Sifat operasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, November 2014

Siska Maryana Dewi

ABSTRAK

SISKA MARYANA DEWI. Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-sifat yang diaplikasikan pada matriks serta eksistensi invers matriks dalam aljabar max-plus. Operasi-operasi matriks yang dapat diaplikasikan dalam aljabar max-plus meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antar matriks, matriks transpose, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (untuk operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya untuk operasi penjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A∈

max nxn

dalam aljabar max-plus dapat dipastikan ada jika dan hanya jika A

merupakan perkalian matriks permutasi P_ dan matriks diagonal D( )_i . Kata kunci: matriks, aljabar max-plus

ABSTRACT

SISKA MARYANA DEWI. Properties of Operations and Existence of the Inverse Matrix in Max-Plus Algebra. Supervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM.

This paper discusses the properties of operations in max-plus algebra and properties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in max-plus algebra. The operations that can be applied in max-plus algebra includes operations of addition and multiplication between matrices, transpose of a matrix, the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multiplication by a scalar. Properties that valid for the matrix in max-plus algebra is an associative properties (for addition and multiplication operations), commutative (only for addition operation), and distributive. The existence of the inverse matrix

A ∈ nxn_max in max-plus algebra can be guarantied if and only if A is a multiplication of a permutation matrix P_ and a diagonal matrix D( )_i .

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Nama : Siska Maryana Dewi

NIM : G54070006

Disetujui oleh

Drs Siswandi, MSi Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-plus ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta sahabat dan umatnya.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I dan II atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasi, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen penguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan, serta staf dan pegawai atas bantuan dan pelayanannya selama ini.

Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk bapak, ibu, kakak, adik, dan keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada habisnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor, teman-teman kos, dan semua pihak yang tak henti memberikan dukungan serta bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, penulis juga ingin memberikan terima kasih kepada Super Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam mengejar pendidikan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2014

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

TINJAUAN PUSTAKA 1

HASIL DAN PEMBAHASAN 5

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 5 Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 12

SIMPULAN DAN SARAN 15

Simpulan 15

Saran 15

DAFTAR PUSTAKA 16

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Aljabar max-plus pertama kali muncul pada tahun 1956 dalam paper Kleene yang berjudul “Representation of events in nerve sets and finite automa”. Dalam

aljabar max-plus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring ℝmax = {�}∪ℝ

dengan operasi dan . Saat ini aljabar max-plus telah banyak dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, seperti pada kombinatorika, optimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013) Aljabar max-plus juga digunakan dalam teori kontrol, penjadwalan mesin, sistem even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem proses paralel, kontrol lalu lintas, dan lain-lain.

Karya Ilmiah ini merupakan hasil penjabaran kembali karya Kesie G. Farlow yang berjudul “Max-Plus Algebra” yang membahas mengenai dasar-dasar aljabar max-plus beserta kaitannya dengan beberapa konsep matematika seperti, matriks, vektor, teori graf, bahkan sampai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar max-plus.

Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat operasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus.

TINJAUAN PUSTAKA

Matriks Definisi 1 (Matriks)

Matriks adalah beberapa skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya, biasa digunakan ( ), [ ], atau || ||. Matriks diberi nama dengan huruf besar, misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan huruf kecil, misalnya a11, b21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A dapat ditulis A =

 

a_ij .

2

2. Perkalian matriks dengan skalar

Misalkan k suatu skalar, maka perkalian k dengan matriks A =

 

a_ij berukuran mn didefinisikan dengan

kA = k

 

a_ij =

 

ka_ij

Definisi 2 (Transpos Matriks)

Suatu matriks A =

 

a_ij berukuran mn, maka transpos dari A adalah matriks AT berukuran nm yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i

3 Definisi 3 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan dengan I. Definisi 4 (Invers Matriks)

Sebuah matriks segi A berukuran nn disebut memiliki invers jika ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A dan dapat ditulis A-1.

(Sutojo et al. 2010)

Aljabar Max-Plus

Definisi 5 (Semigrup)

Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.

(Fraleigh 1997) Definisi 6 (Semiring (S, + , × ))

Suatu semiring (S, + , × ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner + dan × yang memenuhi aksioma berikut:

1. (S, +) merupakan semigrup yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu

4

4. Operasi × bersifat distributif terhadap + , yaitu x y z, , ∈ S berlaku (x + y) × z = (x× z) + (y × z)

x× (y + z) = (x × y) + (x × z)

(Subiono 2013) Definisi 7 (Aljabar Max-Plus)

Aljabar max-plus adalah suatu semi ring (ℝmax, , ) dengan ℝmax = {�}∪ 1. Sifat asosiatif, yaitu :

x (y z) = (x y) z dan x (y z) = (x y) z

2. Sifat komutatif, yaitu :

x y = y x dan x y = y x

3. Sifat distributif, yaitu :

x (y z) = (x y) (x z)

4. Ada elemen nol terhadap operasi , yaitu ε, dengan � = −∞.

x ε = ε x = x

5. Ada elemen satuan terhadap operasi , yaitu ℯ, dengan ℯ = 0.

x ℯ = ℯ x = x

6. Ada elemen invers terhadap operasi ,

5

4. x ε = max (x, −∞) = max (−∞, �) = ε x = x

5. x ℯ = x + 0 = 0 + x = ℯ x = x

6. Misalkan x∈ ℝmax dengan x  �, maka ∃y∈ ℝmax∋y = -x dan x + y = x +

(-x) = 0 sehingga x y = ℯ

7. x ε = x + (−∞) = (−∞) + x = ε x = ε 8. x x = max (x, x) = x

Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus)

Untuk x∈ ℝmax dan n∈ , x pangkat n didefinisikan dengan :

n

x = x x .... x.

Jika x  �, maka 0 x = ℯ. Jika α∈ℝ, maka x= αx. Jika k > 0, maka k

= ε (jika k≤ 0, makak

tidak terdefinisi). Sifat-sifat operasi pangkat dalam aljabar max-plus

Untuk setiap m, n∈ , x∈ ℝmax berlaku :

1. xm xn=x(m n ) 2. (xm)n =x(mn)

3. x1= 1x = x

4. xm ym = (xy)m

(Farlow 2009) Bukti :

1. xm xn= mx + nx = (m+n)x = x(m n ) 2. (xm)n= (mx)n = nmx = x(mn)

3. x1 = 1x = x

4. xm ym= mx + my = m(x+y) = (xy)m

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam ℝmax. Matriks berukuran m× n untuk m, n ∈ dan elemen-elemennya ∈ ℝmax dalam aljabar max-plus

6

Operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks dalam aljabar max-plus hampir serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dalam matriks dalam aljabar biasa dengan + dan × didefinisikan sebagai dan .

5. Untuk matriks segi A pangkat ke-k (dengan k bilangan bulat positif) dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan Akdan didefinisikan sebagai :

k

Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar max-plus: 1. Sifat asosiatif, yaitu :

A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C

2. Sifat komutatif, yaitu :

7 3. Sifat distributif, yaitu :

A (B C) = (A B) (A C)

menyatakan kolom matriks, maka :

A (B C) = (A(BC))_ij matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :

8

Karena terbukti A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C , maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar max-plus berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

2. Sifat komutatif a). A B = B A

Misakan A, B ∈ _maxm n m n_max , i menyatakan baris matriks dan j

menyatakan kolom matriks, maka :

A B = (AB)ij

j menyatakan kolom matriks, maka :

A B = (AB)_ij operasi perkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena itu, B A hanya bisa dioperasikan jika banyaknya kolom matriks B sama dengan banyaknya baris matriks A (n = m), sehingga sifat komutatif dalam matriks aljabar max-plus hanya berlaku untuk operasi penjumlahan.

3. Sifat distributif

A (B C) = (A B) (A C)

Misalkan A ∈ m p_max , B, C ∈ _maxp n , i menyatakan baris matriks dan

j menyatakan kolom matriks, maka :

9

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 22 adalah:

E = e

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 33 adalah:

E =

11 Contoh untuk sifat komutatif :

12

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Definisi 10

13

Matriks permutasinya adalah e e

, mempunyai invers kanan jika dan hanya jika ada permutasi  dan nilai  _i  , i∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = P_

( )_i

D  .

Teorema 1b. Analog terhadap Teorema 1a, matriks A∈ n n_max

14

Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar max-plus. Berdasarkan ini, dapat diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers merupakan suatu permutasi matriks diagonal.

Contoh: suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A.

15

= (B A) B = E B = B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks

unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A. Teorema 3. Jika A∈ n n_max

dan B ∈ _maxn n

adalah matriks yang mempunyai invers, maka A B juga mempunyai invers.

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa

A =

Hasil perkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka

A B =

Hal ini membuktikan bahwa A B merupakan permutasi matriks diagonal, maka A B juga mempunyai invers.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

16

DAFTAR PUSTAKA

Farlow, KG. 2009. Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic Institute and State University.

Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut Sepuluh Nopember.

Fraleigh, JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US): Addison-Wesley.

Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E. 2010. Teori dan

17

RIWAYAT HIDUP