sirkulan sama dengan faktor persekutuan terbesar dari semua posisi nilai maksimal pada baris pertama dan ukuran dari matriks .

(6)

M17-6 Contoh 3.

Matriks pada Contoh 2. berukuran dan nilai maksimalnya adalah 5, pada baris pertama nilai maksimal berada pada dan . Jadi dimensi ruang eigen adalah faktor persekutuan terbesar dari dan yaitu 3.

Berdasarkan Teorema 9. dan contoh matriks sirkulan pada lampiran A, dapat diamati mengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal dengan dimensi dari ruang eigen yang diberikan dalam akibat berikut:

Akibat 10.

Jika adalah matriks sirkulan berukuran , maka banyak

dimensi ruang eigen yang mungkin adalah sebanyak faktor dari . Bukti:

Diberikan adalah himpunan faktor dari . Misal adalah dimensi dari ruang eigen dan posisi nilai maksimal berada di untuk beberapa di . Berdasarkan Teorema 9,

adalah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dan , berarti adalah faktor dari dan juga faktor dari maka .

Dari Akibat 10. untuk matriks sirkulan berukuran dengan adalah elemen bilangan prima, maka banyak dimensi yang mungkin dari ruang eigen adalah sebanyak 2 yaitu dimensi 1 dan dimensi karena faktor dari adalah 1 dan itu sendiri.

5. KESIMPULAN

Nilai eigen matriks sirkulan adalah sama dengan nilai elemen matriks yang maksimal.

Dimensi ruang eigen tergantung pada ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal pada baris pertamanya, sehingga dimensi ruang eigen yang mungkin dari matriks sirkulan adalah salah satu faktor dari ukuran matriks tersebut. Dimensi ruang eigen matriks sirkulan menunjukkan banyaknya vektor basis dari matriks tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Andersen, M.H. (2002), Max-plus Algebra: Properties and Applications, Tesis, Laramie, WY.

[2]Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P. (2001), Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems, John Wiley & Sons, New York.

[3] Gavalec, M., dan Tomaskova, H. (2010), “Eigenspace of a Circulant Max-Min Matrix”, Kybernetika, vol. 46, No.3, hal. 397- 404.

[4] Jones, A. W. (2008), Circulants, Carlisle, Pennsylvania.

[5] Kalman, D., dan White, J.E. (2001), “Polynomial Equations and Circulant Matrices”, The Mathematical Association of America, hal. 821-840.

[6] Konigsberg, Z.R. (2009), “A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over the Max-Plus Algebra”, International Mathematical Forum, vol. 4, No. 24, hal.

1157-1171.

[7] Plavka, J., (2001), “On Eigenproblem for Circulant Matrices in Max-Algebra”, Optimization, vol. 50, No. 5, hal. 477-483.

[8] Subiono, (2009), Max-Plus Algebra Toolbox ver. 1.01, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

(7)

M17-7 [9] Tomaskova, H. (2010), “Eigenproblem for Ciculant Matrices in Max-plus Algebra”, University Hradec Kralove, Czech Republik.

A. Penghitungan dimensi ruang eigen menggunakan Teorema 9.

Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal

Dimensi ,

= 0 - 2

=1 =1 1

Dimensi ,

= 0 - 3

=1,2 =1,2 1

Dimensi ,

= 0 - 4

2 2 2

=1,3 =1,3 1

Dimensi ,

= 0 - 5

=1,2,3,4 =1,2,3,4 1

Dimensi ,

= 0 - 6

=3 =3 3

2,4 2,4 2

=1,5 =1,5 1

Dimensi ,

= 0 - 7

=1,2,3,4,5,6 =1,2,3,4,5,6 1 Matriks sirkulan berukuran

Posisi nilai maksimal

Dimensi ,

= 0 - 8

=4 =4 4

2,6 2,6 2

=1,3,5,7 =1,3,5,7 1

(8)

M17-8 Matriks sirkulan berukuran

Dimensi ,

= 0 - 9

3,6 3,6 3

=1,2,4,5,7,8 =1,2,4,5,7,8 1 Matriks sirkulan berukuran

Dimensi ,

= 0 - 10

=5 =5 5

2,4,6,8 2,4,6,8 2

=1,3,7,9 =1,3,7,9 1

Dimensi ,

= 0 - 11

=1,…,11 =1,…,11 1

Dimensi ,

= 0 - 12

=6 =6 6

=4,8 =4,8 4

=3,9 =3,9 3

2,10 2,10 2

=1,5,7,11 =1,5,7,11 1 Matriks sirkulan berukuran

Dimensi ,

= 0 - 13

=1,…,13 =1,…,13 1

Dimensi ,

= 0 - 14

=7 =7 7

2,4,6,8,10,12 2,4,6,8,10,12 2 =1,3,5,9,11,13 =1,3,5,9,11,13 1