SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS SISKA MARYANA DEWI

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, November 2014

Siska Maryana Dewi

ABSTRAK

SISKA MARYANA DEWI. Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-sifat yang diaplikasikan pada matriks serta eksistensi invers matriks dalam aljabar max-plus. Operasi-operasi matriks yang dapat diaplikasikan dalam aljabar max-plus meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antar matriks, matriks transpose, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (untuk operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya untuk operasi penjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A ∈

max

nxn

dalam aljabar max-plus dapat dipastikan ada jika dan hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P_ dan matriks diagonal ( )D _i .

Kata kunci: matriks, aljabar max-plus

ABSTRACT

SISKA MARYANA DEWI. Properties of Operations and Existence of the Inverse Matrix in Max-Plus Algebra. Supervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM.

This paper discusses the properties of operations in max-plus algebra and properties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in max-plus algebra. The operations that can be applied in max-plus algebra includes operations of addition and multiplication between matrices, transpose of a matrix, the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multiplication by a scalar. Properties that valid for the matrix in max-plus algebra is an associative properties (for addition and multiplication operations), commutative (only for addition operation), and distributive. The existence of the inverse matrix

A ∈ nxn_max in max-plus algebra can be guarantied if and only if A is a multiplication of a permutation matrix P_ and a diagonal matrix ( )D _i .

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2014

Judul Skripsi : Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Nama : Siska Maryana Dewi NIM : G54070006

Disetujui oleh

Drs Siswandi, MSi Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-plus ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta sahabat dan umatnya.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I dan II atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasi, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen penguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan, serta staf dan pegawai atas bantuan dan pelayanannya selama ini.

Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk bapak, ibu, kakak, adik, dan keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada habisnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor, teman-teman kos, dan semua pihak yang tak henti memberikan dukungan serta bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, penulis juga ingin memberikan terima kasih kepada Super Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam mengejar pendidikan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2014

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

TINJAUAN PUSTAKA 1

HASIL DAN PEMBAHASAN 5

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 5 Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 12

SIMPULAN DAN SARAN 15

Simpulan 15

Saran 15

DAFTAR PUSTAKA 16

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Aljabar max-plus pertama kali muncul pada tahun 1956 dalam paper Kleene yang berjudul “Representation of events in nerve sets and finite automa”. Dalam aljabar max-plus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring ℝmax = {𝜀} ∪ ℝ

dengan operasi ⨁ dan ⨂. Saat ini aljabar max-plus telah banyak dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, seperti pada kombinatorika, optimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013) Aljabar max-plus juga digunakan dalam teori kontrol, penjadwalan mesin, sistem even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem proses paralel, kontrol lalu lintas, dan lain-lain.

Karya Ilmiah ini merupakan hasil penjabaran kembali karya Kesie G. Farlow yang berjudul “Max-Plus Algebra” yang membahas mengenai dasar-dasar aljabar max-plus beserta kaitannya dengan beberapa konsep matematika seperti, matriks, vektor, teori graf, bahkan sampai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar max-plus.

Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat operasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus.

TINJAUAN PUSTAKA

Matriks

Definisi 1 (Matriks)

Matriks adalah beberapa skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya, biasa digunakan ( ), [ ], atau || ||. Matriks diberi nama dengan huruf besar, misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan huruf kecil, misalnya a11, b21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A dapat ditulis A =

 

a_ij .

2

Operasi-operasi pada matriks: 1. Penjumlahan matriks

Misalkan diketahui matriks A =

 

a_ij berukuran mn dan matriks B =

 

bij berukuran m  n, maka A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             dan B = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b a b b b b            

. Penjumlahan A dan B didefinisikan sebagai :

A+B =

 

a_ij +

 

b_ij =



a_ijb_ij



= 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b       _{  }       _{  }   

2. Perkalian matriks dengan skalar

Misalkan k suatu skalar, maka perkalian k dengan matriks A =

 

a_ij berukuran mn didefinisikan dengan

kA = k

 

a_ij =

 

ka_ij 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn ka ka ka ka ka ka ka ka ka             3. Perkalian matriks

Hasil perkalian matriks A =

 

a_ij berukuran mp dan matriks B =

 

bij berukuran pn adalah matriks C =

 

cij berukuran mn, dengan

nilai _{1 1 2 2} 1 ... p ij i j i j ip pj ik kj k c a b a b a b a b      



, untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n.

Definisi 2 (Transpos Matriks)

Suatu matriks A =

 

a_ij berukuran mn, maka transpos dari A adalah

matriks AT berukuran nm yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i

3 AT = 11 21 1 12 22 2 1 2 m m n n mn a a a a a a a a a             (Sutojo et al. 2010) Definisi 3 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan dengan I. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1             (Sutojo et al. 2010) Definisi 4 (Invers Matriks)

Sebuah matriks segi A berukuran nn disebut memiliki invers jika ada suatu

matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A dan dapat ditulis A-1.

(Sutojo et al. 2010)

Aljabar Max-Plus Definisi 5 (Semigrup)

Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.

(Fraleigh 1997) Definisi 6 (Semiring (S, + , × ))

Suatu semiring (S, + , × ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner + dan × yang memenuhi aksioma berikut:

1. (S, +) merupakan semigrup yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu , , x y z  ∈ S memenuhi x + y = y + x (x + y) + z = x + (y+ z) x + 0 = 0 + x

2. (S, × ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu x y z, , ∈ S memenuhi

(x × y) × z = x × (y × z)

x × 1 = 1 × x

3. Sifat absorbing elemen netral 0 terhadap operasi × , yaitu x ∈ S memenuhi

4

4. Operasi × bersifat distributif terhadap + , yaitu x y z, , ∈ S berlaku (x + y) × z = (x × z) + (y × z)

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

(Subiono 2013) Definisi 7 (Aljabar Max-Plus)

Aljabar max-plus adalah suatu semi ring (ℝmax, ⨁, ⨂) dengan ℝmax = {𝜀} ∪

ℝ. ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan 𝜀 = −∞ yang memenuhi operasi ⨁ dan ⨂ yang didefinisikan sebagai berikut : x y, ∈ℝmax ,

x ⨁ y = max (x, y) = maksimum (x, y). x ⨂ y = x + y.

Biasanya cukup ditulis ℝmax .

(Farlow 2009) Contoh :

3 ⨁ (-7) = max (3, (-7)) = 3 3 ⨂ (-7) = 3 + (-7) = -4 Sifat-sifat aljabar max-plus

Untuk setiap x, y, z ∈ℝmax akan memenuhi 1. Sifat asosiatif, yaitu :

x ⨁ (y ⨁ z) = (x ⨁ y) ⨁ z dan x ⨂ (y ⨂ z) = (x ⨂ y) ⨂ z

2. Sifat komutatif, yaitu :

x ⨁ y = y ⨁ x dan x ⨂ y = y ⨂ x

3. Sifat distributif, yaitu :

x ⨂ (y ⨁ z) = (x ⨂ y) ⨁ (x ⨂ z)

4. Ada elemen nol terhadap operasi ⨁, yaitu ε, dengan 𝜀 = −∞.

x ⨁ ε = ε ⨁ x = x

5. Ada elemen satuan terhadap operasi ⨂, yaitu ℯ, dengan ℯ = 0.

x ⨂ ℯ = ℯ ⨂ x = x

6. Ada elemen invers terhadap operasi ⨂,

Jika x  𝜀 maka ada bilangan tunggal y sehingga x ⨂ y = ℯ.

7. Ada elemen absorbing terhadap operasi ⨂, yaitu ε, sehingga x ⨂ ε = ε ⨂ x = ε.

8. Sifat idempoten terhadap operasi ⨁, yaitu x ⨁ x = x

(Farlow 2009) Bukti :

1. x ⨁ (y ⨁ z) = max (x, max (y, z)) = max (x, y, z) = max (max (x, y), z) = (x ⨁ y) ⨁ z

x ⨂ (y ⨂ z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x ⨂ y) ⨂ z

2. x ⨁ y = max (x, y) = max (y, x) = y ⨁ x

x ⨂ y = x + y = y + x = y ⨂ x

5

4. x ⨁ ε = max (x, −∞) = max (−∞, 𝑥) = ε ⨁ x = x 5. x ⨂ ℯ = x + 0 = 0 + x = ℯ ⨂ x = x

6. Misalkan x ∈ ℝmax dengan x  𝜀, maka ∃ y ∈ ℝmax ∋ y = -x dan x + y = x +

(-x) = 0 sehingga x ⨂ y = ℯ

7. x ⨂ ε = x + (−∞) = (−∞) + x = ε ⨂ x = ε 8. x ⨁ x = max (x, x) = x

Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus)

Untuk x ∈ ℝmax dan n ∈ , x pangkat n didefinisikan dengan :

n x = x ⨂ x ⨂ .... ⨂ x. Jika x  𝜀, maka 0 x = ℯ. Jika α ∈ℝ, maka x= αx. Jika k > 0, maka k = ε (jika k ≤ 0, makak tidak terdefinisi). Sifat-sifat operasi pangkat dalam aljabar max-plus

Untuk setiap m, n ∈ , x ∈ ℝmax berlaku :

1. m x ⨂ n x = (m n) x  2. (xm)n =x(mn) 3. x1= 1x = x 4. xm⨂ ym = (xy)m (Farlow 2009) Bukti : 1. xm⨂xn= mx + nx = (m+n)x = x(m n ) 2. (xm)n= (mx)n = nmx = x(mn) 3. x1 = 1x = x 4. xm⨂ ym= mx + my = m(x+y) = (xy)m

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam ℝmax. Matriks berukuran m ×

n untuk m, n ∈ dan elemen-elemennya ∈ ℝmax dalam aljabar max-plus

6 A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a            

Nilai untuk baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dinotasikan dengan aij

atau sebagai

 

ij

A .

Operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks dalam aljabar max-plus hampir serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dalam matriks dalam aljabar biasa dengan + dan × didefinisikan sebagai ⨁ dan ⨂.

Definisi 9

1. Untuk penjumlahan matriks A, B ∈ m n_max

dinotasikan dengan A ⨁ B dan didefinisikan sebagai :



AB



_ij = a_ij⨁ b_ij= max (a_ij, b_ij) 2. Untuk perkalian matriks A ∈ m k_max _{dan matriks B ∈}

max

kxn

, dinotasikan dengan A ⨂ B dan didefinisikan sebagai :



AB



il = 1

k j

 (a_ij⨂ b_jl) =max_{j1,2,...,k}(aij + bjl)

3. Matriks transpos A dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan AT dan didefinisikan

 

T

ij

A =

 

ji

A .

4. Matriks identitas n × n dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan Edan didefinisikan sebagai :

 

E _ij = jika jika e i j i j     _ 

5. Untuk matriks segi A pangkat ke-k (dengan k bilangan bulat positif) dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan Akdan didefinisikan sebagai :

k

A = ...

k kali

A  A A

Untuk k = 0, didefinisikan A0= E.

6. Untuk sebarang matriks A ∈ _maxm n dan sebarang skalar α ∈ ℝmax,

didefinisikan perkalian skalar α ⨂ A sehingga :



A



_ij = α ⨂

 

A _ij

Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar max-plus: 1. Sifat asosiatif, yaitu :

A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C

2. Sifat komutatif, yaitu :

7 3. Sifat distributif, yaitu :

A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Bukti :

1. Sifat asosiatif

a). A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C Misalkan A, B, C ∈ _maxm n

, i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨁ (B ⨁ C) = (A(BC))_ij = a_ij(b_ijc_ij) = a_ij(max( ,b c_{ij ij})) = max(aij, max( ,b cij ij)) = max(a b cij, ij, ij) (A ⨁ B) ⨁ C = ((AB)C))_ij = (a_ijb_ij)c_ij = max(a b_ij, _ij)c_ij = max(max(a b_ij, _ij),c_ij) = max(a b c_ij, _ij, _ij) Terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C. b). A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C

Misalkan A ∈ m p_max , B ∈ _maxp q , C ∈ q n_max , i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨂ (B ⨂ C) = (A(BC))_ij = 1 q il lk kj k a b c     _  _   = 1 1 p q il lk kj l a kb c     _  _   = 1 1 p q il lk kj l k a b c     (A ⨂ B) ⨂ C = ((AB)C))_ij = 1 p il lk kj l a b c _{ } _     = 1 1 q p il lk kj k l a b c    _  _   = 1 1 p q il lk kj l k a b c       Terbukti A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C.

8

Karena terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C , maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar max-plus berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

2. Sifat komutatif a). A ⨁ B = B ⨁ A

Misakan A, B ∈ _maxm n m n_max , i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨁ B = (AB)ij = (aijbij) = max(a b_ij, _ij) B ⨁ A = (BA)ij = (bijaij) = max( ,b a_{ij ij}) = max(a b_ij, _ij) Terbukti A ⨁ B = B ⨁ A. b). A ⨂ B = B ⨂ A

Misalkan A ∈ _maxm p _{dan B ∈}

max

p n

, i menyatakan baris matriks dan

j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨂ B = (AB)_ij = 1 p ik kj k a b = max( _{ik kj}) k p a b

Sedangkan B ⨂ A belum tentu bisa dioperasikan karena dalam operasi perkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena itu, B ⨂ A hanya bisa dioperasikan jika banyaknya kolom matriks B sama dengan banyaknya baris matriks A (n = m), sehingga sifat komutatif dalam matriks aljabar max-plus hanya berlaku untuk operasi penjumlahan.

3. Sifat distributif

A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Misalkan A ∈ m p_max _{, B, C ∈}

max

p n

, i menyatakan baris matriks dan

j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨂ (B ⨁ C) = (A(BC))_ij = 1 ( ) p ik kj kj k a  b c = 1( ) p ik kj ik kj k a b a c = 1 1 p p ik kj ik kj k a b k a c _{ }  _{  }         

9 = (AB)_ij(AC))_ij = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) Terbukti A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C). Contoh: Diberikan A = 2 5 3 e       , B = 1 1 6 e   _{ }    dan C = 3 2 1 4        maka: A ⨁ B = 2 5 3 e        ⨁ 1 1 6 e   _{ }    = max( 2,1) max(5, ) max( , 1) max(3, 6) e e     _{ }    = 1 5 3 e       A ⨂ B = 2 5 3 e        ⨂ 1 1 6 e   _{ }    = max((( 2) 1), (5 ( 1))) max((( 2) ), (5 ( 6))) max(( 1), (3 ( 1))) max(( ), (3 ( 6))) e e e e            _{     }    = max( 1, 4) max( 2, 1) max(1, 2) max( , 3)e       _    = 4 1 2 e        AT = 2 5 3 e       

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 22 adalah:

E = e e        

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 33 adalah:

E = e e e                 2 A = 2 5 3 e        ⨂ 2 5 3 e        = max(( 2) ( 2),5 ) max(( 2) 5,5 3) max( ( 2),3 ) max( 5,3 3) e e e e           _{    }    = max( 4,5) max(3,8) max( 2,3) max(5, 6)     _    = 5 8 3 6       Diberikan α = 3, maka : α ⨂ A = 3 ⨂ 2 5 3 e        = 3 ( 2) 3 5 3 e 3 3       _{ }    = 3 ( 2) 3 5 3 e 3 3       _{ }    = 1 8 3 6      

10 A ⨁ (B ⨁ C) = 2 5 3 e       ⨁ 1 3 2 1 6 1 4 e       _{ }          = 2 5 3 e       ⨁ max(1,3) max( , 2) max( 1,1) max( 6, 4) e     _{ }    = 2 5 3 e       ⨁ 3 1 4 e      = max( 2,3) max(5, ) max( ,1) max(3, 4) e e        = 3 5 1 4       (A ⨁ B) ⨁ C = 2 5 1 3 1 6 e e         _{ }       ⨁ 3 2 1 4        = max( 2,1) max(5, ) max( , 1) max(3, 6) e e     _{ }   ⨁ 3 2 1 4        = 1 5 3 e      ⨁ 3 2 1 4       = max(1,3) max(5, 2) max( ,1)e max(3, 4)        = 3 5 1 4       Terlihat bahwa A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C. A ⨂ (B ⨂ C) = 2 5 3 e       ⨂ 1 3 2 1 6 1 4 e       _{ }          = 2 5 3 e       ⨂ max((1 3), ( 1)) max((1 ( 2)), ( 4) max((( 1) 3), (( 6) 1)) max((( 1) ( 2)), (( 6) 4)) e e         _{        }    = 2 5 3 e       ⨂ max(4,1) max( 1, 4) max(2, 5) max( 3, 2)     _{  }    = 2 5 3 e       ⨂ 4 4 2 2    _    = max((( 2) 4), (5 2)) max((( 2) 4), (5 ( 2))) max((e 4), (3 2)) max((e 4), (3 ( 2)))           _{    }    = max(2, 7) max(2,3) max(4,5) max(4,1)       = 7 3 5 4       (A ⨂ B) ⨂ C = 2 5 1 3 1 6 e e         _{ }       ⨂ 3 2 1 4        = max((( 2) 1), (5 ( 1))) max((( 2) ), (5 ( 6))) max(( 1), (3 ( 1))) max(( ), (3 ( 6))) e e e e            _{     }   ⨂ 3 2 1 4        = max( 1, 4) max( 2, 1) max(1, 2) max( , 3)e       _   ⨂ 3 2 1 4       

11 = 4 1 2 e       ⨂ 3 2 1 4        = max((4 3), (( 1) 1)) max((4 ( 2)), (( 1) 4)) max((2 3), (e 1)) max((2 ( 2)), (e 4))           _{    }    = max(7, ) max(2, 3) max(5,1) max( , 4) e e      = 7 3 5 4       Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C. Contoh untuk sifat komutatif :

A ⨁ B = 2 5 3 e       ⨁ 1 1 6 e   _{ }    = max( 2,1) max(5, ) max( , 1) max(3, 6) e e     _{ }    = 1 5 3 e       B ⨁ A = 1 1 6 e   _{ }   ⨁ 2 5 3 e        = max(1, 2) max( ,5) max( 1, ) max( 6,3) e e     _{ }    = 1 5 3 e       Terlihat bahwa A ⨁ B = B ⨁ A. A ⨂ B = 2 5 3 e       ⨂ 1 1 6 e   _{ }    = max((( 2) 1), (5 ( 1))) max((( 2) ), (5 ( 6))) max(( 1), (3 ( 1))) max(( ), (3 ( 6))) e e e e            _{     }    = max( 1, 4) max( 2, 1) max(1, 2) max( , 3)e       _    = 4 1 2 e        B ⨂ A = 1 1 6 e   _{ }   ⨂ 2 5 3 e        = max((1 ( 2)), ( )) max((1 5), ( 3)) max((( 1) ( 2)), (( 6) )) max((( 1) 5), (( 6) 3)) e e e e         _{        }    = max( 1, ) max(6,3) max( 3, 6) max(4, 3) e     _{  }    = 6 3 4 e   _   

Tidak terlihat bahwa A ⨂ B = B ⨂ A. Contoh sifat distributif:

A ⨂ (B ⨁ C) = 2 5 3 e       ⨂ 1 3 2 1 6 1 4 e       _{ }          = 2 5 3 e       ⨂ max(1,3) max( , 2) max( 1,1) max( 6, 4) e     _{ }    = 2 5 3 e       ⨂ 3 1 4 e       = max(( 2) 3), (5 1)) max((( 2) ), (5 4)) max(( 3), (3 1)) max(( ), (3 4)) e e e e          _{   }   

12 = max(1, 6) max( 2,9) max(3, 4) max( , 7)e        = 6 9 4 7       (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) = 2 5 1 3 1 6 e e         _{ }       ⨁ 2 5 3 2 3 1 4 e                  = max((( 2) 1), (5 ( 1))) max((( 2) ), (5 ( 6))) max(( 1), (3 ( 1))) max(( ), (3 ( 6))) e e e e            _{     }    ⨁ max((( 2) 3), (5 1)) max((( 2) ( 2)), (5 4)) max((e 3), (3 1)) max((e ( 2)), (3 4))           _{    }    = max( 1, 4) max( 2, 1) max(1, 2) max( , 3)e       _   ⨁ max(1, 6) max( 4,9) max(3, 4) max( 2, 7)     _    = 4 1 2 e       ⨁ 6 9 4 7       = max(4, 6) max( 1,9) max(2, 4) max( , 7)e        = 6 9 4 7       Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Definisi 10

Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ n n_max

dikatakan memiliki invers kanan jika ada sebuah matriks B sehingga A ⨂ B = E, dan B disebut invers dari A, ditulis

B = A1. Definisi 11

Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ n n_max

dikatakan memiliki invers kiri jika ada sebuah matriks B sehingga B ⨂ A = E, dan B disebut invers dari A, ditulis

B = A1. Definisi 12

Dalam aljabar max-plus, matriks permutasi A adalah matriks yang pada setiap baris dan kolomnya memuat tepat satu elemen e dan elemen yang lainnya adalah 𝜀. Jika pemetaan  : {1, 2, ...., n} → {1, 2, ...., n} adalah suatu permutasi, maka didefinisikan matriks permutasi P_ =  _{ }p_ij dengan

ij p = jika ( ) jika ( ) e i j i j       _ 

Sehingga elemen kolom ke-j dari P_ mempunyai e di baris ke-( )j .

Perkalian kiri oleh P_ mempermutasikan baris dari matriks, sehingga baris ke-i dari matriks A nampak sebagai baris ke-( )j dari matriks P_ ⨂ A.

13 Contoh : Diberikan : {1, 2} → {1, 2} (1) 2   (2) 1   maka: 11 jika 1 (1) jika 1 (1) e p        _  , p = 11 . 12 jika 1 (2) jika 1 (2) e p        _  , p12 = e . 21 jika 2 (1) jika 2 (1) e p        _  , p21 = e . 22 jika 2 (2) jika 2 (2) e p        _  , p22 = .

Matriks permutasinya adalah e e        . Definisi 13

Jika  ₁, ₂,....,_n ∈ ℝmax,  i  maka matriks diagonal didefinisikan

sebagai : ( )i D  = 1 2 ... ... ... ... ... ... ... _n                       

Teorema 1a. Matriks A ∈ n n_max

, mempunyai invers kanan jika dan hanya jika ada permutasi  dan nilai  i  , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = P

⨂ ( )D i .

Teorema 1b. Analog terhadap Teorema 1a, matriks A ∈ n n_max

, mempunyai invers kiri jika dan hanya jika ada permutasi  dan nilai  _i  , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = D( )_i ⨂ P_.

Bukti. Anggap ada matriks B sedemikian rupa sehingga A ⨂ B = E. Hal ini mengakibatkan bahwa :

maxk (aikbki) = e = 0 untuk setiap i ... (1)

maxk (aikbkj) = 𝜀 = -∞ untuk setiap i j... (2)

dan (1) untuk setiap i ada suatu nilai k sehingga a_ikb_ki e. Ini berarti ada suatu fungsi k = ( )i dengan a_{i( )i}  dan b_{( )i i}  . Dari persamaan (2) dapat ditemukan

( )

i j

14

Karena a_{i( )i}  = a_{i( )j} untuk i j, berarti bahwa  adalah suatu injeksi dan ada suatu permutasi. Persamaan (3) menunjukkan bahwa a_{i( )i} adalah satu-satunya elemen dari kolom ke-( )i dari matriks A yang nilainya bukan  . Misalkan A= P_ ⨂ A. Baris ke-( )i dari A adalah baris ke-i matriks A, yang mempunyai elemen lebih besar dari  dalam kolom ke-( )i . Maka dari itu, semua elemen diagonal dari matriks A lebih besar dari . Hal ini juga berarti bahwa matriks A hanya mempunyai satu elemen selain  dalam setiap kolom, sehingga

P ⨂ A = A = D( )i dengan a_1_{( )i i}  .

Misalkan   1

. Karena ⨂ = E, maka A = P_ ⨂ .

Sebaliknya, diasumsikan bahwa A = ⨂ dengan ∈ n n_max

dan . Jika ini benar, dimisalkan B = ⨂ , = 1

i

 _{, sehingga} A ⨂ B = P_ ⨂ ( )D _i ⨂ (D _i) ⨂ P_1 = P ⨂ P_1 = E.

Jadi, A ⨂ B = E dan B adalah invers kanan dari matriks A.

Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar max-plus. Berdasarkan ini, dapat diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers merupakan suatu permutasi matriks diagonal.

Contoh: Misal A = 2 1      

 , maka A mempunyai invers kanan karena diambil dari P =

e e         dan D( )i = 1 2         sehingga : P_ ⨂ ( )D i = e e         ⨂ 1 2         = max(( 1), ( )) max(( ), ( 2)) max(( 1), ( )) max(( ), ( 2)) e e e e                _{   }    = max( , ) max( , 2) max(1, ) max( , )             = 2 1         = A

Teorema 2. Untuk A, B ∈ n n_max jika A ⨂ B = E maka B ⨂ A = E , dan B adalah

suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A.

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = P_ ⨂ ( )D _i untuk beberapa nilai  _i  dan permutasi  . Telah diketahui bahwa B = D(_i)⨂

1

P_ adalah invers kiri dari matriks A. Jika A ⨂ B = E , maka B = B ⨂ (A ⨂ B)

P_ P_ D( )_i

P_ D( )_i _i

i

15 = ( B ⨂ A) ⨂ B = E ⨂ B = B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A.

Teorema 3. Jika A ∈ n n_max dan B ∈

max

n n

adalah matriks yang mempunyai invers, maka A ⨂ B juga mempunyai invers.

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = a P_ ⨂ ( a) i D  dan B = ( b) i D  ⨂ b P_ . maka A ⨂ B = a P_ ⨂ D(_ia)⨂ D(_ib)⨂ b P_ .

Hasil perkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka

A ⨂ B =

a

P_ ⨂ D(_ia ⨂ _ib)⨂

b

P_ .

Hal ini membuktikan bahwa A ⨂ B merupakan permutasi matriks diagonal, maka A ⨂ B juga mempunyai invers.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berbagai operasi terhadap suatu matriks dapat diaplikasikan dalam bentuk aljabar max-plus. Operasi-operasi tersebut meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antarmatriks, matriks transpos, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya operasi penjumlahan), dan distributif. Selain itu, invers suatu matriks A berukuran nn dalam aljabar max-plus dapat dijamin ada jika dan

hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal ( )i

D  .

Saran

Masih banyak hal yang ada dalam aljabar max-plus yang belum dibahas dalam karya ilmiah ini, termasuk implementasi nyata dari manfaat aljabar max-plus dalam berbagai bidang. Saya berharap akan ada yang melanjutkan karya ilmiah ini agar lebih memahami penerapan aljabar max-plus.

16

DAFTAR PUSTAKA

Farlow, KG. 2009. Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic Institute and State University.

Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut Sepuluh Nopember.

Fraleigh, JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US): Addison-Wesley.

Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E. 2010. Teori dan

17

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 18 Juli 1989 dari pasangan bapak Hadi dan ibu Amilah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Pada tahun 2007, penulis lulus dari MA Husnul Khotimah dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika dan minor Ilmu Komunikasi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) pada semester ganjil 2009-2010 sampai semester ganjil 2011-2012. Penulis pernah aktif di berbagai organisasi seperti DKM Al-Hurriyah IPB, BEM FMIPA IPB, dan SERUM-G IPB serta menjadi panitia dalam MPKMB, MPF, MPD, LKCM, Pesta Sains, dan lain-lain.